Работа носит одновременно и прикладной и исследовательский характер. Для полноты исследования были рассмотрены следующие вопросы:
– Как отражаются свойства функции при решении уравнений и неравенств?
– Какие уравнения и неравенства решаются через определение свойств области определения, множества значений, инвариантности?
– Каков алгоритм решения?
– Рассмотрены задания с параметром, предлагаемых в материалах КИМ при подготовке к ЕГЭ.
В работе Екатерина исследовала большой круг задач и систематизировал их по внешнему виду.
Вложение | Размер |
---|---|
nou_sv-v_funktsiy_05.04.pptx | 1.87 МБ |
nou_sv-v_funktsiy_05.04.pptx | 1.87 МБ |
Слайд 1
Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств Выполнила работу: Галаева Екатерина МБОУ СОШ №149 Московского района Ученицы 11 «А» класса Научный руководитель: Фадеева И. А. Учитель математикиСлайд 2
Основные направления: Изучение свойств функции: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность Узнать основные утверждения, которые наиболее часто используются при решении уравнений, неравенств и систем Решение задач из материалов КИМ для подготовке к ЕГЭ
Слайд 3
Монотонность Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2
Слайд 4
Утверждение 1. Если функция у = f ( x ) монотонна, то уравнение f ( x ) = с имеет не более одного корня. x =2 f(x) = - монотонно убывающая, значит, других решений нет. Ответ: x =2
Слайд 5
Утверждение 2. Если функция у = f ( x ) монотонно возрастает, а функция у = g ( x ) монотонно убывает, то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет не более одного корня. 2 - x = lg ( x +11) + 1 g ( x ) = 2 - x является монотонно убывающей, а функция f ( x ) = lg ( x + 11) + 1 монотонно возрастающей на области определения значит, уравнение f (х) = g ( x ) имеет не более одного корня. Подбором определяем, что х =-1 . Выше изложенное утверждение обосновывает единственность решения.
Слайд 6
а ) f (х) ≤ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ (- ∞ ; x 0 ]; б) f (х) ≥ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ [х 0 ; +∞). Наглядный смысл этого утверждения очевиден Утверждение 3. Если функция у = f (х) монотонно возрастает на всей числовой прямой, функция у = g ( x ) монотонно убывает на всей числовой прямой и f (х 0 ) = g ( x 0 ), то справедливы следующие утверждения:
Слайд 7
Решить неравенство Решение . Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g ( x ) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравенство f (х) > g ( x ) выполняется, если х > 2. Добавим область определения неравенства. Таким образом , получим систему Ответ : (2; 5).
Слайд 8
Утверждение 4. Если функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и f ( f (х))=х имеют одно и то же множество корней, независимо от количество вложений. Следствие. Если n - натуральное число, а функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и n раз имеют одно и то же множество корней.
Слайд 9
Решить уравнение . Ответ: Решение. П ри x ≥1 правая часть уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. При x ≤0 правая часть уравнения неположительная, а левая часть положительна, в силу того что . Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит интервалу (0; 1) Умножив обе части данного уравнения на х, и разделив на x числитель и знаменатель левой части, получим
Слайд 10
Откуда = . Обозначив через t , где t 0, получим уравнение = t . Рассмотрим возрастающую на своей области определения функцию f ( t )= 1+ . Полученное уравнение можно записать в виде f ( f ( f ( f ( t ))))= t , и по следствию утверждения 4 оно имеет то же множество решений, что и уравнение f ( t )= t , т.е. уравнение 1 + = t , откуда . Единственным положительным корнем этого квадратного относительно уравнение является . Значит, , откуда , т.е. , или . Ответ:
Слайд 11
Утверждение 1. Если max f ( x ) = с и min g ( x ) = с , то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет то же множество решений, что и система Ограниченность Максимальное значение левой части равно 1 и минимальное значение правой части 1 , значит, решение уравнения сводиться к системе уравнений: , из второго уравнения находим возможный претендент x=0 , и убеждаемся, что он является решением и первого уравнения. Ответ: x=1 .
Слайд 12
Решить уравнение Решение. Так как sin3x≤1 и cos4x≤1, левая часть данного уравнения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том случае, если откуда где k , n ϵ Z . Остается установить, существуют ли такие целые k и n , при которых последняя система имеет решения. Ответ: Z
Слайд 13
В задачах с неизвестными x и параметром a под областью определения понимают множество всех упорядоченных пар чисел ( x ; a ) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу соотношения они будут определены. Пример 1. При каждом значение параметра a решите неравенство Решение. Найдем область определения этого неравенства. Из которых видно, что система Не имеет решений. Значит, область определения неравенства не содержит никаких пар чисел x и a , а поэтому неравенство не имеет решений. Область определения Ответ:
Слайд 14
Инвариантность, т.е. неизменность уравнения или неравенства относительно замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простейшим примером инвариантности является четность: если – четная функция, то уравнение инвариантно относительно замены x и – x , поскольку = 0. Инвариантность
Слайд 15
Найти корни уравнения . Решение. Заметим, что пара инварианта относительно замене . Заменив в равенстве , получим . Умножив обе части данного равенства на 2 и вычтя из полученного равенства почленно равенство , находим 3 , откуда . Теперь осталось решить уравнение , откуда Корнями уравнения являются числа . Ответ: .
Слайд 16
Найти все значения a , для каждого из которых уравнение имеет более трех различных решений. Решение задач с параметром Свойство монотонности
Слайд 17
|x|= положительно X= |x|= Для существования двух корней числитель должен быть положителен. Поэтому При корни первого и второго уравнения совпадают, что не отвечает требованию условия: наличие более трех корней. Ответ : .
Слайд 18
Найти все значения a , при каждом из которых уравнение имеет два корня. Преобразуем уравнение к виду И рассмотрим функцию f(x)= определенную и непрерывную на всей числовой прямой . График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида y= kt+l . f(x)= При любом раскрытие модуля первого выражения k не превосходит 8, поэтому возрастание и убывание функции f(x) будет зависеть от раскрытия второго модуля. При x f(x) будет убывать, а при x возрастать. То есть, при x=3 функция будет принимать наибольшее значение. Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы f(3) Свойство монотонности
Слайд 19
f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a
Слайд 20
Найти все значения параметра а , при каждом из которых для любого действительного значения х выполнено неравенство Перепишем неравенство в виде , введем новую переменную t = и рассмотрим функцию f ( t ) = , определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида , где к < 0 (поскольку при любом варианте «раскрытия» модулей коэффициент при t будет отрицательным). Следовательно , функция y = f (х) убывает на (—∞; +∞).
Слайд 21
Так как , то t ϵ [—1; 1]. В силу монотонного убывания функции у = f ( t ) достаточно проверить левый край данного отрезка. З . А истинным является Значит , , что возможно, только если числа и и v одного знака либо какое-нибудь из них равно нулю. , = ( ) ( ) 0. Разложив квадратные трехчлены на множители, получим неравенство ( , из которого находим, что а ϵ (—∞; —1] U {2} U [ 4; +∞ ). Ответ: (—∞; — 1] U {2} U [4; +∞).
Слайд 22
Пример 2. Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений Решение. Поскольку и sin x 1, из первого уравнения следует, что a 6. Поскольку из второго уравнения системы следует, что a 0. Таким образом, 0 .Третье уравнение системы, раскрывая скобки в левой его части и приводя подобные слагаемые, можно переписать так: . Поскольку , из последнего уравнения следует, что , откуда a . Учитывая все 3 неравенства 0 , получаем, что допустимыми значениями параметра a являются только 0 и 6 . Пусть a 0 . Тогда из второго уравнения данной системы получим y .Поэтому первое уравнение системы примет вид sin x , откуда x , n Z .При a , x , n Z , y третье уравнение системы, очевидно, выполнено. Пусть a . Тогда левая часть первого уравнения данной системы не меньше 6, а правая не больше 6. Равенство возможно, если y Тогда второе уравнение данной системы принимает вид , и, значит, z При a x , последнее уравнение данной системы принимает вид . Из двух значений z только z принимает вид . Ответ: ( , k , при a=6 Свойство ограниченности
Слайд 23
Решение. Необходимо выполнение условия ,откуда . При x = уравнение примет вид . Получим уравнение откуда или . Корнями двух последних уравнений являются При этих значениях параметра число -7 является корнем уравнения. При уравнение примет вид . Корнями того уравнения являются числа Значит, при 5 уравнение имеет больше одного корня. При и уравнение принимает вид . Теперь раскрываем модуль При уравнение сводится к уравнению , откуда Последнее уравнение, квадратное относительно , не имеет корней в силу отрицательности дискриминанта. При уравнение принимает вид и имеет единственный корень При получаем уравнение , откуда . И оно тоже не имеет корней как и при . Следовательно, при данное уравнение имеет единственный корень. Ответ: {3;7 }. Пример 3 . Найти все значения параметра a ,при каждом из которых уравнение имеет единственный корень. Свойство инвариантности
Слайд 24
Свойство инвариантности Пример 4. Найти все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. Решение. Заметим, что если ( ) решение системы, то и ( ) Решение системы. Следовательно , для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось условие . При y система имеет вид Если x Пусть a Тогда данная система имеет вид Поскольку Тогда Таким образом , 3 Следовательно, 3 , причём знак равенства возможен только в случае, когда 3 Получаем систему откуда Значит, при a данная система имеет единственное решение (-1;0). При a система имеет более одного корня. Ответ: a
Слайд 25
Итоги моей работы В своей работе я изучила свойства функций: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность. Узнала очень много основных утверждений. Данные знания значительно упрощают задания с параметрами, которые имеют ужасающий вид. Систематизация задач по внешнему виду. Р ешение заданий типа 20. Цели , которые я поставила перед собой были достигнуты .
Слайд 26
Спасибо за внимание!
Слайд 1
Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств Выполнила работу: Галаева Екатерина МБОУ СОШ №149 Московского района Ученицы 11 «А» класса Научный руководитель: Фадеева И. А. Учитель математикиСлайд 2
Основные направления: Изучение свойств функции: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность Узнать основные утверждения, которые наиболее часто используются при решении уравнений, неравенств и систем Решение задач из материалов КИМ для подготовке к ЕГЭ
Слайд 3
Монотонность Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2
Слайд 4
Утверждение 1. Если функция у = f ( x ) монотонна, то уравнение f ( x ) = с имеет не более одного корня. x =2 f(x) = - монотонно убывающая, значит, других решений нет. Ответ: x =2
Слайд 5
Утверждение 2. Если функция у = f ( x ) монотонно возрастает, а функция у = g ( x ) монотонно убывает, то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет не более одного корня. 2 - x = lg ( x +11) + 1 g ( x ) = 2 - x является монотонно убывающей, а функция f ( x ) = lg ( x + 11) + 1 монотонно возрастающей на области определения значит, уравнение f (х) = g ( x ) имеет не более одного корня. Подбором определяем, что х =-1 . Выше изложенное утверждение обосновывает единственность решения.
Слайд 6
а ) f (х) ≤ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ (- ∞ ; x 0 ]; б) f (х) ≥ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ [х 0 ; +∞). Наглядный смысл этого утверждения очевиден Утверждение 3. Если функция у = f (х) монотонно возрастает на всей числовой прямой, функция у = g ( x ) монотонно убывает на всей числовой прямой и f (х 0 ) = g ( x 0 ), то справедливы следующие утверждения:
Слайд 7
Решить неравенство Решение . Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g ( x ) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравенство f (х) > g ( x ) выполняется, если х > 2. Добавим область определения неравенства. Таким образом , получим систему Ответ : (2; 5).
Слайд 8
Утверждение 4. Если функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и f ( f (х))=х имеют одно и то же множество корней, независимо от количество вложений. Следствие. Если n - натуральное число, а функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и n раз имеют одно и то же множество корней.
Слайд 9
Решить уравнение . Ответ: Решение. П ри x ≥1 правая часть уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. При x ≤0 правая часть уравнения неположительная, а левая часть положительна, в силу того что . Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит интервалу (0; 1) Умножив обе части данного уравнения на х, и разделив на x числитель и знаменатель левой части, получим
Слайд 10
Откуда = . Обозначив через t , где t 0, получим уравнение = t . Рассмотрим возрастающую на своей области определения функцию f ( t )= 1+ . Полученное уравнение можно записать в виде f ( f ( f ( f ( t ))))= t , и по следствию утверждения 4 оно имеет то же множество решений, что и уравнение f ( t )= t , т.е. уравнение 1 + = t , откуда . Единственным положительным корнем этого квадратного относительно уравнение является . Значит, , откуда , т.е. , или . Ответ:
Слайд 11
Утверждение 1. Если max f ( x ) = с и min g ( x ) = с , то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет то же множество решений, что и система Ограниченность Максимальное значение левой части равно 1 и минимальное значение правой части 1 , значит, решение уравнения сводиться к системе уравнений: , из второго уравнения находим возможный претендент x=0 , и убеждаемся, что он является решением и первого уравнения. Ответ: x=1 .
Слайд 12
Решить уравнение Решение. Так как sin3x≤1 и cos4x≤1, левая часть данного уравнения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том случае, если откуда где k , n ϵ Z . Остается установить, существуют ли такие целые k и n , при которых последняя система имеет решения. Ответ: Z
Слайд 13
В задачах с неизвестными x и параметром a под областью определения понимают множество всех упорядоченных пар чисел ( x ; a ) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу соотношения они будут определены. Пример 1. При каждом значение параметра a решите неравенство Решение. Найдем область определения этого неравенства. Из которых видно, что система Не имеет решений. Значит, область определения неравенства не содержит никаких пар чисел x и a , а поэтому неравенство не имеет решений. Область определения Ответ:
Слайд 14
Инвариантность, т.е. неизменность уравнения или неравенства относительно замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простейшим примером инвариантности является четность: если – четная функция, то уравнение инвариантно относительно замены x и – x , поскольку = 0. Инвариантность
Слайд 15
Найти корни уравнения . Решение. Заметим, что пара инварианта относительно замене . Заменив в равенстве , получим . Умножив обе части данного равенства на 2 и вычтя из полученного равенства почленно равенство , находим 3 , откуда . Теперь осталось решить уравнение , откуда Корнями уравнения являются числа . Ответ: .
Слайд 16
Найти все значения a , для каждого из которых уравнение имеет более трех различных решений. Решение задач с параметром Свойство монотонности
Слайд 17
|x|= положительно X= |x|= Для существования двух корней числитель должен быть положителен. Поэтому При корни первого и второго уравнения совпадают, что не отвечает требованию условия: наличие более трех корней. Ответ : .
Слайд 18
Найти все значения a , при каждом из которых уравнение имеет два корня. Преобразуем уравнение к виду И рассмотрим функцию f(x)= определенную и непрерывную на всей числовой прямой . График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида y= kt+l . f(x)= При любом раскрытие модуля первого выражения k не превосходит 8, поэтому возрастание и убывание функции f(x) будет зависеть от раскрытия второго модуля. При x f(x) будет убывать, а при x возрастать. То есть, при x=3 функция будет принимать наибольшее значение. Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы f(3) Свойство монотонности
Слайд 19
f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a
Слайд 20
Найти все значения параметра а , при каждом из которых для любого действительного значения х выполнено неравенство Перепишем неравенство в виде , введем новую переменную t = и рассмотрим функцию f ( t ) = , определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида , где к < 0 (поскольку при любом варианте «раскрытия» модулей коэффициент при t будет отрицательным). Следовательно , функция y = f (х) убывает на (—∞; +∞).
Слайд 21
Так как , то t ϵ [—1; 1]. В силу монотонного убывания функции у = f ( t ) достаточно проверить левый край данного отрезка. З . А истинным является Значит , , что возможно, только если числа и и v одного знака либо какое-нибудь из них равно нулю. , = ( ) ( ) 0. Разложив квадратные трехчлены на множители, получим неравенство ( , из которого находим, что а ϵ (—∞; —1] U {2} U [ 4; +∞ ). Ответ: (—∞; — 1] U {2} U [4; +∞).
Слайд 22
Пример 2. Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений Решение. Поскольку и sin x 1, из первого уравнения следует, что a 6. Поскольку из второго уравнения системы следует, что a 0. Таким образом, 0 .Третье уравнение системы, раскрывая скобки в левой его части и приводя подобные слагаемые, можно переписать так: . Поскольку , из последнего уравнения следует, что , откуда a . Учитывая все 3 неравенства 0 , получаем, что допустимыми значениями параметра a являются только 0 и 6 . Пусть a 0 . Тогда из второго уравнения данной системы получим y .Поэтому первое уравнение системы примет вид sin x , откуда x , n Z .При a , x , n Z , y третье уравнение системы, очевидно, выполнено. Пусть a . Тогда левая часть первого уравнения данной системы не меньше 6, а правая не больше 6. Равенство возможно, если y Тогда второе уравнение данной системы принимает вид , и, значит, z При a x , последнее уравнение данной системы принимает вид . Из двух значений z только z принимает вид . Ответ: ( , k , при a=6 Свойство ограниченности
Слайд 23
Решение. Необходимо выполнение условия ,откуда . При x = уравнение примет вид . Получим уравнение откуда или . Корнями двух последних уравнений являются При этих значениях параметра число -7 является корнем уравнения. При уравнение примет вид . Корнями того уравнения являются числа Значит, при 5 уравнение имеет больше одного корня. При и уравнение принимает вид . Теперь раскрываем модуль При уравнение сводится к уравнению , откуда Последнее уравнение, квадратное относительно , не имеет корней в силу отрицательности дискриминанта. При уравнение принимает вид и имеет единственный корень При получаем уравнение , откуда . И оно тоже не имеет корней как и при . Следовательно, при данное уравнение имеет единственный корень. Ответ: {3;7 }. Пример 3 . Найти все значения параметра a ,при каждом из которых уравнение имеет единственный корень. Свойство инвариантности
Слайд 24
Свойство инвариантности Пример 4. Найти все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. Решение. Заметим, что если ( ) решение системы, то и ( ) Решение системы. Следовательно , для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось условие . При y система имеет вид Если x Пусть a Тогда данная система имеет вид Поскольку Тогда Таким образом , 3 Следовательно, 3 , причём знак равенства возможен только в случае, когда 3 Получаем систему откуда Значит, при a данная система имеет единственное решение (-1;0). При a система имеет более одного корня. Ответ: a
Слайд 25
Итоги моей работы В своей работе я изучила свойства функций: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность. Узнала очень много основных утверждений. Данные знания значительно упрощают задания с параметрами, которые имеют ужасающий вид. Систематизация задач по внешнему виду. Р ешение заданий типа 20. Цели , которые я поставила перед собой были достигнуты .
Слайд 26
Спасибо за внимание!
Привередница
Лавовая лампа
Чем пахнут ремёсла? Джанни Родари
Как нарисовать портрет?
Этот древний-древний-древний мир!