ПРИКИДКИ В МАТЕМАТИКЕ
методическая разработка по алгебре (5 класс) по теме

                 ПРИКИДКИ    В   МАТЕМАТИКЕ

                                                       учитель математики

                                                   МБОУ СОШ №105 г.о. Самара  

                                                  Комракова Тамара  Константиновна

                                                      Самара, 2011г.

                                                       Содержание.

 Введение

1.Значение  вычислений в нашей жизни.

2.Что такое «прикидки»?

1.  Прикидки в примерах.
2. Сложные случаи прикидок. Решение уравнений и задач.
3. Доказательства.

3.Заключение. Необходимость  метода прикидок.

4.Список литературы.

                            Численные вычисления вам понадобятся каждый день, поэтому методы их

                       производства и должны быть усвоены в первую голову.

                                                                                                                                  А.Н. Крылов.

Введение

Нет нужды доказывать справедливость этого выразительного высказывания крупного русского ученого в области математики, механики и кораблестроения, академика А.Н.Крылова (1863 – 1945). Это можно утверждать хотя бы потому, что любому из нас требуется считать ежедневно: дома, в трамвае, в магазине, на различных уроках в классе и т.д.

Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Всё это расширяет сферу её приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении. Даже юристы и историки берут на своё вооружение математические методы.

Инженер, не владеющий математическими методами, - это не инженер, а монтёр… Инженер в полном смысле этого слова немыслим без знания математики. Ничего нельзя сделать без математики: мост построить нельзя, плотину – нельзя, гидростанцию – нельзя.  Надо изучать её как можно в большем , а главное – как можно основательнее.

      Более сложные вычисления выполняют представители многих современных профессий, особенно таких, как профессия инженера-конструктора, астронома, ученого в области физико-математических дисциплин. Современные вычислительные машины не освобождают нас, учащихся, от необходимости настойчиво овладевать вычислительной культурой. Одно из основных требований к вычислительной культуре – не допускать грубых просчетов. Объявляя результат своего вычисления, надо испытывать уверенность в его правильности. Ошибка в работе вычислителя может потребовать повторных вычислений и затраты лишнего времени.

Значение вычислений в нашей жизни.

Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или другое решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учёбы в школе. Этим, кстати, объясняется столь стремительное развитие удобных калькуляторов. Тем не менее, калькулятор не может обеспечить ответ на все возникающие вопросы. Он не всегда имеется под рукой, и бывает достаточно определить лишь примерный результат.

Три столетия назад один из создателей математического анализа Г. Лейбниц высказал надежду, что когда-либо все споры в любой области знания будут решаться путём вычислений. В этом нашло отражение мнение о непогрешимости математики, о невозможности каких-либо противоречий в этой науке. За истёкшие столетия точка зрения учёных изменилась.

Термин «округление» отождествляется с заменой первоначального числа круглым, т. е. числом с нулями на конце.

 На практике пользуются  оценками «примерно», «около», «более», «от... до...», «ближе» и т. п. Например, мы говорим: «От Земли до Солнца примерно (или около) 150 млн км» или «Число 6375 ближе к числу 6 тыс.,   чем к числу 7 тыс.».

Курс приближений и округлённых вычислений в школьной математике находится в положении Золушки. Дети его плохо понимают. Причины этого понятны. Во-первых, почти вся школьная математика использует точные значения и нам трудно привыкнуть к мысли, что в математике бывает что-то кроме них, и тем более различать где надо считать точно, а где приближённо. Во-вторых, к этому курсу почти нет  задач, а есть только формальные упражнения на применение правил, мало проясняющие суть дела. В-третьих, имея калькулятор, школьникам проще сделать вычисления с восемью знаками, чем подумать о точности.

Чтобы научиться прикидке границ результатов и минимальной подстановке как приему проверки, необходимо проводить проверку результатов сразу после решения задания, а не «если останется время».

Что такое прикидки?

Прикидка не только помогает лучше усвоить текущий материал, но и способствует формированию прочных вычислительных навыков. Однако добиться такого результата можно лишь  в том случае, если прикидкой сопровождаются практически  все вычисления. Поэтому она должна выполняться не на черновике, а в тетради и служить обязательным условием получения хорошей отметки.

  Прикидка позволяет использовать калькулятор без ущерба для   качества вычислительных навыков. При первоначальном знакомстве с материалом калькулятор не нужен: нужно представлять  не конечный результат, а подробные (пошаговые) записи.

Впоследствии, когда вычислительное правило усвоено, прикидка   помогает реально пользоваться им, позволяя экономить время за  счет выполнения громоздких вычислений с помощью калькулятора.

Для оценки  правдоподобности результата вычислений используют способ «прикидка», он заключается в следующем:

1. округляют все числа так, чтобы осталась одна неравная нулю цифра;
2. выполняют указанные действия с округленными числами и получают ожидаемый результат;
3. выполняют вычисления с неокругленными числами и сравнивают полученное число с ожидаемым результатом: либо делают вывод, что полученный результат правдоподобен, либо, если полученный результат сильно отличается от ожидаемого, вычисления выполняют ещё раз.

Округлить  число так, чтобы осталась одна, не равная нулю, цифра.

                       до сотых     0,01780,02

                                            0,0778 0,08

                                            0,0518 0,05

                       до сотен     149,7  100

                       до десятков  11,29  10

Прикидки в примерах.

Пример 1.

                        0,175 +0,031 – 0,097.

Прикидка:     0,031 0,03;   0,097  0,10;  

                      0,2 + 0,03 – 0,10 = 0,13.

Вычисления  дают   число 0,109 , оно мало отличается от числа 0,13.

Чтобы понять, правдоподобен ли получившийся результат при   выполнении вычислений, мы можем  «грубо» оценить то число, которое должно получиться.

     Пример 2.

                         49,2 + 147,5 – 23,8  2

Шаг 1.  Округлим все числа, чтобы осталась одна, не равная нулю, цифра.

                     49, 2 50            147,5  100                  23,8 20

    Шаг 2.   Выполним действия с округленными числами.

                               50 + 100 – 20  2   110

     Шаг 3.    Выполним действия с неокругленными числами.

                             49,2 + 147,5 – 23,8  2  = 149,1

Шаг 4.   Сравним результаты.

                     110      и          = 149,1.

Вывод.    Результат правдоподобен.

                Результат немного отличается от ожидаемого.

Пример 3.  

                 0,063 – 0,029 + 0,0071

Округлим все числа, чтобы осталась одна, не равная нулю, цифра.

0,063  0,06         0,029  0,03            0,0071   0,007

      Выполним действия с округленными числами.

      0,06 – 0,03 + 0,007  0,037

Вычисления дают число  0,0411, оно мало отличается от числа 0,037.  

Закрепление. 

№ 1.   Выполните указанные действия и округлите полученный результат до целых:

Решение:   1)  93,02 + 17,29        110

                                                      =  110,31

                   2)  8,405 – 0,005         8

                                                      =  8,4

№ 2.  Выполните прикидку, а затем вычисления с помощью калькулятора.

Решение. 1)   5,42  7,02         35  

                                                    = 38,0484.

                 2)   97,41 : 1,02          100

                                                   = 95,5

                 3)   82,46 : 66,5 + (13,59 – 13,07)  51,2

                                                   25

                                                  = 27,864.

Вопросы и задания:

1. Запишите, до какого разряда надо округлить число 0,39756, чтобы после округления осталась одна, не равная нулю, цифра.

Ответ:  до десятых.

2. Запишите, до какого разряда надо округлить число 0,00756, чтобы после округления осталась одна, не равная нулю, цифра.

Ответ:  до тысячных

3. Запишите, какое число получится  после округления числа 387,9856, оставившего одну не равную нулю цифру.

Ответ:400.

4. Округлите каждое из слагаемых суммы 0,07854 + 0,07398 так, чтобы осталась одна не равная нулю цифра, и найдите сумму округленных слагаемых.

Ответ:  0,08 + 0,07 = 0,15.

5. Округлите каждое из чисел, которые входят в числовое выражение

0,007561 + 0,004398 – 0,001952  так, чтобы осталась одна не равная нулю цифра, и найдите значение получившегося  числового выражения.

Ответ:  0,008 + 0,004 – 0,002 = 0,01.

Проверь себя.   Не выполняя вычислений, расскажите, как можно грубо оценить ожидаемый результат вычислений, т.е. сделать прикидку:

1)   57,23  36,21 – 1779, 547 ; (60  40 – 2000)

2)   1746,65 : 241,25 + 73,975 ;  (2000 : 200 + 70)

3)   (769,31 – 748,93) 341,2 ;  ( (800 – 700)  300)

4)    (772,38 – 749,27) 134,2.   ((800 – 700) 100

Сложные случаи прикидки. Решение уравнений.

№ 1.  Если можно, выполните прикидку «по правилу»: 31,79 : (6,43 – 5,243).

Ответ.  Прикидку «по правилу» выполнить можно.

             Ожидаемый результат  - 30.

№ 2.  Если можно, выполните прикидку «по правилу»: 43,37 : (7,26 – 6,943).

Ответ.  Прикидку «по правилу» выполнить нельзя.

№ 3.   Решите уравнение     m : 3,716 = 100.

Ответ.  т =371,6 .

№ 4.   Решите уравнение     0,476 = х 10.

Ответ.  х = 0,0476 .

№ 5.   Решите уравнение     1000 = 0,564 : у.

Ответ.  у = 0,000564 .

№ 6.   Установите, правдоподобен ли полученный результат вычислений:

31,6 (238,848 – 238,794) = 1,7091.

Ответ.   0;  значение выражения  равно 1,7091. Результат правдоподобен.

№ 7.   Решите уравнение, не забудьте сделать прикидку:

           т : 0,583 = 100.

Ответ.  т = 58,3;     т  60. Результат правдоподобен.

№ 8.  Решите уравнение, не забудьте сделать прикидку:

           7,56 : т  = 100.

Ответ.  т = 0,0756;     т  0,08. Результат правдоподобен.

№ 9.  Решите уравнение, не забудьте сделать прикидку:

          41,27 = 100 (р + 0,3818). 

Ответ.  р = 0,0309;     р  0. Результат правдоподобен.

№ 10. Решите уравнение, не забудьте сделать прикидку:

         (100 с – 5,71) : 100 = 0,7834 – 0,56825

          Ответ.  с = 0,27225;     с  0,26. Результат правдоподобен.

№ 11. Решите уравнение, не забудьте сделать прикидку:

         (10 d – 0,417) 10 = 69,41 – 68,318

          Ответ.  d = 0,05262;     d 0,05 . Результат правдоподобен.

Задачи.

Задача 1.  От мотка проволоки длиной 23,74 м отрезали кусок равный 2,48 дм. Сколько метров проволоки осталось в мотке? Выполнить прикидку.

 Решение. 2,48 дм = 0,248 м.

                  23,74 – 0,248 = 23,492 м              20 м.   

Задача 2.  Велосипедист движется навстречу  пешеходу. Скорость велосипедиста  15,73 км/ч., скорость пешехода на 9,8 км/ч меньше. С какой скоростью они сближаются? Вычисления сопровождать прикидкой.

Решение.   15,73 – 9,8 = 5,93 км/ч скорость пешехода.

                   15,73 + 5,93 = 21,66 км/ч скорость сближения.          20 км/ч 

Доказательства.

Задание 1.  В работе ученика обнаружена запись:

 272,31 + 49,6 0,983 = 12360,294.

                    Докажите, выполнив прикидку, что вычисления выполнены верно.

Доказательство. Выполним прикидку в левой части равенства:

                             300 + 50 1  350.

 Полученный результат 12360,294 неправдоподобный, т.к. он гораздо больше ожидаемого числа  350. Это означает, что вычисления выполнены неправильно.

Задание 2. Докажите, не пользуясь калькулятором, что вычисления выполнены неверно:

                     3124,5726 20,42 – 184,36 : 4,36 = 2523,79482

Полученный результат 2523,79482 неправдоподобный, т.к. он гораздо меньше ожидаемого числа  60000. Это означает, что вычисления выполнены неправильно.

Задание 2.   Округлите число 785,324 так, чтобы осталась одна, не равная нулю, цифра.  

                   Укажите, до какого разряда округлялось число.

Решение.  785,324  800.  Число округлялось до разряда сотен.

Задание 3.   Выполните прикидку, не выполняя  вычислений: 6,8796 + 394,48.

                     7 + 394  400.

                    Число 7 не нужно учитывать, т.к. оно не может повлиять на оценку результата.

Задание 4.   Выполните прикидку вычисления и установите, правдоподобен ли полученный

                     результат:  16064 : 8 + 107 18.

                     Ответ.   4500; значение выражения 3934. Результат правдоподобен.

Задание 5.   Выполните прикидку  и сложение и установите, правдоподобен ли полученный

                     результат:  0,07834 + 0,009531.

                     Ответ.   0,09; значение выражения 0,087871. Результат правдоподобен.

Задание 6.   Выполните прикидку  и вычитание и установите, правдоподобен ли полученный

                     результат:  0,003412 – 0,0009832.

                     Ответ.   0,002; значение выражения 0,0024288. Результат правдоподобен.

Задание 7.   Выполните прикидку  вычисления :  4,2698 : 1,843 – 786,35 : (408,876 + 361,24).

Ответ.            1.

Заключение. Необходимость метода прикидок.

Для подобных прикидок не нужны ни справочник, ни калькулятор – их можно делать в уме, когда вы гуляете в лесу или едете в электричке. Практическое значение такого раздела в  математике очевидно: каждый, например, должен уметь считать и решать без затруднения хотя бы простейшие задачи.

Всем известно, какую роль в школьном курсе обучения играют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии, черчению и т. д. нельзя решить, не обладая элементарными способами вычислений. Не секрет, что у учащихся с прочными вычислительными навыками гораздо меньше проблем с математикой.

    Хорошо развитые у учащихся вычислительные  навыки — одно из условий их успешного обучения в старших классах.

Когда речь идёт о чём-нибудь очень простом, понятном, мы часто говорим: «Дело ясно, как дважды два — четыре!». А ведь прежде чем додуматься до того, что дважды два — четыре, людям пришлось учиться много, много тысяч лет.

Многие правила из  школьных учебников арифметики и геометрии были известны древним грекам две с лишним тысячи лет назад. Другие древние народы — египтяне, вавилоняне, китайцы, народы Индии — в третьем тысячелетии до нашего летосчисления имели сведения по геометрии и арифметике, которых не хватает некоторым ученикам пятого или шестого класса. Ведь всюду, где надо что-то считать, измерять, сравнивать, без математики не обойтись. А чем дальше, тем больше и точнее нужно было считать. С каждым десятилетием математика становилась всё нужнее людям. Теперь расчётами и вычислениями приходиться заниматься не только

самим математикам: и инженеры, и моряки, и строители на каждом шагу сталкивались с вычислениями.

Никогда ещё математика не была настолько всеобъемлющей и такой нужной людям наукой, как сегодня. О том, какой будет математика завтра, говорить трудно. Она развивается сейчас так стремительно, так часто делаются в ней новые открытия, что гадать о том, что будет, пожалуй, бесполезно. И на вопрос - что может математика? Я с уверенностью могу ответить – математика может все.

• «Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней. (А. Дородницын)
• А вот нужны ли математические знания для того, чтобы в максимальной степени использовать возможности, предоставляемые современным компьютером? Рискну предположить, что без них не обойтись. Почему? Да потому, что компьютер подобен двуликому Янусу. С одной стороны – “железо”…..Описать наиболее важные части “железа”может лишь математика.

                                                          ЛИТЕРАТУРА.

1. Автайкина А.К. Некоторые формы организации устного счета // Математика в школе. – 1991. - №3.
2. Бессонова М. Право на ошибку // Первое сентября. Математика. – 2006.- №2..
3. Виленкин Н..Я., Жохов В.И.  Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. – М.: "Мнемозина", 2005.
4. Давыдов В. В. Содержание и строение учебной деятельности школьников. –

       М., 1978 .

5. Дронова Е.А.  Диагностика ошибок в начальном этапе изучения материала // Математика в школе. – 2005. - №7.
6. Епишева О.Б. Учить школьников учиться математике. - М.: Просвещение, 1990.
7. Ермилова Т.В. Устная работа в 5 классе // Математика в школе. – 2005. - №7.
8. Ерохова Е.В. Игровые уроки математики. – М.: "Грамотей", 2004.
9. Захарова А.В. Развитие контроля и оценки в процессе формирования учебной деятельности//Формирование учебной деятельности школьников. – М., 1982.
10. Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики. –

     М.: Просвещение, 1985.

11. Камаев П.М. Устный счет. – М.: Чистые пруды, 2007.
12. Мельников Н. Развитие вычислительной культуры учащихся // Первое сентября. Математика. – 2001.- №18.
13. Минаева С. Формирование вычислительных умений в основной школе // Первое сентября. Математика. – 2006.- №2.
14. Миронова Г.В. Приемы активизации учебной деятельности школьников // Математика в школе. – 1994. - №5.
15. Павленко Т. Графические диктанты и устные контрольные работы // Первое сентября. Математика. – 2001.- №19.
16.  Талызина Н.Ф. Педагогическая психология – М.: Академия, 1998.
17.  Фальке Л.Я. Час занимательной математики. – М.: Народное образование, 2005.
18.   А.Н. Крылов. Лекции о приближённых вычислениях. М.-Л. 1950г.