Закрепляющий материал по теме «Множество значений функции». (9 класс)
материал по алгебре (9 класс) по теме

Множество значений функции.

1. Для нахождения множества значений функции в простейших случаях достаточно следующих утверждений:

• Если  Е(f) =   и (x)= c f(x), где с = const, то

           Е() =  при с > 0 или

           Е() =  при с < 0.

• Если  Е(f) =  и (x) = f(x) +c, то Е() = .

• Если Е(f) =  и(x) = f(x+c), то Е() =.

• Если Е(f) =  и (x) = g(f(x)), то Е() =, g – возрастающая функция на .

• Пример:

Найти множество значений функции f(x) = .

Решение:

D(f): 32 – 2x2 ≥ 0

D(f) =

Найдем множество значений функции у = х2 на  отрезке .

Е(х2) =.

Тогда Е( - 2х2) =

          Е ( -2х2 + 32) = .

Функция g(x) =  возрастает на , следовательно, Е() = .

Ответ:

2. Примеры, сводящиеся к замене переменных и исследованию получившейся функции на заданном промежутке.

1. Найти множество значений функции у = -

Решение:

 = t , t > 0

g(t) = 2t – t2

= 1;                  

Ответ: Е(у) = (- ∞; 1]

2. Найти наименьшее значение функции

     у = ( х2 – х + 1)( х2 – х + 2)

Решение:

x2 – х = t , t ≥ -

Исследуем функцию g(t) = ( t + 1)(t + 2) на [; +∞

g(t) = t2 + 3t + 2

  не принадлежит промежутку [-; +∞)

= g(-) =  - 3∙ + 2=

=

3. Найти множество значений функции

     y = cos2x – 4cosx

Решение:

У=2cos2x– 4cosx-1

Пусть соs x = t, -1

g(t) = 2t2 – 4t – 1  

t0=1

g(1) = - 3

g(-1)= 5

Ответ: E(y) = [-3;5]

4. Найти множество значений функции

     У=

Решение:

ООФ(0;0,01)U(0,01;1)U(1;∞)

Пусть lgx = t, , t≠0,t ≠ -2

g(t)=

g(t)=

g(t)=

Учитывая, что t≠0,t ≠ -2, получаем Е(у)=[1;2)U(2;∞)

Ответ: Е(у)=[1;2)U(2;∞)

5) Найти наибольшее значение функции

    у = х +log2

 Решение:

Пусть 2х = t,    0

           x= log2t

y(t)= log2t + log2

y(t)= log2(t)

y(t)= log2

Рассмотрим функцию g(t) = 6t2 – t3 на (0;6)

g(t) = 12t – 3t2

3t(4-t) = 0

gнаиб= g(4) =6∙16 – 64 = 32

yнаиб=log2 =

Ответ:

6) Найти множество значений функции

    y = 3cos2x + 4sin2x + 4sinx + 8cosx

Решение:

Y = 5cos(2x – α) + 4 cos(x – β)

tg α =;    tg β =  

tg2 β =  =

α = 2β

у = 5 cos(2x – 2β) + 4 cos(x – β)

у = 5(2cos2(x –β) - 1) + 4 cos(x – β)

Пусть cos(x – β)= t, ≤1

y = 5(2t2 – 1) +4t

y =10t2+4t – 5

t0= -

y(- ) = -7

y(-1)= 5 - 4

y(1) = 5 + 4

E(y) = [-7; 5 + 4]

Ответ: E(y) = [-7; 5 + 4]

7) Найти множество значений функции

    у =

Решение:

t= cos2x + 3, 3≤ t ≤4

cos2x = 2cos2x – 1 = 2t – 7

y = 2t +  - 7

y’= 2 -

y’ > 0 на [3; 4]

у(3) =  ; у(4) = 2      

Ответ: Е(у) =[; 2]

3. Примеры, сводящиеся к решению уравнения с параметром.

 1) Найти множество значений функции у =

Решение:

          Выясним, при каком значении параметра «у» данное уравнение имеет решение.

у(х2+х+1) = х2-3х+1

(1-у)х2 – (3+у)х + 1 – у = 0

1. Если у = 1,то 0х2 – 4х + 1 -1 = 0, х=0

2. Если у ≠1, то квадратное уравнение имеет корни, если D≥0

D = - 3y2 + 14y + 5.

- 3y2 + 14y + 5≥0

  у ≠1

Решив данную систему неравенств, получим

-≤у<1; 1

3. Учитывая, что при у=1 уравнение имеет решение, получаем ответ: Е(у)= [-; 5]

Ответ: Е(у)= [-; 5]

     2)  Найти множество значений функции

  У=

Решение:

ycos x – 2y = 6cosx

(y- 6) cosx = 2y

сosx =

• 1 ≤≤ 1

Решив данное неравенство, получим  - 6 ≤у ≤2

Ответ: Е(у) = [- 6; 2]

3. Найти множество значений функции

   у = х4

Решение:

D(y) = (0; 1)U(1;+∞)

Выясним, при каком значении параметра у данное уравнение имеет решение.

 = 4 +

 - 4 -  = 0

Пуст = t

Квадратное уравнение 4t2 - t + 1 = 0 имеет решения, если D≥0

  D = log22y – 16 ≥0

    или        

0                            y ≥ 16

Ответ: Е(у) = (0 ;  ]U[16;∞)

4. Найти множество значений функции у =

  Решение:

y( - 2) =

 =

, получим у ≤ 0; у > 1

4. Использование неравенства  a + ≥ 2, а>0

1. Найти наименьшее значение функции

у =, где х>0

Решение:

У = х +  + 5

У = 2( + ) + 5

Унаим= 9

Ответ:9

2. Найти наименьшее значение функции  

у =  , если х < 1

Решение:

У = 1 – х +  + 1

Так как 1 – х + ≥ 2  при условии х < 1, то унаим   = 3

Ответ: унаим   = 3

3. Решить уравнение:

 +

Решение:

X2- 4x + 6 = (х – 2)2 + 2 > 1,  следовательно, >0,

,  так как , если a>1, b>1, то >0

Таким образом,

  + (сумма двух взаимно обратных положительных чисел всегда не меньше 2)

= - ( х2 – 6х + 9) + 2 = - ( х – 3)2 + 2 ≤ 2

л.ч. = пр.ч.= 2

-х2 + 6х -7 = 2

   х2 - 6х +9 = 0

   х = 3

Подставив х = 3 в левую часть уравнения, убедимся, что х = 3 является корнем данного уравнения

Ответ: 3

Найти множество значений функций: