Конспекты уроков Геометрия 8 класс

На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.

Тема: Четырехугольники

Урок: Многоугольники

 1. Понятие «многоугольник»

В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах – многоугольниках.

С частным случаем многоугольников мы уже знакомы – это треугольник (см. Рис. 1).

Рис. 1. Треугольник

В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами.

Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник

Определение.Многоугольник – фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки – сторонами. При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.

Определение.Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику.

Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике , имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка  тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2).

Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).

Определение. Периметр многоугольника – сумма длин сторон многоугольника.

Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые. Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.

Рис. 3. Невыпуклый многоугольник

 2. Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Определение 1. Многоугольник называется выпуклым, если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через  в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.

Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.

Определение 2. Многоугольник называется выпуклым, если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника.

Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков  на Рис. 2 и 3.

Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины.

 3. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника

Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника. Рассмотрим их.

Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

, где  – количество его углов (сторон).

Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник.

Рис. 4. Выпуклый n-угольник

Из вершины  проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на  треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине . Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника – , то сумма внутренних углов n-угольника:

, что и требовалось доказать.

Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.

Рис. 5.

Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол  . Имеем:

, что и требовалось доказать.

Доказано.

По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике , а сумма углов . В четырехугольнике , а сумма углов –  и т.д.

 4. Теорема о сумме внешних углов выпуклого n-угольника

Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

, где  – количество его углов (сторон), а , …,  – внешние углы.

Доказательство. Изобразим выпуклый n-угольник на Рис. 6 и обозначим его внутренние и внешние углы.

Рис. 6. Выпуклый n-угольник с обозначенными внешними углами

Т.к. внешний угол связан со внутренним как смежные, то  и аналогично для остальных внешних углов. Тогда:

.

В ходе преобразований мы воспользовались уже доказанной теоремой о сумме внутренних углов n-угольника .

Доказано.

Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна  от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов.

Далее мы более подробно будем работать с частным случаем многоугольников – четырехугольниками. На следующем уроке мы познакомимся с такой фигурой, как параллелограмм, и обсудим его свойства.

Данный урок посвящен одному из видов выпуклых четырехугольников, а именно – параллелограмму. Параллелограмм – один из частных видов четырехугольников, который включает в себя такие подвиды, как прямоугольник, ромб, квадрат – фигуры, с которыми каждый из нас знаком еще с детства. Мы рассмотрим определение и свойства параллелограмма, а также решим несколько примеров с использованием этих свойств.

Тема: Четырехугольники

Урок: Параллелограмм

 1. Определение параллелограмма

На прошлом уроке мы рассмотрели понятие выпуклого многоугольника. Теперь изучим частный случай многоугольника – четырехугольник, а точнее – частный случай четырехугольника – параллелограмм.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

То есть, если даны две параллельные прямые, которые пересекают еще две параллельные прямые, то они образуют фигуру, которая называется параллелограммом .

Из того, что  – параллелограмм, можно сделать следующие выводы: . Верно и обратное утверждение: если , то четырёхугольник  – параллелограмм.

Помимо данного определения, можно дать ещё несколько эквивалентных, однако мы остановимся именно на таком, классическом определении параллелограмма, и сформулируем свойства данной фигуры, пользуясь параллельностью её противоположных сторон.

 2. Первое свойство параллелограмма и его доказательство

Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

Дано:                                                             

 – параллелограмм ().

Доказать: ; .

Доказательство:

Поскольку нам ничего не известно, кроме того, что  – параллелограмм, то при доказательстве данного свойства мы будем пользоваться определением параллелограмма, то есть параллельностью его противоположных сторон.

Проведем диагональ  и рассмотрим два полученных треугольника (см. Рис. 2.).

Они имеют общую сторону . Эта сторона  является секущей при параллельных прямых .

Рис. 2

Воспользуемся свойством параллельных прямых, а именно: внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. В нашем случае в роли внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых  и секущей  выступают углы . Аналогичное равенство можно получить и для внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых  и секущей : .

Если теперь сложить полученные равенства, то получим, что: . Или: . Таким образом, мы доказали равенство двух противоположных углов параллелограмма. Осталось доказать равенство второй пары углов и равенство противоположных сторон.

Для этого рассмотрим треугольники: . Они имеют общую сторону . К стороне  примыкают углы  и  в одном треугольнике, углы  и  в другом треугольнике. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Если записывать строго, то получаем следующую цепочку логических преобразований:

 (по 2-му признаку равенства треугольников)

Примечание: при записи факта равенства треугольников необходимо учитывать порядок расстановки букв – буквы, означающие равные углы треугольника, должны идти на одинаковых порядковых местах в обозначении треугольников (в нашем примере: вторая буква  в названии  соответствует углу , как и вторая буква  ).

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов этих треугольников. Значит:

. Таким образом, мы доказали, что если четырёхугольник – параллелограмм, то его противоположные углы и стороны попарно равны.

Доказано.

 3. Второе свойство параллелограмма

Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Дано:                                                             

 – параллелограмм ().

Доказать:  (см. Рис. 3).

Доказательство:

Проведем диагонали  и  и отметим их точку пересечения: . Рассмотрим треугольники  и .

Рис. 3

Они равны по второму признаку равенства треугольников (стороне и двум прилежащим к ней углам). Действительно:

 (по 2-му признаку равенства треугольников)

Равенство углов вновь следует из того, что они являются внутренними накрест лежащими при соответствующей секущей и параллельных прямых (которыми являются противоположные стороны параллелограмма по определению). Противоположные стороны равны по доказанному выше свойству 1.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. Значит: .

Доказано.

Доказанные свойства параллелограмма позволяют решать многочисленный класс задач. Разберём несколько примеров.

 4. Примеры задач на свойство параллелограмма

Пример 1.

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найти его стороны, если одна сторона на 3 сантиметра больше другой (см. Рис. 4).

Дано:

 – параллелограмм, . .

Найти:

Решение:

Рис. 4

Обозначим меньшую сторону параллелограмма . Учитывая свойство 1 для параллелограмма, запишем следующее равенство: . Из условия: .

Напомним, что периметр многоугольника – это сумма всех его сторон. Поэтому можем записать следующее равенство: .

Или: .

Получаем, что стороны параллелограмма: , .

Ответ: .

Пример 2

Биссектриса угла  параллелограмма  пересекает сторону  в точке . . Найдите периметр параллелограмма.

Дано:

 – параллелограмм,  – биссектриса. . .

Найти:

Решение:

Рис. 5

Вспомним определение биссектрисы: биссектриса делит угол пополам. Это значит, что: . Кроме того,  является секущей при параллельных прямых . А это значит, что внутренние накрест лежащие углы равны: .

Из этого получается:

.

Так как , то . Откуда: .

Периметр – сумма всех сторон, у параллелограмма противоположные стороны равны. Получаем: .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели определение и свойства параллелограмма, в частности: равенство противоположных сторон и углов, а также то, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, и использовали эти свойства при решении задач.

В дальнейшем мы изучим признаки параллелограмма, а также научимся применять свойства и признаки параллелограмма при решении более сложных примеров.

На сегодняшнем уроке мы повторим основные свойства параллелограмма, а затем уделим внимание рассмотрению первых двух признаков параллелограмма и докажем их. В ходе доказательства вспомним применение признаков равенства треугольников, которые мы изучали в прошлом году и повторяли на первом уроке. В конце будет приведен пример на применение изученных признаков параллелограмма.

Тема: Четырехугольники

Урок: Признаки параллелограмма

 1. Определение и основные свойства параллелограмма

Начнем с того, что вспомним определение параллелограмма.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

Вспомним основные свойства параллелограмма:

Для того, чтобы иметь возможность пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть уверенным, что фигура, о которой идет речь, – параллелограмм. Для этого необходимо знать такие факты, как признаки параллелограмма. Первые два из них мы сегодня и рассмотрим.

 2. Первый признак параллелограмма

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. .

Рис. 2. Первый признак параллелограмма

Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ  (см. Рис. 2), она разбила его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:

по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства указанных треугольников следует, что  по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что:

 параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.

Доказано.

 3. Второй признак параллелограмма

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. .

Рис. 3. Второй признак параллелограмма

Доказательство. Проведем в четырехугольнике диагональ  (см. Рис. 3), она разбивает его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках, исходя из формулировки теоремы:

 по третьему признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что  и  по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем:

 параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.

Доказано.

 4. Пример на применение первого признака параллелограмма

Рассмотрим пример на применение признаков параллелограмма.

Пример 1. В выпуклом четырехугольнике  Найти: а) углы четырехугольника; б) сторону .

Решение. Изобразим Рис. 4.

Рис. 4

 параллелограмм по первому признаку параллелограмма.

А.  по свойству параллелограмма о противоположных углах,  по свойству параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне.

Б.  по свойству равенства противоположных сторон.

Ответ. .

На следующем уроке мы рассмотрим еще один признак параллелограмма (третий).

анный урок посвящён третьему признаку параллелограмма и его применению. На предыдущем уроке были изучены первый и второй признаки параллелограмма, которые основывались на свойствах сторон и углов параллелограмма. Третий признак основан на свойстве диагоналей параллелограмма. А именно, на том, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Признаки параллелограмма очень важны при решении целого ряда задач, поскольку позволяют доказывать то, что четырёхугольник является параллелограммом, а, значит, можно пользоваться его свойствами.

Тема: Четырехугольники

Урок: Третий признак параллелограмма

 1. Повторение: определение и свойства параллелограмма

Напомним, что параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. То есть, если  – параллелограмм, то  (см. Рис. 1).

Рис. 1

Параллелограмм обладает целым рядом свойств: противоположные углы равны (), противоположные стороны равны (). Кроме того, диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма, равна  и т.д.

Но для того, чтобы пользоваться всеми этими свойствами, необходимо быть абсолютно уверенными в том, что рассматриваемый четырёхугольник – параллелограмм. Для этого и существуют признаки параллелограмма: то есть те факты, из которых можно сделать однозначный вывод, что четырёхугольник является параллелограммом. На предыдущем уроке мы уже рассмотрели два признака. Сейчас рассмотрим третий.

 2. Третий признак параллелограмма и его доказательство

Если в четырёхугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то данный четырёхугольник является параллелограммом.

Дано:

 – четырёхугольник; ; .

Доказать:

 – параллелограмм.

Доказательство:

Для того чтобы доказать данный факт, необходимо доказать параллельность сторон параллелограмма. А параллельность прямых чаще всего доказывается через равенство внутренних накрест лежащих углов при этих прямых. Таким образом, напрашивается следующий способ доказательства третьего признака параллелограмма: через равенство треугольников .

Докажем равенство этих треугольников. Действительно, из условия следует: . Кроме того, поскольку углы  – вертикальные, то они равны. То есть:

 (первый признак равенстватреугольников – по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников:  (так как равны внутренние накрест лежащие углы при этих прямых и секущей ). Кроме того, из равенства треугольников следует, что . Значит, мы получили, что в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма:  – параллелограмм.

Доказано.

 3. Пример задачи на третий признак параллелограмма и обобщение

Рассмотрим пример на применение третьего признака параллелограмма.

Пример 1

Дано:

 – параллелограмм; .  – середина ,  – середина ,  – середина ,  – середина  (см. Рис. 2).

Рис. 2

Доказать: – параллелограмм.

Доказательство:

Значит, в четырёхугольнике  диагонали в точке пересечения делятся пополам. По третьему признаку параллелограмма из этого следует, что  – параллелограмм.

Доказано.

Если провести анализ третьего признака параллелограмма, то можно заметить, что этот признак соответствует свойству параллелограмма. То есть, то, что диагонали делятся пополам, является не просто свойством параллелограмма, а его отличительным, характеристическим свойством, по которому его можно выделить из множества четырёхугольников.

На следующем уроке мы рассмотрим решение различных задач про параллелограмм.

На уроке мы, прежде всего, повторим уже изученные ранее свойства и признаки параллелограмма и все основные понятия, которые связаны с этой геометрической фигурой. Главной целью занятия будет рассмотрение нескольких примеров на применение знаний о параллелограмме. В процессе решения примеров познакомимся с важнейшей теоремой, связанной с параллельностью прямых, – теоремой Фалеса.

Тема: Четырехугольники

Урок: Задачи на параллелограмм

 1. Повторение определения, свойств и признака параллелограмма

Сегодня мы основное внимание уделим задачам на параллелограмм. Для этого нам необходимо владеть определением параллелограмма, его свойствами и признаками. Повторим эти факты, обобщим и структурируем их.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

Основные свойства параллелограмма:

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 2. Первый признак параллелограмма

Рис. 3. Второй признак параллелограмма

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 4. Третий признак параллелограмма

 2. Задачи на параллелограммы

Теперь рассмотрим решение задач с использованием определения, свойств и признаков параллелограмма.

Пример 1. В параллелограмме  проведены биссектрисы  и , которые пересекаются в точке . Найти .

Решение. Изобразим Рис. 5.

Рис. 5

Обозначим для удобства: . Следовательно,  поскольку  и  биссектрисы.

По теореме о сумме внутренних углов треугольника .

Вспомним свойство параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне: . Тогда:

.

Ответ. .

Пример 2. Прямая , проведенная через середину  стороны  параллельно стороне  треугольника  пересекает третью его сторону в середине. Доказать, что  – это середина .

Доказательство. Изобразим Рис. 6 с дополнительными построениями: проведем .

Рис. 6

Рассмотрим четырехугольник :

 параллелограмм по определению. Тогда по свойству равенства противоположных сторон , но по условию еще известно, что , следовательно, .

Рассмотрим треугольники  и :

 по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам).

Из равенства указанных треугольников следует равенство их соответствующих сторон, т.е., например, что . Это означает, что точка  является серединой стороны . Что и требовалось доказать.

Доказано.

 3. Теорема Фалеса

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Изобразим Рис. 7.

Рис. 7. Теорема Фалеса

Рассмотрим . В нем точка  – середина стороны , а прямая . Из предыдущего примера следует, что точка  делит сторону   на две равные части, т.е. . Равенство двух отрезков, ближайших к вершине угла доказано. Аналогично доказывается попарное равенство всех остальных отрезков на второй стороне угла, если проводить прямые параллельные первой стороне угла через начало первого отрезка в любой рассматриваемой паре.

Доказано.

 4. Пример задачи на применение теоремы Фалеса

Рассмотрим пример на доказанную теорему.

Пример 3. Дан отрезок , разделить его на три равные части.

Решение. Изобразим указанный отрезок на Рис. 8 и сделаем дополнительные построения: отложим три равных отрезка любой длины  вдоль одной прямой, не совпадающей с указанным в условии отрезком.

Рис. 8. Применение теоремы Фалеса

Соединим прямой точки  и , а затем проведем прямые, параллельные прямой , через точки  и : . Полученные при пересечении отрезка точки  и  будут делить отрезок  на три равных части по теореме Фалеса. Необходимое построение выполнено и задача решена.

Ответ: построено.

Методы, которые мы рассмотрели сегодня на примерах, демонстрирующих свойства и признаки параллелограмма, помогут нам в дальнейшем при работе с параллелограммами в более сложных случаях. А на следующем уроке мы познакомимся с таким видом четырехугольников, как трапеция, и обсудим ее свойства.

Данный урок посвящён ещё одному специфическому виду четырёхугольников – трапециям. Как и в параллелограмме, в трапеции две стороны параллельны. Однако существенным отличием является то, что две другие стороны трапеции являются непараллельными. То есть параллелограмм не является частным случаем трапеции. Вместе с тем, несмотря на менее строгие условия в определении, трапеция обладает целым рядом интересных свойств. Кроме того, существует несколько видов трапеции – равнобедренная или равнобокая, прямоугольная трапеция. В школьном курсе геометрии очень много задач, в которых фигурирует трапеция. Поэтому изучение и понимание данной темы является необходимым для успешного освоения геометрии.

Тема: Четырехугольники

Урок: Трапеция

 1. Трапеция и её виды

Определение

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

На Рис. 1. изображена произвольная трапеция.  – это боковые стороны (те, которые не параллельны).  – основания (параллельные стороны).

Рис. 1. Трапеция

Если сравнивать трапецию с параллелограммом, то у параллелограмма две пары параллельных сторон. То есть параллелограмм не является частным случаем трапеции, так как в определении трапеции чётко сказано, что две стороны трапеции не параллельны.

Выделим некоторые виды трапеции (частные случаи):

• равнобедренная (равнобокая) трапеция: боковые стороны равны;
• прямоугольная трапеция: один из углов равен  (из определения трапеции и свойства параллельных прямых следует, что два угла будут по ).

 2. Средняя линия трапеции и её свойства

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

На Рис. 2. изображена трапеция со средней линией .

Рис. 2. Средняя линия трапеции

Свойства средней линии трапеции:

1.      Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции.

Доказательство:

Пусть середина боковой стороны  трапеции  – точка . Проведём через эту точку прямую, параллельную основаниям. Эта прямая пересечёт вторую боковую сторону трапеции  в точке .

По построению: . По теореме Фалеса из этого следует: . Значит,  – середина стороны . Значит,  – средняя линия.

Доказано.

2.      Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции: .

Доказательство:

Проведём среднюю линию трапеции и одну из диагоналей: например,  (см. Рис. 3).

Рис. 3

По теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как равны отрезки: . Значит, отрезок  является средней линией треугольника , а отрезок  – средней линией треугольника .

Значит, .

Примечание: это следует из свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Первая часть этого свойства доказывается аналогично с доказательством первого свойства средней линии трапеции, а вторую часть можно доказать (к примеру, для средней линии  треугольника ), проведя через точку  прямую, параллельную . Из теоремы Фалеса будет следовать, что эта прямая будет являться средней линией, а образованный четырёхугольник – параллелограммом (две пары попарно параллельных сторон). Отсюда уже несложно получить требуемое свойство.

Получаем: .

Доказано.

Рассмотрим теперь подробнее основные виды трапеции и их свойства.

 3. Признаки равнобедренной трапеции

Напомним, что равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны. Рассмотрим свойства боковой трапеции.

1.      Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство:

Выполним стандартное дополнительное построение, которое очень часто используется при решении различных задач на трапецию: проведём прямую  параллельно боковой стороне  (см. Рис. 4).

Рис. 4

 – параллелограмм.

Отсюда следует, что: . Значит, треугольник  – равнобедренный. А значит, углы при его основании равны, то есть:  (последние два угла равны, как соответственные при параллельных прямых ).

Доказано.

2.      Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Доказательство:

Для доказательства этого свойства воспользуемся предыдущим. Действительно, рассмотрим треугольники:  и  (см. Рис. 5.).

Рис. 5

 (по первому признаку равенства треугольников: две стороны и угол между ними).

Из этого равенства сразу следует, что: .

Доказано.

Оказывается, что, как и в случае с параллелограммом, у равнобедренной трапеции свойства одновременно являются и признаками. Сформулируем и докажем эти признаки.

Признаки равнобедренной трапеции

1.      Дано:  – трапеция; .

Доказать: 

Доказательство:

Доказательство данного признака абсолютно аналогично доказательству соответствующего свойства. Проведём в трапеции  прямую  параллельно стороне  (см. Рис. 6).

 – параллелограмм (две пары попарно параллельных сторон).

 (соответственные углы при параллельных прямых). Откуда, пользуясь условием, получаем:  – равнобедренный

Рис. 6

(равны углы при основании). Значит:  (у параллелограмма противоположные стороны равны).

Доказано.

2.      Дано:  – трапеция; .

Доказать: .

Доказательство:

Выполним ещё одно стандартное дополнительное построение при решении задач с трапецией: проведём через вершину  прямую  параллельно диагонали  (см. Рис. 7).

Рис. 7

 – параллелограмм (две пары попарно параллельных сторон).

 (соответственные углы при параллельных прямых). Кроме того,  – равнобедренный ( – по условию;  – по свойству параллелограмма). А значит: .

Доказано.

 4. Примеры задач

Рассмотрим несколько примеров решения задач с трапецией.

Пример 1.

Дано:  – трапеция; .

Найти: 

Решение:

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна  – свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых. Из этого факта можно получить два равенства:

Ответ: .

Пример 2.

Дано:  – трапеция; . .

Найти: 

Решение:

Рис. 8

Проведём высоту . Получаем четырёхугольник , в котором противоположные стороны попарно параллельны, а два углы равны по . Значит,  – параллелограмм, а точнее, прямоугольник.

Из этого следует, что . Откуда: .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нём один из острых углов, по условию, равен . Значит, второй равен , то есть: . Воспользуемся свойством катета, лежащего против угла : он в два раза меньше гипотенузы.

.

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятие трапеции и её свойства, изучили виды трапеции, а также решили несколько примеров типовых задач.

На следующих уроках мы продолжим изучать различные виды четырёхугольников и их свойства, а также решать различные задачи.

Тема: Четырехугольники

Урок: Решение задач по теме «Параллелограмм и трапеция»

 1. Повторение свойств и признаков параллелограмма

Очевидно, что для решения задач на тему «Параллелограмм и трапеция», необходимо повторить основные понятия, связанные с этими фигурами. Вспомним их свойства и признаки.

Рассмотрим сначала параллелограмм.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

Основные свойства параллелограмма:

Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 2. Первый признак параллелограмма

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 3. Второй признак параллелограмма

Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 4. Третий признак параллелограмма

 2. Повторение свойств равнобедренной трапеции

Теперь рассмотрим такую фигуру, как трапеция. Отдельным ее видом является равнобедренная трапеция, имеющая важные свойства.

Определение. Равнобедренная трапеция – это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 5).

Рис. 5. Равнобедренная трапеция

Теперь сформулируем одновременно свойства и признаки равнобедренной трапеции в виде необходимого и достаточного условия.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции. Трапеция  равнобедренная (см. Рис. 6) тогда и только тогда, когда:

а)  – углы при основании равны;

б)  – диагонали равны.

Рис. 6. Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 3. Задача на параллелограмм

Рассмотрим примеры решения задач.

Пример 1. Из вершин  и  параллелограмма , у которого  и угол  острый, проведены перпендикуляры  и  к прямой . Докажите, что четырехугольник  – параллелограмм.

Доказательство. Выполним Рис. 7.

Рассмотрим треугольники  и :

 – по острому углу и гипотенузе

Рис. 7

Перейдем к доказательству того, что  – параллелограмм:

 – параллелограмм по первому признаку параллелограмма, что и требовалось доказать.

Доказано.

 4. Задачи на построение

Пример 2. Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и углу между ними.

Решение. Нам известны следующие данные: длины двух отрезков ( и ) и величина угла ( (см. Рис. 8).

Рис. 8

Все задачи на построение предполагают наличие нескольких стандартных этапов:

– анализ (план построения);

– построение (процесс построения);

– доказательство (доказательство того, что построена искомая фигура);

– исследование (доказательство того, что искомую фигуру возможно построить всегда, и притом только одну).

Проведем наши рассуждения в указанной последовательности:

Анализ. Предположим, что искомый параллелограмм построен (см. Рис. 9).

Рис. 9

В нем обратим внимание на треугольник , в котором две стороны ( и ) и угол ( являются указанными в условии задачи. Если построен данный треугольник, то его достаточно будет достроить до параллелограмма, и построение будет закончено. Будем пользоваться этим далее, как планом.

Построение. Согласно намеченному в анализе плану построения, необходимо следовать следующему порядку действий:

1. Построить  по углу  и прилежащим сторонам  и , что является стандартной задачей, с которой мы уже знакомы и умеем выполнить такое построение.

2. Достроить треугольник до параллелограмма , проведя , , где точка  (см. Рис. 10).

Рис. 10

Доказательство. На данном этапе требуется доказать, является ли построенный четырехугольник искомым параллелограммом.

Сначала докажем, что построенная фигура – параллелограмм:

Т.к. ,  по построению, то  – параллелограмм по определению.

Теперь укажем, что данный параллелограмм является искомым:

В нем ,  и   – искомый параллелограмм.

Исследование. На данном заключительном этапе мы обязаны доказать, что построенный параллелограмм является единственным, и указать, всегда ли его можно построить.

В нашем случае мы можем указать следующие факты:

1. При любых фиксированных  существует единственный  со сторонами ,  и углом  между ними.

2. Существует единственная пара прямых , , т.е. единственная 4-я вершина параллелограмма , которая является точкой .

Можем сделать вывод: искомый параллелограмм существует и единственен при любых .

Построено.

Пример 3. Постройте прямоугольную трапецию  по основаниям и боковой стороне , перпендикулярной к основаниям.

Решение. Проведем построение искомой фигуры аналогично предыдущему примеру, но уже в сокращенной форме.

Известны следующие данные: длины двух оснований ( и , ) и высота трапеции () (см. Рис. 11).

Рис. 11

Строим отрезок  и от него проводим два перпендикулярных отрезка  и   равные по длине  и  соответственно. Концы этих отрезков  и  соединяем и получаем искомую трапецию (см. Рис. 12).

Рис. 12

Указанная трапеция удовлетворяет всем условиям задачи: ее основания равны  и , боковая сторона  перпендикулярна к основаниям.

Задача имеет единственное решение: существует единственный треугольник прямоугольный  и единственный прямоугольный треугольник  с катетами, длины которых равны значениям, указанным в условии. Может возникнуть сомнение в единственности решения, если представить, что при построении трапеции отрезок  можно отложить в другую сторону. При этом, чтобы сохранить указанную последовательность вершин в трапеции , ее следует изобразить, как на Рис. 13. А это не прямоугольная трапеция. Следовательно, наше построение единственно.

Рис. 13

Построено.

 5. Задача на трапецию

Пример 4. В трапеции   проведены биссектрисы углов при вершинах . Найти угол между биссектрисами.

Решение. Интересно, что условие задачи и решение в равной степени подходит и для случая параллелограмма и трапеции. Выполним Рис. 14.

Рис. 14

 – биссектрисы, они делят соответствующие углы пополам, обозначим их  и .

По свойству трапеции .

Рассмотрим : .

Ответ. .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели несколько примеров на параллелограмм и трапецию, а на следующем уроке мы более глубоко окунемся в эту тему и порешаем более сложные задачи.

Тема: Четырехугольники

Урок: Решение задач по теме: «Параллелограмм и трапеция» (продолжение)

 1. Решение задач по теме «Параллелограмм»

На прошлом уроке мы уже рассмотрели ряд задач, связанных с параллелограммом и трапецией. На этом уроке продолжим решать различные примеры на эту тему.

Пример 1.

Периметр параллелограмма  равен , . Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла ? Найти отрезки, которые образуются при этом пересечении.

Дано:  – параллелограмм; ,  – биссектриса .

Решение:

Рис. 1

Пусть . Воспользуемся тем фактом, что периметр параллелограмма равен . Тогда: .

Как же выяснить: какую сторону пересечёт биссектриса ?

Для этого воспользуемся следующими рассуждениями. Пусть биссектриса  пересекает сторону  (или её продолжение) в точке . Тогда:  (по определению биссектрисы),  (свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых). Отсюда:  – равнобедренный. Значит, . Значит, .

Мы практически ответили и на второй вопрос задачи: .

Ответ: биссектриса  пересекает сторону  и делит её на отрезки  и .

Пример 2.

Стороны параллелограмма равны . Биссектрисы двух углов, прилегающих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Дано:  – параллелограмм;  – биссектрисы.

Найти: 

Решение:

Рис. 2

Если воспользоваться решением примера 1, можно сразу сделать вывод, что треугольники  – равнобедренные (так как , ). Получаем, что . Тогда: .

Ответ: .

Пример 3.

Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр полученного четырёхугольника равен сумме боковых сторон треугольника.

Дано:  – равнобедренный треугольник (); .

Доказать: 

Доказательство:

Рис. 3

 – параллелограмм (по определению – так как: ). Докажем, что треугольники  – равнобедренные. Действительно:  – как соответственные. С другой стороны,  (свойство равнобедренного треугольника). Значит,  и треугольники  – равнобедренные. Тогда, , что и требовалось доказать.

Доказано

 2. Решение задач по теме «Трапеция»

Пример 4.

В трапеции  ( – большее основание): диагональ  перпендикулярна боковой стороне , а . Периметр трапеции равен , . Найти длину большего основания трапеции.

Дано:  – трапеция ( – большее основание), ,  , .

Найти: 

Решение:

Рис. 4

Рассмотрим треугольник : он прямоугольный (так как по условию , в нём . Из того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , следует, что: . В прямоугольном треугольнике с острым углом  катет, лежащий против этого угла, в  раза меньше гипотенузы. Поэтому, если мы обозначим основание , то .

 – равнобедренная трапеция. Значит, . Кроме того, по свойству соответственных углов:  – равнобедренный. Поэтому: .

Осталось воспользоваться тем фактом, что периметр трапеции равен : . Значит, большее основание трапеции: .

Ответ: .

Пример 5.

Сумма углов при одном из оснований трапеций равна . Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Дано:  – трапеция (), . .

Доказать: 

Доказательство:

Рис. 5

Выполним дополнительное построение: через точку  проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции. В результате образуются два четырёхугольника:  и , которые являются параллелограммами (по определению – у них противоположные стороны попарно параллельны). Воспользуемся свойством параллелограмма: . Но по условию: . Но углы  вместе образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна . Значит: , а  – прямоугольный.

Обозначим: . Так как  и  – параллелограммы, то: . Кроме того: . Отсюда:  и  – медиана . Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть:, что и требовалось доказать.

Доказано.

Пример 6.

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что средняя линия трапеции равна её высоте.

Дано:  – трапеция (), ,  – высота,  – средняя линия.  

Доказать: 

Доказательство:

Рис. 6

Выполним дополнительное построение: через точку  проведём прямую, параллельную диагонали . Эта прямая пересечёт продолжение основания  в точке .

Четырёхугольник  – параллелограмм (по определению: у него обе пары сторон попарно параллельны, одна пара – по построению, вторая – как основания трапеции). Значит: . Но в равнобедренной трапеции диагонали равны:  – равнобедренный.

Кроме того, по условию диагонали трапеции перпендикулярны. Это значит, что . Но, по свойству соответственных углов:  – прямоугольный.

 – высота равнобедренного треугольника , а значит, и его медиана (свойство равнобедренного треугольника). Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит: .

Но так как  – параллелограмм: . Получаем:  (свойство средней линии трапеции), что и требовалось доказать.

Доказано.

На этом уроке мы рассмотрели различные задачи, в которых использовались свойства параллелограмма и трапеции.

На следующих уроках мы начнём изучать различные виды параллелограммов.

На данном уроке мы будем рассматривать частный случай параллелограмма – прямоугольник. Мы введем его основные свойства, докажем теорему о равенстве диагоналей прямоугольника и сформулируем признак прямоугольника. Затем решим достаточно много задач, которые связаны с этой фигурой.

Тема: Четырехугольники

Урок: Прямоугольник

 1. Определение и свойство прямоугольника

Введем определение прямоугольника.

Определение. Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (см. Рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольник

Замечание. Очевидным эквивалентным определением прямоугольника (иногда его именуют признаком прямоугольника) можно назвать следующее. Прямоугольник – это параллелограмм с одним углом . Это утверждение практически очевидно, и мы оставим его без доказательства, пользуясь далее как определением.

Т.к. прямоугольник, как это видно из определения, является частным случаем параллелограмма, то ему присущи все ранее описанные свойства параллелограмма, однако у него имеются и свои специфические свойства, которые мы сейчас рассмотрим.

Теорема 1. Свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство. Изобразим на Рис. 2 прямоугольник (как и у параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны). Все углы прямые. Необходимо доказать, что диагонали .

Рис. 2

Рассмотрим для доказательства прямоугольные треугольники, в которых присутствуют указанные диагонали  и :

 прямоугольные треугольники  по двум катетам. Следовательно, равны и гипотенузы треугольников , что и требовалось доказать.

Доказано.

Обратим внимание, что это свойство специфическое и относится только к прямоугольнику, ко всем остальным параллелограммам оно не относится.

 2. Признак прямоугольника

Теорема 2. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Доказательство. Изобразим Рис. 3. Нам необходимо доказать, что изображенный параллелограмм с двумя равными диагоналями – прямоугольник, т.е. имеет прямой угол.

Рис. 3

Поскольку  – параллелограмм, то можем воспользоваться его свойством: . Кроме этого,  – по трем сторонам (), следовательно, . Тогда имеем:

 прямоугольник, что и требовалось доказать.

Доказано.

 3. Разные задачи на прямоугольники

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В прямоугольнике  диагонали пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если .

Решение. Изобразим Рис. 4.

Рис. 4

Сначала будем искать стороны указанного треугольника:  ( по свойству диагоналей в любом параллелограмме). Но в прямоугольнике диагонали равны .

Т.к. угол .

Рассмотрим треугольник :  (аналогично углу ),  равносторонний. Следовательно, его периметр .

Ответ: 18 см.

Пример 2. Найдите периметр прямоугольника , если биссектриса угла  делит сторону  на отрезки 2 см и 3 см.

Рис. 5 (а), рис. 5 (б)

Решение. Сразу же стоит заметить, что это пример задачи на два варианта решения, наличие которых еще надо заметить. «Изюминка» условия задачи заключается в том, что не указано, в каком именно порядке расположены отрезки, на которые биссектриса прямоугольника разбивает его сторону. В результате имеем два варианта рисунков 5 (а, б).

Т.к.  – биссектриса, то , кроме того,  – как накрест лежащие углы при параллельных прямых, следовательно,  равнобедренный, а из этого следует, что .

Далее разобьем решение на две части, в каждой из которых рассмотрим отдельный случай.

А. Рис. 5 (а). . Сторона прямоугольника  (для обоих случаев). Периметр прямоугольника .

Б. Рис. 5 (б). . Периметр прямоугольника .

Ответ: .

Пример 3. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство. Изобразим Рис. 6.

Рис. 6

Необходимо доказать, что . Между прочим, это свойство медианы в прямоугольном треугольнике уже использовалось нами ранее, сейчас мы докажем его, используя свойства прямоугольника.

Продлим медиану  на ее длину, расстояние до точки : . Мы получили четырехугольник . В нем  и  диагонали, и для него мы можем указать следующие факты:

 параллелограмм по третьему признаку. Кроме того, известно, что в нем  прямоугольник (по указанному вначале урока определению – признаку прямоугольника).

По свойству прямоугольника можно указать, что у него равны диагонали, а следовательно, равны и их половинки, т.е. получаем , что и требовалось доказать.

Доказано.

Пример 4. (обратная задача). В треугольнике  медиана . Докажите, что .

Доказательство. Изобразим Рис. 7 и обозначим на нем углы .

Рис. 7

Рассмотрим , он равнобедренный ( по условию) ⇒ .

Рассмотрим , он также равнобедренный ( по условию) ⇒ .

Запишем сумму углов треугольника :  . Но угол  что и требовалось доказать.

Доказано.

 4. Задачи с прямоугольниками, вписанными в треугольники

Пример 5. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.

Решение. Изобразим Рис. 8. Ясно, что можно построить множество различных прямоугольников, вписанных в прямоугольный треугольник, но выясняется, что их периметры будут одинаковы, покажем это и найдем искомый периметр.

Рис. 8

По условию  равнобедренный .

Искомый периметр прямоугольника: .

Рассмотрим прямоугольный : .

Тогда периметр прямоугольника : .

Ответ: 12 см.

Пример 6. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны и периметр прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?

Решение. Изобразим Рис. 9 и укажем на нем все элементы, которые мы введем в процессе решения задачи.

Рис. 9

По условию  равнобедренный и прямоугольный .

Указано, что вписанный прямоугольник имеет заданные пропорции, поэтому его стороны можно ввести, как определенное количество неизвестных нам частей : .

Рассмотрим треугольники  и  – они прямоугольные и имеют по одному углу , следовательно, второй угол у них тоже по  (см. решение предыдущей задачи), т.е. они равнобедренные, и .

Теперь можем выписать длину гипотенузы  как сумму длин отрезков, на которые она разбита вписанным прямоугольником (через те части , которые мы ввели): .

Теперь можем посчитать длины сторон прямоугольника и его периметр: .

Ответ: стороны равны .

Сегодня мы рассмотрели прямоугольник, его свойства, признаки и задачи на прямоугольник. На следующем уроке мы познакомимся с такими частными случаями параллелограмма, как ромб и квадрат.

На этом уроке пришло время познакомиться с ещё двумя видами параллелограмма: ромбом и квадратом. С этими фигурами каждый из нас знаком с самого детства, однако мало кто ассоциирует их с параллелограммом. А их свойства многие из нас применяли на практике, не зная даже, на чём они основаны. Мы рассмотрим определения и свойства параллелограмма и квадрата, а также решим несколько задач с использованием указанных свойств.

 Ромб и его свойства

Ромб – это частный случай параллелограмма, поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма. Однако есть и специфические свойства, о которых пойдёт речь. Но для начала сформулируем одно из определений ромба.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Сформулируем и докажем теорему о свойствах ромба.

Теорема

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами углов) (см. Рис. 1).

Дано:

 – ромб

Доказать:

.

Доказательство:

Рис. 1

Рассмотрим :  – середина  (так как ромб является параллелограммом, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам). Кроме того, из определения ромба следует, что . Значит, треугольник  – равнобедренный;  является медианой этого треугольника, проведённой к основанию, а, значит, и биссектрисой, и высотой. Из этого следует, что:

, то есть диагонали ромба перпендикулярны;

, то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов (равенство остальных углов можно доказать аналогично).

Доказано.

Ещё один частный случай параллелограмма – квадрат.

 Квадрат и его свойства

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. А именно:

• все углы квадрата прямые;
• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делят углы квадрата пополам.

 3. Задачи на ромб и квадрат

Теперь рассмотрим несколько задач, в которых встречаются ромб и квадрат.

Задача 1.

В ромбе одна из диагоналей равна стороне (см. Рис. 2). Найти:

а) углы ромба;

б) углы между диагоналями и сторонами.

Дано:  – ромб; .

Найти: а) ; б) .

Решение:

Рис. 2

а)  (так как у ромба все стороны равны). Значит, треугольник  – равносторонний. Отсюда следует, что угол . Так как в любом параллелограмме сумма соседних углов равна , то .

Ответ: .

б) По доказанной выше теореме: . Аналогично получаем, что .

Ответ: .

Задача 2.

Найти периметр ромба , в котором , а меньшая диагональ равна . Найти периметр ромба.

Дано:  – ромб;  .

Найти: 

Решение:

Рис. 3

Рассмотрим треугольник , в нём: . Значит, данный треугольник равнобедренный, угол при вершине у него равен , два других угла при основании равны, поэтому данный треугольник – равносторонний. Значит: . Так как в ромбе все стороны равны, то периметр ромба равен: .

Ответ: .

Задача 3.

Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .

Дано:  – ромб, .

Найти: 

Решение:

Рис. 4

Вспомним, что в любом параллелограмме противоположные углы, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна . Из этого следует, что: . Теперь воспользуемся доказанной вначале теоремой: .

Ответ: 

Задача 4.

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:

а) его диагонали взаимно перпендикулярны;

б) его диагонали являются биссектрисами углов.

а) Дано:  – параллелограмм, .

Доказать:  – ромб.

Доказательство:

Рис. 5

Рассмотрим треугольник : в нем  является одновременно и высотой (так как диагонали перпендикулярны), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит,  – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть  – ромб.

Доказано.

б) Дано:  – параллелограмм,  – биссектрисы углов параллелограмма.

Доказать:  – ромб.

Доказательство:

Рис. 6

Рассмотрим треугольник : в нем  является одновременно и биссектрисой (так как диагонали являются биссектрисами углов), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит,  – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть,  – ромб.

Доказано.

Задача 5.

Докажите, что ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом.

Дано:  – ромб,   

Доказать:  – квадрат.

Доказательство:

Рис. 7

Вспомним, что квадрат – это одновременно прямоугольник и ромб. Если говорить о сформулированном строгом определении, то квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Равенство сторон следует из того, что данный четырёхугольник – ромб. Осталось доказать, что он является ещё и прямоугольником. По условию:  (у любого параллелограмма противоположные углы равны). Кроме того, сумма соседних углов параллелограмма равна . Значит: . Отсюда мы получаем, что  – прямоугольник, а значит, и квадрат.

Доказано.

На этом уроке мы изучили ромб и квадрат, а также рассмотрели их свойства и решили различные задачи, в которых встречаются ромб и квадрат.

На следующих уроках мы обобщим полученные знания о четырёхугольниках.

На этом уроке мы изучили ромб и квадрат, а также рассмотрели их свойства и решили различные задачи, в которых встречаются ромб и квадрат.

На следующих уроках мы обобщим полученные знания о четырёхугольниках.

определения, свойства и признаки таких фигур, как параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат. Отдельно выделим специфические свойства этих фигур и их частные случаи (равнобедренная трапеция, прямоугольная трапеция). Затем повторим теорему Фалеса и решим несколько примеров, которые демонстрируют применение всех изученных фактов к указанным фигурам.

Тема: Четырехугольники

Урок: Повторение теории и решение задач

 1. Определение, виды и свойства трапеции

Ранее мы уже познакомились с такими видами четырехугольников, как параллелограмм и трапеция, и их частными случаями – прямоугольником, ромбом и квадратом. Мы изучили их основные свойства и признаки. Сегодня мы повторим и обобщим все полученные нами знания по этой теме.

Повторим основной теоретический материал.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Трапеция

Выделяют два отдельных типа трапеций: равнобедренную и прямоугольную.

Равнобедренная трапеция – это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 2).

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию (см. Рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

Отдельно стоит вспомнить такой важный элемент трапеции, как ее средняя линия.

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (см. Рис. 4).

Рис. 4. Средняя линия трапеции

Основные свойства средней линии трапеции:

1.  – параллельна основаниям трапеции;

2.  – равна их полусумме.

 2. Определение, свойства и признаки параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 5).

Рис. 5. Параллелограмм

Основные свойства параллелограмма:

Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.

Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 6), то этот четырехугольник  – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 6. Первый признак параллелограмма

Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 7), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 7. Второй признак параллелограмма

Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 8), то этот четырехугольник – параллелограмм.  параллелограмм.

Рис. 8. Третий признак параллелограмма

Теперь повторим частные случаи параллелограмма.

 3. Определение, свойство и признак прямоугольника

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (см. Рис. 9).

Рис. 9. Прямоугольник

Замечание. Очевидным эквивалентным определением прямоугольника (иногда его именуют признаком прямоугольника) можно назвать следующее. Прямоугольник – это параллелограмм с одним углом . Это утверждение практически очевидно, и мы оставим его без доказательства, пользуясь далее как определением.

Т.к. прямоугольник, как это видно из определения, является частным случаем параллелограмма, то ему присущи все ранее описанные свойства параллелограмма, однако у него имеются и свои специфические свойства, которые мы сейчас рассмотрим.

Теорема. Свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны (см. Рис. 10).

.

Рис. 10. Свойство прямоугольника

Теорема. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник (см. Рис. 11).

Рис. 11. Признак прямоугольника

 4. Определение и свойство ромба

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны (см. Рис. 12).

Рис. 12. Ромб

Замечание. Для определения ромба достаточно указывать даже более короткое утверждение, что это параллелограмм, у которого равны две смежные стороны .

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма, т.к. является его частным случаем, но имеет и свое специфическое свойство.

Теорема. Свойство ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (см. Рис. 13).

Рис. 13. Свойство ромба

 5. Определение и свойства квадрата

Квадрат – 1) прямоугольник, у которого стороны равны; 2) ромб, у которого углы прямые (см. Рис. 14). Указанные определения эквивалентны и применяются в любой удобной форме.

Рис. 14. Квадрат

Квадрату присущи свойства тех фигур, частным случаем которых он является (параллелограмм, прямоугольник, ромб). Перечислим их.

Основные свойства квадрата (см. Рис. 15):

1. Все углы прямые.

2. Диагонали равны.

3. Диагонали перпендикулярны.

4. Точка пересечения делит диагонали пополам.

5. Диагонали делят углы квадрата пополам.

Рис. 15. Свойства квадрата

 6. Задача на схожесть свойств трапеции и параллелограмма

Теперь, когда мы перечислили и вспомнили основные свойства основных изученных четырехугольников, мы можем закрепить эти знания на примере решения задач.

Пример 1. (Обобщенная задача на трапецию и параллелограмм). Дана трапеция  или параллелограмм  (см. Рис. 16).  биссектрисы углов при боковой стороне трапеции (параллелограмма). Найти угол между биссектрисами .

Решение. Это пример задачи, демонстрирующий схожесть некоторых свойств параллелограмма и трапеции, в нем не важно, какая конкретно из этих двух фигур задана. Изобразим рисунок.

Рис. 16

 – биссектрисы, они делят соответствующие углы пополам, обозначим их  и .

По свойству трапеции (параллелограмма) .

Рассмотрим : .

Ответ: .

 7. Теорема Фалеса и задача на ее применение

Вспомним формулировку теоремы Фалеса.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (см. Рис. 17).

Рис. 17. Теорема Фалеса

Рассмотрим задачу на трапецию с применением теоремы Фалеса.

Пример 2. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длину этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.

Решение. Изобразим Рис. 18 со всеми элементами, которые пригодятся нам в процессе решения. Известно, что . Найти длины .

Рис. 18

Для того, чтобы воспользоваться теоремой Фалеса относительно угла , проведем прямые .

Сначала рассмотрим параллелограмм , в нем по свойству .

Вернемся к проведенным параллельным прямым, по теореме Фалеса: . . Поскольку отрезок  разделен на три равные части, то .

Теперь, если внимательно посмотреть на параллелограммы, образованные пересечениями линий  с проведенными нами прямыми , можно легко определить длины отрезков : , .

Ответ. .

Пример 3. Основания трапеции относятся как 2:3. Средняя линия равна 5 м. Найдите основания.

Решение. Изобразим Рис. 19 и укажем, что нам дано: . Найти  и .

Рис. 19

Поскольку известно, что , то выразим основания трапеции через условные части : . Запишем свойство средней линии трапеции:

.

Ответ. .

 8. Разные задачи на четырехугольники

Пример 4. Через данную точку внутри угла проведите прямую, отрезок которой, заключенный внутри этого угла, делился бы данной точкой пополам.

Решение. Внутри угла с вершиной  дана точка . Изобразим это на Рис. 20 со всеми элементами, которые понадобятся нам для решения задачи.

Рис. 20

Отложим отрезок  из точки  через точку  так, чтобы , затем проведем отрезки , получим точки пересечения со сторонами угла  и  соответственно. Соединим эти точки прямой, она и будет искомой. Докажем это.

Построенная фигура  является параллелограммом, т.к. по построению имеет параллельные противоположные стороны, отрезки  являются диагоналями параллелограмма, следовательно, по его свойству точкой пересечения () делятся пополам и , что и требовалось по условию задачи.

Ответ. Искомая прямая – .

Пример 5. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. Изобразим Рис. 21.

Рис. 21

Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикуляры на стороны, длины которых и будут расстояниями от точки пересечения диагоналей до сторон прямоугольника. Обозначим отрезок , тогда по условию . Поскольку  получаем, что . Подставим это в формулу периметра прямоугольника:

.

Ответ: .

Сегодня мы повторили и закрепили знания по теме «четырехугольники». На следующем уроке мы поговорим о симметрии в четырехугольниках.

На этом уроке мы рассмотрим ещё одну характеристику некоторых фигур – осевую и центральную симметрию. С осевой симметрией мы сталкиваемся каждый день, глядя в зеркало. Центральная симметрия очень часто встречается в живой природе. Вместе с тем, фигуры, которые обладают симметрией, имеют целый ряд свойств. Кроме того, впоследствии мы узнаем, что осевая и центральная симметрии являются видами движений, с помощью которых решается целый класс задач.

 Симметрия точек относительно прямой

Данный урок посвящён осевой и центральной симметрии.

Определение

Две точки  и  называются симметричными относительно прямой , если:

1.      прямая  проходит через середину отрезка ;

2.      прямая  перпендикулярна отрезку.

На Рис. 1 изображены примеры симметричных относительно прямой  точек  и ,  и .

Рис. 1

Отметим также тот факт, что любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой.

Симметричными относительно прямой могут быть и фигуры.

Сформулируем строгое определение.

 Осевая симметрия, примеры

Определение

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно этой прямой точка также принадлежит фигуре. В этом случае прямая  называется осью симметрии. Фигура при этом обладает осевой симметрией.

Рассмотрим несколько примеров фигур, обладающих осевой симметрией, и их оси симметрии.

Пример 1

Угол обладает осевой симметрией. Осью симметрии угла является биссектриса. Действительно: опустим из любой точки угла перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до пересечения с другой стороной угла (см. Рис. 2).

Рис. 2

 (так как  – общая сторона,  (свойство биссектрисы), а треугольники – прямоугольные). Значит, . Поэтому точки  и  симметричны относительно биссектрисы угла.

Из этого следует, что и равнобедренный треугольник обладает осевой симметрии относительно биссектрисы (высоты, медианы), проведённой к снованию.

Пример 2

Равносторонний треугольник обладает тремя осями симметрии (биссектрисы/медианы/высоты каждого из трёх углов (см. Рис. 3).

Рис. 3

Пример 3

Прямоугольник обладает двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через середины двух его противоположных сторон (см. Рис. 4).

Рис. 4

Пример 4

Ромб также обладает двумя осями симметрии: прямые, которые содержат его диагонали (см. Рис. 5).

Рис. 5

Пример 5

Квадрат, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником, обладает 4 осями симметрии (см. Рис. 6).

Рис. 6

Пример 6

У окружности осью симметрии является любая прямая, проходящая через её центр (то есть содержащая диаметр окружности). Поэтому окружность имеет бесконечно много осей симметрии (см. Рис. 7).

Рис. 7

 Центральная симметрия, примеры

Рассмотрим теперь понятие центральной симметрии.

Определение

Точки  и  называются симметричными относительно точки , если:  – середина отрезка .

Рассмотрим несколько примеров: на Рис. 8 изображены точки  и , а также  и , которые являются симметричными относительно точки , а точки  и  не являются симметричными относительно этой точки.

Рис. 8

Некоторые  фигуры являются симметричными относительно некоторой точки. Сформулируем строгое определение.

Определение

Фигура называется симметричной относительно точки , если для любой точки фигуры точка, симметричная ей, также принадлежит данной фигуре. Точка  называется центром симметрии, а фигура обладает центральной симметрией.

Рассмотрим примеры фигур, обладающих центральной симметрией.

Пример 7

У окружности центром симметрии является центр окружности (это легко доказать, вспомнив свойства диаметра и радиуса окружности) (см. Рис. 9).

Рис. 9

Пример 8

У параллелограмма центром симметрии является точка пересечения диагоналей (см. Рис. 10). 

Рис. 10

 Решение задач

Решим несколько задач на осевую и центральную симметрию.

Задача 1.

Сколько осей симметрии имеет отрезок ?

Решение:

Отрезок имеет две оси симметрии. Первая из них – это прямая, содержащая отрезок (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой). Вторая – серединный перпендикуляр к отрезку, то есть прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.

Ответ: 2 оси симметрии.

Задача 2.

Сколько осей симметрии имеет прямая ?

Решение:

Прямая имеет бесконечно много осей симметрии. Одна из них – это сама прямая (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой). А также осями симметрии являются любые прямые, перпендикулярные данной прямой.

Ответ: бесконечно много осей симметрии.

Задача 3.

Сколько осей симметрии имеет луч ?

Решение:

Луч имеет одну ось симметрии, которая совпадает с прямой, содержащей луч (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой).

Ответ: одна ось симметрии.

Задача 4.

Доказать, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Доказательство:

Рассмотрим ромб . Докажем, к примеру, что прямая  является его осью симметрии. Очевидно, что точки  и  являются симметричными сами себе, так как лежат на этой прямой. Кроме того, точки  и  симметричны относительно этой прямой, так как . Выберем теперь произвольную точку  и докажем, что симметричная ей относительно  точка также принадлежит ромбу (см. Рис. 11).

Рис. 11

Проведём через точку  перпендикуляр к прямой  и продлим его до пересечения с . Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники прямоугольные (по построению), кроме того, в них:  – общий катет, а  (так как диагонали ромба являются его биссектрисами). Значит, эти треугольники равны: . Значит, равны и все их соответствующие элементы, поэтому: . Из равенства этих отрезков следует то, что точки  и  являются симметричными относительно прямой . Это означает, что  является осью симметрии ромба. Аналогично можно доказать этот факт и для второй диагонали.

Доказано.

Задача 5.

Доказать, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм . Докажем, что точка  является его центром симметрии. Очевидно, что точки  и ,  и  являются попарно симметричными относительно точки , так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Выберем теперь произвольную точку  и докажем, что симметричная ей относительно  точка также принадлежит параллелограмму (см. Рис. 12).

Рис. 12

Соединим точку  с точкой  и продлим линию до пересечения с противоположной стороной. Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (сторона и два угла). Действительно:  (так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам),  (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых),  (как вертикальные углы). Значит, эти треугольники равны: . Значит, равны и все их соответствующие элементы, поэтому: . Из равенства этих отрезков следует то, что точки  и  являются симметричными относительно точки . Это означает, что  является центром симметрии параллелограмма.

Доказано.

На этом уроке мы заканчиваем изучение темы «виды четырёхугольников» (параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат). Мы рассмотрели осевую и центральную симметрию и её примеры для различных геометрических фигур. Кроме того, были решены несколько задач на эту тему.

На следующих уроках мы перейдём к изучению новой темы: «Площадь».

 Введение

Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Всем понятен смысл слов: «Площадь кухни – ». То есть территория, занимаемая кухней, в восемь раз больше эталона – квадрата со стороной 1 м. Здесь имеем полную аналогию с измерением длины. Измерение длины – сравнение ее с эталоном, а именно: с 1 мм, 1 см, 1 м и т. д. Измерие площади – сравнение ее с эталоном площади. Эталон площади – квадрат со стороной – 1 мм, 1 см, 1 м и т. д.

Обозначаются эти эталоны следующим образом :  (один миллиметр квадратный), ,  и т. д.

Наша ближайшая цель – уточнить понятие площадь многоугольника и научиться вычислять площади многоугольников, в том числе площади треугольников, параллелограммов, трапеций и так далее.

 Площадь многоугольника

Площадь многоугольника – это положительное число , которое показывает, сколько раз эталон площади укладывается в данной фигуре, например в данном многоугольнике. Число  может быть натуральным, рациональным, иррациональным, любым положительным числом (см. Рис. 1).

Рис. 1. Площадь и эталон площади

Нам понятно, когда площадь равна, например, . А если площадь равна , что это означает? Сколько раз эталон укладывается в данной фигуре? Уточнение, конечно, необходимо, но пока что мы вернемся к простейшим задачам.

Решать простейшие задачи будем сравнением с эталоном.

 Задача 1

Дан многоугольник со сторонами 2 и 3 см. Найти его площадь (см. Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Мы лишь уточним, что является эталоном. Эталоном является квадратный сантиметр, он уложился в этом прямоугольнике ровно 6 раз (см. Рис. 3).

Рис.3. Решение задачи 1

Ответ: .

Немного усложним задачу.

 Задача 2

По рисунку 4 найти площадь трапеции , треугольника .

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2

Ответ сразу можно написать, высчитывая, сколько раз квадратный сантиметр уложился в данную трапецию или в данный треугольник.

a) .

b)  – то есть в этом треугольнике уместилась ровно половина эталона.

Уже в этих простейших задачах мы явно или неявно используем важнейшее свойство площади. Например, прямоугольник составлен из нескольких частей, площадь каждой части нам известна, площади этих частей складываются, и получается площадь прямоугольника.

Мы не имеем пока формулы для вычисления площади трапеции, площади треугольника, но тем не менее мы сумели найти площадь и трапеции и треугольника с помощью сравнения с эталоном.

 Задача 3

Сколько раз квадратный миллиметр помещается в квадратном сантиметре?

Ответ понятен, и он иллюстрируется рисунком 5.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 3

По существу мы имеем связь эталонов.

Заметим, что один сантиметр – это лишь 10 миллиметров

Итак, мы уточнили, что такое площадь многоугольника – это положительное число , которое показывает, сколько раз эталон площади укладывается в данном многоугольнике. Мы рассмотрели некоторые задачи на нахождение площади многоугольника. Мы их решали сравнением с эталоном.

Однако этот метод не всегда удобен. Как найти площадь треугольника, если длины его очень большие? Одна вершина в Москве, другая в Сочи, третья во Владивостоке. Нужны формулы для вычисления площадей, например площади треугольника, четырехугольника, многоугольника. Вывод формул будет дан на следующих уроках, он основан на свойствах площадей. Эти свойства мы рассмотрим здесь. Мы их дадим без доказательств, но с разъяснениями.

 Свойства площади

Первое свойство

Равные многоугольники имеют равные площади.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Если фигуры равны, то эталон укладывается в той и другой фигуре одинаковое число раз. Равные фигуры имеют равные площади.

Второе свойство

Пусть многоугольник разрезан линиями на отдельные многоугольники, у которых общими являются точки сторон, тогда площадь исходного многоугольника равна сумме площадей этих многоугольников.

На рисунке 6 изображена трапеция , она состоит из трех фигур.

Рис. 6. Второе свойство площади

Третье свойство

Этим свойством мы раньше широко пользовались.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Пусть сторона квадрата равна , т. е. длина квадрата при выбранной единице измерения равна , тогда площадь квадрата равна:

Пояснение

Имеем эталон длины, а значит, эталон площади. Длина стороны квадрата содержит  эталонов длины. А площадь квадрата содерит  штук эталонов площади.

Еще раз подчеркнем, что эти свойства мы принимаем без доказательств.

Мы уже пользовались этими свойствами при решении задач на трапецию, на треугольник, которые решали сравнением с эталоном.

Площадь прямоугольника мы находили так: разрезали его на квадраты, площади квадратов складывали. Площадь трапеции мы находили с помощью сложения ее отдельных частей. Таким образом, мы пользовались свойством площади. Если многоугольник разрезать на отдельные многоугольники, то площадь фигуры всего многоугольника равна сумме площадей отдельных частей.

 Заключение

Итак, мы рассмотрели понятие «Площадь многоугольника», метод непосредственного нахождения площади сравнением с эталоном, а также свойства площадей. Всё это будет далее использовано при выводе формул для вычисления площади многоугольника, например площади квадрата, параллелограмма и так далее.

На этом уроке мы рассмотрим понятие площади прямоугольника. С одной стороны, это одна из самых простых формул для вычисления площадей многоугольников, а с другой – на основании этой формулы выводятся многие другие. На этом уроке мы не только докажем формулу для площади прямоугольника, но и решим несколько задач с применением этой формулы.

 Эталон площади

Напомним, эталоном длины является отрезок длиной в 1 мм, 1 см, 1 км и т. д.

А что такое эталон площади? Это квадрат, сторона которого равна: 1 мм, 1 см, 1 м и т. д. Такой эталон длины называется квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным метром, квадратным километром.

Обозначение: ,  и т. д.

Площадь  геометрической фигуры – это положительное число, которое показывает, во сколько раз эталон площади уместился в данной фигуре. Таким образом площадь  – это результат сравнения с эталоном площади.

 Свойства площади

Предположим, что мы имеем квадрат со стороной . Чему равна площадь такой геометрической фигуры? (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Квадрат со стороной 

Площадь такой геометрической фигуры равняется квадрату ее стороны: .

Такое свойство площади мы принимаем без доказательств. Однако поясним его.

Пусть выбран эталон длины 1 мм. Это означает, что на стороне квадрата укладывается  штук таких эталонов длины, при этом число  может быть любым положительным числом.

Свойство утверждает, что в квадрате со стороной  уложится  штук эталонов длины. В нашем случае эталон длины – . По-иному, площадь квадрата равна . Интересно заметить, что если  – иррациональное число (например ), то площадь  – натуральное число.

Итак, мы знаем свойство площади, что площадь квадрата со стороной  равна .

Рассмотрим другие свойства площади.

Равные многоугольники имеют равные площади.

Предположим, треугольник  равен треугольнику , тогда площадь первого треугольника равняется площади второго треугольника (см. Рис. 2).

Рис. 2. Равные треугольники

Следующее свойство площади.

Пусть многоугольник разрезан линиями, т. е. составлен из других многоугольников, таким образом, что общими у этих многоугольников являются только точки сторон, тогда площадь составного многоугольника равна сумме площадей составляющих его многоугольников (см. Рис. 3).

Рис. 3. Разрезанный треугольник

Итак, мы повторили три важных свойства площади. Они используются при выводе формул для площади.

 Площадь прямоугольника

Теорема о площади прямоугольника:

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство: (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади прямоугольника

Рассмотрим квадрат со стороной .

Его площадь с одной стороны равна .

Разрежем этот квадрат двумя линиями и получим два квадрата (со стороной  и  соответственно), а также два прямоугольника со сторонами , .

• Площадь квадрата со стороной  – .
• Площадь квадрата со стороной  – .
• Площадь прямоугольника со сторонами ,  – искомая площадь .

Таким образом, имеем:

Получили уравнение для . Решим его.

Что и требовалось доказать.

Итак, если имеем прямоугольник со сторонами  и , то его площадь равна .

В доказанной теореме используются три величины: ; ; . Если мы зададим две из них, то получим третью.

 Задачи

a) Найти , если ; .

Решение

Ответ: .

b) Найти сторону , если площадь прямоугольника равна , а сторона  равна 4 м.

Решение

Ответ: 8 м.

c) Найти сторону , если площадь равна , и .

Решение:

, так как это квадрат.

Ответ: .

d) Квадрат с неизвестной стороной равновелик прямоугольнику со сторонами 18 и 8. Найти сторону квадрата.

Решение

Равновеликие фигуры – фигуры с равными площадями.

Ответ: 12 см.

e) Теплица имеет форму прямоугольника, одну сторону увеличили в полтора раза, вторую – в два раза. Во сколько раз увеличилась площадь теплицы?

Решение

Пусть  и  – стороны исходного прямоугольника. После увеличения стороны стали  и  соответственно.

 – площадь исходного прямоугольника.

 – площадь полученного прямоугольника.

Ответ: в 3 раза.

f) В прямоугольнике сторону , равную пяти метрам, увеличили на 20 %, сторону , равную десяти метрам, уменьшили на 20 %. Найдите длины сторон получившегося прямоугольника и сравните их площади.

Решение

Сперва найдем стороны нового прямоугольника. Сказано, что длина первой стороны увеличилась на 20 %.

5 м – 100 %

 м – 120 %

Таким же образом найдем вторую сторону:

10 м – 100 %

 м – 80 %

Итак, стороны известны, найдем площади.

Значит, исходная площадь уменьшилась на .

Ответ: 6 м; 8 м; площадь уменьшилась на .

g) Решим аналогичную задачу в общем виде.

Одну сторону прямоугольника увеличили на 20 %, а вторую уменьшили на 20 %, изменилась ли площадь прямоугольника? Если да, то на сколько?

Решение

Обозначим длины сторон исходного прямоугольника  и .

1. 

 и  – длины сторон получившегося прямоугольника.

2. 

Значит, площадь нового прямоугольника уменьшается на 4 %.

Ответ: а) изменилась; б) уменьшилась на 4 %.

Интересно заметить, что обе стороны изменились на 20 %, но площадь уменьшилась на 4 %.

 Заключение

Итак, мы рассмотрели площадь прямоугольника и площадь квадрата, вспомнили свойства площадей. По одному из свойств площадь квадрата со стороной  равна . Пользуясь свойствами площадей, мы доказали теорему: площадь прямоугольника со сторонами  и  равна . Мы доказали эту теорему и решили типовые задачи на нее.

Доказательство формулы площади квадрата

Дано: квадрат со стороной .

Доказать: .

Доказательство

Число  может быть любым.

Первый случай

Пусть , где . Возьмем квадрат со стороной 1 – это эталон. Разобьем его на  равных квадратов и по свойству площадей имеем:  – это площадь эталона, с другой стороны, она равна , где  – площадь искомого квадрата со стороной  (см. Рис. 5). Отсюда получаем искомую площадь :.

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (первый случай)

Что и требовалось доказать.

Примечание

В эталоне каждая из смежных сторон имеет длину 1. Она разбита на  частей, и тогда квадрат  разбит на  одинаковых частей, т. е. квадратов с искомой площадью . Искомую площадь  квадрата со стороной  сравнили с эталоном, площадью квадрата со стороной 1, например 1 м, т. е. квадратным метром, и получили, что искомая площадь  равна . Что и требовалось доказать в первом случае.

Второй случай (см. Рис. 6)

Рис. 6. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (второй случай)

Пусть  – конечная десятичная дробь с  знаками после запятой.

Тогда , , то есть это натуральное число. Каждую из сторон квадрата со стороной  разобьем на  равных частей:

Квадрат с искомой площадью , разобьется на  равных квадратов со стороной  и площадью . Тогда искомая площадь  равна:

Что и требовалось доказать.

Пояснение на конкретных числах: (см. Рис. 7)

Рис. 7. Иллюстрация к пояснению

Пусть ; 

Сторону, равную 2,14 искомого квадрата, разделили на 214 равных частей.

Отношение стороны к :

Это сторона малого квадрата, а таких квадратов  штук.

Тогда , а площадь  равна .

Подставляем: .

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Пусть  – бесконечная десятичная дробь. К такому числу  можно приближаться меньшими рациональными числами. Например: ; ; ;…; , т. е. мы отбрасываем все знаки, начиная с .

Пусть , тогда число  заключено в пределах: .

Разъясняющий пример:

Имеем: 

Значит, для искомой площади  квадрата со стороной  имеем: .

Искомый квадрат вмещает в себя квадрат со стороной  и является частью квадрата со стороной , (см. Рис. 8),  пока фиксированно.

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (третий случай)

Пусть теперь  стремится к плюс бесконечности (), тогда , .

То есть , что и требовалось доказать.

Итак, доказано, что площадь квадрата со стороной , где  – любое положительное число, равна .

На этом уроке будет доказана теорема о вычислении площади трапеции и будут рассмотрены примеры на ее применение при вычислении площадей многоугольников.

 Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две портивоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Рис. 1. Трапеция

Дана трапеция  (см. Рис. 1). Параллельные стороны  и  называются основаниями, а  и  – боковые стороны.  – диагональ трапеции. Из точки  опустим перпендикуляр  на  – получим высоту трапеции.

Прямые  и  параллельны, поэтому можно из точки  опустить перпендикуляр на прямую , получить точку , и еще раз получить высоту трапеции.

, потому что четырехугольник  по меньшей мере параллелограмм, противоположные стороны  и  параллельны по условию, противоположные стороны ,  – параллельны как два перпендикуляра параллельным прямым. В прямоугольнике противоположные стороны равны, а значит, .

Мы вспомнили, что такое трапеция, каковы ее основные элементы.

 Площадь трапеции

Теорема

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство (см. Рис. 1)

Чтобы доказать эту теорему, ее нужно свести к предыдущей, которую мы знаем. Мы знаем, как находить площадь треугольника.

Разобьем трапецию на два треугольника,  и , и используем свойство площади любого многоугольника.

ч. т. д.

 Задача 1

По рисунку 2, где  – трапеция, найдите ее площадь.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Нам известно основание , , боковая сторона  и . Надо найти площадь трапеции. Нам не хватает высоты, значит задача сводится к нахождению высоты. Для ее нахождения нам нужно выбрать удобную точку, из которой мы и проведем высоту. Такой точкой является точка . Проведем перпендикуляр  на  и рассмотрим треугольник .

Этот треугольник прямоугольный, с углом . Мы знаем свойство такого треугольника: катет, лежащий против угла в тридцать градусов, равен половине гипотенузы.

Ответ:.

 Задача 2

Найти площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны по 6 см, а больший угол равен  (см. Рис. 3).

Решение

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2

Для нахождения площади нам нужна высота. Из точки  опустим перпендикуляр , и получим высоту.

Перпендикуляр  делит угол  на угол  и . А раз этот угол 45 градусов, значит, угол  тоже 45 градусов. Треугольник  – прямоугольный, а четырехугольник  – квадрат, потому что противоположные стороны параллельны, а смежные стороны равны между собой и хотя бы один из углов равен 90 градусов.

Теперь найдем , этот отрезок состоит из отрезка , который равен 6, и из отрезка , который также равен 6, потому что треугольник  – равнобедренный (углы при основании равны) и .

Ответ:.

 Задача 3

В трапеции  c основаниями  и  проведены диагонали, они пересекаются в точке . Доказать, что треугольник  равновелик треугольнику  (см. Рис. 4).

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3

Диагонали трапеции рассекают ее на четыре треугольника. Два треугольника примыкают к боковым сторонам. Нужно доказать, что в любой трапеции такие треугольники равновелики.

Рассмотрим треугольники  и . Они равновелики, т. е. имеют одинаковые площади.

1)  (так как у них одно основание и высота)

2) 

ч. т. д.

 Задача 4

Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой меньшее основание 18 см, высота 9 см, меньший угол  (см. Рис. 5).

Дано: – трапеция ()

Найти:

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4

Задача сводится к нахождению большего основания .

 – потому что  прямоугольник (стороны  и  – параллельны, две другие стороны тоже параллельны как перпендикуляры к параллельным прямым)

, потому что треугольник  – прямоугольный и равнобедренный, так как два его угла равны 45 градусов, значит, .

Аналогично .

Ответ:.

 Задача 5

Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равняется , а диагонали взаимоперпендикулярны (см. Рис. 6).

Дано:; ;

 – высота.

Найти:.

Решение

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 5

Важную роль здесь играют диагонали.

Проведем  параллельно . Получим треугольник  и параллелограмм  (противоположные стороны  и  параллельны по условию,  параллельно  по построению).

Диагонали трапеции перпендикулярны и равны между собой и , а значит, треугольник  – равнобедренный и прямоугольный.

Далее докажем, что площади треугольников  и  равны.

, так как .

 (мы отняли площадь одного треугольника  и добавили площадь треугольника ).

Треугольник , во-первых, равнобедренный, во-вторых, у него известна высота, опущенная из вершины , значит, его площадь можно найти (см. Рис. 7).

Рис. 7. Треугольник 

Высота треугольника  является и биссектрисой, и медианой, значит, отрезок  – гипотенуза, равняется .

Ответ:.

 Задача 6

Дана трапеция с основаниями ,  и высотой . Проведена средняя линия . Доказать, что площадь трапеции равна средней линии  умноженной на высоту (см. Рис. 8).

Дано:; ;

 – высота;

 – средняя линия.

Доказать:.

Доказательство

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 6

Через точку  проведем прямую , получим точки , , треугольники  ( по условию, прилегающие углы равны,  как вертикальные, углы  как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых  и  секущей ).

Из равенства треугольников вытекает, что .

Теперь у нас есть два параллелограмма,  и . Эти четырехугольники – параллелограммы по определению, потому что противоположные стороны параллельны.

Если среднюю линию мы обозначили как , то  и .

ч. т. д.

Заключение

На этом уроке мы доказали формулу для нахождения площади трапеции. Площадь равна полусумме оснований, умноженных на высоту. Закрепили эту формулу решением задач.

 Цель урока

Мы знаем, что если у двух треугольников равны две стороны и углы между ними тоже равны, то такие треугольники обязательно равны. Это один из признаков равенства треугольников.

 Признак равенства треугольников, прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой и во втором треугольнике тоже один из углов прямой, то эти углы равны друг другу. И если стороны, заключающие прямые углы (а стороны, которые заключают прямые углы, называются катетами), равны, то равны и сами прямоугольные треугольники. Но это, в свою очередь, означает, что если мы знаем два катета прямоугольного треугольника, то гипотенуза определена одним единственным образом, который мы и рассмотрим.

 Египетский треугольник

Еще в Древнем Египте было известно, что если взять прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4 единицы, то гипотенуза обязательно будет равна 5 единицам.

Рис. 1. Египетский треугольник

В Древнем Египте часто пользовались таким треугольником. Он называется египетским треугольником (рис. 1). Это самый маленький из прямоугольных треугольников с целыми сторонами. Вы можете сложить прямоугольные треугольники с помощью спичек и увидеть, что если хотя бы какой-нибудь из катетов будет меньшим числом, то гипотенуза обязательно не будет целым числом.

 Формулирование теоремы Пифагора

Мы готовы сформулировать теорему Пифагора и записать формулу, которая позволит вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катеты этого прямоугольного треугольника:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рис. 2. Прямоугольный треугольник

 – эта формула и называется теоремой Пифагора (рис. 2).

Теорема Пифагора формула

 -  в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

 Задача №1, доказательство теоремы Пифагора

Докажем теорему Пифагора.

Задача № 1. Дано: прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С – прямой (90 °). Катет ВС = a, катет АС = b, гипотенуза АВ = с (рис. 3).

Доказать: 

Рис. 3. Иллюстрация к теореме Пифагора

Решение.

В формуле, которую нам необходимо доказать, фигурируют квадраты трех величин: квадраты с, аи b. В геометрии мы сталкиваемся с квадратами длин отрезков, когда считаем площади фигур. Но и, наверное, самая простая фигура, площадь которого можем посчитать – квадрат. Соответсвенно, первая мысль – достроить эту картинку до квадратов. Достроим треугольник АВС до квадрата со стороной а+b.

Для этого продолжим катет АС на длину катета ВС (+ а), а ВС на длину катета АС (+ b) (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Достроим получившуюся картинку до прямоугольника (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

У этого прямоугольника смежные стоороны равны (а+b). Значит, этот прямоугольник обязательно является квадратом. Обозначим получившиеся точки буквами. Получим квадрат СDEF.

Все стороны этого квадарта равны (а + b). Соответственно, стороны DE и EF тоже можем разделить на отрезки а и b. Обозначим эти точки буквами G и H. Соединим точку А с точкой G, точку G с точкой Н, точку Н с точкой В (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Квадрат СDEF оказался разрезанным на 5 фигур: 4 треугольника по углам и 1 четырехугольник в центре. Если этот четырехугольник окажется квадратом, то это будет удобно для нас. Но это сначала нужно доказать.

Выясним, что мы знаем про получившуюся фигуру. Все 4 треугольника обязательно являются прямоугольными,потому что каждый из них содержит один из углов квадрата (Ð С = Ð D = Ð Е = Ð F = 90°). Катеты в этих треугольниках равны а и b. Значит, все эти треугольники равны друг другу (по двум сторонам и углу между ними). А если все эти треугольники равны друг другу, то равны все их соответсвенные элементы. Например, все гипотенузы у них обязательно равны с (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Значит, четырехугольник АGНВ – ромб. Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромб. Мы доказали, что все стороны равны, АG = GН = НВ = ВА = с. АGНВ – ромб.

Гипотенуза не единственное, что равно у наших треугольников. Еще у них равны все острые углы. Отметим это на картинке. Во-первых, равны Ð САВ = Ð DGA = Ð EHG = Ð FBH. Зеленым цветом обозначим эти углы, величиной α. И такие углы тоже равны: Ð СВА = Ð DAG = Ð EGH = Ð FHB. Красным цветом обозначим углы величиной b (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

На нашей картинке отмечено очень много углов, но не все. Остался, например, не отмеченным Ð GАВ. Вычислим его.

Эти три угла вместе, Ð DAG, ÐGAB, Ð CAB, составляют развернутый угол. Соответственно:

Ð GАВ = 180° - Ð CAB - Ð DAG = 180 ° - α - b.

Преобразуем эту формулу следующим образом:

Ð GАВ = 180° - (α + b).

У нас получилась сумма (α + b). Что такое сумма (α + b)? Это сумма острых углов прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Поэтому получается:

Ð GАВ = 180° - (α + b) = 180° - 90° = 90°. То есть Ð GАВ – прямой. А значит наш ромб АGНВ является квадратом. Если в ромбе один из углов прямой, то этот ромб обязательно квадрат.

Мы получили: большой квадрат СDEF, квадрат меньше АGНВ. Можно начинать записывать площади.

С одной стороны, СDEF – квадрат и его площадь можно посчитать как квадрат стороны:

С другой стороны, этот квадрат состоит из 5 фигур: 4 треугольников и квадрата в центре. Площадь квадрата в центре равна с2, а четыре треугольника равны друг другу и площадь каждого из них – половина произведения катетов.

Площадь четырехугольника СDEF не зависит от того, каким образом мы с вами ее считаем. Она всегда одна и та же. Соответственно, мы можем приравнять наши равенства, но сначала их надо преобразовать.

В первом равенстве раскрываем квадрат суммы:

Во втором случае:

Первое выражение равно второму.

И там, и там есть 2аb. От них легко отказаться – сократим их. И получим:

То есть в нашем прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Что и требовалось доказать.

Это доказательство – не единственное доказательство теоремы Пифагора. У нее очень много доказательств. Теорема Пифагора занесена даже в Книгу рекордов Гиннеса за счет того, что у нее так много доказательств. Интересным является тот факт, что многие из них почти не требуют алгебры. Вот, например, в Древней Индии использовали такой способ доказательства.

 Задача №2, доказательство Древней Индии

Рисовали 2 одинаковых квадрата. Один такой, как у нас уже был нарисован (№1). И второй тоже со стороной (а + b). Такой же квадрат, но разрезали его немного по-другому (№2) (рис. 9).

                                     №1                                                                              №2

Рис. 9. Иллюстрация к теореме

Сначала его разрезали на 4 фигуры: 2 квадрата. Один со стороной а, второй со стороной b. Соответственно, по углам оставались прямоугольники со сторонами а и b. А дальше каждый из этих прямоугольников со сторонами а и b разрезали пополам на 2 треугольника.

Теперь получается 2 одинаковых квадрата, по-разному разрезанных. И в этих одинаковых квадратах есть одинаковые фигуры. Даже в одном и том же положении. Их равенство выделено одинаковыми цветами на рисунках (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к теореме

Если у каждой картинке вырезать эти треугольники, то на одной картинке остается квадрат со стороной с и площадью с2; а на другой картинке остается 2 квадрата со сторонами а и b, сумма площадей этих квадратов – это а2 + b2.

Такое доказательство использовали в Древней Индии.

 Понятие «пифагоровы штаны», задача №3

Также есть другое доказательство, благодаря которому стало известно про «пифагоровы штаны, которые во все стороны равны». Посмотрите на картинку (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к теореме

На катетах прямоугольного треугольника построены квадраты. На гипотенузе тоже построен квадрат. Его вырезали, и осталось пустое место (для удобства окрашен в зеленый цвет). Квадраты, которые образованы на катетах, разрезаны на 5 кусочков. Попробуем сложить из этих кусочков квадрат на гипотенузе. (Из двух маленьких квадратов построили большой на гипотенузе. Каждый кусочек со своей окраской показывает расположение в большом квадрате.)

Рис. 12. Иллюстрация к теореме

 Выводы

Мы видим, что квадрат, построенный на гипотенузе, собран из кусочков квадратов, построенных на катетах (рис. 12). То есть площадь этого квадрата с2 равна сумме площадей этих квадратов а2 + b2.

В ходе данного урока мы рассмотрим решение базовых задач с применением теоремы Пифагора, научимся находить стороны прямоугольного треугольника и доказывать, что данный треугольник является (либо не является) прямоугольным.

 Решение задачи №1

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами  и .

Дано: ; . , .

Найти: .

Рис. 1. Прямоугольный треугольник 

Решение

Поскольку  – прямоугольный, можем воспользоваться теоремой Пифагора.

Так как существует вариант, что , то берем во внимание, что длина стороны – число положительное.

Ответ: .

 Решение задачи №2

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами , , ?

Дано: . , , .

Определить:  – прямоугольный треугольник?

Решение

Обратим внимание, что если  является прямоугольным, то прямой угол будет самым большим углом этого треугольника. А значит, напротив него будет лежать самая большая сторона. А сторона, которая лежит напротив большого угла называется гипотенузой. Допустим, что  – гипотенуза. И пусть  предположительно прямоугольный. Тогда сможем применить теорему Пифагора.

25 = 4 + 16

25 ¹ 20

А это значит, что  не является прямоугольным.

Ответ:  не является прямоугольным.

 Решение задачи №3

На рис. 2 на клетчатой бумаге поставлены точки ,  и  (в узлах сетки). Найдите длины отрезков ,  и  и определите, является ли прямоугольным треугольник .

Рис. 2. Точки ,  и 

Решение

Две клеточки – 1 единица измерения.

По условию задачи, нет прямоугольного треугольника. Но на клетчатой бумаге есть маленькие квадратики, а у них – прямых угла. Этим и воспользуемся, сделав сами прямоугольный треугольник.

a) Проведем по вертикали вверх от точки  линию до пересечения с горизонтальной линией от точки , отметим пересечение  (рис. 3) – получим прямоугольный треугольник .  – гипотенуза. По теореме Пифагора, .

Рис. 3. Построение точки 

Так как рисунок выполнен на клеточной бумаге, то мы можем просто посчитать длину сторон . ; .