Министерство образования Республики Башкортостан

Отдел образования Администрации муниципального района

Янаульский район Республики Башкортостан

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа им.Р.Гареева  г. Янаул

муниципального района Янаульский район Республики Башкортостан

Исследовательская работа

на тему:

Исследование поверхности

листа Мебиуса и его свойств

направление: математика

                                                Выполнила:   Дильмишева Эльвина   Рашитовна,                                                                          

                                                г.Янаул,улица Лермонтова д.40а  кв.2,    

                                              89656460312

                                                Руководитель:Шарафисламова Гузель    

        Фанзиловна, учитель математики, 89177674479

Содержание

Введение……………………………………………………………………….3

Глава 1. Теоретическая часть………………………………………………....4

1. Геометрия и топология ………………………………………………….…4

2. Лист Мебиуса: определение и история создания………………………....4

3. Август Фердинанд Мёбиус………………………………………………....5

4. Применение листа Мебиуса………………………………………………...5

    4.1.  Применение в технике………………………………………………....5

    4.2.  Использование идеи в творчестве………………………………….....6

Глава 2. Практическая часть…………………………………………………..8

1. Изготовление и знакомство с листом Мёбиуса…………………………...8

2. Опыты с листом Мёбиуса…………………………………………………..8

3. Основные свойства ленты Мебиуса………………………………………11

4. Экспериментальные выводы………………………………………………12

5. Выводы и результаты………………………………………………………13

6. Стихи о листе Мебиуса ……………………………………………………14

Заключение…………………………………………………………………….15

Литература……………………………………………………………………..16

Введение

 Я недавно познакомилась с понятием односторонней поверхности, которая меня очень заинтересовала. Так возникла идея создания исследовательского проекта, в который вошли бы теоретический материал и эксперименты, проводимые мною.  Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика). Основными этапами исследования были:

• постановка проблемы,
• овладение методикой исследования,
• сбор собственного материала,
• проведение экспериментов,
• разработка нового электронного продукта.

Тема исследовательской работы: исследование поверхности листа Мебиуса и его свойств.

Цель работы: исследовать поверхность листа Мебиуса и его свойства.

Задачи работы:

• Познакомиться с историей появления листа Мебиуса.
• Выявить и исследовать свойства листа Мебиуса.
• Установить области применения листа Мебиуса.
• Создать презентацию в Microsoft Power Point.

Методы:

1. Частично – поисковый.

2.  Анализ библиографических данных.

 3. Исследовательский.

 4.  Экспериментальный

Объект исследования: лист Мебиуса

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году в Бразилии состоялся международный математический конгресс, где его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво, на которой была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета и удивительной ленте, названной в честь математика. Лист Мёбиуса и является объектом моего исследования.

Предмет исследования:  Все знают, что такое "поверхность". Поверхность стола, бумаги, поверхность стен комнаты, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.

Предметом исследования моей работы являются свойства листа Мебиуса.

Глава 1. Теоретическая часть.

1. Геометрия и топология

Геометрия-слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы:

1.  Планиметрия (лат. слово, «планум» - поверхность, плоскость + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)

2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

 3. Топология (гр. «топос» - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания.

Родоначальниками топологии были немецкий учёный Георг Кантор (1845-1918), Феликс Хаусдорф,  Павел Сергеевич Александров (1896-1982).

Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мёбиуса: он имеет один край, одну сторону, не связанные с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и, тем не менее, имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.

2. Лист Мебиуса: определение и история создания

 Лист Мёбиуса - неориентируемая поверхность с краем.

 Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

 Лента Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей». Рассказывают, что открыть свой  «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

 Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, названной так в честь немецкого математика А. Мёбиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858г.

 Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности , так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ  использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.    

3. Август Фердинанд Мёбиус

         Август Фердинанд Мёбиус (17.11.1790-26.09.1868),      немецкий геометр и астроном, профессор Лейципгского университета. Родился в Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. С 1816 г. начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 г. стал  ее директором, позже – профессором Лейципгского университета. Известны труды по проективной геометрии. В частности, впервые ввел систему координат и аналитические методы исследования, установил существование односторонних поверхностей (листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон ребер» и которые не имеют объема. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии, теории векторов и многомерной геометрии. Получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса).

4. Применение листа Мебиуса

4.1.  Применение в технике

Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мебиуса.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? Несколько лет назад изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: размеры ленты увеличились вдвое.

Есть фильтры, в которых жидкость пропускают сквозь ленту из фильтрующего материала. Постепенно эта лента засоряется, приходится её менять. На фильтр с лентой Мёбиуса тоже выдано авторское свидетельство.

Есть авторское свидетельство и на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную. Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не меняя их местами.

Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”. Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Наряду  с этим  были открыты  еще ряд изобретений советскими  изобретателями. В 1979 году была изобретена детская игрушечная электрифицированная железная  дорога.

Мёбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).  А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

 4.2.        Использование идеи в творчестве

   Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В рассказе А.Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса.

       Ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках. Например, на значке механико-математического  факультета Московского университета.

Глава 2. Практическая часть

1. Изготовление и знакомство с листом Мёбиуса

Для проведения экспериментов потребуются бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см. В каждом эксперименте будут необходимы два бумажных кольца – одно простое (обычное) и одно перекрученное (лента Мебиуса).

2. Опыты с листом Мёбиуса

   Чтобы изучить свойства листа Мебиуса, я провела достаточно много опытов.

Результаты моих экспериментов с бумагой и экспериментальных исследований свойств ленты Мебиуса представлены в Таблице 1.

Таблица 1

3. Основные свойства ленты Мебиуса

Основными свойствами ленты Мебиуса являются:

• односторонность,
• непрерывность,
• связность,
• ориентированность
• “хроматический номер”

Односторонность

Непрерывность

Тополог может как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

Представьте себе, что по наружной поверхности обычного кольца путешествует муравей. Если муравей не пересекает рёбра, а идёт вдоль листа, он вернётся в исходную точку, обойдя наружную поверхность. На ленте Мёбиуса путешествие муравья будет длиться вдвое дольше: муравей, не пересекая рёбер, обойдёт обе поверхности – наружную и внутреннюю.

Связность

Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

Ориентированность.

Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение “от противного”. Это то, чего нет у листа Мёбиуса! Вообразите, что в нём заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – несимметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё это случится только, если они живут в листе, а не на нём.

Хроматический номер

И, наконец, то, что носит название “хроматический номер”. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер листа Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.

4. Экспериментальные выводы

Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы:

• Лента Мебиуса имеет 1 край (см. опыт 3).
• Лента Мебиуса имеет одну поверхность (см. опыты 1, 2, 4).
• Лента Мебиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю (см. опыт 4).
• Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины (например, в 10 раз – 30 × 3 см).
• Если допустить, что можно взять квадрат или прямоугольник любого размера и при этом можно сгибать бумажную поверхность, то мы сможем склеить ленту Мебиуса.
• Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса (см. опыт 5, 5А).
• Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой, одно большое – не лента Мебиуса, другое маленькое – лента Мебиуса (см. опыт 6, 6А).
• Если закрашивать одну сторону ленты Мебиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты (см. опыт 2).
• Если пустить по поверхности ленты Мебиуса движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго.
• В результате исследования обнаружилось, что можно многократно перекручивать при склеивании ленты Мебиуса, и тогда нас ждет непредсказуемый витиеватый узор (см. опыт 10).
• В результате исследования обнаружилось, что тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т.д.)
• В результате исследования обнаружилось, что существуют и технические применения ленты Мебиуса.

5. Выводы и результаты

В ходе данного проекта-исследования мною была почитана и переработана большая разнообразная информация: литература,   различные источники сети Интернет, мне встречались также и работы учащихся, я проводила сравнение различных источников и анализировала прочитанное. Мною была создана база данных, в которую включены отрывки текстов по проблеме исследования, иллюстративные материалы. Я познакомилась с историей создания ленты Мёбиуса. В ходе проведенного экспериментального исследования мною самостоятельно выявлены свойства ленты Мёбиуса. Установлены области ее применения.

На основании моих экспериментальных данных я   разработала электронную версию проекта-исследования – презентацию в Microsoft Power Point с использованием наглядных материалов, созданных в ходе работы (фото).    

Я сумела получить интересный математический материал. Своими результатами исследования о листе Мебиуса я поделилась со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

   Мною не исчерпаны опыты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения. Я обязательно буду возвращаться к опытам с листом Мебиуса. Топология изучает не только односторонние поверхности. К топологическим задачам относятся задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. Сеть таких кривых называют графами (от греческого слова графо - пишу), головоломки со шнурами и бечёвками. Но об этом другой разговор.

 6. Стихи о листе Мебиуса 

Лист Мёбиуса – желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой, склеенный лоскут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны.

                                           (Юрий Юркий)

Лист Мёбиуса. Мёбиуса лента,
Что некая туманность между звёзд,
Полна чудес, как старая легенда.
Извив змеи, во рту держащей хвост.
В науке точной мистики нет места.
Лист Мёбиуса замкнут, как темляк.*
Пересекать не надо край – известно:
В любую точку попадёшь и так.

"Конец" в единой точке и "начало"...
Парадоксален Мёбиуса лист

Нас эта лента меж собой связала.
Был путь к любви и долог и тернист!
Спираль вселенной, космоса фарватер
Сия витиеватая тесьма.
Как противоречивый твой характер
Мила и притягательна весьма!
В ней вьётся бесконечность мирозданья.
И ты в любви не возводи межи –
Решение прими в одно касанье:
Гордиев узел ленты развяжи!

Заключение

   Лист Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл ученый. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по – прежнему привлекает к себе внимание ученых, изобретателей, художников.

 В своей работе я пыталась описать свойства этой прекрасной поверхности – листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мебиуса – топологическая фигура. Таким образом, используя частично- поисковый, экспериментальный, аналитический методы, опираясь на теорию о листе Мебиуса, на его конструирование мне удалось добиться следующих результатов:

1.Лист Мебиуса имеет один край.

2.Лист Мебиуса имеет одну сторону.

3.Лист Мебиуса топологический объект.

4.Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

5.Лист Мебиуса представляет собой неориентированную поверхность.

Литература

1. М.Гарднер. Математические чудеса и тайны. – М: Наука, 1978.
2. Энциклопедия для детей «Математика». – М: Аванта+, 2005.
3. История математики.-М:Наука,1997.
4. Журнал «Математика в школе»,№3, 2011г.
5. «Математика»,приложение к первому сентябрю,№5,2010г.
6. Материалы сайтов:

    http://arbuz.uz/t_lenta.html

    http://www.kvant.info/

    http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/