Учебно-исследовательский проект
по геометрии
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 1.46 МБ |
Слайд 1
ГБОУ «Республиканская Мариинская школа-интернат» Учебно-исследовательская работа по геометрии Использование формулы Пика в геометрии клетчатой бумаги и ее применение Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»Слайд 2
Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге. Предмет исследования : задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения. Цель исследования : выявить значимость использования формулы Пика для вычисления площадей геометрических фигур в сравнении с формулами геометрии. Гипотеза : Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле геометрии.
Слайд 4
Формула Пика позволит вам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами. Именно такие задания предлагают в ЕГЭ. Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна S = B + Г /2-1 где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. Георг Пик австрийский математик (10 августа 1859 — 13 июля 1942)
Слайд 5
Формула Пика S = В + Г/2 - 1 В = 14 Г = 8 S = 14 + 8/2 – 1 = 17 (кв.ед)
Слайд 6
S(ABCD)=30 ( кв.ед) S(1) = 2 ( кв.ед.) S(4) = 3 (кв.ед.) S(2) = 1 (кв.ед.) S (3) = 0.5 (кв.ед.) S (5) = 2 (кв.ед.) S (6) = 1 (кв.ед.) S (7) = 2 (кв.ед.) S (8) = 1.5 ( кв.ед.) S = 30-2-3-1-0.5-2-1-2-1.5 = = 17 (кв.ед.)
Слайд 7
Формула Пика очень удобна когда сложно догадаться, как разбить фигуру на удобные многоугольники или достроить…
Слайд 8
Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге примеры из заданий ЕГЭ На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах По формуле геометрии По формуле Пика
Слайд 9
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырехугольник ABCD . Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. По формуле геометрии По формуле Пика
Слайд 10
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах По формуле геометрии По формуле Пика
Слайд 11
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен многоугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. По формуле геометрии По формуле Пика
Слайд 12
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен многоугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. По формуле геометрии По формуле Пика
Слайд 13
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен многоугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. По формулам геометрии: S1=1/2 ∙ 2 ∙ 4=4 S2=1/2 ∙ 4 ∙4 = 8 S3=1/2 ∙ 8 ∙ 2=8 S4=1/2 ∙4 ∙1=2 S5=6 ∙8=48 S= 48 – 22 = 26 см² По формуле Пика: S = B + Г / 2 – 1 В = 1 9 Г = 1 6 S = 1 9 +1 6 /2 - 1 = 26 см²
Слайд 14
23 задачи Повышенный интерес к решению. Занимательный момент. Плотность занятия. Работоспособность учащихся. Нет вычислительных ошибок. Участники : учащиеся 8,10,11 классов Дата: 19.01.2016г Задание: Решить задачи по нахождению площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге. I группа II группа Эксперимент При решении используем формулы геометрии. При решении используем формулу Пика. Результаты: 7 задач Допущены вычислительные ошибки. Затруднения в использовании нужных формул.
Слайд 15
Группы количество решенных задач 1 группа 7 2 группа 23 8 класс
Слайд 16
Группы количество решенных задач 1 группа 9 2 группа 26 10 класс
Слайд 17
Группы количество решенных задач 1 группа 8 2 группа 30 11 класс
Слайд 18
Задача 1 .Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м Геометрические задачи с практическим содержанием Решение: Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика : S = В + Г/2 - 1 В = 5, Г = 7 1 см 2 – 200 2 м 2 S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²); S ф = 40000 7,5 = 300 000 (м 2 ) Ответ: 300 000 м 2
Слайд 19
Решение: Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика : S = В + Г/2 - 1 В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²) 1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²) Ответ: 320 000 м² Геометрические задачи с практическим содержанием Задача 2 . Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1см в масштабе 1 см – 200 м.
Слайд 20
Бурятская государственная сельскохозяйственная академия им. В.Р. Филиппова Гармаев Дылгыр Цыдыпович Заведующий кафедрой, Доктор с.-х. наук, профессор, заслуженный работник АПК РБ
Слайд 21
Институт «Землеустройства, кадастров и мелиорации»
Слайд 23
Вершины квадрата соединены с серединами его сторон, как показано на рисунке. Найдите площадь закрашенного восьмиугольника, если стороны квадрата равны 12. Решение: По формуле Пика: S = В + Г /2 – 1 В = 21 Г = 8 S = 21 + 8 / 2 – 1 = 24 ( кв.ед.)
Слайд 24
(Школьная олимпиада по математике, 2011г) Задача 5. Замкнутая несамопересекающаяся ломаная идет по линиям сетки и проходит по одному разу через все узлы клетчатого квадрата 7 × 7 (рис. 6) Найдите площадь фигуры, ограниченной этой ломаной. Решение: В = 18, Г = 28, S = В+Г/2 -1. S = 18 + 28/2 – 1 = 31 (кв. ед.)
Слайд 25
Данные кадастрового паспорта Мои вычисления
Слайд 26
Вывод В процессе исследования узнала, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах решетки с подвигла австрийского математика Пика доказать формулу Пика; В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач, убедилась в их многообразии; Проведенный мною эксперимент убедил всех участников в том, что рассмотренные задачи имеют различный уровень применения – от простых до олимпиадных и убедил их в нужности применения данной формулы на практике. (Использование данной формулы при решении заданий на ЕГЭ); Ознакомление с формулой Пика особенно актуально накануне сдачи ЕГЭ и ОГЭ; с помощью этой формулы можно без проблем решить большой класс задач, предлагаемых на экзаменах, — это задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге; Формула Пика имеет не только научно-учебное значение, но и социальное. Эту формулу могут использовать в своей работе кадастровые службы.
Слайд 27
Список литературы Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7-9 классы. М. Просвещение, 2015 г. Вавилов В.В, Устинов А.В. .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006 г . Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. Математика, 2009 г., № 17, с. 24-25. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2015 – 2016 гг. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982 г. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. – М.: «Экзамен», 2011-2012гг. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010 г. Математические этюды. etudes.ru
Волшебная фортепианная музыка
А теперь — мультфильм
Кактусы из сада камней
Злая мать и добрая тётя
Глупый мальчишка