ВВЕДЕНИЕ
Цель:
Научиться верно применять тригонометрические функции при решении практических измерительных задач; доказать, что знание основных тригонометрических функций позволяет решать вопросы во многих областях науки.
Задачи:
1) Дать определение тригонометрии, тригонометрическим функциям;
2) Решить некоторые задачи с использованием тригонометрических функций;
3) Сделать вывод о проведенной работе.
Актуальность моей работы заключается в том, что данная работа актуальна как для меня, так и для других учащихся, ведь по статистике именно тригонометрические задачи вызывают наибольшую сложность на ОГЭ и ЕГЭ.
Гипотеза:
Есть такие задачи, решение и ответ которых можно найти только тригонометрическим способом.
Вложение | Размер |
---|---|
proekt_po_matematike.pptx | 2.02 МБ |
proekt_matematika.docx | 262.08 КБ |
Слайд 1
Исследовательская работа по математике на тему: «применение тригонометрии для решения задач планиметрии» Выполнила Ученица 10 класса Журавлёва Алеся Руководитель: Учитель математики Товменко Светлана Петровна 2020-2021 гг. Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Бондаревская средняя общеобразовательная школа Кантемировского муниципального района Воронежской областиСлайд 2
Объект исследования: тригонометрические функции Цель : Научиться верно применять тригонометрические функции при решении практических измерительных задач ; доказать, что знание основных тригонометрических функций позволяет решать вопросы во многих областях науки. Задачи: 1) Дать определение тригонометрии, тригонометрическим функциям; 2) Решить некоторые задачи с использованием тригонометрических функций; 3) Сделать вывод о проведенной работе. Актуальность моей работы заключается в том, что данная работа актуальна как для меня, так и для других учащихся, ведь по статистике именно тригонометрические задачи вызывают наибольшую сложность на ОГЭ и ЕГЭ.
Слайд 3
Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса . Происхождение этого слова греческое τρίγωνον – треугольник, μετρεω – мера. Иными словами, тригонометрия – наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических карт.
Слайд 4
Тригонометрия зародилась в странах древнего Востока и, будучи тесно связанной с астрономией, сделала первые шаги в своем развитии . Основы этой науки заложены в Древней Греции.
Слайд 5
Греческие астрономы Гиппарх во II веке до н.э. Птолемей во II веке н.э составили таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг .
Слайд 6
Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в. В отличие от греков инд ийцы стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. синуса - половины центрального угла. Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус , точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Им были известны также соотношения cos = sin (90 - ) и sin 2 + cos 2 = r 2 , а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.
Слайд 7
Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в. Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90 . «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co - sinus .
Слайд 8
Развитие тригонометрии в странах Средней Азии , Ближнего Востока, Закавказья( VII - XV в.) Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный «вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индийцам.
Слайд 9
Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой (Х III в.) Насирэддин Туси В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274).
Слайд 10
Позже тригонометрия начала широко изучаться в Европе. Его обширные таблицы синусов через 1 0 с точностью до 7-ой цифры и его изложенный тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII вв. И. Региомонтан Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций .
Слайд 11
В XVII – XIX вв. тригонометрия становится одной из глав математического анализа. Она находит большое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии. Ф.Виет Жан Фурье Доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебаний.
Слайд 12
Леонард Эйлер Основоположник аналитической теории тригонометрических функций. Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г) трактует синус, косинус и т.д. не как тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью, а как тригонометрические функции, которые он рассматривал как отношения сторон прямоугольного треугольника, как числовые величины. Разрабатывает учение о тригонометрических функциях любого аргумента.
Слайд 13
В XIX веке продолжил развитие теории тригонометрических функций. Н.И.Лобачевский « Геометрические рассмотрения ,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».
Слайд 14
В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.
Слайд 15
Решить задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям, получаем то, что требуется в задаче, - ее ответ. Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов: 1. анализ задачи; 2. схематическая запись задачи; 3. поиск способа решения задачи; 4. осуществление решения задачи; 5. проверка решения задачи; 6. исследование решения; 7. формулирование ответа задачи; 8. познавательный анализ решения задачи. решения задач с использованием тригонометрических функций
Слайд 16
задачи на использование тригонометрических функций, так или иначе связанных с измерительными действиями. А В С Какова должна быть высота горки, если ее длина 7м, а угол наклона не более 35°. Н=7* sin 35° =7*0,5735=4,01 ( м) Значит, высота горки не должна превышать 4м, тогда угол будет меньше 35°, и кататься будет безопаснее.
Слайд 17
В равнобедренном треугольнике величина угла при вершине равна α , а площадь его равна S . Найти длину основания треугольника . Дано : ABC - равнобедренный , AB=BC ,угол ABC= α Найти: AC-? Решение:
Слайд 18
Высота дерева Способ определения высоты дерева при помощи зеркала основан на законе отражения света: угол падения равен углу отражения. На некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ED), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния CD от зеркала до наблюдателя.
Слайд 19
Расстояние от человека до дерева – 6. 4 м. Необходимо найти высоту дерева и расстояние от верхушки до человека, если угол обзора человека равен 42°. Дано: ВС = 6. 4 м, угол C = 42° Найти: АВ , АС Решение : 1) tg α = AB/CB ; tg 42° = АВ / 6 . 4 AB = 6.4 ∙ tg 42° AB = 6.4 ∙ 0. 9004 AB ≈ 5. 76 м 2) cos α = BC/AC cos 42° = 6.4/AC AC = 6. 4/ cos 42° AC = 6.4/0 . 7431 АС ≈ 8. 6
Слайд 20
Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 35 ° с одной стороны и 41 ° - с другой. Найти длину скатов крыши. Дано: AC=10м, угол ВАС=35 ° , угол ВСА=41 ° Найти: АВ-? ВС-? Решение: Угол конька крыши АВС=180 ° -35 ° -41 ° =104 ° По теореме синусов Также по теореме синусов : Ответ : 6 м и 7 м
Слайд 21
Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Найти ширину насыпи в нижней ее части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м . Дано : ВС=60м , ВВ ₁ =12м , α =60 °. Найти: AD-? Решение : AD = AB 1 + B 1 C 1 + C 1 D , т.к. трапеция равнобедренная АВ 1 =С D 1 . AB 1 = ВВ 1 ∙ tg60° = 12 ∙ 1,732=20,78( м ) AD=2 ∙ 20,76 + 60 =101,6 ( м ). Ответ: 101,6 м.
Слайд 22
Пизанская башня Пизанская известна тем, что она стоит не вертикально, а немного наклонена. Из-за этого наклона её ещё называют Падающей башней. Дано: ВС=56,7м, АС=4,5м. Найти: угол В. Решение: tgB =AC:BC=4,5:56,7=0,080357, Тогда угол В = 4°35´. Высота Пизанской башни в самой высокой точке составляет 56,7м, отклонение вершины от вертикали-4,5м. Найдем угол наклона башни от вертикали. Угол наклона башни от вертикали равен углу В
Слайд 23
Самолет радирует капитану рыболовецкого судна, что он находится над косяком рыбы на высоте Z . C c удна определяют угол возвышения самолета, он равен α . Вычислить расстояние судна от косяка рыбы. Дано: Z =3 км, α =43° Найти : d -? Решение: α = α ₁ (по свойству параллельные прямых: накрест лежащие углы равны). Тогда d = Z * ctg α = 3*1,072 = 3,22 км. Ответ: 3,22км.
Слайд 24
Выводы Тригонометрия - это не только раздел из школьного курса математики, но и дисциплина, имеющая большое значение в различных областях науки и техники. В различных сферах деятельности человека. Тригонометрия как наука имеет интересную и богатую историю развития
Слайд 25
Спасибо за внимание!!!
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Бондаревская средняя общеобразовательная школа
Кантемировского муниципального района Воронежской области
Исследовательская работа по математике на тему: «применение тригонометрии для решения задач планиметрии»
Выполнила
Ученица 10 класса
Журавлёва Алеся
Руководитель:
Учитель математики
Товменко Светлана Петровна
2020-2021гг.
Содержание………………………………………………………2
Введение…………………………………………………………………3
§1. Понятие тригонометрии и тригонометрических функций……………………………………...4
§1.1. Исторические сведения………………………………………….4
§2. Решение задач с использованием тригонометрических функций…………………………………………………5
§2.1. Решение практических задач……………….…6
§3.Заключение……………………………………………………………7
ВВЕДЕНИЕ
Цель:
Научиться верно применять тригонометрические функции при решении практических измерительных задач; доказать, что знание основных тригонометрических функций позволяет решать вопросы во многих областях науки.
Задачи:
1) Дать определение тригонометрии, тригонометрическим функциям;
2) Решить некоторые задачи с использованием тригонометрических функций;
3) Сделать вывод о проведенной работе.
Актуальность моей работы заключается в том, что данная работа актуальна как для меня, так и для других учащихся, ведь по статистике именно тригонометрические задачи вызывают наибольшую сложность на ОГЭ и ЕГЭ.
Гипотеза:
Есть такие задачи, решение и ответ которых можно найти только тригонометрическим способом.
§1. Понятие тригонометрии, тригонометрических функций
Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое τρίγωνον – треугольник, μετρεω – мера. Иными словами, тригонометрия – наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических карт.
§ 1.1. Исторические сведения
Тригонометрия зародилась в странах древнего Востока и, будучи тесно связанной с астрономией, сделала первые шаги в своем развитии . Основы этой науки заложены в Древней Греции.
Гиппарх и Птолемей составили таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг.
Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.
В отличие от греков индийцы стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ′ соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. синуса α- половины центрального угла.
Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Им были известны также соотношения cosα=sin(90°-α) и sin2α+cos2α=r2, а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.
Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.
Развитие тригонометрии в странах Средней Азии , Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.)
Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный «вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индийцам.
Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой (Х III в.)
В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.
Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274).
Позже тригонометрия начала широко изучаться в Европе.
Обширные таблицы синусов И. Региомонтана через 10 с точностью до 7-ой цифры и его изложенный тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII вв.
А Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций.
В XVII – XIX вв. тригонометрия становится одной из глав математического анализа. Она находит большое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов.
О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии.
Жан Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено ( с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебаний.
Леонард Эйлер является основоположником теории тригонометрических функций.
Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г) трактует синус, косинус и т.д. не как тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью, а как тригонометрические функции, которые он рассматривал как отношения сторон прямоугольного треугольника, как числовые величины.
Разрабатывает учение о тригонометрических функциях любого аргумента.
В XIX веке продолжил развитие теории тригонометрических функций Лобачевский.
« Геометрические рассмотрения ,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».
В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.
§2. Решение задач с применением тригонометрии
Решить задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям, получаем то, что требуется в задаче, - ее ответ.
Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:
1. анализ задачи;
2. схематическая запись задачи;
3. поиск способа решения задачи;
4. осуществление решения задачи;
5. проверка решения задачи;
6. исследование решения;
7. формулирование ответа задачи;
8. познавательный анализ решения задачи.
§ 2.1. Практические задачи
Какова должна быть высота горки, если ее длина 7м, а угол наклона не более 35°.
Н=7*sin35°=7*0,5735=4,01(м)
Значит, высота горки не должна превышать 4м, тогда угол будет меньше 35°, и кататься будет безопаснее.
В равнобедренном треугольнике величина угла при вершине равна α, а площадь его равна S. Найти длину основания треугольника.
Дано: ABC- равнобедренный, AB=BC,угол ABC=α
Найти: AC-?
Решение:
Интересный факт
Способ определения высоты дерева при помощи зеркала основан на законе отражения света: угол падения равен углу отражения. На некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ED), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния CD от зеркала до наблюдателя
Расстояние от человека до дерева – 6. 4 м. Необходимо найти высоту дерева и расстояние от верхушки до человека, если угол обзора
человека равен 42°.
Дано: ВС = 6. 4 м, угол C = 42°
Найти: АВ, АС
Решение:
1) tg α = AB/CB;
tg 42° = АВ/6. 4
AB = 6.4∙tg 42°
AB = 6.4 ∙ 0. 9004
AB ≈ 5. 76 м
2) cos α = BC/AC
cos 42° = 6.4/AC
AC = 6. 4/cos 42°
AC = 6.4/0. 7431
АС ≈ 8. 6
Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 35o с одной стороны и 41o - с другой. Найти длину скатов крыши.
Дано: AC=10м, угол ВАС=35градусов, угол ВСА=41градус
Найти: АВ-? ВС-?
Решение:
Угол конька крыши АВС=180o - 35o- 41o=104o
,
Также по теореме синусов:
.
(используется таблица синусов)
Ответ: 6 м и 7 м
Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Найти ширину насыпи в нижней ее части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м.
Дано:
ВС=60м, ВВ₁=12м, α=60°.
Найти: AD-?
Решение:
AD=AB1+B1C1+C1D, т.к. трапеция равнобедренная АВ1=СD1.
AB1= ВВ1∙tg60°=12∙1,732=20,78(м)
AD=2∙20,76 + 60 =101,6 (м).
Ответ:101,6 м.
Пизанская известна тем, что она стоит не вертикально, а немного наклонена. Из-за этого наклона её ещё называют Падающей башней.
Высота Пизанской башни в самой высокой точке составляет 56,7м, отклонение вершины от вертикали-4,5м. Найдем угол наклона башни от вертикали.
Угол наклона башни от вертикали равен углу В
Дано: ВС=56,7м, АС=4,5м.
Найти: угол В.
Решение:
tgB=AC:BC=4,5:56,7=0,080357,
Тогда угол В = 4°35´.
Самолет радирует капитану рыболовецкого судна, что он находится над косяком рыбы на высоте Z. C cудна определяют угол возвышения самолета, он равен α. Вычислить расстояние судна от косяка рыбы.
Дано: Z=3 км, α=43°
Найти: d-?
Решение: α=α₁
(по свойству параллельные прямых: накрест лежащие углы равны).
Тогда d=Z*ctgα = 3*1,072 = 3,22 км.
Ответ: 3,22км
§3. ВЫВОД
Тригонометрия - это не только раздел из школьного курса математики, но и дисциплина, имеющая большое значение в различных областях науки и техники. В различных сферах деятельности человека.
Машенька - ветреные косы
Лист Мёбиуса
Этот древний-древний-древний мир!
Мальчик и колокольчики ландышей
Где спят снеговики?