Применение систем линейных уравнений при решении задач экономического характера

Опубликовано 20.11.2021 - 19:36 - Янченко Нина Александровна

Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Ачинский колледж отраслевых технологий и бизнеса»

Исследовательская работа

Применение систем линейных уравнений при решении задач экономического характера

Выполнил: Патракова Жанна,

Группа А196э, специальность 13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования

Руководитель: Янченко Н.А.,

преподаватель математики

Ачинск, 2021г.

Введение……………………………………………………………………………	3
1. Системы n линейных уравнений с n переменными…………….……………	3
1.1. Постановка задачи …………………………………………………..……….	3
1.2. Метод Крамера ………………………………………………………….…..	4
1.3. Метод обратной матрицы……………………………………………………	5
1.4. Метод Гаусса…………………………………………………………....……	5
1.5. Применение средств Excel к решению систем линейных уравнений……	6
2.Решение задач с практическим содержанием…………………………….…...	6
Заключение………………………………………………………………...……….	9
Список используемой литературы…………………………………………….….	11
Приложения …………………………………………………………….…………	12

Введение

Большой объем расчетных математических задач приходится на решение систем линейных алгебраических уравнений. Многие задач управленческого и экономического, технологического характера строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к ним.

Актуальность темы заключается в том, что известные приемы и методы решения систем линейных уравнений применимы для решения задач с практическим содержанием, в частности связанных со специальностью.

Цель работы: рассмотреть различные способы решения систем линейных уравнений, показать примеры их практического применения.

Задачи работы

анализ методической и научной литературы по теме.
изучение математических методы решения систем уравнений;
изучение возможностей электронных таблиц MS EXCEL при решении систем линейных уравнений
решение задач с практическим содержанием разными способами.

Объект исследования: задачи с практическим содержанием, сводящиеся к линейным системам.

Предмет исследования: способы и методы решения систем линейных уравнений.

Методы исследования: анализ и синтез.

Практическая значимость состоит в формировании компетентности прикладного использовании знаний, умений и навыков, знакомство с возможностями применения информационных технологий.

1. Системы n линейных уравнений с n переменными

1.1 Постановка задачи

Пусть дана система линейных уравнений. Если число уравнений системы равно числу неизвестных (m = n) называется квадратной.

Решением системы называется такой набор , который обращает все уравнения системы в тождества. Рассмотрим некоторые примеры.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если у нее нет ни одного решения.
Совместная система вида называется определенной, если она имеет единственное решение; если у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной.[3, с.99]

В работе рассматриваются наиболее известные и простые в вычислительном плане методы решения квадратных систем линейных уравнений: метод Крамера, матричный способ, метод Гаусса.

1.2. Метод Крамера

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу А, а из свободных членов матрицу столбец В, т.е. А= В=

Определитель матрицы А обозначим Δ и назовем определителем системы.

Δ =

Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при на столбец свободных членов, то получим n - определителей (для n -неизвестных)

Δ _х1= Δ _х2= Δ _х_n=

Тогда формулы Крамера запишутся так:

x₁= Δ_х1/ Δ, x₂= Δ_х2/ Δ, …… x_n= Δ_х_n /Δ.

Если определитель системы Δ = 0, то возможны два варианта:

1) Δ = 0 и каждый определитель Δxi = 0. В этом случае система имеет бесконечно много решений.

2) Δ = 0 и хотя бы один из определителей Δхi отличен от нуля. Это имеет место тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме xi, пропорциональны. [1, с.87].

1.3 Матричный способ

В матричной форме систему линейных уравнений можно записать так: АХ=В, где А– матрица коэффициентов системы; Х – матрица-столбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов. Если А - квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А дает единичную матрицу. А^-1А=А А^-1=Е. [1, с.78]. Обратная матрица находится по формуле А^-1=

Чтобы решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы нужно:

1) найти обратную матрицу А^-1; 2) найти произведение обратной матрицы на матрицу свободных членов, т.е. А^-1В; 3) пользуясь определением обратных матриц, записать ответ

Х= А^-1В. [1, с.82].

1.4. Метод Гаусса

Систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1) умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число;

2) сложение и вычитание уравнений;

3) перестановку уравнений системы;

4) исключение из системы уравнений строк, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю. [1, с.89].

1.5. Применение средств Excel к решению систем линейных уравнений

С ростом числа переменных в системе, её решение усложняется и становится почти невозможным для вычислений «вручную». В таких случаях все вычисления производят с помощью современных вычислительных средств и компьютерных программ.

Одним из таких средств является Microsoft Excel. В библиотеке Excel в разделе математических функций есть функции для работы с матрицами: МОБР (параметр) - обращение матрицы; МОПР (параметр) - вычисление определителя; МУМНОЖ ( список параметров) - умножение матриц. [3,с. 306]

Для решения систем линейных уравнений по формулам Крамера нужно:

разместим на рабочем листе матрицу А системы и вспомогательные матрицы;
применим функцию МОПРЕД (матрица), вычислим определители всех

матриц. ( Приложение 1)

по формулам Крамера найдем решение системы, введя в ячейки формулы.

(Приложение 2)

Для решения системы с помощью обратной матрицы нужно:

в диапазон ячеек таблицы ввести матрицу А коэффициенты системы и матрицу В свободных членов; выделить в свободном столбце диапазон ячеек, равный числу переменных в системе и ввести в него формулу = МУМНОЖ (МОБР(А);В); нажать сочетание клавиш < Ctrl>+ <Shift > + <Enter>; в выделенном диапазоне появятся ответы. ( Приложение 3).

2. Решение задач с практическим содержанием

Системы линейных уравнений широко используются в задачах экономики, физики, химии и других науках. Умение решать системы линейных уравнений - это лишь метод для решения более сложных практических задач. Одна из них - задача планирования выпуска продукции, сводятся к решению систем линейных уравнений.

Задача 1. Швейная фабрика в течении трех дней производила костюмы, плащи и куртки. Известны объемы выпуска продукции за три дня и денежные затраты на производство за эти три дня. Найти себестоимость единицы продукции каждого вида.

День	Объем выпуска продукции( единиц)			Затраты (тыс.усл.ед)
День	Костюмы	Плащи	Куртки	Затраты (тыс.усл.ед)
I	50	10	30	176
II	35	25	20	168
III	40	20	30	184

Как известно, решение прикладной задачи ведётся по известной трехэтапной схеме: формализация; математизация; интерпретация. [6]

Решение: 1 этап (формализация). Пусть х (тыс.усл.ед)-затрат на производство одного костюма, у-затраты на производство одного плаща, z- затрат на производство одной куртки.

Зная затраты на каждый день и количество произведенной продукции за день, составим систему линейных уравнений:

2 этап (математизация). 1) Метод Крамера

Δ= = 50*25*30+35*20*30+10*20*40-30*25*40-50*20*20-5*10*30=6000.

Так как определитель не равен нулю, то система совместна и имеет решение.

Δx==176*25*30+168*20*30+10*20*184-30*25*184-176*20*20- 168*10*30=10800

Δy==50*168*30+35*184*30+176*20*40-30*168*40-50*20*184- 35*176*30=15600

Δz==50*25*184+35*20*176+10*168*40-176*25*40-50*20*168-35*10*184=12000

x = Δx/ Δ=10800/6000=1,8; y= Δy/ Δ=15600/6000=2,6; z= Δz/ Δ=12000/6000=2.

2) Решим систему с помощью обратной матрицы.

Значение определителя матрицы А мы уже подсчитали в предыдущем способе.

Δ= 6000. Для вычисления обратной матрицы найдем алгебраические дополнения.

A₁₁= = 350 A₁₂= - = -250 A₁₃= = -300

A₂₁= - = 300 A₂₂= = 300 A₂₃= - = -600

A₃₁= = -550 A₃₂= - =50 A₃₃= = 900

A^-1= - обратная матрица.

Найдем произведение обратной матрицы на матрицу свободных членов

X=A^-1B=

3) Решим систему методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу

Поменяем местами 1 и 2 столбцы матрицы местами

Разделим первую строчку системы на 10:

Умножим первую строчку на (-25) и прибавим ко второй:

Умножим первую строчку на (-20) и прибавим к третьей:

Умножим вторую строчку на (-2),а третью – на 3. Результат их сложения запишем в третьей строке: . Прямой ход завершен.

Выполним обратный ход с помощью последовательных подстановок.

Из третьей строки: 20z=40; z=40/20; z=2.

Из второй: -90x -55z =-272; -90x-55*2=-272; -90x=-272+110; -90x=-162; x=162/90; x=1,8.

Из первой строки: y+5x+3z=17,6; y+5*1,8+3*2=17,6; y+9+6=17,6; y=2,6.

III этап (интерпретация). Себестоимость 1,8 тыс.усл.ед для производства одного костюма, 2,6 тыс.усл.ед - для производства одного плаща и 2 тысячи усл.ед. - для производства одной куртки.

Заключение

В работе рассмотрены три наиболее часто применяемых метода решения систем линейных уравнений. При оценке методов решения задач значение имеют такие свойства, как универсальность и простота применения для вычислений.

Изучив основные методы решения систем линейных уравнений, проанализировав их преимущества и недостатки можно сделать следующие выводы:

Метод Крамера является наиболее простым, позволяет найти решение по формулам, через известные коэффициенты. Недостатком метода является трудоемкость вычисления определителей, когда число уравнений системы больше трех, но с применением вычислительных средств (таблиц Excel) эта проблема исчезает.

Матричный метод так же дает четкий алгоритм решения, метод подходит для систем у которых определитель основной матрицы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы достаточно сложно. Упростить вычислительную работу помогут электронные таблицы.

Метод Гаусса является менее трудоемким в плане вычислений т.к. не нужно вычислять определители и обратные матрицы. К недостаткам метода можно отнести то, что метод не дает четкой последовательности вычислительных действий.

При выборе способа решения практических задач, нужно оценить ее сложность и применить наиболее простой в применении. Большое упрощение вычислений дает применение информационных технологий.

Список использованной литературы