Числа П и Е

Слайд 1

Слайд 2

Числа много тысячелетий назад вошли в жизнь и быт людей. Человек использует их не только при счете и вычислениях, он придумал различные игры с числами и шарады, а некоторые числа наделил сверхъестественными свойствами. К таким «особенным» числам относятся математические константы π и е .Они имеют свои собственные обозначения, так как их нельзя записать точно с помощью цифр.

Слайд 3

Числа 3,14 и 2,7 лишь одни из приближённых значений чисел π и е . Эти числа являются иррациональными и трансцендентными, для их точного определения не хватило бы и триллиона десятичных знаков . Иррациональные числа не могут быть точно выражены ни целыми числами, ни арифметическими дробями, а представляются бесконечными и непериодическими десятичными дробями.

Слайд 4

Трансцендентное число (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это число, не являющееся алгебраическим, т.е. не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

Слайд 5

Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Впервые в этом смысле символ π исполь-зовал британский математик Уильям Джонс в 1706 г. В 1647 г. Уильям Оутред применил букву π для обозначения длины окружности. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

Слайд 6

Приближение π ≈22/7≈3,1428 нашёл величайший математик древности Архимед (III век до н.э.), в честь которого это отношение часто называют «архимедовым числом». Архимед, возможно, первым предложил способ вычисления π математическим способом. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку.

Слайд 7

Обозначение π как величины, равной 3,141592…, получило широкое распространение после того, как в своих трудах начиная с 1736 г. его стал применять выдающийся математик Леонард Эйлер . На протяжении всего существования числа π , вплоть до наших дней, велась своеобразная «погоня» за десятичными знаками числа π . Леонардо Фибоначчи около 1220 г. определил три первых точных десятичных знака числа π .

Слайд 8

Нидерландский математик Лудольф ван Цейлен (1540 – 1610), применив метод Архимеда, вычислил число π с 35 деся-тичными знаками. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высе-чены на его надгробном камне. В его честь число π современники называли «лудольфовым числом». Математики XIX в. вычислили сотни десятичных знаков числа π . В 1853 г. З. Дазе получает 440, а У. Шенкс – 513 знаков. С появлением компьютеров количество верных десятичных знаков π резко возрастает. В 2011 г. ученые рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.

Слайд 9

Неофициальный праздник «День числа π» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа. . Памятник числу «пи» , известному еще древним людям, установлен на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле.

Слайд 10

Число е появилось сравнительно недавно. Его иногда необоснованно называют «неперовым числом» в честь изобретателя логарифмов Джона Непера (1550 – 1617). Впервые обозначение е ввёл швейцарский и российский математик, академик Петер-бургской АН Леонард Эйлер (1707 – 1783). Выбор буквы, возможно, связан с тем, что с неё начинается слово exponential («пока-зательный», «экспоненциальный»). Эйлер вычислил точные 23 десятичные знака числа е , использовав его представление в виде бесконечного числового ряда. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера .

Слайд 11

Приближенное значение числа е равно 2,718281828... Стихотворная мнемофраза, помогающая его запомнить: « Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой » (1828 – год рождения Л.Н. Толстого). Константу е впервые вычислил швейцарский математик Даниил Бернулли (1700 – 1782) в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.

Слайд 12

Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году французским математиком Шарлем Эрмитом . Число е является трансцендентным , т.е. его нельзя получить в виде корня алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Слайд 13

Л. Эйлер открыл бесконечную цепную дробь для представления числа е: Дробь 2721/1001 дает значение числа е с шестью верными десятичными знаками, дробь 878/323 – с тремя верными десятичными знаками, а дробь 87/32 – с двумя.

Слайд 14

Способы определения числа е: через предел через определенный интеграл

Слайд 15

Способы определения числа е: как единственное число а , для которого выполняется: как единственное положительное число а , для которого верно:

Слайд 16

Логарифмы по основанию е называются натуральными и обозначаются In x . Логарифмическую функцию, обратную показательной функции у = еˣ , принято обозначать y = In x . Графики этих функций симметричны относительно прямой y = x . Функция у = еˣ обозначается также y = exp х и называется экспоненциальной .

Слайд 17

О числах π и е Удивительно красива комбинация записи тождества взаимосвязи чисел π и е: Совпадение вплоть до 4-го знака после запятой; расчёт на ПК показал величину 403,4287. Оказывается, что значения e π и π e примерно равны: e π ≈ 23,14069262 и π e ≈ 22,45915771 Доказать (без вычислений), что π e < e π можно многими способами. е 6 = π 5 +π 4

Слайд 18

Спасибо за внимание