График линейного уравнения с двумя переменными
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Саратовский институт повышения квалификации

и переподготовки работников образования

Кафедра математического образования

График линейного уравнения

с двумя переменными

Творческая работа

слушателя курсов повышения квалификации

по ДПОП «Школьное математическое образование: организационные,

содержательные и методические аспекты развития»

учителя математики МОУ «СОШ с. Брыковка

Духовницкого района Саратовской области»

Шабановой Татьяны Александровны

Саратов 2011

Модель урока математики.

Учебный план 5 часов в неделю

Класс 7

Тема: График линейного уравнения с двумя переменными.

УМК: алгебра 7 класс, под редакцией С.А. Теляковского

Тип урока: урок формирования умений и навыков.

Характеристика класса: в классе 5 обучающихся, из них учебный настрой, мотивация на учебную деятельность, интерес к предмету прослеживается у всех обучающихся.

Успеваемость и качество знаний  - 100%.

Цели урока: выработать у обучающихся умение строить графики линейного уравнения с двумя переменными, решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные;

развивать познавательные навыки обучающихся, критическое и творческое мышление; воспитание познавательного интереса к математике, настойчивости, целеустремленности в учебе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Я предлагаю всем улыбнуться друг другу, чтобы наше настроение на уроке было отличным. Садитесь. Откройте тетради и запишите число и классную работу.

2. Постановка цели урока.

      Сегодня на уроке мы будем строить графики линейного уравнения с двумя переменными,  

      решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные.

      Постарайтесь быть настойчивыми и целеустремленными при выполнении заданий.

3. Проверка домашнего задания.

Разбор нерешенных заданий (если они имеются).

1045(б,в) точки В и С не принадлежат графику уравнения.

1048 (б,д,е) (слайд 2, 3,4)

4. Выполнение упражнений.

Устные упражнения:

(слайд 5)

1) Из предложенных уравнений выбрать линейное уравнение с двумя переменными:

А) 3х – у = 14

Б) 5у + х² = 16

В) 7ху – 5у = 12

Г) 5х + 2у = 16

Ответ: а, г.

Дополнительный вопрос: Какое уравнение с двумя переменными называется линейным?

Ответ: ах + ву + с = 0

(слайд6 )

2) Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения  2х + 5у = 12

А(-1; -2),   В(2; 1),   С(4; -4),   D(11; -2).

Ответ: D(11; -2).

Дополнительный вопрос: Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

Ответ: прямая.

(слайд7)

3) Найдите абсциссу точки Р(х; -2), принадлежащей графику уравнения 12х – 9у = 30.

Ответ: х = 1.

Дополнительный вопрос: Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Ответ: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Работа у доски и в тетрадях.

1) Постройте график функции 3х + у – 7 = 0.

(1 обучающийся работает у доски, остальные в тетрадях.)

Ответ обучающегося: выясним, что представляет собой график данного уравнения. Выразим переменную у через х:     у = - 3х + 7. Формулой  у = - 3х + 7 задается  линейная функция, графиком которой  является прямая. Так как уравнения  3х + у – 7 = 0 и

у = - 3х + 7 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х + у – 7 = 0. прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух точек прямой: если х = 0, то у = 7; если х = 2, то у = 1. Отметим точки (0;7) и (2;1) на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая  и есть график функции 3х + у – 7 = 0.

      2) Постройте график функции 2х – 5у + 1 = 0.

      Ответ обучающегося аналогичен предыдущему.

      3) Найдите значение коэффициентов а и с  в уравнении  ах – 3у +с = 0, если известно, что

      каждая из пар чисел (-3;0) и (0;2) является решением уравнения.

      (1 обучающийся работает у доски, остальные в тетрадях.)

      Ответ обучающегося: Если пары чисел являются решением уравнения, то они обращают  

      это уравнение в  верное равенство. Следовательно   а(-3) - 3·0 + с = 0   и  а·0 - 3·2 + с = 0

      решим данные     уравнения

                                                                   -3а + с =0                 -6 + с = 0

                                                                                                       с = 6          

                                                                  - 3 а + 6 = 0

                                                                      а = 2                          Ответ: а = 2, с = 6.

    4) Решение задачи с помощью математической модели.

Иванов и Петров посадили на своих садовых участках яблони, причем Петров посадил яблонь в 2,5 раза больше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь (подсадили новые саженцы), причем у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год?

Решение.

(задачу решает у доски обучающийся с  необходимыми комментариями учителя)
Первый этап. Составление математической модели. Пусть х — число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, а у — число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По условию задачи у = 2,5х.

Здесь целесообразно умножить обе части уравнения на 2, получим: 2у = 5х. Это уравнение перепишем в виде:
5х-2у = 0. (1)
Далее, на второй год Иванов увеличил число саженцев на своем участке в 3 раза и, значит, у него стало Зx яблонь. Петров увеличил число саженцев на своем участке в 2 раза, т. е. у него стало 2у яблонь. По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. Зх + 2у= 16.

 Перепишем это уравнение в виде
3x + 2у - 16 = 0. (2)
Математическая модель задачи готова, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными х и у — из уравнений (1) и (2). Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под другим и используют специальный символ — фигурную скобку:

Второй этап. Работа с составленной моделью. Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересующая нас точка (х; у) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2).  Для этого построим прямую (1), затем прямую (2) и найдем точку пересечения этих прямых.

(слайд 8)

1) строим график уравнения 5х - 2у = 0. Если х = 0, то у = 0; если х = 2, то у = 5. Проведем через точки (0; 0) и (2; 5) прямую I.

2) строим график уравнения Зx + 2у - 16 = 0. Если х = 0, то у = 8; если х = 2, то у = 5. Проведем через точки (0; 8) и (2; 5) прямую II.
3) прямые 1 и 2 пересекаются в точке (2; 5), т. е. х = 2, у = 5.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов и Петров, т. е. чему равны х и у?    

Ответ: в первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров — 5 яблонь.
 

5. Самостоятельная работа.

(с последующей проверкой слайд 9, проверка 10-14  )

Вариант 1.

1. Какие из пар чисел (1;1), (6;5), (9;11) являются решением уравнения 5х – 4у - 1 =0?

2. Постройте график функции 2х + у = 4.

3. Найдите точку пересечения двух прямых х – у =1   и х + 3у = 9.

Вариант 2.

1. Какие из пар чисел (1;1), (1;2), (3;7) являются решением уравнения 7х – 3у - 1 =0?
2. Постройте график функции 5х + у – 4 = 0.
3. Найдите точку пересечения двух прямых х – 2у = 6   и 3х + 2у = -6.

6. Домашнее задание.

№1049 (а,б) построить графики уравнения аналогично заданиям на уроке.

№ 1051 (для решения задания нужно выразить переменную у через х и найти ее значение.)

Решить задачу, составив математическую модель, выделив три этапа.

Разность двух чисел равна 3, а уменьшаемое больше вычитаемого в 4 раза. Найдите эти числа.

7. Подведение итогов урока.

Ребята, я предлагаю вам сделать анализ своей работы на уроке. Для этого ответьте на вопросы:

Какую цель мы ставили для себя в начале урока?

Достигли ли вы этой цели?

Какие трудности возникали на уроке?

Оцените работу друг друга и свою.

Спасибо за урок! До свидания.