презентация по теме: "Комплексные числа"

Слайд 1

Слайд 2

Содержание: «Плюсы» и «минусы» основных числовых систем. Условия. Вид комплексного числа. Определения . Формулы . Свойства. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Сложение и умножение комплексных чисел. Формула Муавра.

Слайд 3

Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции. Натуральные числа , N Сложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в N Целые числа, Z Сложение, вычитание, умножение. Деление, извлечение корней. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в Z Рациональные числа, Q Сложение, вычитание, умножение, деление. Извлечение корней из неотрицательных чисел. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в Q Действительные числа , R Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел. Извлечение корней из произвольных чисел. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в R Комплексные числа, C Все операции

Слайд 4

УСЛОВИЯ, которые должны удовлетворять комплексные числа … 1. Существует комплексное число, квадрат которого равен -1 2.Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3.Операции сложение, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законом арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному)

Слайд 5

Вид комплексного числа В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы: ai+bi =( a+b ) i ; ai -bi=(a-b) i ; a(bi)=( ab ) i ; ( ai )(bi)=abi²=- ab (a и b – действительные числа) i²= -1, i - мнимая единица

Слайд 6

Определения Определение №1 Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Z= a+bi c C ↔ a c R , b c R, i – мнимая единица. В записи z = a+bi число a называют действительной частью комплексного число z , а число b – мнимой частью комплексного числа z . Определение №2 Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части. a+bi = c+di ↔ a=c, b=d.

Слайд 7

Определение № 3 Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному . Z=X+YI X - YI

Слайд 8

Формулы Сумма комплексных чисел: z 1+ z 2 = ( a+bi )+( c+di )=( a+c )+( bi+di )=( a+c )+ i ( b+d ) Разность комплексных чисел: z 1 - z 2 = ( a+bi )-( c+di )=(a-c)+ i (b-d) Произведение комплексных чисел: ( a+bi )( c+di )= i (ac- bd )+( bc+ad ) Формула для частного двух комплексных чисел: a+bi = ac+bd + bc -ad c+di c²+d² c²+d² i

Слайд 9

z 2 Свойства Свойство 1 Если z = x + yi , то z*z = x ² + y ² z 1 Следует и числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю. Свойство 2 Z1+ Z2=Z1+Z2 т.е. число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. Свойство 3 Z 1- Z 2= Z 1- Z 2, т.е. число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам.

Слайд 10

Свойство 4 Z 1 Z 2= Z 1 Z 2 т.е число, сопряженное произведению двух комплексных чисел , равно произведению сопряженных данным числам . С другой стороны, Z 1= a-bi, c- di , значит, Z 1 Z 2 = ( ac – bd )- i ( bc+ad ) Свойство 5 Свойство 6

Слайд 11

Геометрическая интерпретация комплексного числа . Y 0 X Bi A Z= A+Bl Y Bi 0 A M(A ; B) X

Слайд 12

Сложение и умножение комплексных чисел . Алгебраическая форма Геометрическая форма Произведение Z 1 = r 1 ( cos φ 1 + i sin φ 1 ) Z 2 = r 2 ( cos φ 2 + i sin φ 2 ) Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [ cos ( φ 1 + φ 2 )+ isin ( φ 1 + φ 2 )] Произведение ( A+iB ) · ( C+iD )= ( AC-BD)+(AD+BC) i Сумма ( A+iB ) + ( C+iD )= (A+C)+(B+D)I

Слайд 13

Формула Муавра Для любого Z= r ( cos φ + i sin φ )≠0 и любого натурального числа n

Слайд 14

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n- корней. Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n

Слайд 15

Спасибо за внимание! Презентацию выполнила: ученица 10 «а» класс МОАУ «Гимназии №7» г.Оренбурга Елимова Мария.