формулы-подсказки по алгебре.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему

Все формулы по алгебре и геометрии

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a± b)² =a² ± 2ab+b² 

(a± b)³ =a³ ± 3a² b+3ab² ± b³ 

a² -b² =(a+b)(a-b)

a³ ± b³ =(a± b)(a² ∓ab+b² ),

(a+b)³ =a³ +b³ +3ab(a+b)

(a-b)³ =a³ -b³ -3ab(a-b)

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a² xn-3+...+an-1)

ax² +bx+c=a(x-x1)(x-x2)

где x1 и x2 — корни уравнения

ax² +bx+c=0

Степени и корни :

ap· ag = ap+g 

ap:ag=a p-g 

(ap)g=a pg 

ap /bp = (a/b)p

ap⋅ bp = abp 

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

p√ a =b => bp=a

p√ ap√ b = p√ ab

√ a ; a = 0

Квадратное уравнение

ax² +bx+c=0; (a≠ 0)

x1,2= (-b± √ D)/2a; D=b² -4ac

D>0→ x1≠ x2 ;D=0→ x1=x2

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x1+x2 = -b/a

x1⋅ x2 = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x1+x2 = -p

x1⋅ x2 = q

Если p=2k (p-четн.)

и x² +2kx+q=0, то x1,2 = -k± √ (k² -q)

Нахождение длинны отр-ка по его координатам

√ ((x2-x1)² -(y2-y1)² )

Логарифмы:

loga x = b => ab = x; a>0,a≠ 0

a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0

loga x = b; x = ab

loga b = 1/(log b a)

logaxy = logax + loga y

loga x/y = loga x - loga y

loga xk =k loga x (x >0)

logak x =1/k loga x

loga x = (logc x)/( logca); c>0,c≠ 1

logbx = (logax)/(logab)

Прогрессии

Арифметическая

an = a1 +d(n-1)

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n

Геометрическая

bn = bn-1 ⋅ q

b2n = bn-1⋅ bn+1

bn = b1⋅ qn-1

Sn = b1 (1- qn)/(1-q)

S= b1/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (π -α ) = sin α 

sin (π /2 -α ) = cos α 

cos (π /2 -α ) = sin α 

cos (α + 2π k) = cos α 

sin (α + 2π k) = sin α 

tg (α + π k) = tg α 

ctg (α + π k) = ctg α 

sin² α + cos² α =1

ctg α = cosα / sinα , α ≠ π n, n∈ Z

tgα ⋅ ctgα = 1, α ≠ (π n)/2, n∈ Z

1+tg² α = 1/cos² α , α ≠ π (2n+1)/2

1+ ctg² α =1/sin² α , α ≠ π n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ≠ π /2 + π n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y ≠ π /2 + π n

Формулы двойного аргумента.

sin 2α = 2sin α cos α 

cos 2α = cos² α - sin² α = 2 cos² α - 1 =

= 1-2 sin² α 

tg 2α = (2 tgα )/ (1-tg² α )

1+ cos α = 2 cos² α /2

1-cosα = 2 sin² α /2

tgα = (2 tg (α /2))/(1-tg² (α /2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin² α /2 = (1 - cos α )/2

cos² α /2 = (1 + cosα )/2

tg α /2 = sinα /(1 + cosα ) = (1-cos α )/sin α 

α ≠ π + 2π n, n ∈ Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ½ (cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ½ (cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ½ (sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотношение между функциями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)

cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)

sin² α = 1/(1+ctg² α ) = tg² α /(1+tg² α )

cos² α = 1/(1+tg² α ) = ctg² α / (1+ctg² α )

ctg2α = (ctg² α -1)/ 2ctgα 

sin3α = 3sinα -4sin³ α = 3cos² α sinα -sin³ α

cos3α = 4cos³ α -3 cosα= cos³ α -3cosα sin² α 

tg3α = (3tgα -tg³ α )/(1-3tg² α )

ctg3α = (ctg³ α -3ctgα )/(3ctg² α -1)

sin α /2 = ± √ ((1-cosα )/2)

cos α /2 = ± √ ((1+cosα )/2)

tgα /2 = ± √ ((1-cosα )/(1+cosα ))=

sinα /(1+cosα )=(1-cosα )/sinα 

ctgα /2 = ± √ ((1+cosα )/(1-cosα ))=

sinα /(1-cosα )= (1+cosα )/sinα 

sin(arcsin α ) = α 

cos( arccos α ) = α 

tg ( arctg α ) = α 

ctg ( arcctg α ) = α 

arcsin (sinα ) = α ; α ∈ [-π /2 ; π /2]

arccos(cos α ) = α ; α ∈ [0 ; π ]

arctg (tg α ) = α ; α ∈ [-π /2 ; π /2]

arcctg (ctg α ) = α ; α ∈ [ 0 ; π ]

arcsin(sinα )=

1)α - 2π k; α ∈ [-π /2 +2π k;π /2+2π k]

2) (2k+1)π - α ; α ∈ [π /2+2π k;3π /2+2π k]

arccos (cosα ) =

1) α -2π k ; α ∈ [2π k;(2k+1)π ]

2) 2π k-α ; α ∈ [(2k-1)π ; 2π k]

arctg(tgα )= α -π k

α ∈ (-π /2 +π k;π /2+π k)

arcctg(ctgα ) = α -π k

α ∈ (π k; (k+1)π )

arcsinα = -arcsin (-α )= π /2-arccosα =

= arctg α /√ (1-α ² )

arccosα = π -arccos(-α )=π /2-arcsin α =

= arc ctgα /√ (1-α ² )

arctgα =-arctg(-α ) = π /2 -arcctgα =

= arcsin α /√ (1+α ² )

arc ctg α = π -arc cctg(-α ) =

= arc cos α /√ (1-α ² )

arctg α = arc ctg1/α =

= arcsin α /√ (1+α ² )= arccos1/√ (1+α ² )

arcsin α + arccos = π /2

arcctg α + arctgα = π /2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (-1)n arcsin m + π k, k∈ Z

sin x =1 sin x = 0

x = π /2 + 2π k x = π k

sin x = -1

x = -π /2 + 2 π k

cos x = m; |m| = 1

x = ± arccos m + 2π k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2π k x = π /2+π k

cos x = -1

x = π + 2π k

tg x = m

x = arctg m + π k

ctg x = m

x = arcctg m +π k

sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg

cos x/2 = (1-t² )/(1+t² )

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

logaf(x) >(<) log a ϕ (x)

1. a>1, то : f(x) >0

ϕ (x)>0

f(x)>ϕ (x)

2. 00

ϕ (x)>0

f(x)<ϕ (x)

3. log f(x) ϕ (x) = a

ОДЗ: ϕ (x) > 0

f(x) >0

f(x ) ≠ 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - √ 3 cos x = 0

2sin x cos x -√ 3 cos x = 0

cos x(2 sin x - √ 3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin α ≥ m

2π k+α 1 = α = α 2+ 2π k

2π k+α 2 = α = (α 1+2π )+ 2π k

Пример:

I cos (π /8+x) < √ 3/2

π k+ 5π /6< π /8 +x< 7π /6 + 2π k

2π k+ 17π /24 < x< π /24+2π k;;;;

II sin α = 1/2

2π k +5π /6 = α = 13π /6 + 2π k

cos α ≥ (= ) m

2π k + α 1 < α < α 2+2 π k

2π k+α 2< α < (α 1+2π ) + 2π k

cos α ≥ - √ 2/2

2π k+5π /4 = α = 11π /4 +2π k

tg α ≥ (= ) m

π k+ arctg m = α = arctg m + π k

ctg ≥ (= ) m

π k+arcctg m < α < π +π k

Производная:

(xn)’ = n⋅ xn-1

(ax)’ = ax⋅ ln a

(lg ax )’= 1/(x⋅ ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = - 1/sin² x

(arcsin x)’ = 1/ √ (1-x² )

(arccos x)’ = - 1/ √ (1-x² )

(arctg x)’ = 1/ √ (1+x² )

(arcctg x)’ = - 1/ √ (1+x² )

Св-ва:

(u ⋅ v)’ = u’⋅ v + u⋅ v’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v² 

Уравнение касательной к граф.

y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k = производная в данной точке x

3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х

Интегралы :

∫ xn dx = xn+1/(n+1) + c

∫ ax dx = ax/ln a + c

∫ ex dx = ex + c

∫ cos x dx = sin x + cos

∫ sin x dx = - cos x + c

∫ 1/x dx = ln|x| + c

∫ 1/cos² x = tg x + c

∫ 1/sin² x = - ctg x + c

∫ 1/√ (1-x² ) dx = arcsin x +c

∫ 1/√ (1-x² ) dx = - arccos x +c

∫ 1/1+ x² dx = arctg x + c

∫ 1/1+ x² dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

α + β + γ =180

Теорема синусов

a² = b² +c² - 2bc cos α 

b² = a² +c² - 2ac cos β 

c² = a² + b² - 2ab cos γ 

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=½ (a+b+c)

S = √ p(p-a)(p-b)(p-c)

S = ½ ab sin α 

Sравн.=(a² √ 3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2⋅ h

Круг

S= π R² 

Sсектора=(π R² α )/360

Стереометрия

Параллепипед

V=Sосн⋅ Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3Sосн.⋅ H

Sполн.= Sбок.+ Sосн.

Усеченная :

H . 

V = 3 (S1+S2+√ S1S2)

S1 и S2 — площади осн.

Sполн.=Sбок.+S1+S2 

Конус

V=1/3 π R² H

Sбок. =π Rl

Sбок.= π R(R+1)

Усеченный

Sбок.= π l(R1+R2)

V=1/3π H(R12+R1R2+R22)

Призма

V=Sосн.⋅ H

прямая: Sбок.=Pосн.⋅ H

Sполн.=Sбок+2Sосн.

наклонная :

Sбок.=Pпс⋅ a

V = Sпс⋅ a, а -бок. ребро.

Pпс — периметр

Sпс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=π R² H ; Sбок.= 2π RH

Sполн.=2π R(H+R)

Sбок.= 2π RH

Сфера и шар .

V = 4/3 π R³ - шар

S = 4π R³ - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 π R³ H

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=π H² (R-H/3)

S=2π RH

Табличные данные