Показательные уравнения и неравенства

Слайд 1

Слайд 2

Функцию вида , где и называют показательной функцией. х – независимая переменная, аргумент, у – зависимая переменная, функция, основание степени а – конкретное число. Свойство Область определения Область значения Монотонность Возрастает Убывает Непрерывность Непрерывная Непрерывная Свойство Область определения Область значения Монотонность Возрастает Убывает Непрерывность Непрерывная Непрерывная Основные свойства показательной функции

Слайд 3

Графиком показательной функции является экспонента :

Слайд 4

Решение показательных уравнений: Теорема 1. Показательное уравнение равносильно уравнению Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему: Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

Слайд 5

Пример 1 . Решите уравнение: Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку: Уравнение тогда принимает вид : Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен : Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их : Переходя к обратной подстановке, получаем : Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем первое: С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию .

Слайд 6

Пример 2 . Решите уравнение: Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней : Деление обеих частей уравнения на 4x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x . Ответ: x = 0. Пример 3 . Решите уравнение : Решение : упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи: Ответ : x = 2.

Слайд 7

Решение показательных неравенств: Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней. Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы: Теорема 2. Если , то неравенство равносильно неравенству того же смысла: . Если , то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла:

Слайд 8

Пример 4 . Решите неравенство: Решение: представим исходное неравенство в виде: Разделим обе части этого неравенства на 32 x, при этом (в силу положительности функции y = 32x) знак неравенства не изменится: Воспользуемся подстановкой : Тогда неравенство примет вид:

Слайд 9

Итак, решением неравенства является промежуток: переходя к обратной подстановке, получаем: Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству: Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству: Итак, окончательно получаем ответ:

Слайд 10

Пример 5 . Решите неравенство: Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде : Введем новую переменную : С учетом этой подстановки неравенство принимает вид: Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство :

Слайд 11

Итак , неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t: Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем : Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству : Окончательно получаем ответ:

Слайд 12

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Спасибо за внимание