«Зависимость корней квадратного уравнения ах2 + вх + с=0 от коэффициентов а, в, с.»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №14»

Материал  Соревнования молодых исследователей «Шаг в будущее» в

Северо - Кавказском федеральном округе Российской Федерации

Секция «Фундаментальная математика»

Учебно-исследовательская

работа на тему:

«Зависимость корней квадратного уравнения ах2 + вх + с=0

от коэффициентов а, в, с.»

Выполнил: учащийся 8 «а» класса муниципального казенного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа №14 »    Антонян Роман.

Руководитель: учитель математики высшей квалификационной категории муниципального казенного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа №14 » Перцева С.А.

с. Степное,

октябрь,2013г.

Цель работы:

выяснить зависимость корней квадратного уравнения ах2 + вх + с=0 от коэффициентов а, в, с.

Практическое исследование:

Я решил ряд предложенных уравнений, используя теорему обратную теореме Виета, для нахождения корней квадратных уравнений и обратил внимание на коэффициенты уравнений и корни этих уравнений:

1 группа.

1. х2 + х – 2 = 0,   коэффициенты: 1 + 1 – 2 = 0, корни: х1 = 1, х2 = -2
2. х2 + 2х – 3 = 0,   коэффициенты: 1 + 2 – 3 = 0, корни: х1 = 1, х2 = -3
3. х2 - 3 х + 2 = 0,   коэффициенты: 1 - 3 +2 = 0, корни: х1 = 1, х2 = 2
4. 14 х2 - 17 х + 3 = 0,   коэффициенты: 14 - 17 + 3 = 0, корни: х1 = 1, х2 = 3/14
5. 13х2 - 18 х + 5 = 0,   коэффициенты: 13 – 18 + 5 = 0, корни: х1 = 1, х 2= 5/13

2 группа.

1. х2  -  х – 2 = 0,   коэффициенты: 1- (-1) – 2 = 0, корни: х1  = -1, х2 = 2
2. х2 - 2 х – 2 = 0,   коэффициенты: 1 – (- 2) - 3 = 0, корни: х1  = - 1, х2 = 3
3. 2х2 + 3х + 1 = 0,   коэффициенты: 2 – 3  + 1 = 0, корни: х1  =  - 1, х2 = -1/2
4. 5х2 - 4х – 9 = 0,   коэффициенты: 5 – (- 4) – 9 = 0, корни: х1 = -1, х2 = 9/5
5. 14х2 + 3х - 11 = 0,   коэффициенты: 14 – 3 – 11 = 0, корни: х1 = - 1, х2=11/14

Выводы: 1) во всех предложенных уравнениях c/a

первой группы коэффициенты а + в + с = 0 и один из корней равен 1, а другой  c/a

2) во всех предложенных уравнениях второй  группы коэффициенты  

а - в + с = 0 и один из корней равен  - 1, а другой  - c/a

Формулирование гипотезы:

а) если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0,

то х1 = 1,  х2 =  c/a

б) если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а - в + с = 0,

то х1 = -1,  х2 = - c/a

Доказательство гипотезы.

а) По условию  а + в + с = 0, →  в = - (а + с).

Подставим значение «в» в уравнение ах2 + вх + с = 0,

получим: ах2 - (а + с)х + с = 0.

Почленно разделим на а≠0, получим:  

х2 -  (a+c)x/a +  c/a  =0,

  х2 – (1+  c/a )х +  c/a  = 0.

По теореме обратной теореме Виета:

х1 + х2 = - b/a   х1 х2 = c/a

  значит  х1=1,  х2 =  c/a

б)  По условию  а - в + с = 0, → - в = - (а + с),  в = а + с.

Подставим значение «в» в уравнение ах2 + вх + с = 0,

получим: ах2 + (а+с)х + с = 0.

Раскроем скобки: ах2 + ах + сх + с = 0.

Разложим левую часть на множители:

ах (х+1) + с (х + 1)=0,

(х + 1)(ах + с) =0,

х + 1 = 0 или ах + с = 0,

х1 = -1,   х2 = -  c/a

Вывод:

1.Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0, то,  

1. записать х1 = 1,
2. найти и записать х2 =  c/a

2. Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а - в + с = 0, то

1. записать х1 = -1,
2. найти и записать х2 = - c/a.