Реферат на тему" Способы решения квадратных уравнений"

Опубликовано Клыгина Татьяна Александровна вкл 14.10.2011 - 10:24

Автор:

Клещенко Алена Борисовна

Данная работа ученика включает в себя шесть способов решения квадратных уравнений.

Скачать:

Вложение	Размер
cposoby__resheniya_kvadratnyh_uravneniy.doc	847 КБ

Предварительный просмотр:

Реферат на тему:«СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

ученицы 9 класса Тульского УКП МОУРВ(с)ОШ Клещенко Алены Борисовны

Способы решения квадратных уравнений:

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a,b,c – числа,a0, называются квадратными.

I. Решение неполных квадратных уравнений.

Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов b и c равен 0.

Коэффициент, равный нулю	b=0	c=0	b=0 и c=0
Вид	ax2+c=0	ax2+bx=0	ax2=0
Решение	ax2=-c x2=-	x(ax+b)=0 x=0 или ax+b=0	x2=0
Корни	Если то корней нет, Если то x1,2=.	x1=0 x2=-	x=0

Пример 1

5x2-10=0;

5x2=10;

x2=2;

x=.

Ответ: .

Пример 2

x2+3=0;

x2=-3;

x2=-3

нет корней, т.к. x2.

Ответ: корней нет

Пример 3

2x2+5x=0;

x(2x+5)=0;

x=0 или 2x+5=0;

x=-2,5.

Ответ: 0; -2,5.

Пример 4

x2=0;

x=0.

Ответ: 0.

II. Решение полных квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена.

Вспомним формулы сокращённого умножения: (ab)2=a22ab+b2.

Рассмотрим алгоритм решения квадратных уравнений данным способом на примере x2-6x-7=0;

1) Запишем коэффициент b как произведение двойки на некоторое число: b=2n:

x2-6x-7= x2-23x-7.

2) Число n показывает второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: n=3.

Для того, чтобы получить квадрат двучлена, нужно прибавить 32 и одновременно вычесть его:

x2-23x-7= x2-23x+9-9-7.

3) Выделим квадрат двучлена:

x2-6x-7=(x-3)2-16.

4) Решим полученное уравнение:

(x-3)2-16=0;

(x-3)2=16;

x-3=4 или x-3=-4;

x=7 x=-1.

Ответ: 7; -1.

2. Корни уравнения ax2+bx+c=0.

Частный случай №1:

Если a+b+c=0, то x1=1, x2=.

Частный случай №2:

Если a + c=b, то x1=-1, x2=.

Пример 1

x2-2009x+2008=0;

a=1, b=-2009,c=2008;

a+b+c=1-2009+2008=0, следовательно,

x1=1, x2=.

Ответ: 1; 2008.

Пример 1

x2+2000x+1999=0;

a + c=1+1999=2000=b, следовательно,

x1=-1, x2=.

Ответ: -1, .

3. Теорема Виета:

Числа x1 и x2 – корни приведённого квадратного уравнения x2+px+q=0, тогда и только тогда, если: x1 + x2 =-p

и x1 x2 =q.

Пример

x2-5x+6=0;

x1 + x2 =5 и x1 x2 =6,

следовательно x1=2 и x2=3.

Ответ: 2; 3.

4. Метод «переброски» старшего коэффициента.

В некоторых случаях бывает удобно решать сначала не данное уравнение, а уравнение, полученное «переброской» старшего коэффициента a.

Корни квадратных уравнений

связаны соотношением: и .

Пример

;

Ответ: ; .

5. Решение квадратных уравнений, у которых второй коэффициент чётный (через D1).

Эта формула помогает избежать громоздких вычислений, упрощает процесс нахождения корней, если ax2+bx+c=0, b=2k, где k- целое число. Тогда находим D1= - сокращённый дискриминант ()

Если D1, то корней нет. Если D1=0, то один корень.

Если D1, то два корня: X1,2=.

Пример

3x2-8x+5=0;

D1=, следовательно, два корня

X1=,

X2= .

Ответ: 1; .

6. Решение квадратных уравнений по формуле.

ax2+bx+c=0; D=b2-4ac,

Если D, то два корня: X1,2=

Если D=0, то один корень x=.

Если D, то корней нет

Перед решением уравнения обратить внимание на следующие выводы:

1) Если a , то целесообразно умножить обе части уравнения на -1;

2) Если все коэффициенты квадратного уравнения имеют общий делитель, то целесообразно разделить на него обе части уравнения;

3) Если хотя бы один из коэффициентов квадратного уравнения является дробным, то целесообразно обе части уравнения умножить на такое число, чтобы получилось уравнение с целыми коэффициентами.

Пример 1

12x2+7x+1=0;

a=12, b=7, c=1;

D= 72-4=1, следовательно, два корня