Первообразная и неопределенный интеграл.

1. Сформулируйте определение первообразной.
2. В чем заключается задача интегрирования?
3. Сформулируйте три правила нахождения первообразных. Приведите примеры их применения.
4. сформулируйте и докажите теорему выражающую основное свойство первообразной.
5. Сформулируйте определение неопределенного интеграла.
6. Сформулируйте три правила интегрирования.
7. Выпишите таблицу основных неопределенных интегралов.

Практическая работа №1.

(КМД)

1. Для функции f(x) найдите F(x), если f(x) = ; F(x) = 1.
2. Найдите общий вид первообразных для функций:

                            а)  f(x) = 2sin3x;

                            б)  f(x) = 1 + ;

                            в)  f(x) = sin2x;

                            г)   f(x) = .

3. Для функции f(x) =   найдите первообразную, график которой проходит через точку М(; 3). Начертите этот график.
4. При каком значении k функция  k sinx + x2 – 3 является первообразной функции 5cosx + 2x?
5. Найдите неопределенный интеграл:

а)  ;

б)   ;

в)   ;

г)    ;

д)    ;

е)    ;

ж)   ;

з)    ;

и)    .

Проверочная работа.

(Обучающая)

1. Докажите, что F(x) = x3 – 2sinx  является первообразной для f(x) = 3x2 – 2cosx.
2. Найдите неопределенный интеграл:

а) ;

б);

в) ;

3. Дана функция  . Известно, что график некоторой ее первообразной проходит через точку (. Чему равно значение этой первообразной в точке ?

Определенный интеграл.

1. Сформулируйте понятие криволинейной трапеции.
2. Сформулируйте понятие определенного интеграла.
3. Формула Ньютона – Лейбница.
4. Сформулируйте свойства определенного интеграла.
5. Выведите формулу для вычисления площадей плоских фигур.

Проверочная работа.

(ИМД)

1. Вычислите интеграл:

а) ;

б);

в);

г);

д).

2. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями:

а)  у = -х2 + 3х, у = 0.

б)  у = sinx,  ,  , у = 0.

Зачет по теме «Первообразная и интеграл».

Карточка 1.

1. Сформулируйте определение первообразной. Приведите примеры.
2. Для функции f(x) = sinx +2cosx найдите первообразную, график которой проходит через точку А(;0).
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

б)

Карточка 2.

1. Докажите основное свойство первообразной.
2. Найдите общий вид первообразной для функции .
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Карточка 3.

1. Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
2. Вычислите:  а)   б)
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Карточка 4.

1. Сформулируйте определение криволинейной трапеции.
2. Вычислите:  а)   б)
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Карточка 5.

1. Сформулируйте три правила интегрирования.
2. Докажите, что есть первообразная для функции   на промежутке (0;).
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Карточка 6.

1. Запишите формулу Ньютона – Лейбница. Разъясните ее смысл.
2. Для функции f(x) = 6 sin4x найдите первообразную, график которой проходит через точку В(;0).
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Карточка 7.

1. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
2. Вычислите интеграл: а)   б)
3. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями:

а)  и осью ОХ;

б)

Карточка 8.

1. Сформулируйте определение криволинейной трапеции.
2. Вычислите интеграл:  а)    б)
3. Вычислите площадь фигуры,  ограниченной линиями:

а)  и осью ОХ;

б)

Карточка 9.

1. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
2. Вычислите интеграл: а)   б)
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Карточка 10.

1. Выведите формулу для вычисления площадей плоских фигур.
2. Вычислите интеграл: а)   б)
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)  

б)  и осью ОХ.

Контрольная работа.

(интеграл и первообразная)

Вариант 1.

1. Для функции   найдите первообразную, график которой проходит через точку
2. Вычислите интеграл: а)  б)  в)
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Вариант 2.

1. Вычислите интеграл: а)  б)   в)  
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями  
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , где, касательной к этому графику, проведенной через его точку с абсциссой  , и прямой х = 0.

Вариант 3.

1. Докажите, что  является первообразной для
2. Найдите неопределенный интеграл
3. Вычислите интегралы: а)  б)  в)
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , касательной к этому графику в точке с абсциссой х = 1 и прямой х = 0; фигура расположена в правой полуплоскости.
6. Дана функция   . Известно, что график некоторой ее первообразной проходит через точку (0;5). Чему равно значение этой первообразной в точке ?