Презентация на тему:"Квадратные уравнения"

Слайд 1

Слайд 2

С не обходимостью находить площади различных поверхностей, люди столкнулись еще в древности. Они решали геометрические задачи на их вычисление. В клинописных текстах древнего Вавилона (около 2000 лет до нашей эры) обнаружена такая задача. "Площадь 1000 состоит из суммы двух квадратов, и сторона меньшего составляет две трети стороны другого, уменьшенные на 10. Какова сторона бóльшего квадрата ?" Решить такую задачу - это все равно, что решить уравнение . Фактически вавилонский метод дает решение системы , которая представляет собой запись задачи нахождения сторон прямоугольника с данным периметром и площадью. Теорема Виета, с изучения которой начинается этот параграф, связывает решение этой системы с решением квадратного уравнения . Аналогичная связь находилась уже в "Началах" Евклида, где сформулированы в виде некоторых геометрических тождеств правила решения квадратного уравнения или, что то же самое, написанной выше системы . Первым правила решения квадратных уравнений сформулировал Евлид . Вот одна из теорем Евклида: "Если отрезок разделен на два неравных отрезка, то площадь прямоугольника, сторонами которого являются эти отрезки, сложенная с площадью квадрата, сторона которого равна их полуразности , равна площади квадрата, сторона которого равна половине исходного отрезка ". Обозначив длину отрезка через p, а длины его частей через x и y, мы запишем теорему Евклида в виде тождества . Если ответ записать в виде алгебраического выражения, то мы и получим формулу корней квадратного уравнения: x2 - px + q = 0. Знаменитое уравнение Аль-Хорезми: x2 + 10x = 39 (IX век) тоже имеет в оригинале геометрическую формулировку: "Квадрат и десять корней равны 39". Напомним, что геометрический метод его решения соответствует выделению полного квадрата : x2 + 10x = 39 x + 5 = 8 x = 3 Итак , приступая к решению квадратных уравнений, мы будем помнить, что решение таких уравнений представляет собой первую непростую (математики говорят "нетривиальную") алгебраическую задачу, которая была решена многократно в древности.

Слайд 3

Евклид (около 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик.

Слайд 4

Аль-Хорезми (около 820 г .) - персидский математик. Считается, что он первым решил квадратное уравнение ах2+bх+с=0. В своей книге «Вычисления при помощи индийских цифр» описал систему цифровых обозначений, принятую в то время и дошедшую до наших дней. Систему из десяти знаков (включая ноль) обычно (и неправильно) называют арабской, как и цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .

Слайд 5

Что такое квадратное уравнение? Это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0 . Если а=1, то уравнение называется приведенным. x ² + 14 x + 24 = 0

Слайд 6

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса: 1.Не имеют корней; 2.Имеют ровно один корень; 3.Имеют два различных корня . Помочь в определении количества корней в квадратном уравнении может дискриминант ( D) .

Слайд 7

Дискриминант – это число, вычисляемое по формуле: D = b2 − 4ac . Как раз с помощью этого числа можно определить количество корней в квадратном уравнении. Возьмем кв. ур .

Слайд 8

Если D > 0, корни можно найти по формулам: х 1 = (-b+ D)/ 2a х 2 = ( - b- D)/ 2a Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Если D < 0, корней нет — ничего считать не надо .

Слайд 9

Пример №1 3 x ² - 14 x - 80 = 0 D = b2-4ac=(-14)2–4*3*(-80)=196+960=1156>0 => 2 корня. x 1 = (-b + D)/ 2a = (14+34)/ 2*3 = 48/6 = 8 x 2 = (- b - D )/ 2a = (14-34 )/ 2*3 = (-20)/6 Ответ: х1=8 ; х2=(-20)/6 .

Слайд 10

Пример №2.

Слайд 11

Пример №3 4 x ² + 6 x + 9 = 0 b ² - 4 ас = 6² - 4 · 4 · 9 = 36 – 144= -108< 0 . Уравнение не имеет действительных корней.

Слайд 12

Пример №4 x ² + 14 x + 24 = 0 D=b2–4ac=(14)2–4*1*24=196–96=100>0 => 2 корня. х 1=( - b + D)/ 2a =(-14+10)/2*1=(-4)/2= -2 х 2= (-b - D)/ 2a=(- 14 - 10 )/2*1 =(- 2 4 )/2= - 12 Ответ: х1=-2 ; х2=-12.

Слайд 13

Кроме аналитического способа решения, есть и графический. Для использования этого способа решения нужно знать, что функция вида: у=х2 – квадратичная, график-парабола; у= k х +b – линейная, график-прямая. у=х2 у= k х +b

Слайд 14

Пример решения квадратного уравнения при помощи графика х2 + х – 6 = 0 * Преобразуем уравнение: х2 = 6 – х *Введем функции: у = х2 – квадратичная, график-парабола; у = 6 – х - линейная, график-прямая. *Получили две точки пересечения. *Решением квадратного уравнения являются абсциссы этих точек х 1 = – 3 , х 2 = 2 . Ответ : – 3; 2.

Слайд 15

А теперь 2 остальны х способа…

Слайд 16

Биквадратные уравнения

Слайд 17

Биквадратным называется уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0 , где a=0 .

Слайд 18

Решается оно методом введения новой переменной: положив x2 = y , придем к квадратному уравнению ay2 + by + c = 0 .

Слайд 19

Пример № Решить уравнение x4 + 4x2 - 21 = 0 . Пусть x2 = y , получим квадратное уравнение y2 + 4y - 21 = 0 , откуда находим y1 = -7, y2 = 3 . Теперь задача сводится к решению уравнений x1 = -7 , x2 = 3 . Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим x3=− 3 и x4= 3 , которые являются корнями заданного биквадратного уравнения .

Слайд 22

Примеры для решения 3 х ² + 11 x + 6 = 0