Исследовательская работа ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Муниципальное образование «Селенгинский район»

Селенгинское районное управление образования

МБОУ Загустайская СОШ

                 ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

                                             Исполнитель: Дашинимаев Алдар

                               Научный руководитель: Соктоева Любовь Жамбаловна, учитель математики МБОУ Загустайская СОШ          

                                                         2014 год

                                               Оглавление        

1. Введение.
2. Основная часть.

Глава I. Признаки делимости, изучаемые в школе.        

                  Глава II. Признаки делимости полученные самостоятельно

            Глава III. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении      задач.

      III.       Заключение.

                                               Введение                                                                                                                                                                                                                                                           В арифметике много разделов и один из них - делимость чисел.

При изучении на уроках математики темы « Признаки делимости   чисел на 2, 3, 5, 9,10» возник  интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что  если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки,  по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа. Признак  делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно  установить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

                                           Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный,  помочь нашему горю,  ибо мы хотим выполнить волю отца?

- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите  домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к  мудрецу и пожаловались:

- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

Цель работы: Выявить и изучить признаки делимости, не рассматриваемых в школьном курсе математики.

Предмет исследования: Признаки делимости.

Объект исследования: Делимость натуральных чисел.

Задачи: - изучить признаки делимости;

              - повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изучаемые в школе;

              -исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 19, 20, 23, 25, 99, 101.

                              Глава I. Признаки делимости, изучаемые в школе.

            При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими  равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число.  Например, числа 5, 7, 19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра 5 или 0.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль.

                            Глава II. Признаки делимости полученные самостоятельно.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Чтобы узнать, делится ли двузначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам — если сумма делится на 2, значит, число делится на 4. Например, 92. 9 + 1 = 10, значит, 92 делится на 4.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).

Либо использовать модификацию признака деления на 1001=10³+1, которое само делится на 7:

Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь (например, число 689255. Первая группа со знаком «+» (255), вторая со знаком «-» (689). Отсюда 255 + (-689) = −434. В свою очередь 434 : 7 = 62).

Ещё один признак — берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую… Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток — 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Чтобы узнать, делится ли трёхзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8. Например, 952: 95 + 1 = 96, далее 9 + 3 = 12. Значит, 952 делится на 8.

Признак делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Примеры. Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих чётные места 0+7+5=12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих чётные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 —7 = 4 на 11 не делится.

Еще один признак: отнимайте единицы от десятков. Если результат делится на 11, то и само число тоже.

Примеры. 103785. 10378-5=10373 1037-3=1034 103-4=99 9-9=0

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа полученного отбрасыванием последней цифры и учётверённой последней цифры делится на 13.

      Например 845 : 13 , так как 84+(4*5)=104:13 10+(4*4)= 26:13

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и  только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17 (например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

      Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.

Признак делимости на 23

Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 — очевидно, делится на 23).

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними двумя цифрами делится на 25 (то есть последние две цифры образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 99

Разобьём число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101

Разобьём число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём алгебраическую сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101.

Объединенный признак делимости на 7,11,13.

Требуется определить, делится ли данное число 42623295 на 7, 11 и 13. Разобьём данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трёх цифр.

Рассматривая каждую грань испытуемого числа как самостоятельное число, можно сразу высказать следующий объединённый признак делимости на 7, 11 и 13:

Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7, или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7, или на 11, или на 13.

Например:

42 623 295=(295+42)-623=-286

Число  -286 делится на11, и на13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11и13, а на 7 не делится.

Глава III. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД и НОК.

Задача 1:   (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 5  класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг.  Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:

       203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

Задача 2. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

 Решение:

Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел.  НОД (60, 175, 225) = 15.  Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина,    175 : 15 = 11 – орехов и  225 : 15 = 15 – конфет.        

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?        

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий.

Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

 Ответ: 1 работа.

                                                  Заключение

                 В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Также я узнал, что существуют еще  признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11 ,13, 17, 19,  20,  23,  25,  99, 101.  И  понял, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.                                                                                                                                                 Кроме того, я  научился писать рефераты. Математика мне стала еще больше нравиться.                                                                                                                                                                     Я изложил эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно , мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости.