Решение целых уравнений высших степеней. Урок в 11 классе.
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Урок по алгебре и началам анализа.

Тема: Решение целых уравнений высших степеней.

Учитель математики Разетдинова Э.А.

Девиз урока:  чем больше я знаю, тем больше умею.

                          Кто ничего не замечает,

                          Тот ничего не изучает.

                          Кто ничего не изучает,

                          Тот вечно хнычет и скучает.    (поэт Р.Сеф).

Цели урока:

учебная:  систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний   учащихся  по решению целых уравнений с одной переменной выше  второй степени; подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ.

развивающая: развитие личности  учащегося через самостоятельную  творческую работу, развитие инициативы учащихся; обеспечить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;

воспитательная: развитие интереса к изучению математики, подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

План урока:

1. Организационный момент.
2. Мотивация изучения темы.
3. Актуализация знаний – блиц -опрос  по теме «Целые уравнения»
4. Систематизация и обобщение знаний – сообщения учащихся о стандартных приемах решения  уравнений .
5.  Самостоятельная работа.
6. Расширение и углубление знаний – сообщение учителя о нестандартных приемах решения уравнений.
7. Домашнее задание: примеры на осмысление, закрепление новых знаний.

1. х8 – 17х4 +16 = 0
2. (х+1)(х+3)(х+5)(х+7) – 15 = 0
3. (х+4)(х – 2)(х+5)(х – 10)+54х2  = 0
4. х4 +2х3 – 6х2 +2х+1 = 0.

Ход урока:

1.Организационный момент – ставятся цели и задачи урока.

          Ребята! Вам предстоит итоговая аттестация по математике в форме ЕГЭ. Чтобы успешно сдать ЕГЭ, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и  применить ваши знания в нестандартных ситуациях. В частях В и С ЕГЭ часто встречаются уравнения высших степеней. Наша задача: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний    по решению целых уравнений с одной переменной выше  второй степени; подготовка к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ.  (цели урока, слайд 1,2).Девиз нашего урока:  чем больше я знаю, тем больше умею. (слайд 3)

          Уравнение-это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.

Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения. Самые ранние рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем  Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н.э. вавилоняне.

Стандартные приемы и методы решения элементарных  алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений..

 В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Многие уравнения  при применении нестандартных приемов решаются гораздо  короче и проще.

2. Мотивация изучения темы.

Предлагаются задания повышенной трудности из учебника алгебры и задания ЕГЭ.

(написать на доске).       1)  х2 - 6│х│+8 = 0                           2) х5  +2х+1 = 0

  3)       х5 +х3 +2х – 4 = 0                                         4) №105.    (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40      

   5) №108.     2х4 +х3 -6х2 +х+2=0                           6) ЕГЭ.      (х+2)(х+3)(х+8)(х+12) = 4х2  

Для уравнений высшей степени известны формулы корней, но они очень сложные. Иногда приходится решить, применяя специальные приемы.

3.Актуализация знаний.

1) Блиц-опрос-подготовка учащихся к работе на уроке путем повторения основного теоретического материала.

        А сейчас вспомним наши знания об уравнениях, ответим на вопросы:

•  Что называется уравнением? Равенство, содержащее переменную,                     называется уравнением с одной переменной
• Что называется корнем уравнения? Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

  * Что значит решить уравнение? Найти все его корни или доказать, что корней нет.

• Что называется целым уравнением с одной переменной?
• Что называется степенью целого уравнения?
• Виды целых уравнений и способы решения уравн. 1-ой и 2-ой степени (слайд 4-7)-записывать в тетрадях.

Уравнения 1-ой степени решаются с помощью арифметических операций, уравнения 2-ой степени – с помощью формул корней.

2) Вспомним методы решения уравнений. (слайд 8-14)

*Метод разложения на множители. Если уравнение равносильными преобразованиями можно привести к виду f(x)*q(x)=0, то f(x)=0 или q(x)=0.

*Введение новой переменной. Заменим некоторое выражение в уравнении новой переменной.и получим более простое уравнение относительно новой переменной. Находим эту переменную и вычислим корни исходного уравнения.

*Графический способ. Рассмотрим уравнение f(x)=q(x). Строим в одной системе координат графики функций у= f(x) и у=q(x). Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями уравнения. Но этот способ не обеспечивает высокую точность.

* Обратная теорема Виета:    х 2 +рх+q=0,    х 1 +х 2 = - р   и    х 1 х 2 =q.

     ах²+bх+с=0;       х1+х2=-b/а и   х1+х2=с/а    (записывать в тетрадях)                                                                            

  Пример.  х 2  - 7х + 12=0  ,   х 1 +х 2 = 7   и    х 1 х 2 =12. Значит х 1 =3   и    х 2 = 4.

*Решая квадратные уравнения, приходится много тратить времени работая по алгоритму. Но, используя свойства коэффициентов можно упростить решение.

 ах 2 +вх+с=0, а+в+с=0, то один из корней равен 1, а другой равен с/а;

ах 2 +вх+с=0, а - в+с=0, то один из корней равен -1, а другой равен  с/а. (в тетрадях)

*Проверьте свои способности на эти свойства:

1) х 2 +17х-18=0;          х 2  - 23х-24=0;      100х 2 - 97х - 197=0;     50х 2  + 83х - 133=0

х 1 +х 2 = - 17   и    х 1 х 2 = -18, значит     х 1 = -18, х 2= 1.

 2) 100х 2 - 97х - 197=0 ,  а–в+с=100-(-97)+(-197)=0, значит х1=1,х2=197/100=1,97.

50х 2  + 83х - 133=0              (слайд 14)

5. Самостоятельная работа обучающего характера.(на 3-4 минуты) Проверить решения уравнений можно организовать с помощью слайдов или взаимопроверкой сосед с соседом.    ( слайд 15)

1)  х 2  + х – 56 = 0          

2) 150х 2 - 60х – 90 = 0

6. Углубление и расширение знаний – ознакомление учащихся с нестандарт-ными приемами решения уравнений.

Возвратимся ранее предложенным заданиям.  Есть многие интересные методы решения  уравнений. Не следует думать, что любое нестандартное уравнение труднее для решения, чем стандартное.

1) При решении уравнений высших степеней иногда применяется процедура угадывания хотя бы одного корня. Угаданный корень позволяет понизить степень многочлена на единицу, дальше достаточно выполнить деление уголком. Для нахождения корней многочлена «методом тыка» полезно знать теорему о целых корнях уравнения: Все целые корни многочлена Р(х), с целыми коэффициентами (при а0 =1) содержатся среди делителей свободного члена. Других целых и рациональных корней у уравнения нет. (запись в тетрадь)

Пример 1. Доказать, что уравнение 2х4 – 2х3  - х +1  = 0 не имеет целых корней.  Целыми корнями могут быть делители свободного члена -1,1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что ни одно из них не годится. (слайд 16)

2) Использование свойств функций.      Вспомним свойства возрастающей и убывающей функций.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если произвольному большему значению аргумента из этого промежутка соотв. большее значение функции.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если произвольному большему значению аргумента из этого промежутка соотв. меньшее значение функции.

Свойство 1. Если y = g(x) – монотонно возрастает на промежутке I и y = f(x) – монотонно возрастает на промежутке I, то y = g(x)+f(x) – монотонно возрастает на промежутке I.

Свойство 2. Если y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, то уравнение f(x) = a имеет на I не более одного корня.

Свойство 3. Если y = f(x) возрастает на I, а y = g(x) убывает на I (монотонны разного смысла), то уравнение f(x) = g(x), имеет не более одного корня. (запись)

Пример 1. Решите уравнение: x 5 +x3+2x-4=0. (слайд 17)

Решение: Функция f(x) = x 5 +x3+2x-4  возрастает как сумма трех возрастающих функций y = x 5 , y = x 3  и y = 2x-4 на R. Тогда уравнение f(x) = 0 имеет не более одного корня. Вспомним правило: все целые корни многочлена Р(х) с целыми коэффициентами содержатся среди делителей свободного члена.

 Испытывая делители свободного члена, находим, что x=1.

Других целых корней у уравнения нет. 

Пример2.  Решить уравнение х 5  + 2х - 3= 0.(слайд 17). 

Представим в виде  х5  = - 2х +3.

Функция у= х 5 –возрастающая, а функция у= -2х +3 – убывающая на Д(у), значит уравнение имеет не более одного корня. Угадываем корень х = 1.

3) свойство четности функции: график четной функции f(-x)= f(x) симметричен относительно оси ординат. При решении уравнения достаточно найти его неотрицательные корни, остальные восстановить по соображению симметрии.

Пример.   Х2 - 6│х│+8 = 0. Найти произведение корней.

 у= Х2 - 6│х│+8 - четная функция. Решим уравнение для неотрицательного х.

х2 - 6х+8 = 0,  х1 =2 и х2=4 (оба корня годятся). По соображениям симметрии

 х3  = - 2 и х4 = - 4.      Произведение корней -2*2*(-4)*4=64    Ответ. 64. (слайд 18)

Возвращаемся к ранее предложенным заданиям.

4. №105.    (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40 . Найти сумму корней.   ( на доске – учитель, запись). Здесь мы видим симметрию левой части  1+5=2+4.

Произведение 1и4, 2и3 множителей заменим квадратными трехчленами

(х2 +6х+5)(х2 +6х+8) = 40. вводим новую переменю у=х2 +6х+5 и получим квадратное уравнение относительно у:     у2 +3у – 40 =0. Находим корни этого уравнения и корни исходного уравнения.      Ответ. -6

5.     ЕГЭ.      (х+2)(х+3)(х+8)(х+12) = 4х2  ( на доске объясняет учитель, запись)

                      2*12 = 3*8

Произведение 1 и 4, 2 и 3 множителей заменим квадратными трехчленами

(х2  + 14х + 24)(х2  + 11х +24)= 4х2 . Обе части уравнения разделим на х2 ≠ 0 и получим уравнение (х+24/х +14)(х+24/х +11)=4. Пусть х+24/х=у, тогда (у+14)(у+11)=4,

Получим квадратное уравнение у2 +25у+150=0. (закончить дома).

6.  №108.     2х4 +х3 -6х2 +х+2=0-возвратное уравнение.(слайд-теория) Найти произведение корней. ( на доске объясняет учитель, запись)

Разделим обе части уравнения на х2 ≠0.  2х2 +х – 6 +1/х+2/(х2 )=0.

Сгруппируем 2(х2 +1/(х2 ))+(х+1/х) -6=0. вводим новую переменную у=х+1/х и получим уравнение 2(у2 -2)+у -6=0,           2у2  +у-10=0.

Находим корни этого уравнения и корни исходного уравнения. (закончить дома)    Ответ. 1.

(Запись в тетради)

7. Итоги урока.

Еще много приемов решения целых уравнений высших степеней: метод выделения полного квадрата и искусственные приемы.

Способы: (учитель записывает на доске, учащиеся в тетрадях).

1.Теорема Виета

2.Свойства коэффициентов а+в+с=0 и а-в+с=о.

3.Разложение на множители.

4.Введение новой переменной.

5..Графический способ.

6.Свойство монотонности.

7.Свойство четности.

8..Возвратные уравнения.

9.Симметричные уравнения.

Для каждого уравнения назовите соответствующий метод решения.(слайд 21)

1) -3х7 -2х +5=0

2) (х 2 +3х)2+2 (х 2 +3х) -120=0

3) х3 +х – 4=0

4) х 2 – │10х│+21=0

5) (х+1)(х+3)(х+5)(х+7)=945

6) 27х 2 – 9х – 18=0

7) (х2 +х+6)(х2 +х-4)=144

8) х5  - х4 -2х3 +2х2 -3х +3=0

9) 2х4  +х3 - 3х2 +х +2=0.  

10) х2 +11х + 28=0.          

 Ответ.    Уравнения – способ.

                 1 – 5,6;                                        6 – 2;

            2 – 4;                              7 – 4;

            3 – 5,6;                            8 – 3;

                 4 – 7;                              9 – 8;  

            5 – 9;                              10 – 1.6

8. Домашнее задание.

1.  х8 – 17х4 +16=0
2.  (х+1)(х+3)(х+5))х+7) -15=0
3. (х+4)(х-2)(х+5)(х-10)+54х2 =0
4.  х4 +2х3 – 6х2 +2х+1=0.