В этой работе я рассказал об истории многогранников и различных их видов. Так же я рассказал о телах Платона, каскадах из правильных многогранников, рассмотрел интереснейшие головоломки и показал решение задач на комбинации многогранников.
Тем самым в ходе сбора и изучения материала по данной теме я создал учебное пособие для старшеклассников, которое поможет сформировать навыки решения задач на комбинации многогранников и в совершенстве овладеть данной темой.
* П.с. - Прошу просматривать этот файл в Microsoft Office Word, т.к google docs отображает этот документ в неверном формате!
Вложение | Размер |
---|---|
Реферат на тему: "Математический калейдоскоп (многогранники)" | 298.34 КБ |
МБОУ «Михневская средняя общеобразовательная школа с
углубленным изучением отдельных предметов» Ступинского
муниципального района
Реферат
Математический калейдоскоп
(многогранники)
Автор: Мухаметзянов Амир
10А
Руководитель: Огольцова Татьяна Михайловна
учитель математики
Михнево 2016
Содержание
Заключение 18
Список литературы 19
ВВЕДЕНИЕ
Тема «Многогранники» одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Она имеет яркие приложения, в том числе в живописи, архитектуре. Теория многогранников современный разряд математики, имеющий практическое приложение в алгебре, теории чисел, в области прикладной математики, линейном программировании, топологии. Кроме этого, в ней, по образному выражению академика А.Д. Александрова, сочетаются «лёд и пламень» то есть живое воображение и строгая логика.
В школьном курсе геометрии даны весьма бедные сведения о правильных многогранниках. Из-за нехватки времени не удается уделить должное внимание правильным многогранникам, а ведь они эстетически привлекательны. Задач на эту тему предлагается совсем немного, из-за чего дидактические возможности темы совершенно не раскрываются. А ведь она в теоретическом отношении очень богата, позволяет сформулировать много интересных, вполне доступных учащимся задач, которые необходимы для развития познавательных интересов учащихся, формирования их пространственных представлений. К таким задачам относятся задачи на построение каскадов из правильных многогранников. Задачи на построение этих тел интересны своей взаимозависимостью, которая основывается на известных теоретических фактах.
В своей работе я хочу показать практическое применение правильных многогранников. Использование моделей многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, линейные углы двугранного угла, расстояние и углы между скрещивающимися прямыми. Кроме того, иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету.
I. Из истории многогранников
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей
сознательной деятельности - от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика.
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.
Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор (570—490 гг. до н.э.), Евклид (ок. 300 г. до н. э), Архимед (257 до н. э. — 212 до н. э.). Многогранники выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера (1707-1783) о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника.
С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали
называться Платоновыми телами.
Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такое типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13
многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда.
Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.
II. Знакомство с многогранниками
Многогранником называется тело (часть пространства), ограниченное со всех сторон конечным числом плоскостей. Поверхность многогранника состоит из конечного числа плоских многоугольников.
3.2 ВЫПУКЛЫЕ И ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности называется гранью. Грани выпуклого многогранника - выпуклые многоугольники. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.
Для любых выпуклых многогранников существует некоторое постоянное соотношение между числом вершин, граней и ребер, которое было установлено Леонардом Эйлером (1707-1783).
Сумма чисел граней и вершин выпуклого многогранника на два больше
числа его ребер:
Где В - число вершин, Г - число граней, Р - число ребер многогранника.
Данная формула называется формулой Эйлера.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер, а соседние грани сходятся под равными углами.
Следует заметить, что правильных многоугольников можно построить бесконечно много, а правильных многогранников всего пять: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360°, иначе никакой многогранной поверхности не получится.
Перебирая возможные целые решения неравенств:
n=3; 60к<360 (к=5,4,3), n=4; 90к < 360 (к=3), n=5; 108к < 360 (к=3),
и так доказано, что правильных многогранников ровно пять.
Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого «тетраэдр», «гексаэдр», «октаэдр», «додекаэдр», «икосаэдр» означают: «четырехгранник», «шестигранник», «восьмигранник», «двенадцатигранник», «двадцатигранник».
правильные треугольники (рис.1).
У правильных многогранников есть интересная особенность. Оказывается, первый из них (тетраэдр) стоит немного особняком: если считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь получим тетраэдр. Зато четыре оставшихся разбиваются на две пары. Центры граней куба образуют октаэдр, а центры граней октаэдра - куб. То же происходит с парой додекаэдр - икосаэдр. При изготовлении моделей правильных многогранников используют специальные развертки (а-тетраэдр, б - гексаэдр, в - октаэдр, г - додекаэдр, д - икосаэдр).
Правильные многогранники также называют телами Платона, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизирует огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый «обтекаемый»; куб - землю, как самый «устойчивый»; октаэдр - воздух, как самый «воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», символизировал все мироздание, считался главным. Для всех тел Платона справедлива формула Эйлера; например, для тетраэдра
В + Г = Р + 2 = 8.
4 + 4 = 6 + 2 = 8.
Простота этой формулы в том, что она не связана ни с расстоянием, ни с углами. Для нахождения количества граней, вершин и ребер правильного многогранника используем формулу. После этого нетрудно заполнить таблицу, в которой приведены сведения об элементах правильных многогранников
ТАБЛИЦА 1
Название многогранника | Число ребер при вершине | Число сторон грани | Число граней | Число ребер | Число вершин |
Тетраэдр | 3 | 3 | 4 | 6 | 4 |
Гексаэдр (куб) | 3 | 4 | 6 | 12 | 8 |
Октаэдр | 4 | 3 | 8 | 12 | 6 |
Додекаэдр | 3 | 5 | 12 | 30 | 20 |
Икосаэдр | 5 | 3 | 20 | 30 | 12 |
Около правильных многогранников можно описать сферу. В любой правильный многогранник можно вписать сферу. Приведем таблицу №2 связи ребра правильного многогранника и радиуса описанной и вписанной сферы.
Красота и удивительные математические свойства пяти правильных тел неоднократно привлекали к себе внимание ученых и после Платона. Анализ Платоновых тел является кульминационным пунктом заключительной книги «Элементов» Евклида. Иоганн Кеплер в юности считал, что расстояния между орбитами шести известных в его время планет можно получить, вписывая в определенном порядке пять правильных тел в орбиту Сатурна. В наши дни математики не приписывают Платоновым телам мистических свойств, а изучают свойства симметрии правильных многогранников методами теории групп. Платоновы тела играют заметную роль и в занимательной математике. Рассмотрим, хотя бы бегло, несколько связанных с ними задач.
ТАБЛИЦА 2
Название многогранника | Радиус описанной сферы | Радиус вписанной сферы | |
Тетраэдр | |||
Куб | |||
Октаэдр | |||
Додекаэдр | - | ||
Икосаэдр | |||
*Некоторые данные таблицы 2 я использовал в главе IV. |
|
3.4 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Красота и удивительные математические свойства пяти правильных тел неоднократно привлекали к себе внимание ученых и после Платона. Анализ Платоновых тел является кульминационным пунктом заключительной книги «Элементов» Евклида. Иоганн Кеплер в юности считал, что расстояние между орбитами шести известных в его время планет можно получить, вписывая в определенном порядке пять правильных тел в орбиту Сатурна. В наши дни математики не приписывают Платоновым телам мистических свойств, а изучают свойства симметрии правильных многогранников методами теории групп. Платоновы тела играют заметную роль и в занимательной математике. Рассмотрим, хотя бы бегло, несколько связанных с ними задач.
Рис. 1. Как разрезать запечатанный конверт, чтобы из него можно было сложить тетраэдр.
Существуют четыре различных способа, как разрезать запечатанный конверт и сложить из него тетраэдр.
Вот простейший из них. На обеих сторонах конверта (у одного и того же края) начертим равносторонний треугольник (рис. 1) и разрежем конверт по пунктирной прямой. Правая его половина нам не нужна, а левую мы перегнем по сторонам нарисованного треугольника (на обеих сторонах конверта) и совместим точки А и В. Тетраэдр готов!
Рис. 2. Развертка пространственной фигуры (слева). Из двух таких фигур (рисунок справа) можно составить тетраэдр.
Головоломка, изображенная на рис. 2, также связана с тетраэдром. Развертку, изображенную на рис. 2 слева, можно вырезать из пластика или плотной бумаги. Сделайте две такие развертки. (На чертеже все пунктирные линии, кроме одной, которая заметно длиннее других, имеют одинаковую длину.) Сложим развертку, перегнув ее по указанным на чертеже линиям. Грани, пересекающиеся между собой вдоль ребер, показанных на чертеже сплошной линией, склеим липкой лентой. В результате у нас получится геометрическое тело, показанное на рис. 2 справа. Из двух таких тел нужно попытаться сложить тетраэдр.
III. Каскады из правильных многогранников
Правильные многогранники можно вписывать друг в друга. Так, в куб можно вписать октаэдр. Центры граней куба образуют вершины вписанного в него октаэдра. В свою очередь, центры граней октаэдра образуют вершины вписанного в него куба.
Многогранники, обладающие таким свойством, называются взаимно двойственными. Таким образом, октаэдр и куб — взаимно двойственные многогранники.
Другим примером взаимно двойственных правильных многогранников являются додекаэдр и икосаэдр. (Центры граней додекаэдра находятся в вершинах вписанного в него икосаэдра. И наоборот, центры граней икосаэдра служат вершинами вписанного в него додекаэдра).
Правильные многогранники можно вписывать друг в друга не только таким способом, о котором рассказано выше. Например, в куб можно вписать тетраэдр. При этом вершины тетраэдра будут лежать в вершинах куба. В свою очередь, куб можно вписать в додекаэдр так, чтобы вершины куба лежали в вершинах додекаэдра .
При вписывании одного правильного многогранника в другой, вершины первого могут лежать на серединах ребер второго. Такими многогранниками являются тетраэдр и вписанный в него октаэдр .
Есть и еще один способ: некоторые противоположные ребра вписываемого многогранника лежат на гранях описываемого. При этом середины ребер совпадают с центром соответствующих граней. Таким способом можно вписать в куб икосаэдр или додекаэдр .
Комбинируя рассмотренные случаи, в любой правильный многогранник можно вписать все остальные правильные многогранники.
Действительно в куб можно вписать октаэдр, тетраэдр, икосаэдр и додекаэдр, т.е. все остальные правильные многогранники.
В додекаэдр можно вписать икосаэдр, куб и тетраэдр. Вписывая в куб додекаэдр и октаэдр, получим октаэдр вписанный в додекаэдр, и, следовательно, в додекаэдр можно вписать все остальные правильные многогранники.
В икосаэдр можно вписать додекаэдр и, следовательно, куб и тетраэдр. Вписывая в куб икосаэдр и октаэдр, получим октаэдр, вписанный в икосаэдр. Таким образом, в икосаэдр можно вписать все остальные правильные многогранники.
Рассмотрим октаэдр. В него можно вписать куб и тетраэдр. Описывая около куба, вписанного в октаэдр, додекаэдр, получим додекаэдр, вписанный в октаэдр. Аналогично, описывая около куба икосаэдр, получим икосаэдр, вписанный в октаэдр. Таким образом, в октаэдр можно вписать все остальные правильные многогранники.
Рассмотрим оставшийся правильный многогранник — тетраэдр. В него можно вписать октаэдр. Вписывая в октаэдр куб, икосаэдр и додекаэдр, получим, что в тетраэдр можно вписать все остальные правильные многогранники.
Последовательно вписывая друг в друга правильные многогранники, получим так называемые каскадное вписывание.
Важное замечание, необходимое при построении каскадного вписывания правильных многогранников. Во-первых, центры последовательно вписанных друг в друга правильных многогранников совпадают; во-вторых, если вершины вписанного многогранника лежат в центрах граней описанного многогранника, то радиус сферы, описанной около вписанного многогранника, будет равен радиусу сферы, вписанной в описанный многогранник.
IV.Задачи на комбинации многогранников
Правильные многогранники можно вписывать друг в друга, поэтому разберем некоторые конфигурации тел Платона.
Если вершины вписанного многогранника лежат на серединах ребер описанного многогранника, то радиус сферы, описанной около вписанного многогранника (R), равен радиусу сферы, касающейся середин ребер вписанного многогранника (г).
В качестве примера приведу вычисления ребер следующих каскадно вписанных друг в друга правильных многогранников.
Тетраэдр => | икосаэдр => | Додекаэдр => | |
(a4,r4,R4) | (а 20, r20, R20) | (a12,r12,R12) | |
=> октаэдр => | куб | ||
(a8, r8,R8) | (а6,r6, R6) |
Здесь ai обозначена длина ребра соответствующего многогранника, через ri - радиус вписанной сферы, через Ri - радиус описанной сферы (i=4,6,8,12,20).
В данном случае самым внутренним многогранником является куб, а самым внешним - тетраэдр. Поэтому сначала рассмотрим первый этап: октаэдр => куб, т.е.описывание октаэдра около куба.
Задача 1 .Пусть куб вписан в октаэдр. Вершины куба находятся в центрах граней октаэдра. Зная длину стороны куба найти длину стороны октаэдра и по полученным расчетам построить модель каскадного вписывания.
Решение: Обозначим через а6 длину ребра куба, тогда (таблица 2)
где R₆ - радиус сферы, описанной около куба. Пусть r8 - радиус сферы
вписанной в октаэдр, ,где a₈ - длина ребра октаэдра. Так как R₆ = r₈,
получаем, что
Следовательно,
что позволяет найти ребро октаэдра a₈, вписанного в куб с ребром а₆.
Произведем расчеты длин сторон для изготовления модели куба вписанного в
октаэдр: пусть сторона куба а₆=6 см . Вычислим по полученной формуле длину
стороны октаэдра .Зная длины сторон куба и
октаэдра изготовим модель.
Аналогичным образом можно задать сторону октаэдра и, выполнив несложные преобразования получить формулу для вычисления стороны куба.
Второй этап: додекаэдр => октаэдр
Задача 2. Пусть октаэдр вписан в додекаэдр. Вычислить длину ребра додекаэдрa a₁₂ , описанного около октаэдра.
O
A H B
Решение: Вершины октаэдра лежат в серединах противоположных ребер додекаэдра. Следовательно, радиус сферы, описанной около октаэдра, равен радиусу сферы, касающейся середин ребер додекаэдра. Радиус этой второй сферы легко найти, рассмотрев треугольник АОВ , АВ - ребро додекаэдра, точка О — центр октаэдра и додекаэдра. На рис. треугольник АОВ показан отдельно. На нем хорошо видно, что ОН, радиус искомой сферы, равен высоте равнобедренного треугольника, опущенной из вершины О.
. Замечая, что , имеем:
.
Далее , отсюда
и, следовательно,
Расчеты для изготовления модели октаэдра вписанного в додекаэдр:
пусть сторона октаэдра а₈=6 см, тогда
Третий этап: икосаэдр => додекаэдр
Задача 3. Додекаэдр вписан в икосаэдр. Вычислить длину ребра икосаэдра а20, описанного около додекаэдра.
Решение: Эти многогранники двойственны, поэтому r₂₀=R₁₂ , т.е.
и, следовательно
Расчеты: а₁₂ = З см, тогда
Четвертый этап: тетраэдр => икосаэдр.
Задача 4. Вычислить длину ребра тетраэдра а4, описанного около икосаэдра.
Решение: Грани икосаэдра лежат на гранях тетраэдра, причем центры соответствующих граней совпадают, т.е. равны радиусы вписанных сфер: R4=R20, тогда
и, следовательно,
Расчеты: а₂₀=3 см, тогда а₄ = 11 см.
После того как были вычислены ребра всех правильных многогранников, участвующих в данном каскадном вписывании были изготовлены модели, которые можно успешно использовать на уроках геометрии в 10 классе при изучении темы «Правильные многогранники.
Итак, мною в данной главе произведены расчеты для изготовления моделей каскадно вписанных правильных многогранников попарно. Можно построить модель каскадного вписывания сразу всех правильных многогранников при этом следует начинать с самого внутреннего многогранника - куба - и- заканчивать внешним - тетраэдром.
Заключение
Стереометрия, как ни один другой математический предмет, нужна в школьном курсе геометрии, поскольку именно она дает человеку необходимые пространственные представления, знакомит с разнообразием пространственных форм, законами восприятия и изображения пространственных фигур, что позволяет человеку правильно ориентироваться в окружающем мире. С другой стороны, стереометрия дает метод научного познания, способствует формированию мышления школьников, включению их в активную познавательную деятельность. Кроме этого, изучение стереометрии формирует необходимые практические навыки в изображении, моделировании и конструировании пространственных фигур, в измерении основных геометрических величин (длин, величин углов, площадей, объемов).
В ходе сбора и изучения материала по данной теме я создал учебное пособие для старшеклассников, которое поможет сформировать навыки решения задач на комбинации многогранников и в совершенстве овладеть данной темой.
Список литературы
Девочка-Снегурочка
Как нарисовать черёмуху
Спасибо тебе, дедушка!
Ель
Новогодняя задача на смекалку. Что подарил Дед Мороз?
Комментарии
Весьма содержательный реферат
Весьма содержательный реферат. И заключение очень точное. Действительно ни один школьный предмет ТАК не развивает, как геометрия и, в частности, стереометрия!
Хорошая работа.
Хорошая работа.
Учащимся интересна также
Учащимся интересна также мифологическая ассоциация правильных многогранников: огонь, вода, земля, воздух, вселенная.