Конспекты уроков Геометрия 7класс

На этом уроке мы познакомимся с наукой под названием геометрия, узнаем, что она изучает, ее фундаментальные основы. Также мы познакомимся с понятием геометрической фигуры, выучим шесть аксиом и одну теорему об основных свойствах прямых, точек и отрезков.

 Введение

Мы начинаем изучение геометрии. Это древняя наука, возникла еще за 300 лет до нашей эры. В переводе с греческого «геометрия» – «землемерие», изучает она геометрические фигуры и их свойства.

Подразделяется на два больших раздела:

- планиметрия – геометрия на плоскости,

- стереометрия – геометрия в пространстве.

Примеры плоских фигур – треугольник, окружность и т.д. Мы с ними знакомы.

Мы знакомы и с пространственными фигурами – шар, куб, параллелепипед и т.д., т.е. геометрия – вокруг нас.

Мы сказали, что геометрия изучает свойства геометрических фигур.

А что такое геометрическая фигура? Это любое множество, любая совокупность точек.

Точки обозначают большими латинскими буквами.

Понятие о прямой дает тонкая нить, продолженная бесконечно в обе стороны.

Точка и прямая – это неопределимое изначальное понятие, это математическая идеализация – размеров они не имеют.

Если точки обозначаются большими буквами, то прямая может обозначаться маленькими латинскими буквами.

Обрисуем в общих чертах, как строится геометрия. Мы упомянули два понятия: точка, прямая . Это изначальные неопределимые понятия, их свойства выражаются в аксиомах, т.е. в истинах, которые не требуют доказательств.

Определение других фигур, например, окружности, шара и т.д., доказываются теоремами, таким образом, изучаются свойства геометрических фигур. Итак, все грандиозное здание геометрии базируется, во-первых, на неопределенных понятиях, во-вторых, на аксиомах.

Давайте сформулируем три важнейшие аксиомы, которые характеризуют взаимное расположение точек и прямых и рассмотрим их.

 Аксиома 1

Аксиома 1: каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки(см. рис. 1).

Рис. 1. Две точки на одной прямой

Пояснение: аксиома – истина, не требующая доказательств. Разве мы не понимаем, что на каждой прямой есть как минимум две точки? Так вот математика фиксирует это в качестве аксиом.

Вторая аксиома также понятна.

 Аксиома 2

Аксиома 2: имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой (см. рис. 2).

Рис. 2. Три точки, не лежащие на одной прямой

Пояснение: в соответствии с аксиомой 2 имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. Это точки , ,  (см. рис. 2).

 Аксиома 3

Аксиома 3: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Пояснение: мы множество раз прикладывали линейку к двум точкам и проводили отрезок – часть прямой. Что говорит аксиома? Что через эти две точки проходит прямая, и притом только одна. Вроде бы это понятно. Но если одна точка на Земле, а вторая на Луне? Как проверить, одна прямая проходит или нет? Линейку мы не проложим. Так вот, аксиома утверждает, что даже через эти две точки проходит только одна прямая! (см. рис. 3)

Рис. 3. Аксиома 3 верна при больших расстояниях

Другой крайний случай: точки очень близко расположены друг к другу. Две песчинки. Если мы приложим линейку, то довольно трудно провести прямую. Так вот, аксиома утверждает: через любые две точки – и близкие, и далекие – проходит прямая, и притом только одна (см. рис. 4).

Рис. 4. Аксиома 3 верна при малых расстояниях

Далее изучим знак принадлежности.

 Знак принадлежности

Тот факт, что точка  принадлежит прямой , записывается следующим образом: .

Точка  также принадлежит прямой : .

Точка  – не принадлежит прямой : .

Точка  не принадлежит прямой : .

Точка  не принадлежит прямой : .

Итак, согласно аксиомам, есть точки, лежащие на прямой, а есть точки, не лежащие на прямой. То есть плоскость богаче, чем одна прямая. Мы много раз с этим сталкивались и не будем возражать против этих аксиом.

Итак, мы знаем два неопределимых понятия – точка, прямая; знаем три аксиомы, которые характеризуют взаимное расположение точек и прямых.

Познакомимся с еще одним неопределимым понятием, изначальным понятием – «лежать между».Есть прямая, есть три точки, и только одна лежит между двумя точками. Этот факт очевидный, но тем не менее тот факт фиксируется в следующей аксиоме.

 Аксиома 4

Аксиома 4: из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

Рис. 5. Аксиома 4

Пояснение: в данном случае точка  лежит между точкой  и точкой . По-иному, точки  и  лежат по одну сторону от точки , точки  и  лежат по одну сторону от точки , и точки  и  лежат по разные стороны от точки  (см. рис. 5).

Ясно, что истину мы принимаем без доказательства и возражать против нее не будем.

Мы рассмотрели четвертую аксиому, которая говорит о двух точках, которые лежат по одну сторону от третей точки.

 Аксиома 5

Аксиома 5 говорит о других точках, которые лежат по одну сторону от данной точки. Она будет рассмотрена позже.

На данный момент мы имеем три неопределимых понятия: точка, прямая, «лежать между». Имеем пять аксиом, которые характеризуют взаимоотношения между этими понятиями. Пора нам дать определение важной геометрической фигуре – отрезку.

Что же такое отрезок?

Отрезком  называется геометрическая фигура, состоящая из точек , , и всех точек прямой, расположенных между точками  и .

Более краткое: отрезок – это часть прямой, ограниченная точками  и  (см. рис. 6).

Рис. 6. Отрезок

Точки  и  называются концами отрезка. Отрезок обозначается так же, как и прямая. Прямая может обозначаться двумя точками, лежащими на ней, – , и отрезок может обозначаться таким же образом – . Из контекста ясно, когда речь идет о прямой и когда речь идет об отрезке. Данный отрезок лежит на прямой, у прямой и отрезка бесчисленное множество общих точек.

Могут быть другие случаи. Есть прямая , отрезок  – это часть другой прямой. Отрезок  и прямая  не имеют общих точек. Говорят, что точки  и  лежат по одну сторону от прямой  (см. рис. 7).

Рис. 7. Точки  и  лежат по одну сторону от прямой 

Отрезок , прямая . Точки  и  лежат по разные стороны от прямой , значит, отрезок  имеет одну общую точку  с прямой. Точка  лежит между точками  и  (см. рис. 8). Этот факт понятен нам из интуитивных соображений, но тем не менее он регламентируется аксиомой 6. Она будет подробно рассмотрена в конце урока.

Рис. 8. Точки  и  лежат по разные стороны от прямой 

Отрезок  лежит на прямой . Прямая  и прямая  имеют одну общую точку . А могут ли прямые иметь еще общие точки, ведь прямые простираются неограниченно? Может, где-то на Луне они еще пересекутся и будет еще одна общая точка?

Нам пора доказать важную первую теорему, первую в этом курсе.

 Теорема 1

Теорема 1: две разные прямые не могут иметь более одной общей точки.

Доказательство: для доказательства используем метод от противного. Имеем прямую , прямую , которые имеют одну общую точку . Предположим, что существует другая общая точка  (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к теореме 1

Точки  и  – разные, но по третьей аксиоме мы говорим, что через две точки может проходить прямая, и притом только одна. А у нас, по условию, прямая  и прямая  – это разные прямые, таким образом, вступаем в противоречие с аксиомой 3, значит, наше предположение о наличии второй общей точки неверное. Прямая  и прямая  не могут иметь второй общей точки.

Теорема доказана.

 Заключение

Итак, из краткого изложения теоретической части этого урока все же понятно, как в общих чертах строится все здание геометрии.

1)                 Вводятся неопределимые понятия (в этом уроке – точка, прямая, «лежать между»).

2)                 Вводится система аксиом, мы видели 5 аксиом, которые характеризуют свойства этих неопределимых понятий. Дальше даются новые понятия, например, отрезок – часть прямой, расположенная между двумя точками этой прямой. Далее формулируется и доказывается теорема, которая раскрывает свойства геометрических фигур. Мы такую теорему доказали. Две прямые не могут иметь более одной общей точки.

На этом теоретическая часть урока закончена. Теперь мы в состоянии решить некоторые практические задания.

 Задание 1

Проведите прямую, обозначьте ее буквой  и отметьте точки  и , лежащие на этой прямой, и точки , , , не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек , , , ,  и прямой , используя символы  и .

Рис. 10. Иллюстрация к заданию 1

, , , , .

 Задание 2

Проведите три различные прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Сколько получилось точек пересечения? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение

a)                  Проведем три прямые, обозначим их как , , . Обозначим точки пересечения этих прямых – , , . Как мы видим, есть всего три точки.

Рис. 11. Иллюстрация к заданию 2 (а)

b)                 Проведем три прямых , ,  так, чтобы они пересеклись в одной точке .

Рис. 12. Иллюстрация к заданию 2 (b)

 Задание 3

Отметьте различные точки , , ,  так, чтобы точки , ,  лежали на одной прямой, а точка  не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?

Решение

Проведем прямую , обозначим на ней точки , , , и точку , не лежащую на прямой .

Проведем прямые через точки:  и ,  и ,  и .

Рис. 13. Иллюстрация к заданию 3

Всего получилось четыре прямые.

Ответ: четыре прямые: , , , .

 Задание 4

Есть прямая, на ней отмечены точки , , ,  (см. рис. 14). Назовите все отрезки:

Рис. 14. Иллюстрация к заданию 4

a) на которых лежит точка .

Ответ: , , , , .

b) на которых не лежит точка .

Ответ: .

Аксиома 5: ранее мы встречались с важным неопределимым понятием «лежать между».

Его свойства в аксиоме 5: каждая точка  прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки , а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки .

Пояснение: точки  и  лежат по одну сторону – справа от точки , точки  и  лежат по другую сторону от точки  – слева от нее (см. рис. 15). Точки  и  лежат по разные стороны от точки .

Рис. 15. Иллюстрация к аксиоме 5

Аксиома 6: две точки  и  и весь отрезок  может лежать по одну сторону от прямой , точки  и  могут лежать по разные стороны от прямой . Это регламентируется аксиомой 6.

Каждая прямая  разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой , а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой .

Прямая  называется границей каждой из указанных полуплоскостей, ее точки не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей.

Пояснение: есть прямая , две полуплоскости (над прямой и под прямой), точки  и , которые лежат в одной полуплоскости, точки  и , которые лежат в разных полуплоскостях. Отрезок  не имеет общих точек с прямой , его концы – точки  и  лежат по одну сторону от прямой . А отрезок  пересекается с прямой  в некоторой точке , точка  лежит между точками  и . Точки  и , концы отрезка , лежат по разные стороны от прямой . Такова формулировка и пояснение аксиомы 6 (см. рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к аксиоме 6

На этом уроке мы познакомимся с такими базовыми понятиями геометрии, как луч и угол. Мы поговорим о том, что такое развёрнутый угол, а также решим несколько простых задач по данной теме.

 Введение

На этом уроке мы поговорим о двух основополагающих понятиях геометрии – луче и угле. Эти слова вы слышали еще в детстве: солнечный луч известен каждому, кто-то мог слышать про рентгеновские лучи. Угол есть у стола, а кого-то из вас, возможно, иногда ставили в угол комнаты. Разберемся, что означают эти слова в геометрии.

 Геометрический луч

На самом деле «геометрический» луч не намного отличается от солнечного. Чем интересен солнечный луч? У него есть начало – солнце, а конца нет: его можно ограничить своей ладошкой или землей, но если бы препятствия не было – он шел бы и дальше. То есть он имеет начало, а с другой стороны – бесконечен, как прямая. (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Солнечный луч

Соответственно, определение луча:

Лучом называется часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Эта точка играет роль солнца – там «начинается» луч! То есть луч имеет начало, но не имеет конца, в отличие от отрезка, который ограничен с двух сторон. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Различие луча и отрезка

Если рассмотреть горизонтальную прямую  и точку  на ней, то точка  разбивает прямую на два луча: слева и справа от . (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Два луча: слева и справа от 

Точка  называется вершиной луча. Чаще всего луч обозначают двумя точками, например . Для этого требуется поставить точку  с нужной стороны от . То есть точка  показывает, в каком направлении идет луч, но не ограничивает его. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Обозначение луча

Обратим внимание на разницу между лучом , отрезком  и прямой . Отрезок ограничен обеими точками (см. Рис. 5), луч – только точкой  (см. Рис. 6), прямая – не ограничена (см. Рис. 7).

Рис. 5. Отрезок 

Рис. 6. Луч 

Рис. 7. Прямая 

Также заметим, что отрезки  и  – одно и то же, прямые  и  – тоже, а вот лучи – разные. (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Луч  (оранжевый) и луч  (синий)

Реже луч просто обозначают малой буквой, но тут запутаться проще, так что используйте исходные обозначения.

Иногда прямые, лучи и отрезки обозначают следующим образом:  – прямая,  – луч,  – отрезок. (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Отрезок, луч и прямая

Введем еще одно определение. Если два луча лежат на одной прямой, имеют общую вершину, но разные направления – то их называют дополнительными. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Дополнительные лучи

 Задача на лучи

На прямой отмечены точки ,  и  (именно в таком порядке). Сколько различных лучей с вершинами в данных точках мы можем назвать? (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Иллюстрация к задачеРешение:

На самом деле таких лучей, конечно, . От каждой точки можно отложить луч как влево, так и вправо. Заметим, кстати, что лучи  и  – одно и то же (совпадают вершины, направления – тоже).

Ответ: .

 Геометрический угол

Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало – вершина. (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Лучи  и  – стороны угла, начало лучей  – вершина угла

Обозначается угол обычно тремя буквами: одна на одной стороне угла, затем – вершина, затем – точка на другой стороне угла:  или , причем . Иногда знак «» пишется над буквами, и получается: .

Обратите внимание, что в некоторых учебниках угол определен иначе – мы дали определение по учебнику Атанасяна.

Зачастую углы обозначают и греческими буквами: . (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Обозначение угла греческими буквами

Наконец, угол можно обозначать через лучи, его образовывающие, например . (См. Рис. 14.) Но в задачах такое обозначение – редкость.

Рис. 14. Обозначение угла через названия образующих лучей

Угол называется развернутым, если его стороны – дополнительные лучи. (См. Рис. 15.)

Рис. 15. Развернутый угол

Замечание 1. Обратите внимание: многие считают, что развернутый угол – . Это верно, но это не определение! Не путайте, пожалуйста! Понятие градусной меры нами в курсе геометрии пока введено не было.

Замечание 2. Углом между прямыми называется наименьший угол (или один из наименьших углов), образованный при их пересечении. (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Красным выделен угол между прямыми. Угол, выделенный серым цветом, не считается углом между прямыми.

 Области угла

У каждого угла есть внутренняя и внешняя области. (См. Рис. 17.)

Рис. 17. Области угла

Рассмотрим . Даны несколько точек. (См. Рис. 18.)

Рис. 18. Точки в разных областях угла

Заметим, что точки  и  лежат во внутренней области,  и  – во внешней, , ,  – на сторонах (на границах угла).

 Задачи

Задача 1. Сколько углов на рисунке? (См. Рис. 19.)

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 1

Решение: угла: , , . А как же углы , , ? Они совпадают уже с упомянутыми углами, то есть ,  и .

Ответ:  угла.

Задача 2. Две прямые  и  пересекаются в точке . Сколько углов с вершинами в данных пяти точках можно назвать? (См. Рис. 20.)

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 2

Сразу в глаза бросаются , ,  и . Но, кроме этих углов, есть еще и развернутые углы:  и . Итого,  углов.

Ответ:  углов.

 Заключение

На этом уроке были разобраны такие базовые понятия геометрии, как луч и угол. Луч – часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Данный урок посвящен сравнению углов и отрезков. Для начала мы вспомним определения данных геометрических фигур. Также мы познакомимся с понятием «равные фигуры», выведем правило для сравнения. Узнаем, что такое биссектриса. В конце данного урока мы рассмотрим несколько задач.

 Введение

В реальной жизни мы умеем сравнивать количества. Например, мы понимаем, что 7 больше, чем 5. Семь яблок – это больше, чем 5 яблок.

И понимаем важный принцип: часть меньше целого. Но наша задача – сравнение отрезков, углов, геометрических фигур. Где же в геометрических фигурах часть, а где целое?

 Равенство геометрических фигур

Начнем с важного определения равенства геометрических фигур, ведь отрезок, угол – это геометрическая фигура.

Фигура 1 равна фигуре 2, если их можно совместить наложением: .

Например, два листа бумаги можно наложить друг на друга, и они неразличимы. Две одинаковые монеты и т.д.

 Сравнение отрезков

Отрезок – это часть прямой. Давайте попробуем совместить отрезки  и .

При совмещении возможно 3 случая.

- Точка  совместилась с точкой , и вторые концы  и  тоже совместились. Тогда отрезок  и  совместились, и в этом случае - То есть если совместились концы отрезков, то совместились и сами отрезки (см. рис. 1).

Рис. 1. Совмещение отрезков  и , случай 1

-  – часть отрезка , значит,  (см. рис. 2).

Рис. 2. Совмещение отрезков  и , случай 2

- Отрезок  – это часть отрезка , значит,  (см. рис. 3).

Рис. 3. Совмещение отрезков  и , случай 3

Сравнивать способом наложения не всегда удобно, ведь отрезки могут быть очень длинными либо же очень малыми, тогда сравнение неудобно. На помощь приходит сравнение их длин.

 Длина отрезка

Каждому отрезку соответствует его длина. Длина – положительное число, являющееся результатом сравнения с эталоном. Например, с помощью линейки можно установить, какая длина у данного отрезка, сколько он составляет миллиметров, сколько сантиметров и т.д. При этом мы считаем, что каждой длине найдется свой отрезок. И еще раз подчеркнем, что если совместились концы отрезков, то совместились и сами отрезки.

Итак, наложение мы заменяем сравнением длин. Это наглядно видно на координатном луче.

Есть координатный луч (см. рис. 4). Каждой точке соответствует число, координата – расстояние до нуля.

Рис. 4. Координатный луч

Дана точка  с координатой 0, точка  с координатой 5 и точка  с координатой 7.

Наложение здесь не требуется, мы сравниваем длины. И замечаем, что отрезок .

Если равны длины отрезков, то равны и отрезки. И наоборот, если равны отрезки, то равны и их длины.

 Середина отрезка

Напомним важное понятие – середина отрезка.

Дан отрезок , точка  – середина отрезка, если она делит его пополам. Т.е.  (см. рис. 5).

Рис. 5.  – середина отрезка 

 Сравнение углов

Рассмотрим совмещение углов.

Угол , угол . Возможны три случая:

- два угла полностью совместились. Т.е. точки  и  совместились, луч  пошел по лучу , а  пошел по лучу . Если есть такое совмещение, значит, . Фигуры при наложении совместились, значит, они равны по определению (см. рис. 6).

Рис. 6. Совмещение углов: , , случай 1

- угол  меньше, чем угол . Это часть большего угла, значит, угол  (см. рис. 7).

Рис. 7. Совмещение углов: , , случай 2

- Угол  больше, чем угол . Второй угол является частью первого. Значит, угол  (см. рис. 8).

Рис. 8. Совмещение углов: , , случай 3

Рассмотрим частый случай. Один из углов  – развернутый, а второй угол . Неразвернутый угол всегда меньше развернутого.  (см. рис. 9).

Рис. 9. Сравнение развернутого и неразвернутого углов

 Биссектриса угла

Рассмотрим понятие биссектрисы угла. Есть угол . Проведем луч  таким образом, чтобы полученные углы оказались равными, т.е. . В случае луч  – биссектриса (см. рис. 10).

Рис. 10. Биссектриса угла

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины, который делит угол пополам.

 Обзор некоторых аксиом

В геометрии даже самые понятные действия регламентированы аксиомами. Полный список аксиом мы, следуя учебнику, здесь не приводим, но результаты используем.

Например:

1. На луче  можно отложить единственный отрезок, равный данному отрезку , от точки . Совместим точки  и , на отрезке  поставим точку , с которой совместим точку . Тогда  (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к примеру

2. Есть луч  и заданный угол , от луча  в верхней полуплоскости можно отложить единственный угол, равный заданному  (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к примеру

3. Прямая  рассекает плоскость на две полуплоскости, обладающими важными свойствами:

-  если две точки находятся в разных полуплоскостях, то прямая  имеет общую точку с прямой , единственную точку , которая принадлежит и прямой , и прямой : . Причем точка  находится между точками  и , значит,  (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к примеру

- если две точки находятся в одной полуплоскости, то отрезок  не имеет общей точки с прямой  (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру

Формулировку аксиом мы, следуя учебникам, приводим, если они нужны в процессе доказательства. Еще раз подчеркнем: фундаментом геометрии являются: во-первых, неопределимые понятия, такие как точка, прямая; во-вторых, аксиомы (то есть истины), которые не требуют доказательств. Именно аксиомы описывают свойства точек, прямых и их взаимное расположение. Все остальное доказывается. Рекомендуем заглянуть в конец учебника, прочесть список всех аксиом и убедиться, что в геометрии бывает не только та геометрия, которую мы будем изучать, она называется Евклидова, но и геометрия Лобачевского. Все это вы найдете, заглянув в конец учебника.

Перейдем к задачам по теме.

 Задание 1

На луче с началом  отмечены точки ,  и  так, что точка  лежит между точками  и , а точка  – между точками  и  (см. рис. 15).

Сравните отрезки  и ,  и ,  и .

Решение

Рис. 15. Иллюстрация к заданию 1

Ответ: , , .

 Задание 2

Точка  является серединой отрезка  (см. рис. 16).

Можно ли совместить наложением отрезки:

a)  и ?

b)  и ?

Решение

Рис. 16. Иллюстрация к заданию 2

a)  и ? Ответ: да (т.к. )

b)  и ? Ответ: нет

 Задание 3

Луч  – биссектриса угла  (см. рис. 17). Можно ли наложением совместить углы:

a)  и ?

b)   и ?

Решение

Рис. 17. Иллюстрация к заданию 3

a)  и ? Ответ: да (т.к. )

b)  и ? Ответ: нет

 Задача 4

Луч  делит угол  на два угла (см. рис. 18). Сравните углы  и .

Решение

Рис. 18. Иллюстрация к заданию 4

Ответ: , т.к.  является частью .

 Заключение

Итак, мы рассмотрели сравнение отрезков и углов, решили типовые задачи.

На данном уроке рассмотрим важнейшее практическое действие в геометрии – измерение отрезков. Сначала вспомним определения отрезка и равных геометрических фигур. Введем понятия длины отрезка, измерения отрезка и единицы измерения. Расскажем об основных единицах измерения и измерительных инструментах. В конце урока решим несколько примеров на сравнение и измерение отрезков.

 Повторение материала, правило измерения отрезков

Из материала предыдущего урока вспомним, что называется отрезком. Это геометрическая фигура, которая являет собой часть прямой, заключенной между двумя точками. Также мы уяснили, как сравниваются отрезки, – наложением. Однако данный способ сравнения неудобный в случае, когда отрезки очень длинные. Кроме того, нам необходимо знать, на сколько отличаются те или иные отрезки.

Рассмотрим рисунок 1.

Рис. 1. Отрезок MN

Отрезок MN = 2 см. Данная запись говорит о том, что существует эталонный отрезок 1 сантиметр, который помещается в отрезке MN 2 раза. К отрезку приставляется положительное число, которое характеризует длину отрезка. Единицами измерения отрезков являются метры, километры, сантиметры, дециметры и миллиметры. Рассмотрим взаимоотношение между этими единицами. 1 км = 1000 м. 1м  = 10 дм = 100 см = 1000 мм.

Рис. 2. Сумма длин отрезков

В случае, когда мы знаем длины отрезков, которые являются частью данного отрезка, то мы можем сложить эти длины и получить общую длину целого отрезка.

 Решение задач

Рассмотрим некоторые задачи.

Пример 1:

На прямой АВ отметьте точку С, которая лежит в двух сантиметрах от точки А.

Решение:

Выполним разъяснительный рисунок.

Рис. 3. Рисунок к примеру 1

На рисунке отмечены точки, которые лежат на расстоянии 2 сантиметра от точки А, – . Вполне логично, что таких точек 2, потому что мы должны учесть 2 сантиметра вправо и 2 сантиметра влево.

Ответ: .

Пример 2:

Точка В делит отрезок АС на 2 части, длины которых равны 7,8 см, 25 мм. Найдите длину отрезка АС.

Решение:

На рисунке 4 отмечены данные точки:

Рис. 4. Рисунок к примеру 2

По правилу сложения отрезков АВ + ВС = АС. Однако сложность этой задачи состоит в единицах измерения, так как в условии они разные. Пусть 7,8 см = 78 мм.

В таком случае АВ + ВС = 78 мм + 25 мм = 103 мм = 10,3 см.

Ответ: АС = 103 мм 10,3 см.

Пример 3:

На прямой лежат точки В, D, M. Расстояние между точками В и D равно 7 см, а расстояние между D и М равно 16 см. Укажите расстояние между точками В и М.

Решение:

Рассмотрим 2 случая.

Рис. 5. Рисунок к примеру 3

В случае, если точка М лежит справа от точек  В и D, расстояние ВМ легко можно найти по правилу сложения длин отрезков. ВМ = ВD + DМ = 7 + 16 = 23 (см).

В случае, когда точка М лежит левее точек В и D, то расстояние МВ вычисляется следующим образом: МВ = МD – ВD = 16 – 7 = 9 (см).

Ответ: 23 см или 9 см.

Пример 4:

На отрезке АВ длиной 64 см отмечена середина С. На луче СА отмечена точка D, расстояние от которой до середины равно 15 см. Найдите длину отрезков DВ и DА.

Решение:

Выполним рисунок к задаче.

Рис. 6. Рисунок к примеру 4

Поскольку С – середина отрезка АВ, то отрезок АС = СВ = 64 : 2 = 32 (см). Немаловажно указать, что положение точки D единственно. Найдем указанные в условии отрезки: DВ = СВ + DС = 32 + 15 = 47 (см). DА = АС – DС = 32 – 15 = 17 (см).

Ответ: 47 см, 17 см.

Пример 5:

Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АВ = 3 см, СВ = 4 см, АС = 5 см?

Решение:

Вспомним, что в случае, когда три точки лежат на одной прямой, больший отрезок равен сумме двух других. К примеру:

Рис. 7. Рисунок к примеру 5

Если АС = АВ + ВС выполнено, то три точки А, В и С лежат на одной прямой. В нашем случае длина отрезка АС не равна сумме отрезков АВ и СВ, так как 3 + 4 = 7 5.

Поэтому эти три точки будут образовывать треугольник:

Рис. 8. Рисунок к примеру 5

Ответ: Точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Данный урок посвящен одному из важнейших практических действий в геометрии – измерению углов. Мы выясним, каким образом измеряют углы, какие единицы измерения при этом используются, рассмотрим значение данной операции в геометрии, а также рассмотрим несколько задач.

 Повторение материала: что такое угол, что такое градус

Из материала предыдущих уроков мы знаем, что угол – это два луча, выходящие из этой точки. На рисунке 1 изображен угол∠АОВ или , названный в честь лучей, которые из этой точки выходят.

Рис. 1. Угол  АОВ

Любой неразвернутый угол имеет внешнюю и внутреннюю области. К примеру, точка М принадлежит внутренней области ∠АОВ.

На предыдущих уроках мы выяснили, что равными фигурами называются те, которые можно совместить наложением. Мы уже умеем сравнивать отрезки. В данный момент мы будем учиться сравнивать углы.

Мы рассмотрели, что в случае, когда один угол является частью другого угла,  данные углы не равны. На рисунке 2 указано это соотношение.

Рис. 2. Измерение углов

Однако насколько угол ∠СОА больше угла ∠ВОС? В этом случае нам необходимо ввести эталонный угол и единицы измерения. Рассмотрим рисунок 3.

Рис. 3. Угол ∠АОВ – развернутый

В геометрии приняли развернутый угол за 180о градусов. Это значит, если поделить развернутый угол на 180 частей, то градусная мера одной части будет равна 1о. Таким образом, больший угол имеет большую градусную меру. Также можно вывести правило суммы градусных мер. К примеру, нам необходимо вычислить градусную меру угла ∠АОВ, а меры углов ∠ВОС и ∠СОА нам известны (см. рис. 2). В таком случае, ∠АОВ = ∠ВОС + ∠СОА. Градусную меру угла можно вычислить, к примеру, транспортиром. На рисунке 4 указаны углы, градусные меры которых равны 150о и  45о.

Рис. 4. Углы с указанными градусными мерами

Немаловажно уяснить, что углы могут измеряться в минутах и секундах. В одном градусе 60 минут: 1о = 60'. В одной минуте шестьдесят секунд 1' = 60``.

 Прямой, тупой и острый углы

В зависимости от величины градусной меры, различают острые, тупые и прямые углы.

Рис. 5. Острый, прямой и тупой углы

Если градусная мера угла равна 90 градусов, то данный угол – прямой. В случае, если мера угла меньше 900, угол острый, а если больше – тупой.

 Решение задач

Рассмотрим несколько задач, чтобы закрепить пройденный материал.

Пример 1:

На рисунке изображен угол ∠АОВ, который делится точкой Е на два угла. Найдите градусную меру данного угла, если ∠АОЕ = 44о, ∠ВОЕ = 77о.

Рассмотрите случай, когда ∠АОЕ = 12о37/, ∠ВОЕ = 108о25/

Решение:

Выполним пояснительный рисунок к задаче:

Рис. 6. Рисунок к примеру 1

По правилу суммы градусных мер углов, ∠АОВ = ∠ВОЕ + ∠ЕОА. Соответственно, подставим данные в условии значения и выполним подсчет.

1. ∠АОВ = ∠ВОЕ + ∠ЕОА = 44о + 77о = 121о.

2. ∠АОВ =∠ВОЕ + ∠ЕОА = 12о37/ + 108о25/ = 121о02/.

Ответ: 121о, 121о02/.

Пример 2:

На рисунке изображен угол ∠АОВ. Градусная мера данного угла составляет 78о. Луч ОС делит данный угол на 2 угла. Найдите градусную меру угла ∠ВОС, если угол ∠СОА на 18о меньше угла ∠ВОС.                         

Рис. 7. Рисунок к примеру 2

Решение:

Пусть градусная мера угла ∠ВОС равна хо, тогда мера угла ∠СОА равна (х-18)о. Поскольку их сумма будет равна 78о (по условию), составим и решим уравнение:

Х + (х – 18) = 78

2х – 18 = 78

2х = 96

х = 48

Ответ: ∠ВОС = 48о.

Пример 3:

Луч ОВ делит угол ∠АОС, градусная мера которого составляет 108о, на 2 части. Найдите градусную меру угла ∠ВОА, если угол ∠ВОА в три раза больше угла ∠ВОС.

Рис. 8. Рисунок к примеру 3

Решение:

Решаем эту задачу подобно предыдущей. Пусть градусная мера угла ∠ВОС равна хо, тогда мера угла ∠ВОА равна (3х)о. Поскольку их сумма будет равна 108о (по условию), составим и решим уравнение:

Х + 3х = 108

4х = 108         

х = 27

Соответственно, мера угла ∠ВОА равна (3х)о, то есть 81о.

Ответ: 81о.

Пример 4:

На рисунке изображен развернутый угол ∠АОD. Углы ∠ВОА и ∠СОD равны. Укажите, есть ли на рисунке еще равные углы?

Решение:

Выполним рисунок к задаче.

Рис. 9. Рисунок к примеру 4

Рассмотрим углы ∠АОС и ∠ВОD. Они состоят из равных между собой частей ∠ВОА и ∠СОD, а также общей части ∠ВОС. Выполним следующую запись:

Поскольку ∠ВОС – общий, а ∠АОB = ∠CОD (по условию), то ∠АОС = ∠ВОD.

Ответ: ∠АОС = ∠ВОD.

На данном уроке мы рассмотрим и уясним для себя понятие смежные углы. Рассмотрим теорему, которая их касается. Введем понятие «вертикальные углы». Рассмотрим опорные факты, касающиеся этих углов. Далее сформулируем и докажем два следствия об угле между биссектрисами вертикальных углов. В конце занятия рассмотрим несколько задач, посвященных этой теме.

 Понятие «смежные углы», сумма смежных углов

Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.

Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными.

Теорема 1: Сумма смежных углов – 180о.

Рис. 2. Чертеж к теореме 1

∠МОL + ∠LON = 180o. Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму – 180о.

 Вертикальные углы

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых  в точке О.

Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD

Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Теорема 2: Вертикальные углы равны.

Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС – ∠ВОС = 180о – β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD – ∠BОС = 180о – β.

Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.

 Следствия из теорем о смежных и вертикальных углах

Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90о.

Рис. 4. Чертеж к следствию 1

Поскольку ОL – биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB =  , аналогично ∠ВОК =  . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK =  +    =  . Сумма углов α + β равна 180о, поскольку данные углы – смежные.

Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180о.

Рис. 5. Чертеж к следствию 2

Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL =  o. Сумма углов α + β равна 180о, так как данные углы – смежные.

 Задачи

Рассмотрим некоторые задачи:

Пример 1:

Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111о.

Решение:

Выполним чертеж к задаче:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Решение

Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180о. То есть 111о + β = 180о.

Значит, β = 69о.

Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.

Пример 2:

Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?

Решение:

Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.

Пример 3:

Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?

Решение:

Составим уравнение: α + β = 180о, но поскольку α = β, то β + β = 180о, значит, β = 90о.

Ответ: Да, утверждение верно.

Пример 4:

Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?

Решение:

Рис. 7. Чертеж к примеру 4

Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180о – α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утверждение верно.

На данном уроке мы познакомимся с понятием «перпендикулярные прямые». Выясним определение, рассмотрим знак обозначения, уясним свойства. Также мы докажем некоторые теоремы. В конце урока мы рассмотрим несколько задач.

 Понятие «перпендикулярные прямые», теорема о пересечении прямых

Рассмотрим частный случай смежных углов, если они оба равны.

Рис. 1. Угол ∠АОС

На рисунке изображены смежные углы ∠АОВ и ∠ВОС. α + β = 180o.

Рис. 2. Перпендикулярные прямые

Определение: Если пересекающиеся прямые образуют угол 90о, то они называются перпендикулярными. На рисунке 2 изображены перпендикулярные прямые АС и BD.

Обозначение перпендикулярных прямых следующее: .

Очевидно, что существует множество прямых, которые перпендикулярны данной прямой. Рассмотрим 2 из них.

Рис. 3. Перпендикулярные прямые

На рисунке 3 изображена прямая PQ и две прямые, которые перпендикулярны ей,  AA1 и BB1. Докажем, что данные прямые не пересекаются между собой.

Докажем методом «от противного». Предположим, что прямые  AA1  и BB1 пересекаются в точке , тогда существует и другая точка пересечения М в другой полуплоскости относительно прямой PQ. Соответственно, через 2 точки проходит две прямых, а это противоречит аксиоме. Наше изначальное предположение неверно, прямые AA1 и BB1 не пересекаются.

 и .

То есть две прямые, перпендикулярные третьей, не имеют общих точек между собой.

 Решение задач

Рассмотрим следующие задачи:

Пример 1: Градусная мера угла ∠АОВ равна 90о. Луч СО делит данный угол на два. Найти градусную меру угла между биссектрисами образовавшихся ∠СОА и ∠ВОС.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 4. Чертеж к примеру 1

Пусть ∠ВОС = β, тогда ∠LOC =  (OL – биссектриса). Пусть ∠СОА = α, тогда ∠СОМ =   (OМ – биссектриса). ∠LOM = ∠LОС + ∠СОM =  +  = o.

Ответ: 45о.

Пример 2: Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Решение:

Рис. 5. Чертеж к примеру 2

Рассмотрим вертикальные углы ∠BOD и ∠СОА. Биссектрисы этих углов соответственно ОМ и ОL. Поскольку вертикальные углы равны, то пусть  ∠BOD = ∠СОА = α. Тогда ∠МОВ  = ∠СОL = . Угол ∠ВОС = β. Поскольку α и β – смежные, то α + β = 180о. Очевидно, чтобы доказать, что ОL и ОМ лежат на одной прямой, необходимо доказать, что угол ∠МОL – развернутый. Для этого выполним алгебраическое сложение: ∠ МОL = ∠МОВ + ∠ВОС + ∠СОL = о.

Доказано.

Пример 3: Могут ли прямые AP и AQ быть перпендикулярными к прямой a?

Решение:

Рис. 6. Чертеж к примеру 3

Сама по себе прямая AQ может быть перпендикулярной прямой a. Также прямая АР тоже может быть перпендикулярна a. Поскольку прямые AP и AQ пересекаются, то одновременно перпендикулярными прямой a они быть не могут.

Ответ: Соотношение невозможно.

На этом уроке впервые познакомимся с треугольником – важнейшей фигурой геометрии, строить которую в режиме онлайн научит педагог. Вначале дается определение треугольника и его основных элементов: вершин, сторон, углов. Далее рассматривается понятие равных треугольников. В конце урока разбираются задачи, посвященные противолежащим углу сторонам, прилежащим углам, взаимосвязи элементов и расчёта периметра.

 Определение треугольника и его элементов

Определение:  Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

Рис. 1. Треугольник АВС

На данном рисунке изображен треугольник АВС. Обозначение выглядит так: .

Точка С не принадлежит отрезку АВ. Точки А, В, С называются вершинами треугольника, а отрезки АВ, АС, ВС называются его сторонами. Логично, что треугольник имеет три угла: ∠А, ∠В, ∠С, или ∠ВАС, ∠АВС, ∠ВСА. В геометрии принято, что угол А обозначается греческой буквой α, а сторона, лежащая напротив этого угла, обозначается а, поэтому ∠А = α, ВС = а. Аналогично, ∠В = β, АС = b, ∠С = γ, АВ = c.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

 Равенство треугольников

Вспомним, какие фигуры называются равными. Фигура F1 и фигура F2 называются равными, если их можно совместить наложением.

Рис. 2. Равные треугольники АВС и А1В1С1

Треугольники АВС и А1В1С1 являются равными, так как их можно совместить наложением. Из этого факта следует, что у равных фигур равны их соответствующие элементы. Таким образом, если стороны , то и углы .

Как же доказать равенство треугольников? Первый способ – по определению. Необходимо совместить наложением два треугольника. Если их элементы совпадают, треугольники равны. Однако данный процесс трудоемкий. Второй способ – сравнить части элементов, но с гарантией совмещения всех остальных элементов, то есть разработать признаки равенства.

 Решение задач

Рассмотрим следующий пример:

Пример 1: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Назовите стороны, лежащие против соответствующих вершин.

Решение:

Рис. 3. Рисунок к примеру 1

Ответ: сторона DF лежит напротив угла Е, сторона EF лежит напротив угла D, сторона DE лежит напротив угла F.

Пример 2: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Назовите углы, лежащие против соответствующих сторон.

Решение:

Рис. 4. Рисунок к примеру 2

Ответ: Угол Е лежит напротив стороны DF, угол D лежит напротив стороны EF, угол F лежит напротив стороны DE.

Пример 3: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Укажите углы, которые прилежат к соответствующим сторонам.

Решение:

Рис. 5. Рисунок к примеру 3

Ответ: Углы D и F прилежат к стороне DF, углы Е и F прилежат к стороне EF, углы Е и D прилежат к стороне ED.

Пример 4: Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 6. Рисунок к примеру 4

Известно, что периметр (сумма всех сторон треугольника) равен 48 см. Запишем это равенство: , также известно, что сторона a = 18 см, а . Выразим из соотношения периметра сумму .

. Выразим из соотношения разности двух сторон любую сторону:  и подставим в соотношение . Получим и решим уравнение.  Следовательно, 

Ответ: 12,7 см и 17,3 см.

Пример 5: Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см. Сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 7. Рисунок к примеру 5

Поскольку сторона АС вдвое больше стороны АВ, то АС = 2 · AB = 2 · 17 = 34 см. Далее найдем сторону ВС, по условию она меньше стороны АС на 10 см, то есть BC = AC – 10 = 34 – 10 = 24 см.

Периметр мы можем найти, сложив длины всех сторон треугольника Р = АС + ВС + АС = 34 + 24 + 17 = 75 см.

Ответ: 75 см.

Пример 6: Отрезок BD = DC. Сравните периметры треугольников АВС и ABD.

Решение:

Рис. 8. Рисунок к примеру 6

Выразим периметры соответствующих треугольников:

 Чтобы сравнить, какой периметр больше, мы воспользуемся стандартным методом в математике – методом вычитания. Вычтем периметры треугольников. Учитываем также, что BD = DC.

Таким образом, мы получили положительное число (длина стороны ВС), поэтому .

Ответ: .

На этом уроке мы будем изучать первый признак равенства треугольников. Вначале сформулируем и докажем теорему о первом признаке равенства треугольников. Далее будем решать задачи на использование первого признака равенства треугольников.

 Повторение понятия «равные треугольники», введение первого признака равенства треугольника

На предыдущем занятии мы ввели понятие «равные треугольники» – треугольники, которые можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам.

Рис. 1. Треугольники АВС и A1B1C1 равны

Докажем теорему: если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и .

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А1, отрезки АВ и А1В1,  АС и А1С1 совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то  совпадёт с .

Теорема доказана.

 Решение задач

Рассмотрим несколько задач.

Пример 1:

Отрезки АС и ВD точкой их пересечения О делятся пополам. Докажите, что .

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 2. Чертеж к примеру 1

Отметим, что углы АОВ и СОD равны, как вертикальные, а стороны ВО и АО треугольника АОВ соответственно равны сторонам OD и ОС треугольника СОD. Поэтому треугольники АОВ и СОD равны по первому признаку.

Пример 2:

Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что .

Решение:

Рис. 3. Чертеж к примеру 2

В предыдущей задаче мы доказали, что  по первому признаку. Из этих соображений мы можем сделать вывод, что AB = CD, ∠OAB = ∠OCD.

Теперь рассмотрим треугольники. У них АС – общая сторона, AB=CD, а ∠СAB = ∠АCD (по доказанному). Поэтому  по первому признаку равенства. Что и требовалось доказать.

Пример 3:

Рис. 4. Чертеж к примеру 3

На рисунке 3 отрезки АВ и АС равны. Угол 1 равен углу 2. Известно, что АС = 15 см, DC = 5 см. Доказать, что . Найдите длины отрезков BD и АВ.

Треугольники  равны по первому признаку, ведь ∠1 = ∠2, АВ = АС, а AD – общая сторона у обоих треугольников. Из равенства треугольников следует равенство некоторых их соответствующих элементов, поэтому: BD = CD = 5 см,

АВ = АС = 15 см.

Ответ: 5 см, 15 см.

Пример 4:

На рисунке 5 ВС = AD. Угол 1 равен углу 2, AD = 17 см, CD = 14 см. Доказать, что . Найдите АВ и ВС.

Решение:

Рис. 5. Чертеж к примеру 4

Треугольник АВС равен треугольнику СDА.  по первому признаку. ∠1 = ∠2, СВ = АD, а AC – общая сторона у обоих треугольников. Из этого следует, что , .

Ответ: 14 см, 17 см.

На этом уроке мы будем изучать первый признак равенства треугольников. Вначале сформулируем и докажем теорему о первом признаке равенства треугольников. Далее будем решать задачи на использование первого признака равенства треугольников.

 Повторение понятия «равные треугольники», введение первого признака равенства треугольника

На предыдущем занятии мы ввели понятие «равные треугольники» – треугольники, которые можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам.

Рис. 1. Треугольники АВС и A1B1C1 равны

Докажем теорему: если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и .

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А1, отрезки АВ и А1В1,  АС и А1С1 совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то  совпадёт с .

Теорема доказана.

 Решение задач

Рассмотрим несколько задач.

Пример 1:

Отрезки АС и ВD точкой их пересечения О делятся пополам. Докажите, что .

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 2. Чертеж к примеру 1

Отметим, что углы АОВ и СОD равны, как вертикальные, а стороны ВО и АО треугольника АОВ соответственно равны сторонам OD и ОС треугольника СОD. Поэтому треугольники АОВ и СОD равны по первому признаку.

Пример 2:

Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что .

Решение:

Рис. 3. Чертеж к примеру 2

В предыдущей задаче мы доказали, что  по первому признаку. Из этих соображений мы можем сделать вывод, что AB = CD, ∠OAB = ∠OCD.

Теперь рассмотрим треугольники. У них АС – общая сторона, AB=CD, а ∠СAB = ∠АCD (по доказанному). Поэтому  по первому признаку равенства. Что и требовалось доказать.

Пример 3:

Рис. 4. Чертеж к примеру 3

На рисунке 3 отрезки АВ и АС равны. Угол 1 равен углу 2. Известно, что АС = 15 см, DC = 5 см. Доказать, что . Найдите длины отрезков BD и АВ.

Треугольники  равны по первому признаку, ведь ∠1 = ∠2, АВ = АС, а AD – общая сторона у обоих треугольников. Из равенства треугольников следует равенство некоторых их соответствующих элементов, поэтому: BD = CD = 5 см,

АВ = АС = 15 см.

Ответ: 5 см, 15 см.

Пример 4:

На рисунке 5 ВС = AD. Угол 1 равен углу 2, AD = 17 см, CD = 14 см. Доказать, что . Найдите АВ и ВС.

Решение:

Рис. 5. Чертеж к примеру 4

Треугольник АВС равен треугольнику СDА.  по первому признаку. ∠1 = ∠2, СВ = АD, а AC – общая сторона у обоих треугольников. Из этого следует, что , .

Ответ: 14 см, 17 см.

На этом уроке мы подробно рассмотрим понятие перпендикуляра к прямой и докажем важную теорему.
Вначале вспомним определение перпендикулярных прямых. Далее сформулируем и докажем теорему о двух прямых, перпендикулярных к третьей. Далее дадим определение перпендикуляра к прямой, сформулируем и докажем важную теорему о том, что из любой произвольной точки можно провести единственный перпендикуляр к заданной прямой. В конце решим несколько задач на пройденную тему.

 Повторение перпендикулярности двух прямых

Для начала вспомним важный факт: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Рис. 1. Перпендикулярные прямые

АС⊥ВD, поскольку четыре угла по 90°. Напомним также, что при пересечении любых прямых образуются четыре угла: 2 вертикальных, которые равны между собой, еще пара равных вертикальных углов. a и b – смежные углы. И по теореме о смежных углах a + b = 180°.

Рис. 2. Пересечение прямых

В единственном случае a = b = 90°. В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.

 Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей

Теорема 1: Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Рис. 3. Чертеж к теореме 1

Отсюда следует, что AA1 и BB1 не имеют общих точек. Прямые  AA1 и BB1 можно продлить бесконечно, но при этом они не пересекутся. В этом заключается смысл теоремы.

 Определение перпендикуляра к прямой

Определение: Пусть прямые АН и a перпендикулярны. Мы знаем, что чтобы все четыре угла при этих прямых были по 90°, необходимо, чтобы один из них был прямым. Отрезок АН называют перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой a, если прямые АН и a перпендикулярны. При этом точка Н называется основанием перпендикуляра.

Рис. 4. Чертеж к определению перпендикуляра

В данном случае перпендикуляр – это отрезок. Значит, перпендикуляр к прямой – это отрезок.

Теорема 2: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Рис. 5. Чертеж к теореме 2

 Теорема единственности перпендикуляра, проведенного из произвольной точки к заданной прямой

Существует множество точек, которые не лежат на прямой a. Из любой точки А, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к прямой. К тому же этот перпендикуляр единственный.

Дано: точка А не принадлежит прямой a.

Доказать: существует единственный отрезок АН, где АН.

Доказательство:

1. Проведем 2 равных угла. ∠АВС =∠МВС или ∠1 = ∠2.

2. Равные углы можно совместить наложением. При этом точка А перейдет в точку A1. ВА = ВA1(перегибание по прямой ВС).

3. Соединим точки А и A1. Получим точку Н. Углы ∠ВНА = ∠3, ∠ВНA1 = ∠4.

4.

Следовательно, треугольники ВНА = ВНA1 по первому признаку равенства треугольников, то есть по углу и двум прилежащим сторонам. Из равенства треугольников следует равенство всех элементов. А значит, ∠3 = ∠4. Эти углы лежат против равных сторон. Два смежных равны только в случае, если каждый из них равен по 90°. А значит, АН^ВС. Мы доказали, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой a.

Рис. 6. Чертеж к доказательству теоремы 2(1)

Единственность перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой, докажем методом «от противного».

5. Предположим, что из точки А можно провести к прямой a два разных перпендикуляра.

АН ⊥ a, АH1 ⊥ a.

Рис. 7. Чертеж к доказательству единственности перпендикуляра

Это невозможно, поскольку из разных точек прямой a проведены 2 перпендикуляра, которые имеют общую точку А. Мы получили противоречие, значит, наше предположение неверно. Из точки А можно провести лишь один перпендикуляр к прямой a.

 Решение задач

Пример 1: Точки А и С лежат по одну сторону от прямой a. Перпендикуляры АВ и СD к прямой a равны.

1. Докажите, что АВD = ∠CDВ.

2. Найдите ∠АВС, если ∠АDВ = 44°.

Дано: А) АВ⊥ a, CD ⊥ a.

Доказать: ∠ADB = ∠CDB.

Доказательство:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 8. Чертеж к примеру 1(а)

Доказательство основано на понятии перпендикуляра из точки к прямой. Отсюда следует, что ADB = CDB, что и требовалось доказать.

Дано: Б) АВ⊥ a, CD⊥ a. AB = CD, ∠ADB = 44°. Найти ∠АВС.

Доказательство:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 9. Чертеж к примеру 1(б)

1. ∆ABD = ∆CDB. (AB = CD, BD – общая, ∠ABD = ∠CDB). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. AD = CB.

2. ∠ADB = ∠CBD = 44°. Поскольку эти углы лежат против равных сторон AB и CD соответственно.

3. ∠АВС = 90° - 44° = 46°

Ответ: 46°.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели понятие перпендикуляра к прямой и доказали теорему об этом перпендикуляре. На следующем уроке мы познакомимся с медианой, биссектрисой, высотой треугольника.

На этом уроке мы подробно рассмотрим понятие перпендикуляра к прямой и докажем важную теорему.
Вначале вспомним определение перпендикулярных прямых. Далее сформулируем и докажем теорему о двух прямых, перпендикулярных к третьей. Далее дадим определение перпендикуляра к прямой, сформулируем и докажем важную теорему о том, что из любой произвольной точки можно провести единственный перпендикуляр к заданной прямой. В конце решим несколько задач на пройденную тему.

 Повторение перпендикулярности двух прямых

Для начала вспомним важный факт: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Рис. 1. Перпендикулярные прямые

АС⊥ВD, поскольку четыре угла по 90°. Напомним также, что при пересечении любых прямых образуются четыре угла: 2 вертикальных, которые равны между собой, еще пара равных вертикальных углов. a и b – смежные углы. И по теореме о смежных углах a + b = 180°.

Рис. 2. Пересечение прямых

В единственном случае a = b = 90°. В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.

 Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей

Теорема 1: Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Рис. 3. Чертеж к теореме 1

Отсюда следует, что AA1 и BB1 не имеют общих точек. Прямые  AA1 и BB1 можно продлить бесконечно, но при этом они не пересекутся. В этом заключается смысл теоремы.

 Определение перпендикуляра к прямой

Определение: Пусть прямые АН и a перпендикулярны. Мы знаем, что чтобы все четыре угла при этих прямых были по 90°, необходимо, чтобы один из них был прямым. Отрезок АН называют перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой a, если прямые АН и a перпендикулярны. При этом точка Н называется основанием перпендикуляра.

Рис. 4. Чертеж к определению перпендикуляра

В данном случае перпендикуляр – это отрезок. Значит, перпендикуляр к прямой – это отрезок.

Теорема 2: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Рис. 5. Чертеж к теореме 2

 Теорема единственности перпендикуляра, проведенного из произвольной точки к заданной прямой

Существует множество точек, которые не лежат на прямой a. Из любой точки А, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к прямой. К тому же этот перпендикуляр единственный.

Дано: точка А не принадлежит прямой a.

Доказать: существует единственный отрезок АН, где АН.

Доказательство:

1. Проведем 2 равных угла. ∠АВС =∠МВС или ∠1 = ∠2.

2. Равные углы можно совместить наложением. При этом точка А перейдет в точку A1. ВА = ВA1(перегибание по прямой ВС).

3. Соединим точки А и A1. Получим точку Н. Углы ∠ВНА = ∠3, ∠ВНA1 = ∠4.

4.

Следовательно, треугольники ВНА = ВНA1 по первому признаку равенства треугольников, то есть по углу и двум прилежащим сторонам. Из равенства треугольников следует равенство всех элементов. А значит, ∠3 = ∠4. Эти углы лежат против равных сторон. Два смежных равны только в случае, если каждый из них равен по 90°. А значит, АН^ВС. Мы доказали, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой a.

Рис. 6. Чертеж к доказательству теоремы 2(1)

Единственность перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой, докажем методом «от противного».

5. Предположим, что из точки А можно провести к прямой a два разных перпендикуляра.

АН ⊥ a, АH1 ⊥ a.

Рис. 7. Чертеж к доказательству единственности перпендикуляра

Это невозможно, поскольку из разных точек прямой a проведены 2 перпендикуляра, которые имеют общую точку А. Мы получили противоречие, значит, наше предположение неверно. Из точки А можно провести лишь один перпендикуляр к прямой a.

 Решение задач

Пример 1: Точки А и С лежат по одну сторону от прямой a. Перпендикуляры АВ и СD к прямой a равны.

1. Докажите, что АВD = ∠CDВ.

2. Найдите ∠АВС, если ∠АDВ = 44°.

Дано: А) АВ⊥ a, CD ⊥ a.

Доказать: ∠ADB = ∠CDB.

Доказательство:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 8. Чертеж к примеру 1(а)

Доказательство основано на понятии перпендикуляра из точки к прямой. Отсюда следует, что ADB = CDB, что и требовалось доказать.

Дано: Б) АВ⊥ a, CD⊥ a. AB = CD, ∠ADB = 44°. Найти ∠АВС.

Доказательство:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 9. Чертеж к примеру 1(б)

1. ∆ABD = ∆CDB. (AB = CD, BD – общая, ∠ABD = ∠CDB). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. AD = CB.

2. ∠ADB = ∠CBD = 44°. Поскольку эти углы лежат против равных сторон AB и CD соответственно.

3. ∠АВС = 90° - 44° = 46°

Ответ: 46°.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели понятие перпендикуляра к прямой и доказали теорему об этом перпендикуляре. На следующем уроке мы познакомимся с медианой, биссектрисой, высотой треугольника.

На данном уроке будет рассмотрена тема «Равнобедренный треугольник и его свойства». Вы узнаете, как выглядят и чем характеризуются равнобедренный и равносторонний треугольники. Докажете теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Рассмотрите также теорему о биссектрисе (медиане и высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника. В конце урока вы разберете две задачи с использованием определения и свойств равнобедренного треугольника.

 Определение равнобедренного треугольника

Определение: Равнобедренным называется треугольник, у которого равны две стороны.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = АС – боковые стороны. ВС – основание.

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

 Определение равностороннего треугольника

Определение: Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = СА.

Площадь равностороннего треугольника равна 

 Теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника

Теорема 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: АВ = АС.

Доказать: ∠В =∠С.

Рис. 3. Чертеж к теореме

Доказательство: треугольник АВС = треугольнику АСВ по первому признаку (по двум равным сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.

 Теорема о биссектрисе (медиане, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано: АВ = АС, ∠1 = ∠2.

Доказать: ВD = DC, AD перпендикулярно BC.

Рис. 4. Чертеж к теореме 2

Доказательство: треугольник ADB = треугольнику ADC по первому признаку (AD – общая, АВ = АС по условию, ∠BAD = ∠DAC). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. BD = DC, так как они лежат против равных углов. Значит, AD является медианой. Также ∠3 = ∠4, поскольку они лежат против равных сторон. Но, к тому же, они в сумме равняются . Следовательно, ∠3 = ∠4 = . Значит, AD является высотой треугольника, что и требовалось доказать.

В единственном случае a = b = . В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.

Поскольку биссектрисой, высотой и медианой является один и тот же отрезок, то справедливы и следующие утверждения:

- Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

 Решение задач

Пример 1: В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

Дано: АВ = АС, ВС = AC. Р = 50 см.

Найти: ВС, АС, АВ.

Решение:

Рис. 5. Чертеж к примеру 1

Обозначим основание ВС как а, тогда АВ = АС = 2а.

2а + 2а + а = 50.

5а = 50, а = 10.

Ответ: ВС = 10 см, АС = АВ = 20 см.

Пример 2: Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Дано: АВ = ВС = СА.

Доказать: ∠А = ∠В = ∠С.

Доказательство:

Рис. 6. Чертеж к примеру       

∠В = ∠С, так как АВ=АС, а ∠А = ∠В, так как АС = ВС.                           

Следовательно, ∠А = ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели равнобедренный треугольник, изучили его основные свойства. На следующем уроке мы порешаем задачи по теме равнобедренного треугольника, на вычисление площадт равнобедренного и равностороннего треугольника.

На данном уроке будет рассмотрена тема «Равнобедренный треугольник и его свойства». Вы узнаете, как выглядят и чем характеризуются равнобедренный и равносторонний треугольники. Докажете теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Рассмотрите также теорему о биссектрисе (медиане и высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника. В конце урока вы разберете две задачи с использованием определения и свойств равнобедренного треугольника.

 Определение равнобедренного треугольника

Определение: Равнобедренным называется треугольник, у которого равны две стороны.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = АС – боковые стороны. ВС – основание.

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

 Определение равностороннего треугольника

Определение: Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = СА.

Площадь равностороннего треугольника равна 

 Теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника

Теорема 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: АВ = АС.

Доказать: ∠В =∠С.

Рис. 3. Чертеж к теореме

Доказательство: треугольник АВС = треугольнику АСВ по первому признаку (по двум равным сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.

 Теорема о биссектрисе (медиане, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано: АВ = АС, ∠1 = ∠2.

Доказать: ВD = DC, AD перпендикулярно BC.

Рис. 4. Чертеж к теореме 2

Доказательство: треугольник ADB = треугольнику ADC по первому признаку (AD – общая, АВ = АС по условию, ∠BAD = ∠DAC). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. BD = DC, так как они лежат против равных углов. Значит, AD является медианой. Также ∠3 = ∠4, поскольку они лежат против равных сторон. Но, к тому же, они в сумме равняются . Следовательно, ∠3 = ∠4 = . Значит, AD является высотой треугольника, что и требовалось доказать.

В единственном случае a = b = . В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.

Поскольку биссектрисой, высотой и медианой является один и тот же отрезок, то справедливы и следующие утверждения:

- Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

- Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

 Решение задач

Пример 1: В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

Дано: АВ = АС, ВС = AC. Р = 50 см.

Найти: ВС, АС, АВ.

Решение:

Рис. 5. Чертеж к примеру 1

Обозначим основание ВС как а, тогда АВ = АС = 2а.

2а + 2а + а = 50.

5а = 50, а = 10.

Ответ: ВС = 10 см, АС = АВ = 20 см.

Пример 2: Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Дано: АВ = ВС = СА.

Доказать: ∠А = ∠В = ∠С.

Доказательство:

Рис. 6. Чертеж к примеру       

∠В = ∠С, так как АВ=АС, а ∠А = ∠В, так как АС = ВС.                           

Следовательно, ∠А = ∠В = ∠С, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели равнобедренный треугольник, изучили его основные свойства. На следующем уроке мы порешаем задачи по теме равнобедренного треугольника, на вычисление площадт равнобедренного и равностороннего треугольника.

Данный видеоурок предназначен для самостоятельного изучения темы «Задачи на третий признак равенства треугольников». Вы вспомните и повторите третий признак равенства треугольников. Затем преподаватель даст несколько задач на закрепление данной темы.

 Третий признак равенства треугольника

Напоминание:

1. Геометрические фигуры, а в данном случае треугольники, равны, если они совмещаются наложением.

Рис. 1. Напоминание 1

треугольник АВС = треугольнику , поскольку они совмещаются наложением.

2. Совмещающиеся (соответственные) элементы равны

Вспомним формулировку третьего признака равенства треугольников.

Третий признак, как и любой другой признак, гарантирует равенство (совмещение) треугольников. Третий признак – это признак по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 2. Чертеж к третьему признаку равенства треугольников

Отсюда следует, что треугольники АВС и равны по третьему признаку. А это означает равенство всех соответственных углов.

 Решение задач

Пример 1:

Дано:АС = ВС, АD = BD, ∠CAD =

Найти:∠CBD.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 3. Чертеж к примеру 1

Значит, треугольники АСD и ВСD равны по третьему признаку равенства треугольников, то есть по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. ∠СВD = ∠САD = 

Ответ:

Пример 2:

Дано: АО = ОВ, СО = ОD.

Доказать:треугольник ADC =  треугольникуBCD.

Доказательство. Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 4. Чертеж к примеру 2

1. треугольник АОС =  треугольнику BOD. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (СО = OD – по условию, АО = ОВ – по условию, ∠АОС = ∠DOB – как вертикальные). Отсюда следует, что АС = BD. Обозначим их за .

2. треугольник ВОС = треугольнику АOD. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (СО = OD – по условию, АО = ОВ – по условию, ∠СОВ = ∠DOА – как вертикальные). Отсюда следует, что ВС = АD. Обозначим их за .

3. .

Отсюда следует, что треугольники ADC и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Пример 3:

Дано: АВ = CD, AC = BD, ∠BAC = 

Найти:∠CDB.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 5. Чертеж к примеру 3

1) треугольник ВАС = треугольнику CDB по третьему признаку равенства треугольников (ВС – общая сторона, АВ = CD – по условию, АС = BD – по условию).

2) ∠CDB = ∠ВАС =. Это следует из равенства треугольников. Оба угла лежат против общей стороны ВС.

Ответ:

Пример 4:

Дано: АВ = ВС = CD = DA.

Доказать:∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 6. Чертеж к примеру 4

1. треугольник АСВ = треугольнику АСD по третьему признаку равенства треугольников (АС – общая сторона, другие стороны равны по условию). Из равенства треугольников имеем равенство соответствующих углов. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

2. Треугольник АВС – равнобедренный, а значит,∠1 = ∠3. Треугольник АСD – также равнобедренный, ∠2 = ∠4.

3. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели некоторые типовые задачи на третий признак равенства треугольников. С признаками равенства треугольников мы далее будем встречаться неоднократно. На следующем уроке мы познакомимся с признаками параллельности прямых.

Данный видеоурок создан специально для самостоятельного изучения темы «Окружность». Учащиеся смогут узнать строгое геометрическое определение окружности. Учитель подробно разберет решение нескольких типовых задач на построение окружности.

 Определение окружности и ее элементов

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из множества точек, которые равноудалены от заданной точки.

На рисунке 1 изображена окружность.

Рис. 1. Окружность

Сокращенная запись заданной окружности – это Окр (O, r), что читается: «Окружность с центром в точке О и радиусом r». Точка, от которой остальные точки являются равноудаленными, называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр и точку, лежащую на окружности, называется радиусом. Если соединить две точки, лежащие на окружности, можно провести отрезок, который называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Таким образом, существуют следующие обозначения:

О – центр окружности;

OM = r – радиус окружности;

OM = ON = r – радиусы окружности;

MN – хорда;

АМ – диаметр;

АM = 2r – связь между радиусом и диаметром.

 Решение задач

Любые две точки рассекают окружность на две дуги, например: дуги NLM и NAM для заданных точек N и M.

Пример 1: На рисунке 2 изображена окружность. Определить центр, радиус, хорды, диаметр и возможные дуги.

Решение:

Рис. 2. Чертеж к примеру 1

Определим основные элементы данной окружности:

О – центр окружности;

OE = OD = OA = OC – радиусы окружности;

EF, BA – хорды;

DС – диаметр.

В данный момент вспомним определение круга. Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Совершенно понятно, что различие окружности от круга следующее: окружность – это линия, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает данная линия. К примеру, на рисунке 3 изображен круг.

Рис. 3. Круг

Пример 2: На рисунке изображена окружность с диаметрами АВ и СD. Докажите, что хорды АС и BD равны. Докажите, что хорды ВС и АD равны. Докажите, что углы BАD и BСD равны.

Рис. 4. Чертеж к примеру 2

Решение:

Для начала выясним, что СО = ОD = ОВ = ОА, так как указанные отрезки – радиусы одной и той же окружности.  Будем доказывать указанные утверждения цепочками треугольников. Например,  по первому признаку, так как ОВ = ОА как радиусы, СО = ОD аналогично,  как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АС = ВD.

Далее докажем, что  аналогично по первому признаку. ОD = ОА, СО = ОВ как радиусы, а  как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АD = ВC.

Далее докажем, что  по третьему признаку. BD – общая сторона у треугольников, АD = CВ по доказанному утверждению в п. 2, АВ = СD как диаметры окружности. Из равенства треугольников следует, что .

Что и требовалось доказать.

Пример 3: отрезок МК – диаметр окружности, а РМ и РК – равные хорды. Найдите угол РОМ.

Рис. 5. Чертеж к примеру 3

Решение:

По определению,   – равнобедренный, так как РК = РМ. Поскольку ОК – ОМ – радиусы окружностей, то РО – медиана, проведенная к основанию . По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой, соответственно,.

Ответ: 90°.

Данный видеоурок создан специально для самостоятельного изучения темы «Простейшие задачи на построение». В ходе него учащиеся узнают о том, как решать простейшие задачи на построение, используя циркуль и линейку. Учитель объяснит материал на примере конкретных задач, а также напомнит несколько изученных ранее аксиом.

 Общие положения по поводу построения

Определим, какие действия мы можем выполнять при помощи циркуля и линейки. Во-первых, с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также прямую, проходящую через две точки. Через две точки можно провести прямую, и при том только одну.

С помощью циркуля можно построить окружность заданного радиуса.

Рис. 1. Окружность и прямая

 Решение задач

Пример 1: На заданном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Отрезок АВ и луч ОС даны по условию:

Рис. 2.1. Условие к примеру 1

Построение:

Рис. 2.2. Решение к примеру 1

Построение выполняем следующим образом: строим окружность с центром в точке О и радиусом АВ. Точка D является точкой пересечения окружности и луча. Отрезок OD – искомый, так как он равен АВ.

Построение выполнено.

Пример 2: Отложить от данного луча угол, равный данному. Заданы угол А и луч ОМ. Построить .

Построение:

Рис. 3.1. Условие к примеру 2

1. Построить окружность Окр(А, r = AB). Точки В и С – являются точками пересечения со сторонами угла А.

Рис. 3.2. Решение к примеру 2

2. На луче ОМ построить окружность с центром в точке О радиуса r = АВ. Получаем точку D на пересечении луча ОМ и окружности

3. Строим третью окружность с центром в точке D радиуса r = BC (где В и С точки пересечения угла А и первой окружности) и получаем точку Е на пересечении двух окружностей

Рис. 3.3. Решение к примеру 2

4. Получаем искомый угол МОЕ = углу А 

5. Угол МОЕ – искомый, так как .

Построение выполнено.

Пример 3: Построить биссектрису данного угла. Дан угол А, необходимо выполнить построение биссектрисы АЕ.

Рис. 4.1. Условие к примеру 3

Построение:

1. Построим окружность Окр(А, r = АB). Точки В и С – точки пресечения окружности со сторонами угла.

2. Выполним построение окружности Окр(В, r = CB) и окружности Окр(С, r = CB). Данные окружности пересекаются в точке Е.

3. Луч АЕ – биссектриса – искомый, так как . Из этого следует, что .

Рис. 4.2. Решение к примеру 3

Построение выполнено.

Пример 4: Из точки, лежащей на данной прямой, требуется провести перпендикуляр к данной прямой.

Построение:

1. МА = МВ. Мы зафиксировали определенные равные отрезки по обе стороны от заданной точки.

2. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q.

3. PМ – искомая прямая. Медиана РМ есть и высота в равнобедренном треугольнике РАВ. .

Рис. 5. Решение к примеру 4

Построение выполнено.

Пример 5: Построить середину данного отрезка. АВ – отрезок. Найти точку О, такую, что АО = ОВ. 

Рис. 6.1. Условие к примеру 5

Построение:

1. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q.

2. PQ пересекает АВ в точке О, точка О – искомая, так как , поэтому PQ – биссектриса в равнобедренном треугольнике РАВ. Следовательно, PQ – медиана.

Рис. 6.2. Решение к примеру 5

Построение выполнено.

Данный видеоурок создан специально для самостоятельного изучения темы «Простейшие задачи на построение». В ходе него учащиеся узнают о том, как решать простейшие задачи на построение, используя циркуль и линейку. Учитель объяснит материал на примере конкретных задач, а также напомнит несколько изученных ранее аксиом.

 Общие положения по поводу построения

Определим, какие действия мы можем выполнять при помощи циркуля и линейки. Во-первых, с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также прямую, проходящую через две точки. Через две точки можно провести прямую, и при том только одну.

С помощью циркуля можно построить окружность заданного радиуса.

Рис. 1. Окружность и прямая

 Решение задач

Пример 1: На заданном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Отрезок АВ и луч ОС даны по условию:

Рис. 2.1. Условие к примеру 1

Построение:

Рис. 2.2. Решение к примеру 1

Построение выполняем следующим образом: строим окружность с центром в точке О и радиусом АВ. Точка D является точкой пересечения окружности и луча. Отрезок OD – искомый, так как он равен АВ.

Построение выполнено.

Пример 2: Отложить от данного луча угол, равный данному. Заданы угол А и луч ОМ. Построить .

Построение:

Рис. 3.1. Условие к примеру 2

1. Построить окружность Окр(А, r = AB). Точки В и С – являются точками пересечения со сторонами угла А.

Рис. 3.2. Решение к примеру 2

2. На луче ОМ построить окружность с центром в точке О радиуса r = АВ. Получаем точку D на пересечении луча ОМ и окружности

3. Строим третью окружность с центром в точке D радиуса r = BC (где В и С точки пересечения угла А и первой окружности) и получаем точку Е на пересечении двух окружностей

Рис. 3.3. Решение к примеру 2

4. Получаем искомый угол МОЕ = углу А 

5. Угол МОЕ – искомый, так как .

Построение выполнено.

Пример 3: Построить биссектрису данного угла. Дан угол А, необходимо выполнить построение биссектрисы АЕ.

Рис. 4.1. Условие к примеру 3

Построение:

1. Построим окружность Окр(А, r = АB). Точки В и С – точки пресечения окружности со сторонами угла.

2. Выполним построение окружности Окр(В, r = CB) и окружности Окр(С, r = CB). Данные окружности пересекаются в точке Е.

3. Луч АЕ – биссектриса – искомый, так как . Из этого следует, что .

Рис. 4.2. Решение к примеру 3

Построение выполнено.

Пример 4: Из точки, лежащей на данной прямой, требуется провести перпендикуляр к данной прямой.

Построение:

1. МА = МВ. Мы зафиксировали определенные равные отрезки по обе стороны от заданной точки.

2. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q.

3. PМ – искомая прямая. Медиана РМ есть и высота в равнобедренном треугольнике РАВ. .

Рис. 5. Решение к примеру 4

Построение выполнено.

Пример 5: Построить середину данного отрезка. АВ – отрезок. Найти точку О, такую, что АО = ОВ. 

Рис. 6.1. Условие к примеру 5

Построение:

1. Построим окружности Окр(А, r = АB) и Окр(В, r = АB). Эти окружности пересекаются в точках P и Q.

2. PQ пересекает АВ в точке О, точка О – искомая, так как , поэтому PQ – биссектриса в равнобедренном треугольнике РАВ. Следовательно, PQ – медиана.

Рис. 6.2. Решение к примеру 5

Построение выполнено.

В начале урока учитель даст определение параллельных прямых и научит школьников правильному их обозначению. Затем преподаватель расскажет о значении параллельных прямых и даст несколько примеров параллельных прямых.

 Понятие «параллельность прямых», его обоснование

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так: .

Рис. 1

Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными.

Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.

Задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? И существуют ли такие прямые? Ведь а и b не ограничены. И в соседней комнате не пересекутся? И на луне?

Оказывается, такие прямые существуют.

Мы доказывали, что перпендикулярная прямая а к прямой с и перпендикулярная прямая b к прямой с нигде не пересекаются (Рис. 2).

Рис. 2

То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин.

.

 Накрест лежащие углы, односторонние и соответственные углы

Рассмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые а и b рассекаются прямой с (Рис. 3).