Работа о роли математики в развитии музыки. Пифагор и его последователи, изучая музыкальные закономерности, открыли взаимосвязь музыкальных, частот и чисел.
Вложение | Размер |
---|---|
doklad_muzyka_i_matematika.doc | 979 КБ |
МОУ Наро-Фоминская средняя общеобразовательная школа №4 с углубленным изучением отдельных предметов
Реферат на тему
«Математические методы в сочинении и восприятии музыки – история и современность»
Авторы: Горбач Всеволод Олегович
Нечаев Евгений Алексеевич,
ученики 9А класса
Руководитель Яковлева Татьяна Петровна,
учитель математики
Наро-Фоминск, 2009 г.
2.Архит и развитие теории музыки в эллинистическом мире
3.Основные математические пропорции в пифагорейской музыкальной гамме
5.Логарифмы и равномерная темперация
«Пройдут миллионы лет, и если музыка в нашем смысле будет еще существовать, то те же семь основных тонов нашей гаммы, в их мелодических и гармонических комбинациях, оживляемые ритмом, будут все еще служить источником новых музыкальных мыслей».
Петр Чайковский [1]
Мы выбрали эту тему, так как, обучаясь в музыкальной школе, обнаружили причастность математики к музыке, что само по себе было для нас удивительно. Но, изучив, проанализировав литературу по этой теме, мы нашли много исторических фактов, подтверждающих связь музыки не только с математикой, но и с физикой, физиологией. Проследили, как с развитием математики, оказалось возможным улучшить теорию музыки.
Во всем царит гармонии закон,
И в мире все суть ритм, аккорд и тон.
Дж. Драйден [4]
Мы в ходе работы над этой темой убеждались в том, что математика – это уникальное средство познания красоты. Данная тема не нова, но всегда остается актуальной.
На основе законов Пифагора и его последователей совершенствовалась настройка инструментов, великие композиторы прошлого сочиняли произведения, которыми мы восхищаемся сейчас, современные также удивляют нас своими творениями.
Но уже стало реальностью создание электронной музыки. Пока композиторы возмущаются и опасаются, программисты делают свое дело. Появляются программы, в которых реализованы различные алгоритмы сочинения (точнее говоря, формирования) музыки.
У истоков современной музыки стоял древнегреческий ученый Пифагор. Конечно, музыка существовала задолго до Пифагора, но он был первым, кто в математических терминах описал, что такое ноты, а также приятные и неприятные звуку созвучия. О Пифагоре знают немного. Даже годы его жизни известны приблизительно: около 570-500 гг.до н.э. Историки утверждают, что Пифагор учился в Египте у жрецов. Точно известно, что в греческой колонии на юге Италии, в городе Кротоне, было организовано Пифагором философское братство. Членам братства запрещалось разглашать непосвященным учения своей школы. Пифагорейцы существенным образом продвинули математическую науку, поскольку через математику надеялись понять законы, управляющие миром. В Эллинистическом мире неотъемлемой частью общего образования была музыка. Как люди аристократические и образованные, члены пифагорейского братства, конечно, не могли не интересоваться музыкальными произведениями, инструментами, законами распространения звука. Именно в музыке некоторые исследователи усматривают причину, породившую интерес пифагорейцев к числам, поскольку им удалось установить некоторые закономерности музыкальных созвучий. А эти закономерности прекрасно укладывались в общую теорию Пифагора об абсолютной числовой гармонии всего сущего.
Для изучения музыкальных закономерностей Пифагор изобрел специальный инструмент – монохорд. Он состоит из резонаторного ящика, натянутой струны и подвижной подставки для деления струны на части. Назначение резонаторного ящика понятно – он усиливает звук струны. Подвижные подставки помогали быстро увеличивать или уменьшать размер струны. Тем самым убыстрялась работа и можно было проводить десятки и сотни опытов, а на это Пифагор, конечно, не жалел ни времени, ни усилий. Шкала же служила контролером длины струны, то есть позволяла сразу увидеть и запомнить, струна какой длины дает тот или иной звук. Достаточно было натянуть две струны, чтобы установить, какое соотношение их длин дает гармоничный аккорд.
После длительных экспериментов Пифагор установил, что две струны дают приятные для слуха совместное звучание (в музыке такое звучание называют консонансом), когда из длины относятся, как 1:2, 2:3 или 3:4.
Конкретно это означает, что если взять 4 струны, то длина первой будет в два раза больше последней (их совместное звучание дает интервал, называемый октавой). Длина третьей струны будет относиться к длине первой как 2:3 (получим интервал квинту), и отношение второй к первой равно 3:4, сто определяет еще один интервал – кварту. На рисунке 1 показаны отрезки, соответствующие длинам струн великого тетраксиса – так называли греки четверку чисел, лежащих в основе их теории музыки.
l1
l4
l3
l2
1
Рисунок 1. Длины струн великого тетраксиса
Получить музыкальную пропорцию пифагорейцам помогло сочетание среднего арифметического и среднего гармонического. Взяв струны длиной 6 и 12 (то есть в отношении 1:2), они нашли их среднее арифметическое ((6+12)/2=9), а среднее гармоническое дало равенство (6-а)/(а-12)=6/12, то есть а=8. Но отношение 9:12 = 3:4 дает кварту (вторая струна на рисунке 1), а отношение 8:12=2:3 – квинту (третья струна на рисунке 1). Таким образом, длины четырех струн, дающих консонансы, должны быть 6, 8, 9, 12.
Можно заметить, что или . От последнего равенства можно перейти к музыкальной пропорции: (здесь фактически речь идет о делении октавы на кварту и квинту, которые, как видно, не равны по длине) [3].
Поскольку история не дает нам здесь достаточно понятного руководства, напрашивается вопрос: почему надо делить октаву на два неравных интервала – кварту и квинту? Что будет, если мы поделим октаву на два равных интервала? Но тогда согласно музыкальной пропорции получим:
и, следовательно, .
Пифагорейцы числа не знали! Это число нельзя получить как отношение двух целых чисел, оно не выражается обыкновенной дробью. Вопрос оказался очень упорен в своей неразрешимости и с музыкальной точки зрения, поскольку при соотношении длин струн 1: в музыке получался не консонанс, а неприятный звук, просто шум.
Доводя свою теорию до логического конца, пифагорейцы не могли не заметить одной весьма неприятной для них логической неувязки: длины струн определенно существуют (сами–то струны можно просто потрогать), но числа, которым выражалось бы отношение этих длин, они указать не могут. Для них это число не существовало! Во-первых, таких чисел тогда просто не знали, а во-вторых, всю свою философию они строили на целых числах и их отношениях. Получалось, что приятное звучание, то есть консонанс, можно задать отношением целых чисел, а числа, ответственного за «шум», не находилось. Но шум-то тоже существует! Как явление мирового устройства вещей он должен быть математически определен. Так рассуждали пифагорейцы или не так - мы не знаем. Но хорошо известно, что существование несоизмеримостей, то есть того, что сейчас мы называем иррациональным числом, они обнаружили в экспериментах с длинами струн.
Более знаменитый случай обнаружения несоизмеримостей связан с теоремой Пифагора. Обычно его называют открытием несоизмеримости стороны квадрата с его диагональю. В современных пояснениях это выглядит так.
Примем сторону квадрата за 1, а его диагональ за х. Тогда по теореме Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, который образован двумя соседними сторонами квадрата и его диагональю, получим: х2 = 12 +12 =2, то есть х = .
Разумеется, Пифагорейцы пользовались совсем другим доказательством и не знали современных обозначений. Но они отлично поняли, что по их основному догмату – «число (то есть целое положительное число) есть сущность всех вещей» - нанесен сильнейший удар. Были обнаружены объекты, обычные отрезки, длины которых нельзя было измерить, если принять сторону квадрата за 1.
Позже пришлось признать, что существуют объекты более общей природы, чем числа, то есть то, что нельзя выразить числом, можно выразить длиной отрезка. Это был важнейший вывод для геометрии, поскольку все математические факты и доказательства стали формулировать на геометрическом языке. А это предопределило такой расцвет геометрии в эллинистическом мире, который и сейчас вызывает удивление, а некоторыми воспринимается как чудо.
Неизвестно, как школа Пифагора преодолевала возникшую перед ней трудность. Дело в том, что она распалась, ее членов изгнали из Кротона. Пифагор бежал в город Метапонт, где вскоре и умер. Члены его школы рассеялись по разным городам великой Греции [4].
Архит и развитие теории музыки в эллинистическом мире
Примерно через 60 лет после смерти Пифагора, в городе Таренте, что находился в восточной части южной Италии, родился человек, которого называют последним великим пифагорейцем – Архит Тарентский. Архит был разносторонним ученым. Ему приписывается установление первых принципов механики, а также изобретение блока и винта. В математике Архит развил арифметику натуральных чисел и далеко продвинул теорию несоизмеримых величин. Он указал способ вычисления квадратного корня из числа, не являющегося полным квадратом. Он снял покров таинственности с несоизмеримых отрезков, доказав, что их длины можно выразить отношением целых чисел, хотя и не совсем верно, но с такой точностью, которая требуется для практики.
Архит считается самым крупным теоретиком музыки античности. Он обосновал важный закон музыкальных созвучий. Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струн. Некоторые исследователи связывали это только с натяжением струн. Однако данное мнение было ошибочным. Архит показал, что ответ на этот трудный вопрос кроется в высоте тона (или в частоте колебания струны). Частота колебания струны обратно пропорциональна ее длине [4].
Основные математические пропорции в пифагорейской музыкальной гамме
В основу музыкальной системы, открытой учеными пифагорейского союза, были положены два закона, носящие сегодня имена Пифагора и Архита.
Закон I. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа: 1:2; 2:3; 3:4.
Закон II. Частота колебания f звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l, то есть , где a – коэффициент, характеризующий физические свойства струны.
Древнегреческие ученые верили в совершенные пропорции и существование музыкальной и космической гармонии. Поэтому они связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим [2].
Для того чтобы проследить процесс построения пифагорейской музыкальной гаммы, введем систему координат, у которой ось абсцисс – шкала частот звуков гаммы, а ось ординат – шкала соответствующих длин струн. Пусть начало координат – звук «до», длина струны – 1, его частота также равна 1. Тогда звук на октаву выше будет иметь частоту 2, а длину струны – ½. Возьмем квинту «до-соль». Отношение частот -3/2 (отношение частоты верхнего звука к частоте нижнего). «До-фа» кварта – 4/3. Если взять отношение частот «до1» к «соль», получим , то есть данный интервал также является квартой. Получаем, что «сумма» квинты и кварты равна октаве.
Рисунок 2. Зависимость частот звуков гаммы от длины струн.
Найдем теперь частотный интервал между звуками «фа» и «соль». Для этого поделим частоту последующей ноты на частоту предыдущей, то есть . Число 9/8 выражает так называемый тон-интервал. С его помощью получают частоты звуков, отличающихся друг от друга на целый тон. Например, если мы хотим узнать частоту звука «ми» по частоте звука «ре», то должны выполнить умножение . Точно так же от «соль» можно перейти к «ля» - , а от «ля» - к «си» , поскольку эти пары звуков отличаются друг от друга на целый тон.
Но вот звуки «ми» и «фа», «си» и «до1» различаются на полутон (рисунок 2). Для того чтобы показать, как это выражается математически, поделим частоту звука «фа» на частоту звука «ми»: . Итак, полутон выражается дробью . В самом деле при переходе от «си» и «до1» имеем:. Естественно ожидать, что в одном тоне-интервале содержится два равных полутона. Проверим, так ли это. Если представить полутон и считать, что два полутона составляют целый тон, то математически это выражается равенством , то есть . На самом же деле полутон выражается дробью .
Очевидно расхождение между реальным числом, выражающим полутон и его значением, вытекающим из гипотезы о том, что два полутона составляют целый тон. Как видим, расхождение небольшое. В реальности имеем 1,053, а гипотетически 1,061. Эта неточность получила название пифагоровой коммы. Она свидетельствует о несовершенстве пифагоровой теории музыки, поскольку не давала возможности точно настроить инструменты. Тот факт, что два полутона «не укладывались» в целый тон, улавливался чутким ухом музыканта.
На протяжении многих столетий музыканты настраивали инструменты так, как это делали в Древней Греции. Однако этот настрой не мог казаться им полностью подходящим, поскольку в нем сохранялась «пифагорова комма». Она была следствием несовершенства не только пифагорейской музыкальной гаммой, но и учения о числе. Теорию музыки оказалось возможным улучшить только после достаточного развития математики иррациональных величин. Прошла целая эпоха.
Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, мы не задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действа. Существует наука – музыкальная акустика, объединяющая физику, музыку и математику.
Тон – важное понятие акустики, представляет собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, голоса. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, начнем с описания уха. Оно по своему устройству напоминает музыкальный инструмент. Одна из частей уха называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части уха действительно напоминает улитку. Она представляет собой спирально-закрученную трубку, образованную из 2,5 витка. Контур «улитки» среднего уха можно соотнести с логарифмической спиралью в математике.
Логарифмическая спираль является траекторией точки, которая движется вдоль равномерно вращающейся прямой, удаляясь от полюса со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. В логарифмической спирали углу поворота пропорционально не само расстояние от полюса до точки кривой, а логарифм этого расстояния. На рисунке 3 видно, что эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс под одним и тем же углом.
Рисунок 3. Логарифмическая спираль
Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт (1596-1650). Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее удивительные свойства, в частности инвариантность (сохранение угла), удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы.
Рассмотрим характеристики звука. Сила звука – это количество звуковой энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Эта физическая величина, как это ни странно выглядит, не выражает величины нашего звукового ощущения – громкости. Если мы будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся нам отличающимися по громкости. Такое явление объясняется разной чувствительностью нашего уха к звукам различной частоты. Если провести эксперимент, увеличивая силу какого-нибудь в 2, 3, 4 раза, то окажется, что наше звуковое ощущение (громкость звука) во столько же раз не увеличивается.
В 1846 физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. В 1860 году ученый Фехнер подверг закон Вебера математической обработке, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения: , где S-ощущение, J0 – первоначальное раздражение, J – последующее раздражение, k – коэффициент пропорциональности. Например, при увеличении силы звука в 100, 1000 и т. д. раз ощущение увеличивается в 2, 3 и т. д. раз (при k = 1) [5].
Логарифмы и равномерная темперация
На протяжении многих столетий пифагорова комма античной гаммы не давала покоя композиторам и музыкантам. Ее распределение в музыкальной гамме было неравномерно и затрудняло модуляции (перевод мелодии из тональности в тональность). Изобретались разные музыкальные системы, которые пытались решить эту проблему. Нужен был особый подход, который должен был быть математически точным и музыкально приемлемым.
В начале 18 века, когда уже сложилась алгебра иррациональных величин, наметились пути решения этой старой многотрудной проблемы. Работы немецких музыкантов Веркмайстера и Нейгарда дали начало ее решению и привели впоследствии к созданию 12-звукового равномерно темперированного строя. В новом 12-ступенном строе октава стала состоять из 12 равных полутонов: «до1»-«до-диез»; «до-диез»-«ре» и т. д.
Определим теперь зависимость между частотами звуков строя. Пусть х – величина, показывающая, во сколько раз частота верхнего звука больше частоты нижнего. Примем частоту самого нижнего звука октавы за 1. Известно, что частота верхнего звука октавы больше частоты ее нижнего звука в 2 раза, а при переходе к каждому их 12 полутонов частота увеличивается в х раз. Получаем уравнение 1:х12 = 1:2, х12 = 2, х = = 1,05947. Полученное число называется коэффициентом темперированного строя. С его помощью можно найти частоты каждого звука музыкальной гаммы. Как правило, музыканты настраивают свои инструменты по звучащему «ля» - 440 гц. Зная частоту звука «ля» и используя k = , можно получить все частоты звуков первой октавы фортепиано. Например, частота звука «ля-диез» равна 440 * = 440 *1,059 = 466,16 гц, а «соль-диез» - 440: = 415,30 гц. В таблице 1 приведены все частоты звуков первой октавы. Почему именно эти частоты положены в основу равномерно темперированного строя? Для некоторых музыкантов, например, для тех, кто играет на скрипке, виолончели, контрабасе строго фиксированная частота звука не является особой необходимостью, поскольку смычок музыканта может извлекать из струн звуки, частоты которые очень мало отличаются друг от друга, звуки изменяются плавно. Но как достичь музыкального согласия, если струны инструментов допускают лишь фиксированное звучание? К таким инструментам относятся фортепиано, орган, арфа и др. Само их устройство позволяет использовать только звуки определенной частоты.
Таблица 1. Частоты звуков первой октавы и их логарифмы.
Составим новую таблицу. Запишем логарифмы частот звуков равномерно темперированной гаммы по основанию 2, а также логарифмы по основанию 2 частот соответствующих интервалов гаммы, то есть от звука «до» до данного звука. В четвертом столбце таблицы 2 на первом месте получим:, на втором месте – логарифм отношения частот звуков «до»-«до-диез» (малая секунда), на третьем месте – логарифм отношения частот звуков «до»-«ре», на пятом – отношение частот звуков «до»- «ми» (большая терция):
Удобнее не искать каждый раз логарифмы отношений частот, а использовать свойство логарифмов: логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел. Например, чтобы получить логарифм интервала кварта («до»-«фа»), достаточно найти разность 8,448-8,031 = 0,417
Возьмем некоторый отрезок. Разделим его на 12 равных частей, получим шкалу с шагом (рисунок 4). Внизу отметим значения логарифмов отношений частот. Заметим, что разность между логарифмом интервала, то есть числом , и длиной отрезка, равной , где k = 0, 1, 2,…,12 весьма мала. В этом можно убедиться, например, по модулю разности, соответствующей звуку «ре»:
Рисунок 4. Шкала интервалов.
Итак, логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы, равные , которые соответствуют полутонам. Таким образом, два равных полутона стали почти точно составлять целый тон [6].
Использование логарифмической шкалы дает возможность равномерно распределить пифагорову комму по всему строю. Если разделить ее на 12 равных частей и распределить между 12 квинтами этого строя, то каждая квинта уменьшится на 1/108 тона (1/9 : 12). Это совсем незаметно на слух и вполне приемлемо для музыкальных созвучий.
С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке. Среди них октава - ,
квинта – ,
кварта – ,
секста – ,
терция – ,
секунда –,
септима – .
Была придумана еще более мелкая единица – цент, равный одной сотой темперированного полутона или 1/1200 октавы. Применение цента используется в музыкальных опытах, которые приводят к созданию все новых и совершенных музыкальных инструментов. Если принять в качестве стандартной высоты основного тона музыкальной настройки частоту звука «ля» 440 гц, то частоту любого другого тона можно выразить так:
в октавах ,
в полутонах ,
в центах
Из этих формул следует, что , , .
Данные формулы полезны тем, что с их помощью по частоте одного звука можно находить частоту другого звука [7].
Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты. Вот что говорил далекий от математики человек – известный пианист Генрих Нейгауз: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства» [2].
Сказка про Серого Зайку
Рисуем тыкву
Сочные помидорки
Почему люди кричат, когда ссорятся?
Три загадки Солнца