урок обобщения и систематизации знаний по теме "Четность и нечетность функции"
материал по алгебре (11 класс) по теме

Постановка учебных целей урока.

Тема урока:  Четность (нечетность) функции.

Тип урока, форма: урок итогового повторения, урок подготовки к ЕГЭ.

Учебная задача урока: Обобщить и систематизировать знания по теме «Четность (нечетность) функций» для подготовки учащихся к ЕГЭ по алгебре на основе анализа заданий типа А и В, свойственных для ЕГЭ.

Диагностируемые цели:

В результате ученик:

Знает:

- определение четной (нечетной) функции;

- как по графику функции определить является функция четной, нечетной или функцией общего вида;

- как по аналитическому заданию функции определить является ли она четной, нечетной или функцией общего вида;

- частные виды четных (нечетных) функций;

- сумма четных ( нечетных) функций есть функция четная (нечетная);

- произведение четных (нечетных) функций есть четная функция;

- произведение четной и нечетной функции есть нечетная функция;

- если внешняя функция действует на четную функцию, то композиция этих функций есть функция четная.

Умеет:

- по аналитическому и графическому заданиям функций определять является функция четной, нечетной или функцией общего вида;

- решать задачи на применение определения  и свойств четной (нечетной) функции;

Понимает:

- что график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной функции – относительно начала координат.

Ход урока.

Ученикам выдается раздаточный материал, на котором в разброс изображены графики четных, нечетных функций и функций общего вида..

- Перед вами несколько графиков функций. На какие группы можно разбить эти графики?

(1 группа: графики симметричные относительно оси Оу;

 2 группа: графики симметричные относительно начала координат;

  3 группа: оставшиеся.)

- Какое свойство функции говорит нам о симметрии относительно оси ординат? Начала координат?

( четность, нечетность)

- Запишите тему нашего сегоднешнего урока: « Четные и нечетные функции».

-Вспомните определение четной (нечетной) функции.

(функция  у = f( x) , где x  из Х называется четной (нечетной), если для любого значения х из Х выполняется равенство : f(-x) = f(x) ( f(-x) = - f (x)).)

- Запишите данное определение в таблицу.

-  В какой из выделенных вами групп находятся графики четных функций? Нечетных? Функций общего вида?

(                                                                                                                                  )

- Чем вы руководствовались при выполнении этого задания?

( определением четной и нечетной функции)

- Сформулируйте правило по которому по графику функции можно определить к  какому типу функции принадлежит этот график.

( если график функции симметричен относительно оси ординат, то функция четная, если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетная)

- Запишите это правило в таблицу.

- какой вывод можно сделать об областях определения четных и нечетных функций?

(для любой четной или нечетной функции областью определения может являться только такое множество, для которого оба числа х и – х либо одновременно входят в область определения функции, либо одновременно не входят в область определения).

- Сконструируйте несколько множеств, которые могут быть областью определения четных или нечетных функций.

(1) D(f) = (-∞;3)U (-3;-1)U(-1;1)U(1;3)U(3; +∞);

  2) D(f) = (-∞; -7)U(-7;4)U(-4;0)U(4;7)U(7; +∞);

 3) D(f) = (-∞;0)U(0;+ ∞);

 4) D(f) = (-∞;+∞).)

- Хорошо. Теперь начертите 4 системы координат, пронумеровав их цифрами 1,2, 3,4. Изобразите в них  графики четырех функций так, чтобы одна из них являлась функцией четной, другая – нечетной, а третья – функцией общего вида. На оставшейся системе координат начертите произвольный график функции. Попросите соседа по парте определить номер графика, соответствующего функции четной, функции нечетной, а также  функции общего вида.

( например:

)

- Определите является функция четной, нечетной или функцией общего вида:

а)    f(x) = 5x4 +7x2-23;

б)  f(x) = │x - 7│ + │x + 7│;

в)  f(x) = x3 + 5 sinx;

г) f(x) = cosx + 3.

- Постройте алгоритм определения четности 9нечетности функции по ее аналитическому заданию.

( 1) проверить симметричность области определения функции. Если не симметрична, то функция общего вида

   2) f(-x)

  3)сравнить f(-x) и f(x):  

а) f(-x) = f(x), то четная;

 б) f(-x) = -f(x), то нечетная;

 в) если хотя бы в одной точке из области определения f(-x)≠ f(x), и хотя бы в одной точке f(-x)≠ - f(x),то функция не является ни четной, ни нечетной.

- Запишите этот алгоритм в таблицу.

- Постройте график функции f, если при х ≥ 0 значение функции находится по формуле у = х – 2 и известно, что функция f – четная.

( так как функция четная, то ее график будет симметричен относительно оис ординат, то есть достаточно построить график при х ≥ 0 и отразить его симметрично относительно Оу.

- Хорошо.

Далее учитель разбивает класс на 10 групп. Каждая группа получает индивидуальное задание.

1 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате суммы (разности)двух четных функций;

2 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате суммы (разности) двух нечетных функций;

3 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате суммы (разности) четной и нечетной функции;

4 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате произведения(частного) двух четных функций;

5 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате произведения (частного) двух нечетных функций;

6 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная в результате произведения(частного) четной и нечетной функции;

7 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная как композиция двух четных функций;

8 группа : определить четной или нечетной является функция, полученная как композиций четной и нечетной функции;

9 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная как композиция нечетной и четной функции;

10 группа: определить четной или нечетной является функция, полученная как композиция двух нечетных функций.

Через 5 минут проверяем и делаем выводы:

1. Сумма и разность нечетных функций – нечетные функции, а произведение и частное двух нечетных функций (кроме деления на 0) – четные функции;
2. Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на 0) четных функций – четные функции;
3. Если в композиции обе функции нечетные, то функция будет нечетной, во всех остальных случаях получаем четную функцию.

В конце урока предлагаем ученикам выполнить небольшой тест:

1) Среди предложенных функций выберите четную:

а) у =x2 sinx;                                в) у = х3+ 6cosx;

б) у = х6 + 5х4 + х2;                     г)у = х5tgx.

2) На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок.

3)Непрерывная нечетная функция f(x), определенная на всей числовой оси, на промежутке (0; +∞) обращается в 0 в четырех точках. Найдите число корней уравнения  f(x) = 0 на промежутке (-∞; +∞).

Домашнее задание:

1. Приведите примеры четных и  нечетных функций. Докажите, что приведенные вами функции являются четными или не четными.
2. Приведите примеры функций, которые не являются четными и не являются нечетными из-за того, что область определения несимметрична относительно точки О.
3. Постройте график функции f, если при х≤0 значения функции находятся по формуле у = х +4 и известно, что функция f – четная.