В своей работе Максимова Е, разбирает всевозможные методы построения сечений многогранников, проводит подробные исследования для каждого случая, приводит сравнительный анализ этих методов, рассматривает применение их в школе.
Вложение | Размер |
---|---|
maksimova_e.docx | 772.79 КБ |
Федеральное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно - строительный университет»
(ННГАСУ)
Региональная конференция – конкурс индивидуальных исследовательских проектов, выполняемых школьником при научном консультировании ученых Международной ассоциации международных вузов (АСВ)
Предметная номинация – геометрия
Возрастная ассоциация – 10 класс
Тема «Методы построения сечений многогранников»
Максимова Елизавета Игоревна
МБОУ средняя школа с углубленным изучением отдельных предметов №91
Руководитель:Мухаметшина Рузалия Алиевна, учитель математики и информатики, МБОУ средняя школа с углубленным изучением отдельных предметов №91
Нижний Новгород
2015
Содержание
I. История начертательной геометрии
II. Определения многогранников
III. Методы построения сечений многогранников
3.1 Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии
3.2 Метод следов в построении плоских сечений многогранников
3.3 Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников
3.4 Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников
Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформированные Евклидом около 300 года до нашей эры, ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии.
Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Многогранники и построение их сечений”. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.
На уроках геометрии в этом году мы прошли тему “Построение сечений многогранников”. В рамках программы мы изучили один метод построения сечений, но мне стало интересно, а какие методы ещё существуют.
Цель моей работы: Изучить все методы построения сечений многогранников.
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники. "Многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".
В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.
Еще в глубокой древности человек чертил и рисовал на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обихода изображения вещей, деревьев, животных и людей. Он делал это для удовлетворения своих потребностей, в том числе эстетических. При этом основное требование к таким изображениям заключалось в том, чтобы изображение вызывало правильное зрительное представление о форме изображаемого предмета.
С ростом практических и технических применений изображений (в строительстве зданий и других гражданских и военных сооружений и т. п.) к ним стали предъявлять и такие требования, чтобы по изображению можно было судить о геометрических свойствах, размерах и взаиморасположении отдельных элементов определенного предмета. О таких требованиях можно судить по многим памятникам древности, уцелевшим до наших дней. Однако строгие геометрические обоснованные правила и методы изображения пространственных фигур (с соблюдением перспективы) стали систематически разрабатывать художники, архитекторы и скульпторы лишь в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и др.
Начертательная геометрия как наука была создана в конце XVIII века великим французским геометром и инженером Гаспаром Монжем (1746 – 1818). В 1637 г. французский геометр и философ Рене Декарт (1596 – 1650) создал метод координат и заложил основы аналитической геометрии, а его соотечественник, инженер и математик Жирар Дезаг (1593 – 1662), использовал этот метод координат для построения перспективных проекций и обосновал теорию аксонометрических проекций.
В XVII веке в России успешно развивались технические чертежи, выполненные в виде планов и профилей в масштабе. Здесь в первую очередь следует назвать чертежи выдающегося русского механика и изобретателя И.П. Кулибина (1735 – 1818). В его проекте деревянного арочного моста впервые были использованы ортогональные проекции (1773). (Ортогональное проектирование плоскости на лежащую в ней прямую или пространства на плоскость – это частный случай параллельного проектирования, в котором направление проекции перпендикулярно прямой или плоскости, на которую проектируют.)
Большой вклад в развитие ортогональных проекций внес французский инженер А. Фрезье (1682 –1773), который впервые рассмотрел проецирование объекта на две плоскости – горизонтальную и фронтальную.
Величайшей заслугой Г. Монжа явилось обобщение всех научных трудов его предшественников, всей теории о методах изображения пространственных фигур и создание единой математической науки об ортогональном проецировании – начертательной геометрии.
Рождение этой новой науки почти совпало с основанием в Петербурге первого в России высшего транспортного учебного заведения – Института Корпуса инженеров путей сообщения (2 декабря 1809 г.)
Выпускники этого института, его профессора и ученые внесли существенный вклад в развитие геометрических методов изображения, в теорию и практику начертательной геометрии.
В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.
Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из нескольких плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.
Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.
Поверхность многогранника состоит из ребер, отрезков и граней плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки, при этом выделить сплошными линиями, видимые и штриховыми невидимые стороны полученного многоугольника сечения.
Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.
Данный материал характеризуется следующим особенностями:
Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:
Поскольку плоскость определяется:
Построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.
Задача 1. Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н— внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 1, а).
Решение.
1-й шаг. Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК — одна из сторон искомого сечения (рис. 1, б).
2-й шаг. Аналогично, отрезок КН — другая сторона искомого сечения (рис. 1, в).
3-й шаг. Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Построим точку T= КН ∩АР (рис. 1, г).
Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α и плоскость АРС пересекаются по прямой МТ, которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 1, д).
4-й шаг. Теперь так же, как в шаге 1, устанавливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение — четырехугольник MKHR (рис. 1, е).
Рис. 2
Задача 2. Постройте сечение пирамиды MABCD плоскостью α = (КНР), где K, H и P — внутренние точки ребер соответственно МА, МВ и MD (рис. 2, а).
Решение. Первые два шага аналогичны шагам 1 и 2 предыдущей задачи. В результате получим стороны КР и КН (рис. 2, б) искомого сечения. Построим остальные вершины и стороны многоугольника — сечения.
3-й шаг. Продолжим отрезок КР до пересечения с прямой AD в точке F (рис. 2, в). Так как прямая КР лежит в секущей плоскости α, то точка F= КР ∩ AD = КР ∩ (АВС) является общей для плоскостей α и АВС.
4-й шаг. Продолжим отрезок КН до пересечения с прямой АВ в точке L (рис. 2, г). Так как прямая КН лежит в секущей плоскости α, то точка L = КН ∩ АВ = КН ∩ (АВС) является общей для плоскостей α и АВС.
Таким образом, точки F и L являются общими для плоскостей α и АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость АВС основания пирамиды по прямой FL.
5-й шаг. Проведем прямую FL. Эта прямая пересекает ребра ВС и DС соответственно в точках R и T (рис. 2, д), которые служат вершинами искомого сечения. Значит, плоскость α пересекает грань основания ABCD по отрезку RT - стороне искомого сечения.
6-й шаг. Теперь проводим отрезки RH и РТ (рис. 2, е), по которым плоскость α пересекает грани ВМС и MCD данной пирамиды. Получаем пятиугольник РКНRТ - искомое сечение пирамиды MABCD (рис. 2, е).
Рассмотрим более сложную задачу.
Задача 3. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 3, а).
Решение. Прямые (QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плоскости) и пересекаются в некоторой точке T1, (рис. 3 б), при этом T1 є α, так как QК є α.
Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F (рис. 3, в), которая является точкой пересечения плоскости АРR и стороны DE основания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в некоторой точке Т2 (рис. 3, г), при этом Т2 є α, как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).
Получили: прямая Т1 Т2 лежит в секущей плоскости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом прямая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 3, д), которые являются точками пересечения плоскости α с ребрами DE и АЕ пирамиды и служат вершинами искомого сечения.
Далее, прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме прямой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н — еще одной вершине искомого сечения (рис. 3, е).
Далее, построим точку Т3 - Т1Т2 ∩ АВ (рис. 3, ж), которая, как точка прямой Т1Т2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т3К — прямая пересечения этих плоскостей. Прямая Т3К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 3, з), которая служит очередной вершиной искомого сечения.
Рис. 3
Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:
1. Т1 = QK ∩АС;
2. F = PR ∩ DE;
3. Т2 = KR ∩ AF;
4. М = Т1Т2 ∩ DE;
5. N = Т1Т2 ∩ АЕ;
6. Н = MR ∩ PD;
7. T3 = Т1Т2 ∩ АВ;
8. L = T3K ∩ PB.
Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение.
Сечение пирамиды на рис. 1 и сечение куба на рис. 2 построены на основании лишь аксиом стереометрии.
Вместе с тем сечение многогранника, имеющего параллельные грани (призма, параллелепипед, куб), можно строить, используя свойства параллельных плоскостей.
Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.
Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости, удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.
Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы (пирамиды).
Задача 1. Построить сечение призмы АВСВЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD1.
Решение. Анализ. Предположим, что пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 4). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) — точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС1, ВB1, АА1, ЕЕ1 данной призмы.
Е1 D1
Для построения точки N =α ∩ СС1 достаточно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD1C1. Для этого, в свою очередь, достаточно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?
Так как прямая l лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать плоскость грани СDD1C1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD1) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD1) принадлежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС1 достаточно построить точку X = l ∩ СD.
Аналогично, для построения точек Р= α ∩ ВВ1, Q = α ∩ АА1 и R = α ∩ ЕЕ1 достаточно построить соответственно точки: У = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и Т =1 ∩ АЕ.
Построение. Строим (рис. 5):
1. X = l ∩ СD (рис. 5, б);
2. N = МХ ∩ СС1 (рис. 5, в);
3. У = l ∩ ВС (рис. 5, г);
4. Р = NY ∩ ВВ1 (рис. 5, д);
5. Z = 1 ∩ АВ (рис. 5, е);
6. Q= РZ ∩ АА1 (рис. 5, ж);
7. T= l ∩ АЕ (рис. 5, з);
8. R= QT ∩ ЕЕ1 (рис. 5, и).
Пятиугольник MNPQR — искомое сечение (рис. 5, к).
Доказательство. Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.
Поэтому имеем:
М Є α, X Є α => МХ є α, тогда МХ ∩ СС1 = N є α , значит, N = α ∩ СС1;
N Є α, Y Є α => NY Є α, тогда NY ∩ ВВ1= Р Є α, значит, Р = α ∩ ВВ1;
Р Є α, Z Є α => РZ Є α, тогда PZ ∩ AА1 = Q Є α, значит, Q = α ∩ АA1;
Q Є α, T Є α => QТ Є α, тогда QТ ∩ EЕ1 =R Є α, значит, R = α ∩ ЕЕ1.
Следовательно, MNPQR - искомое сечение.
Исследование. След l секущей плоскости α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадлежит боковому ребру DD1 призмы. Поэтому секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадлежит следу l, то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет (всегда) единственное решение.
В некоторых учебных пособиях метод построения сечений много-гранников, ко¬торый мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проекти¬рования или методом соответствий, или методом диа-гональных сечений.
Задача 1. Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответ-ственно РА, РС и РЕ . (Рис. 6)
Решение. Плоскость основания пирамиды обозначим β. Для построе-ния искомого сечения построим точки пересечения секущей плоскости α с ребрами пирамиды.
Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды.
Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответ-ственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К. Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К1: К1 = РК ∩ FR, при этом К1 є α. Тогда: М є α, К1 є α => прямая МK є а. Поэтому точка Q = МК1 ∩ РD есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q— вершина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по прямым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н. Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н1.Тогда прямая RН1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ — вершине сечения.
Таким образом, последовательность шагов построения искомого сечения такова:
1. К = АD ∩ ЕС; 2. К1 = РК ∩ RF;
3. Q = МК1 ∩ РD; 4. H = BE ∩ АD;
5. Н1 = РН ∩ МQ; 6. N = RН1 ∩ РВ.
Пятиугольник MNFQR — искомое сечение.
Сущность комбинированного метода по¬строения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах по¬строения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендикулярности прямых и плоскостей.
Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим следующую задачу.
Задача1.
Постройте сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью α, заданной точками Р, Q и R, если точка Р лежит на диагонали А1C1, точка Q на ребре ВВ1 и точка R на ребре DD1. (Рис. 7)
Решение
Решим эту задачу с применением метода следов и теорем о параллельности прямых и плоскостей.
Прежде всего, построим след секущей плоскости α = (РQR) на плоско-сти АВС Для этого строим точки Т1 = РQ ∩ Р1В (где PP1 ║AA1,P1є AC) и T2 = RQ ∩ ВD. Построив след Т1Т2, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А1B1C1, которая параллельна плоскости АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость А1B1C1 по прямой, проходящей через точку Р и парал-лельной прямой Т1Т2. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно А1B1 и А1D1 Получаем: М = α ∩ А1B1, Е =α∩ А1D1. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения.
Далее, так как плоскость ВСС1 параллельна плоскости грани ADD1A1, то плоскость α пересекает грань ВСC1B1 по от резку QF (F= α ∩ СС1), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку F можно получить, проведя RF║ MQ)
Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей. (Рис. 8)
Рис. 8
Пусть Н=АС ∩ ВD. Проведя прямую НН1 параллельно ребру ВВ1 (Н1 є RQ), построим точку F: F=РН1 ∩ CC1.Tочка F является точкой пересечения плоскости α с ребром СС1, так как РН1 є α. Тогда отрезки RF и QF, по которым плоскость α пересекает соответственно грани CС1D1D и ВСС1В1 данного параллелепипеда, являются сторонами его искомого сечения.
Так как плоскость АВВ1 параллельна плоскости CDD1, то пересечением плоскости α и грани АВВ1А1 является отрезок QМ (М Є А1В1), параллельный отрезку FR; отрезок QМ - сторона сечения. Далее точка Е = МР ∩ А1D1 является точкой пересечения плоскости α и ребра А1D1, так как МР є α. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку Е можно построить, проведя прямую RЕ ║ FQ. Тогда М = РЕ ∩ А1B1).
Благодаря этой работе я обобщила и систематизировала знания, полученные за курс геометрии этого года, ознакомилась с правилами выполнения творческой работы, получила новые знания и применила их на практике.
Мне бы хотелось чаще использовать свои новые полученные знания на практике.
К сожалению, я рассмотрела не все методы построения сечений многогранников. Существует ещё множество частных случаев:
В будущем я планирую расширить своё исследование и дополнить свою работу разбором выше перечисленных частных случаев.
Я считаю, что моя работа актуальна, так как она может быть использована учащимися средних и старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах и для самообразования молодых учителей. Выпускники средних школ должны не только овладеть материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы.
Финист - Ясный сокол
Почему люди кричат, когда ссорятся?
Будьте как солнце!
Интересные факты о мультфильме "Моана"
Развешиваем детские рисунки дома