Конспекты уроков Алгебра, 7 класс

В данном уроке будет рассмотрено понятие алгебраических выражений. В их состав входят буквенные переменные, которые могут принимать разные числовые значения. Поэтому для правильного решения алгебраических выражений необходимо ориентироваться в действиях с числовыми.При решении алгебраических выражений буквенные переменные не всегда принимают произвольное значение. В таких случаях появляются понятия допустимые значения букв и недопустимые значения букв. Понимание данной темы позволит совершать базовые действия с алгебраическими выражениями, а также укрепит навыки решения числовых примеров.

 Решение числовых выражений

Числовые выражения – это те выражения, которые составлены из чисел и знаков арифметических операций – сложения, вычитания, умножения, деления.

Пример 1

.

Это числовое выражение, которое необходимо упрощать.

Рассмотрим ещё несколько примеров числовых выражений.

Пример 2

,

,

.

При замене некоторых чисел буквами образуется алгебраическое выражение. При замене двух чисел буквой получается выражение . Первое слагаемое – это , второе слагаемое – это . В результате образуется алгебраическое выражение. В этом алгебраическом выражении буквенные переменные (так как они могут принимать разные значения) обозначают различные числа. Числа могут быть целыми, дробными, положительными, отрицательными. Таким образом, алгебраические выражения базируются на работе с числовыми выражениями.

Правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется – справедливо для чисел 4 и 5, для чисел 6 и 1. Если обобщить этот закон для всех чисел, то его можно записать в алгебраическом виде: обозначим первое слагаемое -  , второе – . В результате получаем:

.

Значит данное правило применимо для алгебраических выражений.

 Решение простых алгебраических выражений

Пример 2

,

,

.

При замене некоторых чисел буквами образуется алгебраическое выражение. При замене двух чисел буквой получается выражение . Первое слагаемое – это , второе слагаемое – это . В результате образуется алгебраическое выражение. В этом алгебраическом выражении буквенные переменные (так как они могут принимать разные значения) обозначают различные числа. Числа могут быть целыми, дробными, положительными, отрицательными. Таким образом, алгебраические выражения базируются на работе с числовыми выражениями.

Правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется – справедливо для чисел 4 и 5, для чисел 6 и 1. Если обобщить этот закон для всех чисел, то его можно записать в алгебраическом виде: обозначим первое слагаемое -  , второе – . В результате получаем:

.

Значит данное правило применимо для алгебраических выражений.

Получаем, что для алгебраических выражений числовые выражения являются частным случаем. Поэтому действия с числовыми выражениями применимы и к алгебраическим выражениям. Рассмотрим несколько примеров на числовые выражения.

Пример 3

.

Решение:

Проведем группировку: сложим первое число с третьим, а второе с четвертым.

.

В результате получаем:

.

Ответ: .

 Примеры решения алгебраических выражений при заданных значениях переменных

Пример 4

Найти значение выражения  при: .

Решение:

Это выражение является алгебраическим. В данном случае число  и число  – буквенные переменные, которые могут принимать любые значения. Значит, необходимо вычислить данное алгебраическое выражение при некоторых, конкретных заданных значениях буквенных переменных – это одна из стандартных задач для алгебраических выражений.

Подставим значения переменных, получим числовое выражение и вычислим его.

1) .

Ответ: .

2) Поступаем аналогично, подставляя вместо буквенных переменных их численные значения: .

Ответ: .

3) Аналогично: .

Ответ: .

 Примеры решения числовых выражений преобразованием в алгебраические

Повторим основные действия с числовыми выражениями для дальнейшего решения алгебраических примеров.

Пример 5

Найти значение выражения:

Решение:

Обозначим все, что стоит в первой скобке за  (буквенная переменная состоит из конкретных числовых данных). Второе выражение обозначим за , а все, что стоит в знаменателе, обозначим за .

Все искомое выражение обозначим за .

Для вычисления , необходимо сначала вычислить , разделить его на  и разделить на :

Перегруппируем слагаемые в выражении :

.

Найдем значение второй скобки:

.

Вычислим значение :

.

Найдем значение начального выражения:

Ответ: .

При решении мы пользовались правилами порядка арифметических действий, а также правилами: от перемены мест слагаемых сумма не меняется (); от перемены мест множителей произведение не меняется (.

 Примеры на нахождение допустимых и недопустимых значений переменных

Особенностью алгебраического выражения является то, что не всегда буквы могут принимать произвольное значение. Есть такое понятие – допустимые значения букв и недопустимые значения букв. Рассмотрим на конкретном примере:

Пример 6

Найти допустимые и недопустимые значения :  

Решение:

Данное выражение является арифметическим. В соответствии с алгебраическими законами данное выражение не имеет недопустимых значений, так как любое число можно возвести в квадрат.

Ответ:  – любое.

Пример 7

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения.

Решение:

Так как на ноль делить нельзя (а на остальные числа можно), то допустимыми значениями  являются любые числа, кроме : .

Ответ: .

Пример 8

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения .

Решение:

Для решения опять необходимо учесть, что знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

.

Ответ:.

Пример 9

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения .

Решение:

Знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

Ответ: .

Пример 10

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения .

Решение:

Знаменатель не может равняться , так как на  делить нельзя:

Ответ:.

Необходимо запомнить, что если выражение стоит в знаменателе, то оно не должно быть равно . Это накладывает определенные ограничения на значения буквенной переменной. Рассмотрим ещё один пример на нахождение допустимых и недопустимых значений переменной.

Пример 11    

Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения: .

Решение:

Знаменатель не должен быть равен :

Значит:  или .

Ответ:.

Мы рассмотрели числовые и буквенные выражения. Кроме того, мы рассмотрели связь между числовыми и буквенными выражениями. Также на данном уроке были озвучены правила работы с арифметическими выражениями, которые остаются верны и для алгебраических.

На следующем уроке мы повторим правила работы с числовыми выражениями и с натуральными числами.

 данном уроке будут рассмотрены основные числовые множества, знание которых необходимо для дальнейшего изучения алгебраических выражений. К основным числовым множествам относятся множества натуральных, целых и рациональных чисел. Будут разобраны действия с натуральными числами. В соответствии с  основной теоремой арифметики любое составное натуральное число однозначно разлагается в произведение простых чисел. Дальнейшее решение заданий на наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное будет базироваться на данной теореме. Также будут показаны примеры использования НОД и НОК и решены задачи на эту тему.

Тема: Математический язык. Математическая модель

Урок: Числовые выражения. Действия с натуральными числами

 1. Числовые множества

Множество натуральных чисел – множество чисел, которые применяются для счета предметов. Натуральные числа можно использовать в качестве номеров. Единица – наименьшее натуральное число. Данное множество обозначается буквой N и имеет вид:

Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, целых отрицательных чисел, ноля и обозначается буквой Z.

В множество рациональных чисел включается множество целых чисел и дробные числа. В общем виде это множество записывается как . Также следует отметить, что целые числа можно считать частным случаем дробных чисел. Например, число -3 = -3/1, а это дробь. Множество рациональных чисел обозначается буквой Q.

Q=

 2. Простые и составные натуральные числа

Подробно рассмотрим множество натуральных чисел. В натуральных числах различают простые числа и составные. Простые числа – это числа, которые имеют два делителя. Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 и т.д. делятся на себя и на 1. В свою очередь, единица не является простым числом, потому что она делится только на себя, имеет только один делитель.

 3. Основная теорема арифметики

Основная теорема арифметики гласит, что любое составное натуральное число однозначно разлагается в произведение простых чисел.

Пример 1: разложить число 18 на простые числа.

Решение: 18 = 2·3·3,

18 – это произведение 2·3·3 = 2·32.

Значит, составное число однозначно разложилось в произведение простых множителей.

Пример 2: разложить число 12 на простые числа.

Решение:12 = 2·2·3.

12 = 22·3.

 4. Наибольший общий делитель 

Рассмотрим понятия  и  чисел.

НОД – наибольший общий делитель двух чисел. НОД двух целых чисел  и , одновременно не равных нулю, называется такое наибольшее целое число , на которое  и  делятся без остатка. Этот факт обозначается так:. Если оба числа равны нулю, то положим .

Пример 3: Найти 

Решение: Разложим 12 и 18 на простые числа.

Необходимо определить общие делители 18 и 12 (из простых чисел), их произведение будет .

.

Ответ: 6

 5. Наименьшее общее кратное

НОК – наименьшее общее кратное двух чисел. НОК двух целых чисел  и  называется наименьшее положительное целое число, кратное как , так и .

Пример 4: найти .

Решение: Используем основную теорему арифметики для решения данной задачи.

Разложим 20 и 30 на простые множители.

.

Общие делители: 20 и 30: 2 и 5

Ответ: 60.

 6. Пример использования НОК

Для того, чтобы понять, где применяются НОД и НОК рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Найти значение .

Решение: Для того, чтобы привести дробь к общему знаменателю необходимо найти .

.

Значит,  

Найдем дополнительные множители.

Дополнительный множитель   = 36 : 12= 3;

Дополнительный множитель   = 36 : 18= 2;

Значит, .

Ответ: .

 7. Пример использования НОД

Пример 6: Найти значений 

Решение: Основное свойство дроби заключается в том, что числитель и знаменатель можно разделить или умножить на одно и то же число. Найдем это число из разложения по основной теореме арифметики.

.

Числитель и знаменатель можно сократить на 2 и на 3.

.

Ответ: 

 8. Примеры решения задачи 1 на НОК и НОД

Пример 7. Решите задачу.

В классе каждый человек получил по подарку. Подарки состояли из апельсинов и яблок. Для подарков закупили 123 апельсина и 82 яблока. Каждому ученику в классе раздали одинаковый подарок и потратили все апельсины и все яблоки.

Вопрос 1: сколько учеников в классе? Вопрос 2: Сколько в каждом подарке было апельсинов, сколько в каждом подарке было яблок?

Решение.

Разложим 123 на произведение простых множителей.

 123 = 3·41.

Точно так же поступим с числом яблок.

82 = 2·41.

Необходимо найти число учеников в классе и из чего состоит каждый подарок.

Найдем .

.

Значит, в классе учится 41 ученик.

Найдем, из чего состоял каждый подарок.

Количество апельсинов: 

Количество яблок: 

Ответ: 1. В классе учится 41 ученик. 2. В каждом подарке было 3 апельсина и 2 яблока.

 9. Примеры решения задачи 2 на НОК и НОД

Пример 8. Решите задачу.

Шаг Володи 75 см., а шаг Кати 60 см. Первый шаг они сделали в ногу, а потом у них разное число шагов. На какой расстоянии они сделают следующий шаг в ногу?

На каком наименьшем расстоянии они сделают по целому числу шагов?

Решение:  Найдем .

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, мы, согласно основной теореме арифметики, раскладываем эти числа на простые множители.

75 = 3·5·5;

60 = 2·2·3·5;

.

Ответ на вопрос: 300 см.

Найдем количество шагов, которое сделает каждый на данном расстоянии.

Володя сделает  =  = 4 шага.

Катя 300 сделает = = 5 шагов.

Ответ: Катя и Володя следующий шаг сделают на расстоянии 300 см, для этого Володя сделает 4 шага, а Катя – 5 шагов.

Итак, мы рассмотрели основные числовые множества. Именно из этих множеств буквенные переменные принимают свои числовые значения. Мы вспомнили, что такое натуральные числа, что такое целые числа, что такое дробные числа. Основное внимание мы уделили натуральным числам. В натуральных числах мы вспомнили, что такое простые множители. Это те множители, которые делятся только на себя и на единицу. И вспомнили основную теорему арифметики, согласно которой каждое составное число однозначно раскладывается в произведение простых множителей. Вспомнили важные понятия НОД и НОК и типовые задачи на них.

На следующем уроке мы повторим числовые выражения и действия с дробными числами.

Для дальнейшего решения заданий с алгебраическими выражениями необходимо ориентироваться в решении дробных. Поэтому целью данного урока является повторение основных действий с дробями. Неотъемлемой частью решения дробных выражений является знания свойств дроби при отнимании, сложении, сокращении, умножении и делении. В этом уроке будет рассмотрено способы применения каждого свойства при решении простых численных выражений, а в итоге – при решении алгебраических.

Тема: Математический язык. Математическая модель

Урок: Числовые выражения, действия с дробными числами

 1.Основное свойство дроби

Основное свойство дроби заключается в том, что и числитель, и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Пример 1: Домножить дробь  на k.

Дробь  не изменится, если числитель  и знаменатель , при условии . Значит:

 = 

Пример 2: Разделить числитель и знаменатель дроби на число n.

При делении числителя и знаменателя на число nзначение дроби  не изменится в случае, если.

 = 

 2. Решение примеров на основное свойство дроби

Пример 3: Домножить дробь  на 3.

Ответ: 

Пример 4: Сократить дробь .

Для этого разложим и числитель, и знаменатель на простые множители.

Разделим и числитель, и знаменатель на 3 и получим несократимую дробь:

Ответ: 

Пример 5: Сократить дробь .

Разложим и числитель, и знаменатель на простые множители.

Разделим числитель и знаменатель на 2 и на 3 и получим несократимую дробь.

Ответ: .

Пример 6: Сократить дробь .

Разложим и числитель, и знаменатель на простые множители и сократим одинаковые.

Ответ: .

Пример 7: Найти значение выражения .

Разложим каждый знаменатель на простые множители и найдем их НОК, который и является общим знаменателем.

;

;

НОК(45;75) = 

Дополнительный множитель дроби находится по формуле:

 Значит, получаем: 

Ответ: .

 3. Правило умножения дробей

Правило умножения дроби на дробь.

При умножении дроби  на дробь  необходимо перемножить числители, и результат поставить в числитель, а также перемножить знаменатели и результат поставить в знаменатель. Получаем: 

 4. Правило деления дробей

Правило деления дроби на дробь.

Существует два способа деления дроби на дробь.

1й способ: Для того, чтобы разделить дробь на дробь , надо дробь умножить на обратную дробь , т.е. на .

2й способ: Для того чтобы разделить дробь на дробь , надо числитель  первой дроби умножить на знаменатель  второй дроби и получить числитель  искомой дроби, знаменатель  первой дроби умножить на числитель  второй дроби и получить знаменатель  искомой дроби: 

 5. Правило умножения и деления дроби на число

Правило умножения дроби на число.

При умножении дроби  на число  необходимо числитель  умножить на число , а знаменатель  оставить неизменным. Данное правило подтверждается еще тем, что любое число  можно представить в виде дроби .

Пример 8: Умножить дробь  на число 7.

Ответ: 4.

Правило деления дроби на число.

При делении дроби на число  необходимо число  представить в виде дроби  и потом использовать правило деления дроби на дробь.

Пример 9: Разделить дробь  на число 7.

.

Ответ:.

 6. Правило деления числа на дробь

Правило деления числа на дробь.

При делении числа n на дробь  необходимо помнить, что n – это дробь . И в результате использовать правило деления дроби на дробь.

 7. Решение уравнений

Пример 10: Решить уравнение .

Для того чтобы найти х, следует и числитель, и знаменатель разделить на одно и то же число – коэффициент перед х.

,

Ответ: 3.

Пример 11: Решить уравнение .

Данное уравнение можно решить двумя способами – в одно и в два действия. В одно действие – надо разделить обе части на коэффициент  перед х.

Для решения уравнения в 2 действия, можно сначала умножить на  обе части уравнения и получить . Дальше, чтобы получить х, необходимо и левую, и правую часть умножить на 2.

Ответ:.

Пример 12: Решить уравнение .

1-ый способ: Разделим правую и левую часть на коэффициент перед , т.е. на .

 2-ой способ: Умножим обе части на 3. Получается тот же результат.

Ответ: 9.

 8. Решение примера на нахождение значения алгебраического выражения

Пример 13: Найти значение алгебраического выражения если .

Первым действием необходимо вычислить данное выражение, подставив значения переменных.

Вторым действием проверим, является ли набор значений  допустимым для данного алгебраического выражения.

Напомним, что набор будет допустимым, если при значениях а, b и с выражение можно вычислить.

Подставив значения, видим, что знаменатель выражения не равен нолю, значит, выражение можно вычислить.

Третьим действием необходимо сократить дробь. Исходя из основного свойства дроби, при делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число.

Ответ: .

Итак, в данном уроке мы рассмотрели действия с числовыми и алгебраическими дробями. Также вспомнили основные правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей. И мы видим, что вот эти действия и правила полностью переносятся на действия с алгебраическими дробями.

На данном уроке будут рассмотрены основы математического языка. Данный язык используется в различных науках: физике, химии, экономике и т. д. В каждой из этих наук есть определенные законы и правила, которые формулируются на русском языке, а потом переводятся на математический. Каждая тема, изучаемая в математике, базируется на математическом языке. Числовые, алгебраические выражения являются элементами этого языка. Знание математического языка в дальнейшем мы будем использовать при решении текстовых задач, когда условие будем представлять в виде формулы, составляя математические модели на соответствующем языке.

 Введение. Виды языков

Существуют различные виды языков, например, многие из вас чаще всего пользуются повседневным разговорным языком при общении с окружающими людьми. Однако существуют разновидности такого языка, так, общение с близкими друзьями может заметно отличаться от общения с родителями и учителями в школе. При этом оба этих разговорных варианта подчиняются своим правилам, которые не носят строгого характера (дают свободу в выборе форм высказываний). Еще один пример языка – это язык официальной документации, он отличается от разговорного более строгим стилем и подчинением более строгим правилам.

Рис. 1. Дорожные знаки

Существуют также узкоспециализированные языки, носящие строгий характер и ориентированные на понимание профессионалами. К таковым можно отнести: язык дорожных знаков (ориентирован на водителей) (см. Рис. 1); язык сигналов, например флаги (используется на флоте для обмена информацией (см. Рис. 2)); язык программирования.

Рис. 2. Передача информации с помощью флажков

На этом уроке объектом изучения будет математический язык

 Математический язык

Математический язык – формальный язык людей, изучающих точные науки. Этот язык оперирует точными понятиями и состоит из высказываний с универсальными символами.

Математический язык отличается от разговорного тем, что после перевода на него многие утверждения выглядят яснее и прозрачнее. Например, на обычном языке говорят: «чтобы сложить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатели оставить без изменений». Математик при этом осуществляет синхронный перевод на свой язык:

Можно осуществить и обратный перевод. На математическом языке записан распределительный закон:

Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: «Чтобы умножить число  на сумму чисел  и , надо число  умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить».

То есть в математике используются обозначения в виде символов, которые позволяют кратко, в условной форме записать математические формулы.

В разговорном языке зачастую возможно менять слова в предложении или предложения в тексте, при этом не нарушая общего смысла. В математическом языке это чаще всего недопустимо.

 Примеры перевода устных высказываний в математические и наоборот

Переведите устное высказывание в математическое:

1. Полусумма чисел  и : на математическом языке это выглядит как .

2. Полуразность чисел  и : .

3. Квадрат числа : .

4. Куб числа : .

Обратный перевод:

1.  – на обычном языке это выражение звучит так: сумма чисел  и 2.

2.  – сумма квадрата числа  и квадрата числа .

3.  – отношение суммы чисел  и  к произведению чисел  и .

Перевод из словесной формулировки в символьную

1. Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а затем к полученной сумме второе слагаемое:

2. Чтобы к числу прибавить разность двух чисел, можно сначала прибавить к нему уменьшаемое, а затем из полученной суммы вычесть вычитаемое:

3. Величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, не равное нулю:

 Перевод из символьной формулировки в словесную

1.  – чтобы из числа вычесть сумму двух чисел, нужно из этого числа вычесть сначала первое слагаемое, а затем второе слагаемое;

2.  – если к числу прибавить ноль, то в результате получится то же самое число;

3.  – если число умножить на единицу, то в результате получится то же самое число;

4.  – если число умножить на ноль, то в результате получится ноль;

5.  – если число разделить на единицу, то в результате получится то же самое число;

6.  – если ноль разделить на любое число, не равное нулю, то в результате получится ноль;

7.  – если любое не равное нулю число умножить на обратное ему число, то в результате получится единица.

 Алфавит математического языка

Подобно обычному языку, математический язык начинается с простейших символов. Совокупность этих символов называется алфавитом математического языка. Этот алфавит состоит из:

1. чисел (1; 2; 3; ...);

2. буквенных выражений (a, b, c, …);

3. символов простейших операций ();

4. скобок («(», «)»);

5. возведения в степень (, 2 – верхний индекс).

Из такого алфавита строятся слова, то есть математические выражения, например:

1.  

2.  

3. 

 Итоги урока

Современная математика имеет в своем арсенале очень развитые знаковые системы, позволяющие отразить тончайшие оттенки мыслительного процесса. Знание математического языка дает большие возможности для анализа научного мышления и всего процесса познания. На протяжении всего курса математики мы будем совершенствовать знание математического языка и навыки его использования.

На этом уроке мы узнаем, что такое математическая модель, как и где она используется, а также научимся составлять математические модели для различных задач.

 Введение

Всегда, когда мы передаем какую-то информацию, мы ее упрощаем. Передаем не всё, а только самое важное. Когда мы говорим «я сижу за столом», то не описываем, из чего сделан стол, цвет и высоту стола. Мы упрощаем ситуацию. Мы можем нарисовать что-нибудь, например сделать чертеж детали. Это тоже упрощение.

Когда мы хотим решить какую-то задачу, найти какую-нибудь величину, мы тоже упрощаем. Заменяем реальные объекты числами (геометрические фигуры). В таком случае говорят, что мы строим математическую модель.

 Пример математической модели

В одной вазе  яблока, во второй . (См. Рис. 1.) Сколько всего яблок в двух вазах?

Рис. 1. Вазы с яблоками

Если вы ответили , значит, вы уже успели построить математическую модель и с её помощью решить задачу.

Без модели эта задача решается так. В одной вазе  яблока, во второй . Складываем их вместе и пересчитываем. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Все яблоки

Но мы поступаем не так. Все яблоки разные (разного цвета, сорта), но нас интересует только их количество. Поэтому яблоки в обеих вазах мы заменяем числами  и . Теперь нам не надо складывать яблоки вместе, а остается сложить только числа.

Это и есть математическая модель, математическое упрощение действительности.

Нам осталось сложить числа  и . Получить .

Действия мы произвели с моделью, но выводы сделали относительно реальной ситуации. Всего яблок .

Кроме того, что модель упростила решение, мы с помощью нее решили сразу много реальных задач. Например, в одном дворе  машины, во втором . (См. Рис. 3.) Сколько всего машин? Та же самая модель дает ответ: .

Рис. 3. Машины во дворах

В одной комнате  человека, в другой . (См. Рис. 4.) Всего  человек.

Рис. 4. Люди в комнатах

 Как решать задачи

Чтобы решить какую-то задачу, обычно поступают так:

Переходят от реальной ситуации к модели. Решают модель по некоторому алгоритму. Возвращаются от модели к реальной ситуации.

 Построение моделей

В нашей жизни мы постоянно сталкиваемся с моделями:

План зрительного зала (см. рис. 5) – это модель настоящего зала. Она упрощает задачу – найти наше место.

Рис. 5. План зрительного зала

Ту же самую функцию выполняют карта страны или мира. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Карта мира

• Когда мы идем по улице и смотрим на номера домов, то понимаем, что -й дом будет после -го и -го. (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Порядок расположения домов

Мы это понимаем, потому что в голове у нас есть модель – натуральные числа и порядок, в котором они расположены.

 Применение математической модели в жизни

Рассмотрим пример, как удачная математическая модель помогла решить задачу, которую люди не могли решить очень долго.

В городе Кёнигсберге (сейчас Калининград) было  мостов. (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Мосты в Кёнигсберге

Жители пытались понять, можно ли гулять так, чтобы пройти по всем мостам, но ни по какому не проходить два раза.

Много лет они не могли решить эту задачу.

Когда над ней стал думать Леонард Эйлер, то понял, что здесь много лишней информации, которая отвлекает. Он решил упростить задачу, сделать математическую модель.

Участки суши он стал сжимать до тех пор, пока они не превратились в точки. А мосты превратил в линии, которые соединяют эти точки. (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Математическая модель Эйлера

Задача теперь выглядит так – можно ли нарисовать такую фигуру (она называется граф), не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни по какой линии дважды. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Граф

Ответ оказался отрицательным. Нельзя. Значит, и по всем мостам нельзя пройти ровно один раз.

Кому интересна эта задача – наберите в поисковике «мосты Эйлера» и найдете подробное описание. Там же будет рассказ о теории графов.

 Уравнение в математической модели

Очень часто математическая модель содержит уравнение. Уравнение – это аналог реальной ситуации, когда объект неизвестен, но кое-что мы про него знаем.

Например, сыщик Шерлок Холмс знает, что у преступника рыжая борода, что он хромает на правую ногу и ему больше  лет. Вот это уже и есть уравнение, которое Холмс пытается решить.

Математическое уравнение возникает, когда нам неизвестна некая величина, но мы знаем про нее какие-то факты.

Задача. В двух вазах  яблок, причем в одной на  больше, чем в другой. Сколько яблок в каждой вазе?

Решение. Для решения этой задачи мы составляем математическую модель.

От яблок мы переходим к числам. Яблоки в каждой вазе мы заменяем числом (количеством).

Так как нам неизвестно количество яблок в одной вазе, то мы вводим переменную .

В одной вазе  яблок, во второй на  больше, т. е. . Тогда всего яблок:

Вот мы и построили математическую модель. Мы не думаем больше о яблоках, а только о том, как решить это уравнение.

Корень уравнения , тогда.

Мы решили модель.

Теперь возвращаемся к реальной ситуации и получаем ответ:  – это количество яблок в первой вазе и  – во второй.

 Задача

Кирпич весит килограмм и еще полкирпича. Сколько весит кирпич?

Эта задача нацелена на то, чтобы вы быстро дали неправильный ответ. Конечно же, ответ «полтора килограмма» неверный. А потом, когда рассказчик вам даст правильный ответ, вы должны восхититься этим фокусом. На самом деле восхищаться здесь нечем. Математическая модель дает нам очень быстрое решение.

Решение.

1. С использованием математической модели.

Нам неизвестна масса кирпича. Обозначим ее . Масса половины кирпича – это .

Тогда условие задачи мы переписываем в виде: .

Это и есть наша математическая модель.

Так как она сохраняет только важное для задачи, то здесь лишние слова нас не вводят в заблуждение и мы легко решаем эту смоделированную задачу (уравнение).

Итак,  – это решение нашей модели, уравнения. Решение задачи: масса кирпича –  кг.

2. Можно решить эту задачу и без математического моделирования.

Кирпич весит килограмм и еще полкирпича. Кладем это все на весы. (См. Рис. 11.)

Кирпич мы можем расколоть на две половины. (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Раскололи целый кирпич

Мы можем с обеих сторон убрать полкирпича. (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Убрали с чаш по полкирпича

То есть мы уже поняли, что полкирпича весит килограмм. Значит весь кирпич –  кг. Но здесь на последнем шаге мы снова применили математическую модель, а собирались без нее.

Доведем дело до конца по-честному. Раз полкирпича весит столько же, сколько гиря, то добавим слева полкирпича, а справа гирю. (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Добавляем слева полкирпича, а справа гирю

Склеим снова кирпич. (См. Рис. 15.)

Рис. 15. Склеили кирпич

Таким образом, масса кирпича –  кг.

 Заключение

На этом уроке были разобраны понятие математической модели и способы ее применения. Итак, математическая модель – это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка.

На данном уроке мы начнем изучение темы «Уравнения». Мы рассмотрим линейное уравнение с одной переменной в общем виде, а также на конкретных примерах. Кроме того, решим текстовые задачи.

 Основные определения, истоки уравнения

Определение

Линейным уравнением с одной неизвестной называется уравнение вида:

.

Здесь  – искомая неизвестная,  и  – коэффициенты, параметры.

Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться в том, что решений нет.

Определение

Корень уравнения – это такое значение , при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Линейное уравнение  описывает равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью:

 – путь равен произведению скорости и времени.

Если перенести все слагаемые в одну сторону, получим:

.

Выполним переобозначение:

.

Получим изучаемое линейное уравнение.

 Решение уравнений в общих и частном случаях

Пример 1:

Прибавим три к обеим частям уравнения – при этом равенство не изменится:

.

Разделим обе части на два:

.

Ответ: .

Комментарий: наша главная цель – найти , для этого мы выполняем одинаковые преобразования над обеими частями уравнения.

Решим уравнение в общем виде:

.

Отнимем в обеих частях число :

.

Поскольку  имеем право обе части поделить на :

.

Вывод: при  линейное уравнение имеет единственный корень: .

Рассмотрим случай, когда :

.

Уравнение имеет бесчисленное множество решений, любое действительное  удовлетворяет уравнению

.

Решений нет.

Так, в общем случае уравнение  имеет решение:

При .

При   – любое число, бесчисленное множество решений.

При  решений нет.

В рассматриваемое линейное уравнение неизвестное  входит в первой степени, поэтому такое уравнение носит название уравнения первой степени, к нему сводятся многие другие уравнения.

Пример 2:

.

Используя свойства уравнения, имеем право перенести слагаемое из правой части урвнения в левую с противоположным знаком или слагаемое из левой части - в правую тоже с противоположным знаком. Перенесем все члены с  влево, а числа вправо:

.

Поделим обе части на два:

.

Ответ: .

Пример 3:

.

Раскроем скобки:

.

Прибавим пять к обеим частям уравнения:

.

Поделим обе части на два:

.

Очевидно, что решением данного уравнения может быть любое число.

Ответ: уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Пример 4:

.

Раскроем скобки:

Перенесем все члены с  влево, а числа вправо:

.

Получено неверное числовое равенство.

Ответ: решений нет.

 Решение текстовых задач

Пример 5: решить задачу.

Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа в два раза моложе дедушки?

Решение: пусть папе  лет. Поскольку дедушка в два раза его старше, ему  лет. Тогда имеем уравнение:

.

Поделим обе части на три:

.

Так, папе 37 лет. Тогда дедушке  года.

Ответ: папе 37 лет, дедушке 74 года.

Пример 6

При каком значении  значение выражения  в три раза больше значения выражения ?

Решение

Если первое выражение в три раза больше второго, имеем право второе умножить на три и приравнять:

.

Раскроем скобки:

.

Перенесем все члены с  влево, а числа вправо:

.

Поделим обе части на минус семь:

.

Ответ: при  первое заданное выражение в три раза больше второго.

Вывод: на данном уроке мы рассмотрели линейное уравнение с одной переменной и выяснили его специфику. Такое уравнение может иметь одно решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.

На данном уроке мы познакомимся с понятием координатной прямой, выведем ее основные характеристики и свойства. Сформулируем и научимся решать основные задачи. Решим несколько примеров на сочетание этих задач.

 Формулировка определения координатной прямой и ее отличий от обычной прямой

Из курса геометрии мы знаем, что такое прямая, но что нужно сделать с обычной прямой, чтобы она стала координатной?

1) Выбрать точку начала отсчета;

2) Выбрать направление;

3) Выбрать масштаб;

На рисунке 1 изображена обычная прямая, а на рисунке 2 – координатная.

Координатной прямой называется такая прямая l , на которой выбрана начальная точка О – начало отсчета, масштаб – единичный отрезок, то есть такой отрезок, длина которого считается равной единице, и положительное направление.

 Описание основного свойства координатной прямой и двух основных задач, с ним связанных

Координатную прямую также называют координатной осью или осью Х.

Выясним, зачем нужна координатная прямая, для этого определим ее основное свойство. Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между множеством всех чисел и множеством всех точек на этой прямой. Приведем примеры:

Заданы два числа:  (знак «+», модуль равен трем) и  (знак «-», модуль равен трем).Изобразим эти числа на координатной прямой:

Здесь число  называется координатой А, число  – координатой В.

Говорят также, что образом числа  есть точка С с координатой , а образом числа  есть точка D с координатой :

Итак, поскольку основное свойство координатной прямой – это установление взаимооднозначного соответствия между точками и числами, то возникает две основные задачи: указать точку по заданному числу, мы это уже сделали выше, и указать число по заданной точке. Рассмотрим пример второй задачи:

 Решение примеров

Пример 1:

Пусть дана точка М:

Чтобы определить по данной точке число нужно в первую очередь определить расстояние от начал отсчета до точки. В данном случае расстояние равно двум. Теперь нужно определить знак числа, то есть в каком луче прямой лежит точка М. В данном случае точка лежит справа от начала отсчета, в положительном луче, значит число  будет иметь знак «+».

Пример 2:

Возьмем еще одну точку и по ней определим число:

Расстояние от начала отсчета до точки аналогично предыдущему примеру равно двум, но в данном случае точка лежит слева от начала отсчета, на отрицательном луче, значит точка N характеризует число 

 Формулировка основных типовых задач и решение примеров

Все типовые задачи, связанные с координатной прямой, так или иначе связаны с ее основным свойством и двумя основными задачами, которые мы сформулировали и решили.

К типовым задачам относятся:

-уметь расставлять точки и их координаты;

-понимать сравнение чисел:

Пример 3:

выражение  означает, что точка С с координатой 4 лежит правее точки М с координатой 2:

И наоборот, если нам задано расположение точек на координатной прямой, мы должны понимать, что их координаты связаны определенным соотношением:

Пример 5:

Пусть заданы точки М(хМ) и N(xN):

Мы видим, что точка М лежит правее точки n, значит, их координаты соотносятся как 

-Определение расстояния между точками.

Пример 6:

Мы знаем, что расстояние между точками Х и А равно модулю числа . пусть даны две точки:

Тогда расстояние между ними будет равно:

-Еще одно очень важная задача – это геометрическое описание числовых множеств.

Пример 7:

Рассмотрим луч, который лежит на координатной оси, не включает свое начало, но включает все остальные точки:

Итак, у нас задано множество точек, расположенных на координатной оси. Опишем множество чисел, которое характеризуется данным множеством точек. Таких чисел и точек бесчисленное множество, поэтому данная запись выглядит так:

или

Сделаем пояснение: при втором варианте записи если ставят круглую скобку «(» значит крайнее число – в данном случае число 3, не включается в множество, если же поставить квадратную скобку «[», то крайнее число включается в множество.

Итак, мы записали аналитически числовое множество, которое характеризует заданное множество точек. аналитическая запись, как мы сказали, выполняется или в виде неравенства, или в виде промежутка.

Пример 8:

Задано множество точек:

В данном случае точка а=3 входит в множество. Опишем аналитически множество чисел:

, 

Обратим внимание, что после или перед знаком бесконечности всегда ставят круглую скобку, так как бесконечности мы никогда не достигнем, а около числа может стоять как круглая скобка, так и квадратная, в зависимости от условий поставленной задачи.

Рассмотрим пример обратной задачи.

Пример 9:

Дана координатная прямая. Изобразить на ней множество точек, соответствующих числовому множеству  и :

Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между любой точкой и числом, а значит и между числовыми множествами и множествами точек. Мы рассмотрели лучи, направленные как в положительном, так и в отрицательном направлении, включающие свою вершину и не включающие ее. Теперь рассмотрим отрезки.

Пример 10:

Задано множество чисел . Изобразить соответствующее множество точек

Пример 11:

Задано множество чисел . Изобразить множество точек:

Иногда чтобы показать, что концы отрезка не включаются в множество, рисуют стрелки:

 Решение задач на выполнение нескольких типовых действий

Пример 12:

Дано числовое множество . Построить его геометрическую модель:

Найти наименьшее число из промежутка :

Найти наибольшее число из промежутка , если оно существует:

Мы может отнять от восьми сколь угодно малое число и сказать, что результат и будет наибольшим числом, но тут же найдем число еще меньше, и результат вычитания увеличится, так что найти наибольшее число в данном промежутке невозможно.

Обратим внимание на тот факт, что ни к одному числу на координатной прямой нельзя подобрать ближайшее число, потому что всегда найдется число еще ближе.

Сколько натуральных чисел содержится в заданном промежутке?

Из промежутка  выделим следующие натуральные числа: 4, 5, 6, 7 – четыре натуральных числа.

Напомним, что натуральные числа – это числа, применяемые для счета.

Возьмем другое множество.

Пример 13:

Задано множество чисел 

Построить его геометрическую модель:

Найти наименьшее число:

Очевидно, что наименьшим числом является 

Найти наибольшее число:

Наибольшего числа мы найти не можем, так как единица не входит в множество.

Сколько натуральных чисел в данном множестве?

Натуральные числа – это числа используемые для счета и начинается ряд натуральных чисел с единицы, а она в множество не входит, значит натуральных чисел нет

Сколько целых чисел в данном множестве?

Напомним, что в множество целых чисел Z входят число 0 и все натуральные числа, взятые со знаками плюс и минус: 

В наше множество входят такие целые числа: -3, -2, -1, 0 – четыре целых числа.

 Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы познакомились с понятием координатной прямой, узнали ее отличие от прямой обычной, сформулировали основное свойство и на его основании составили ряд типовых задач. Решили несколько примеров к каждой задаче и примеры, в которых решается несколько задач сразу.

Этот урок посвящён изучению координатной плоскости. Мы рассмотрим, для чего используются координатные оси и координатные плоскости, разберём основные сведения. Также на уроке мы узнаем способ получения координатной плоскости из обычной. А также решим задачи, в которых научимся строить точки по заданным координатам, определять координатные углы и находить уравнения прямых по координатам лежащих на данной прямой точек.

 Введение. Зачем нужны координатная ось и координатная плоскость?

Координатная ось и координатная плоскость нужны для того, чтобы связать местность, точку пространства с числом или упорядоченной парой чисел. Такая связь используется давно. Например, на дороге ставят указатель расстояния до какого-либо объекта, месторасположение которого характеризуется одним числом. Математики разработали модель, удобную для описания любой прямолинейной дороги – это координатная ось. Чтобы из любой прямой получить координатную ось, необходимо отметить на прямой начало отсчёта, масштаб и направление отсчёта (на прямой отмечаем точку 0 и точку 1 (см. Рис. 1)). Этим мы добились взаимооднозначного соответствия между точками и числами (например, числу 3 сопоставляется единственная точка A на координатной прямой, точке B сопоставляется единственное число -2 – координата этой точки).

Рис. 1. Координатная ось

Математиками также была разработана модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (расположение мест в зале), так как известно, что в билете указывается номер ряда и номер места, то есть пара чисел, в которой номера упорядочены. Такая модель получила название координатная плоскость. На данном уроке, тема которого: «Координатная плоскость. Терминология», мы рассмотрим координатную плоскость с прямоугольной системой координат.

 Координатная плоскость. Основные сведения

Чтобы из обычной плоскости получить координатную с прямоугольной системой координат, необходимо провести две координатные оси, пересекающиеся в точках начала отсчёта. Горизонтальная ось называется ось абсцисс (направление отсчёта – слева направо), вертикальная – ось ординат (направление отсчёта – снизу вверх) (см. Рис. 2).

Любой точке M координатной плоскости сопоставляются два числа (две координаты): . Для получения этих координат необходимо через точку M провести две прямые, параллельные координатным осям. Одна прямая пересечёт ось абсцисс (ось X) в точке  с координатами , вторая прямая пересечёт ось ординат (ось Y) в точке  с координатами  (см. Рис. 2).

Четыре прямых угла, образованных координатными осями, называются координатными углами.

Рис. 2. Координатная плоскость

 Задача 1. Построение точек по заданным координатам

Построить точки по заданным координатам , .

Решение

Для построения точки M необходимо отложить единицу на оси X и провести перпендикулярную прямую; на оси Y откладываем число 3 и проводим перпендикулярную оси Y прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку M с координатами 

Для построения точки N необходимо отложить на оси X число 3 и провести перпендикулярную оси X прямую; на оси Y откладываем число 1 и проводим перпендикулярную оси Y прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку N с координатами  (см. Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

 Задачи на определение координатного угла

Задача 2

По знакам координат определить, в каком координатном углу находится точка.

а)  причём .

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку M (см. Рис. 4а).

Рис. 4а. Иллюстрация к задаче

Ответ: точка Mлежит во втором координатном углу (ΙΙ).

б)  причём 

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку N (см. Рис. 4б).

Рис. 4б. Иллюстрация к задаче

Ответ: точка N лежит в третьем координатном углу (ΙΙΙ).

в)  причём 

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку P (см. Рис. 4в).

Ответ: точка P лежит в четвёртом координатном углу (ΙV).

Рис. 4в. Иллюстрация к задаче

Задача 3

В каких координатных углах находятся точки?

а) С положительной ординатой –  

Решение

Построим координатную плоскость. Так как ордината точки больше нуля, а знак абсциссы не задан, то такая точка может лежать в первом (точка M) или втором (точка N) координатном углу (см. Рис. 5а).

Рис. 5а. Иллюстрация к задаче

Ответ: Ι, ΙΙ.

б) С отрицательной ординатой – 

Решение

Построим координатную плоскость. Так как ордината точки меньше нуля, а знак абсциссы не задан, то такая точка может лежать в третьем (точка M) или четвёртом (точка N) координатном углу (см. Рис. 5б).

Ответ: ΙΙΙ, ΙV.

Рис. 5б. Иллюстрация к задаче

в) С положительной абсциссой – .

Решение

Построим координатную плоскость. Так как абсцисса точки больше нуля, а знак ординаты не задан, то такая точка может лежать в первом (точка M) или четвёртом (точка N) координатном углу (см. Рис. 5в).

Рис. 5в. Иллюстрация к задаче

Ответ: Ι, ΙV.

г) С отрицательной абсциссой – .

Решение

Построим координатную плоскость. Так как абсцисса точки меньше нуля, а знак ординаты не задан, то такая точка может лежать во втором (точка M) или третьем (точка N) координатном углу (см. Рис. 5г).

Ответ: ΙΙ, ΙΙΙ.

Рис. 5г. Иллюстрация к задаче

 Задачи на определение уравнения прямой

Задача 4

Постройте точки , , , , определите, на какой прямой они лежат.

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней заданные точки. У всех этих точек абсцисса одинаковая и равна 4, следовательно, они лежат на одной (вертикальной) прямой (см. Рис. 6), уравнение которой .

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ: все заданные точки лежат на прямой .

Задача 5

Постройте точки , , , определите, на какой прямой они лежат.

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней заданные точки. У всех этих точек ордината одинаковая и равна 3, следовательно, они лежат на одной (горизонтальной) прямой (см. Рис. 7), уравнение которой .

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Ответ: все заданные точки лежат на прямой .

Задача 6

По данным рисунка 8 напишите уравнения прямых и координаты точек их пересечения.

Решение

На рисунке видим, что абсцисса точки M равна 5, а ордината равна 4 (). Аналогично находим координаты других точек: ; ; .

Уравнение прямой MK , так как ордината у любых точек этой прямой равна 4. Уравнение прямой NP , так как ордината у всех точек этой прямой равна -3. Уравнение прямой MN , так как абсцисса у всех точек этой прямой равна 5. Уравнение прямой KP , так как абсцисса у всех точек этой прямой равна -3.

Ответ:; ; ; .  (MK);  (NP);  (MN);  (KP).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

 Итоги урока

На этом уроке мы узнали, что такое координатная плоскость, способ её получения из обычной плоскости, а также решили типовые задачи.

На данном уроке мы рассмотрим уравнение с двумя переменными, дадим его определение и построим график.

Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

 1. Напоминание теоретического материала и формулировка определения линейного уравнения с двумя переменными

Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости.  Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе – ордината.

Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.

Уравнение вида:

, где a, b, с – числа, причем 

Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.

 2. Изучение алгоритма построения графика уравнения на примере

Рассмотрим пример:

Пример 1:

; ; ;

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

, 

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

Построим на графике точки и проведем прямую:

Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим – возьмем точку с координатой  и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 – верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.

Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.

 3. Решение примера

Пример 2 – построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, , 

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , , 

Возьмем для проверки  и найдем у:

, , 

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

 4. Выводы по уроку

Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения

На данном уроке мы познакомимся с понятием линейной функции, выведем ее в общем виде и рассмотрим частные случаи. Введем новую терминологию, рассмотрим типовые задачи и элементарные примеры.

 Напоминание некоторых теоретических фактов и решение опорной задачи

В предыдущих уроках мы изучали линейное уравнение с двумя переменными, это уравнение вида , . Мы выяснили, что графиком данного уравнения является прямая. Рассмотрим пример:

Пример 1:

 (1)

Перепишем его таким образом, чтобы у был в одной части, а все остальное в другой:

Сократим на 2:

Перенесем у в левую часть, а все остальное в правую:

 (2)

Мы получили частный случай уравнения 1, в котором  стоит обособленно в левой части, графиком обоих выражений будет одна и та же прямая, но запись 2 мы будем называть линейной функцией у от х.

Построим график данной функции, для этого составим таблицу:

Рис. 1. График функции y=2x-3

 Выведение линейной функции и ее параметров в общем случае, введение новых терминов

Определим линейную функцию в общем случае из линейного уравнения с двумя переменными:

Поскольку  можем обе части поделить на b:

Введем более удобные обозначения:

, 

Получаем выражение:

 (3)

Для примера №1 , 

Таким образом, пара чисел k и m задают конкретную линейную функцию.

Введем некоторую терминологию. В линейной функции переменную х называют независимой переменной или аргументом функции, мы сами можем выбирать произвольное значение х и по нему находить соответствующее значение у.

 называют зависимой переменной или функцией.

Линейная функция характеризуется тем, что если задано значение х, можно сразу получить значение у. у – это линейная функция от х.

Найдем для линейной функции в общем виде (3) точки пересечения с осями. Для всех точек на оси у характерно то, что их абсцисса – координата х, равна нулю.

, ;

Точка пересечения с осью у: (0, m)

Отсюда геометрический смысл переменной m – это ордината точки пересечения прямой 3 с осью у. Параметр m однозначно задает точку пересечения прямой 3 с осью ординат.

Параметр  носит название угловой коэффициент.

Для всех точек на оси х характерно то, что их ордината равна нулю. Найдем точку пересечения нашей функции с осью х:

, , , 

Точка пересечения с осью х: ()

 Решение примера, выявление свойств параметров линейной функции

Пример 2:

Построим графики двух линейных функций:  (4),  (5)

В функции 4 

В функции 5 

Для построения графиков составим таблицы, в которых запишем точки их пересечения с осями координат:

Таблица для функции 4;

Таблица для функции 5;

Рис.2. Графики функций y=-x+3 и y=x+3

Итак, из построения мы видим, что когда  (прямая ) угол  между прямой и положительным направлением оси х острый, а когда  (прямая ) угол  между прямой и положительным направлением оси х тупой.

Корнем функции 4 является число -3, потому что именно при этом значении х функция обращается в ноль.

Корнем функции 5 является число 3, так как при данном значении х функция обращается в ноль.

Отметим, что решением следующей системы:

Является точка (0; 3).

 Решение типовых задач

Пример 3 – найти k и m:

Задано линейное уравнение, так как х и у стоят в первой степени, с двумя переменными.

Чтобы найти k и m, выполним преобразования:

Запишем полученное выражение в стандартном виде:

Отсюда очевидно, что , а 

Пример 4 – найти k и m:

Преобразуем правую часть:

Запишем полученное выражение в стандартном виде:

Отсюда очевидно, что , а 

Итак, одна из стандартных задач – это нахождение по заданному линейному уравнению параметров линейной функции k и m.

Еще две стандартные задачи – по заданному значению х найти у и наоборот, по заданному значению у найти х. Рассмотрим пример.

Пример 5 – найти значение у при :

Такую задачу иногда называют прямой задачей.

Пример 6 – найти значение аргумента, если :

Эта задача называется обратной.

 Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели линейную функцию как в частных случаях, так и в общем виде, определили параметры линейной функции и их значение, ввели некоторые новые термины, научились решать элементарные типовые задачи.

На данном уроке мы рассмотрим частный случай линейной функции – прямую пропорциональность. Мы рассмотрим ее свойства и основные типовые задачи, связанные с данной функцией.

 Напоминание теории из предыдущих уроков, формулировка понятия прямой пропорциональности

Напомним, что мы изучаем линейное уравнение относительно двух переменных – х и у, уравнение вида , 

Мы знаем, что графиком данного уравнения является прямая линия, каждая точка которой характеризуется двумя числами – координатами х и у – абсциссой и ординатой, и каждая точка удовлетворяет заданному уравнению.

В одном из уроков мы выражали у через х:

Пользуясь тем, что  можем на него разделить обе части уравнения:

Для удобства приняли следующие обозначения:  , получаем:

Таким образом, была получена линейная функция у от х в общем виде. Мы ввели некоторые новые обозначения: х называем независимой переменной, или аргументом, у называем зависимой переменной, или функцией. k и m – параметры, которые полностью и однозначно определяют конкретную линейную функцию.

Рассмотрим частный случай линейной функции, когда , в таком случае  . Данная функция называется прямой пропорциональностью. Она определяется единственным параметром k. Нам следует изучить влияние данного параметра на график функции прямой пропорциональности и на саму функцию.

 Решение опорного примера, введение некоторых понятий

Рассмотрим примеры:

Пример 1:

Пусть известно, что турист двигается со скоростью 2 км/ч от некоторого пункта А к другому пункту В. В таком случае пройденный им путь будет подчиняться закону:

 (1)

Если известно, что пассажир едет на поезде от некоторого пункта А к другому пункту В, а поезд движется со скоростью 60 км/ч, то в каждый момент времени можно определить удаление пассажира от начального пункта по формуле:

 (2)

В общем виде обе эти формулы можно представить как . Не важно, что подразумевают под собой переменные х и у, важно только, что одна из них независимая, например время, а вторая зависимая, например расстояние.

Вернемся к нашим примерам. В общем виде формулы 1 и 2 можно представить как

Отсюда  – это одна из физических интерпретаций углового коэффициента.

Если перейти к формуле прямой пропорциональности, то

 Решение примеров

Рассмотрим примеры:

Пример 2:

 (3) и  (4)  – обе функции это прямая пропорциональность. Построим графики этих функций, для этого составим таблицы:

Таблица для функции 3;

Таблица для функции 4;

Угловой коэффициент является аналогом скорости в равномерном прямолинейном движении.

Одна из основных задач – это уметь находить угловой коэффициент в различных выражениях.

Пример 3 – найти угловой коэффициент:

Отсюда очевидно, что 

Отсюда очевидно, что 

Отметим также, что если , то угол между графиком функции и положительным направлением оси х тупой и функция убывает, а если k>0 – угол острый и функция возрастает, это видно из графика в примере 2. Физический аналог этому такой: если турист ушел из дома и его скорость равна 2км/ч, то в каждый момент времени расстояние от него до дома увеличивается, а если сказать, что расстояние выражается как , это значит, что он возвращается домой и расстояние сокращается.

 Формулировка свойств данной функции

Сформулируем свойства прямой пропорциональности:

- График любой такой прямой проходит через начало координат, так как в уравнении  при  независимо от значения  у будет равен нулю;

- Рассмотрим несколько функций:

 – прямая пропорциональность;

 – линейная функция;

 – линейная функция;

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения 

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для первой функции;

Таблица для второй функции;

Таблица для третьей функции;

Как мы видим, построенные прямые параллельны, причиной тому является равенство их угловых коэффициентов. Есть теорема, которая гласит:

Если  – график прямой пропорциональности, то график  будет ему параллелен, так как коэффициент k определяет угол наклона к оси х, и этот коэффициент у функций равный.

Пример 3 – построить графики функций:

Сразу отметим, что прямые не будут параллельны, так как их угловые коэффициенты не равны.

Для построения каждого графика нам достаточно выбрать одну точку, так как вторая уже известна – это точка (0; 0).

Итак, для первого графика возьмем точку (1; 1)

Для второго графика возьмем точку (1; 2)

Для третьего графика (1; -1)

Для четвертого (1; -2)

По графику очень хорошо видно, что прямая  пошла круче, чем прямая , угол прямой  менее острый, при одинаковых значениях аргумента значение функции больше чем , но в обоих случаях угол острый и функция возрастает.

Обе прямые  и  имеют тупой угол наклона, обе функции убывают, но у прямой  менее тупой и эта функция убывает быстрее.

 Решение типовых задач

Пример 4 – определить соотношение между угловыми коэффициентами:

 отсюда 

Итак, роль углового коэффициента – это скорость роста функции.

Рассмотрим некоторые типовые задачи.

Пример 5:

Построить график прямой пропорциональности, если известно, что ему принадлежит точка с координатами (2; 8)

Для построения прямой нам нужно две точки, первая из них (0; 0), так как все графики прямой пропорциональности проходят через точку (0; 0), а вторая точка задана – это точка (2; 8).

Можно поступить иначе. Из заданной точки (2; 8) мы понимаем, что х=2 и у=4 удовлетворяет нашему уравнению вида , подставим эти значения и найдем k:

, отсюда . Итак, нам задано уравнение , которое мы легко можем построить.

Пример 6:

Построить график прямой пропорциональности  и по нему ответить на множество вопросов.

Начнем с построения графика. Первая точка нам известна – для любого графика прямой пропорциональности это точка (0; 0). Для второй точки возьмем , тогда :

По графику требуется определить значение функции при следующих значениях аргумента: , , , ;

Кроме того, по заданному значению функции определить значение аргумента: 

, , 

Определить по графику решение неравенств:

 и 

y<0 при x<0

y>0 при x>0

Пример 7 – найти наибольшее и наименьшее значение функции, если они существуют:

1)Задана функция , причем 

2),  

Построим график функции :

Для первого случая х меняется в пределах , значит, у меняется в пределах , значит на этом интервале минимум функции равен нулю, а максимум трем.

Для второго случая х меняется в пределах , значит, функция меняется в пределах , значит, минимальное значение функции на этом интервале есть и оно равно трем, а максимального значения функция не достигает.

Последний тип задач – по заданному графику определить угловой коэффициент.

Пример 8 – определить угловой коэффициент:

Задан график прямой пропорциональности.

Мы видим, что график проходит через точку (1; 2), значит пара чисел х=1, у=2 удовлетворяет функции вида , значит, можем подставить значения в уравнение и найти k:

Итак, нам задан график функции 

 Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели частный случай линейной функции – прямую пропорциональность. Мы сформулировали свойства данной функции и основные типовые задачи, связанные с данной темой.

На данном уроке мы вспомним все, что изучили о линейных функциях и рассмотрим различные варианты расположения их графиков, вспомним свойства параметров и рассмотрим их влияние на график функции.

Тема: Линейная функция

Урок: Взаимное расположение графиков линейных функций

 1. Напоминание теоретических положений

Напомним, что линейной называется функция вида:

x - независимая переменная, аргумент;

у - зависимая переменная, функция;

k и m – некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.

 2. Рассмотрение случаев параллельных и совпадающих прямых

Рассмотрим пример:

Пример 1:

, , 

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр  – это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент  отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный – убывать. Коэффициент  называется угловым коэффициентом.

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для первой функции;

Таблица для второй функции;

Таблица для третьей функции;

Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.

Рис. 1.

Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:

 и  

Если  но  то заданные прямые параллельны.

Если  и  то заданные прямые совпадают.

Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают – то система будет иметь бесчисленное множество решений.

 3. Рассмотрение примера на свойства параметров функции

Рассмотрим задачи.

Пример 2 – определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.

Рис. 2.

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.

Рис. 3.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.

Рис. 4.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.

Рис. 5.

 4. Рассмотрение случая пересекающихся прямых

Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:

Пример 3 – найти графически точку пересечения прямых:

Обе функции имеют график – прямую линию.

Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для первой функции;

Таблица для второй функции;

Рис. 6.

Очевидно, что прямые пересекаются в точке (2; 1)

Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию:

 5. Подведение итогов

Подведем итог. Заданы прямые:

 и  

Если  но  то заданные прямые параллельны.

Если  и  то заданные прямые совпадают.

Если  при любых значениях m заданные прямые имеют единственную точку пересечения.

Вывод: в данном уроке мы вспомнили теоретические положения относительно линейных функций и свойства их коэффициентов. Мы рассмотрели различные варианты взаимного расположения графиков линейных функций и решили несколько типовых задач.

На этом уроке мы познакомимся с системами линейных уравнений и научимся их решать графическим методом.

 Введение

Мы начинаем разговор о системах линейных уравнений. Этот урок будет разделен на две части:

Обсуждение того, что такое система. Решение систем.

Начнем с первого вопроса – что такое система.

Пример:

Если сыщик знает про одного преступника, что тот высокий (см. Рис. 1), а про второго, что тот блондин (см. Рис. 2), то эти два условия не объединены в систему, они относятся к разным неизвестным, к разным преступникам.

Рис. 1. Высокие преступники

Рис. 2. Преступники-блондины

Если это информация про одного и того же преступника, то это – система. Оба условия выполняются одновременно. Одну информацию можно использовать для уточнения другой. Преступник – высокий блондин. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Преступник – высокий блондин

Пример:

Пусть нам известно, что дом находится на ул. Гоголя. Вариантов, где точно расположен дом, много – целая улица. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Улица Гоголя

Дом находится на проспекте Мира. То же самое – вариантов много. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Проспект Мира

Но если эта информация относится к одному и тому же дому, то сразу понятно, что дом находится на перекрестке. (См. Рис. 6.) Два условия объединены в систему.

Рис. 6. Дом находится на перекрестке

Итак, система – это объединение нескольких условий так, чтобы они выполнялись одновременно.

 Системы в математике

Решим такую задачу. Два человека вскопали огород площадью . Сколько вскопал каждый? (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Решение

Запишем условие уравнением: , где  – площадь, которую вскопал первый человек,  – площадь, которую вскопал второй человек.

Решение такого уравнения – пара чисел. Их бесконечно много. Например, один вскопал , другой –  . (См. Рис. 8.) Или один вскопал все , другой – ничего. (См. Рис. 9.)

Рис. 8. Один вскопал , другой – 

Рис. 9. Один вскопал все , другой – ничего

Можно изобразить каждое такое решение в виде точки на координатной плоскости. Все решения выстроятся в одну прямую. (См. Рис. 10.) Эту прямую называют графиком уравнения.

Рис. 10. График уравнения

Каждая точка этой прямой – одно частное решение уравнения. (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Частное решение

Теперь такая задача. Два человека вскопали равные площади. Сколько вскопал каждый?

Уравнение имеет вид: . Здесь тоже бесконечно много решений.

А если речь идет про один и тот же огород, про одних и тех же людей, то эти два условия выполняются одновременно. Двое вскопали огород , причем поровну.

Уравнения нужно объединить в систему. Договорились обозначать это фигурной скобкой: .

Второе уравнение можно переписать в стандартном виде: . Такая запись эквивалентна исходной.

Здесь уже только одно решение – каждый вскопал по .

Эта пара чисел является решением каждого из уравнений системы. На графике она является точкой, принадлежащей обоим графикам, то есть точкой их пересечений. (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Графическое решение системы

Ответ: .

 Основные сведения о понятии «система»

Система – это требование, чтобы несколько условий выполнялись одновременно: 

Простой случай системы в математике – два линейных уравнения с двумя неизвестными:  Решением системы называется общее решение для всех уравнений: .

 Как решать системы линейных уравнений

Рассмотрим систему: .

Изобразим множество решений каждого уравнения – построим графики уравнений.

Первое уравнение:. Множество решений – прямая. Чтобы ее изобразить, нужны две любые точки, то есть два любых решения. Можно взять, например, такие решения:  и .

Отметим эти решения на координатной плоскости и проведем через них прямую. Мы получили все решения уравнения. (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Решение первого уравнения

Аналогично для второго уравнения: . Возьмем, например, точки  и . Изобразим их на координатной плоскости и проведем через них прямую. (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Решение второго уравнения (зеленый график)

Итак, каждая прямая – это множество решений одного уравнения. Где находится точка, которая является решением обоих уравнений? Конечно, это точка пересечения прямых.

По-другому это решение можно записать в виде пары чисел, координат точки пересечения: . (См. Рис. 15.)

Рис. 15.  решение системы – точка пересечения графиков

Решение превращает уравнение в верное числовое равенство. Проверим (вместо переменных подставим найденные значения):

Ответ: .

Как записывать ответ

Ответ записывают по-разному:
Ответ: 

Ответ: ; 

Ответ: 

Во всех случаях понятно, о чем идет речь. Но, все-таки запись  является уравнением. Решением системы является пара чисел, а не два уравнения (как во второй и третьей записях).

Так что формально верная запись ответа здесь только одна – в виде пары чисел .

 Когда у системы нет решений

Вернемся к примеру с домом и двумя улицами: .

Система этих двух условий означает, что один и тот же дом находится и на одной и на другой улице. Решение системы – дом находится на перекрестке. (См. Рис. 6.)

Но что, если улицы окажутся параллельными? (См. Рис. 16.) Тогда дом никак не может быть одновременно на двух улицах. Решения у такой системы нет.

Рис. 16. Улицы параллельны

Точно такая же ситуация с системой двух уравнений.

Пример. Решить систему: .

Решение

Построим графики уравнений. Возьмем по два решения для каждого из уравнений. Например,  и  для  и  и  для .

Графики параллельны. Общих точек не существует. Решения у системы нет. (См. Рис. 17.)

Рис. 17. Графики параллельны – решения у системы нет

Можно ли это было увидеть, не строя графиков? Да, можно.

Разделим обе части второго уравнения на : .

Ни при каких значениях  и  левая часть не может быть равна и , и  одновременно. Решений нет.

 Когда у системы множество решений

Снова вернемся к дому и двум улицам. Представим теперь, что это просто два разных названия одной и той же улицы (старое и новое). (См. Рис. 18.)

Рис. 18. Улицы совпадают

Тогда второе условие ничего не добавляет к первому. Решений много – дом может находиться в любом месте улицы.

То же самое и с системой уравнений.

Пример. Решить систему:.

Решение

Найдем два решения первого уравнения: . Например,  и .

Но для второго уравнения  они тоже подходят.

То есть графики уравнений совпадают. (См. Рис. 19.) Каждая точка прямой является общей для обоих графиков, а значит, является решением системы.

Рис. 19. Графики совпадают

Решений бесконечно много, они совпадают с множеством решений каждого уравнения.

Могли бы мы это увидеть без построения графика? Да, могли.

Разделим обе части второго уравнения на : .

Система содержит два одинаковых уравнения. Но информация, повторенная второй раз, нового ничего не сообщает. Одно уравнение можно «удалить». Система эквивалентна одному уравнению: . А ее решения – это решения уравнения.

 Одно из уравнений системы содержит одну переменную

Если какое-то уравнение содержит только одну переменную, то его все равно можно считать уравнением с двумя переменными.

Рассмотрим систему . Это можно воспринимать так: перед переменной, которую мы не видим, стоит коэффициент : . График такого уравнения параллелен одной из осей координат. В остальном ситуация прежняя.

Возьмем по два решения для каждого из уравнений. Например,  и  для  и  и  для . Строим графики. Они пересекаются. (См. Рис. 20.)

Рис. 20. Графики уравнений

Решение единственное: .

Ответ: .

 Заключение

Два условия называются системой, если они должны выполняться одновременно: «сумма  и  равна , а также  и  равны друг другу»: . Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называется пара чисел, которая является решением и первого и второго уравнений: . Чтобы решить систему графически, нужно построить график каждого уравнения и найти общие точки. Если эти две прямые пересекаются в одной точке, то эта точка – единственное решение системы. (См. Рис. 21.)

Рис. 21. Прямые пересекаются в одной точке – решение единственно

Если графики параллельны, то общих точек нет и система не имеет решения (См. Рис. 22.)

Рис. 22. Графики параллельны – решений нет

Если графики совпадают, то каждая точка графика является общей, то есть является решением системы. Решений бесконечно много. (См. Рис. 23.)

Рис. 23. Графики совпадают – решений бесконечно много

На этом уроке мы научимся решать системы уравнений, не прибегая к построению графиков, а именно с помощью метода подстановки.

 Введение

Продолжаем разговор о том, как решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Повторим основные мысли:

• Уравнение – это условие, наложенное на переменные. Или – это та информация, которая нам известна про переменные. Нам известно, что сумма  и  равна : .
• Объединение двух уравнений в систему означает, что эти условия выполняются одновременно. Или, иными словами, информация нам известна про одни и те же переменные. Нам известно, что сумма  и  равна , а также что  минус  равно : .
• Решение системы – это пара чисел, являющаяся решением каждого уравнения. Если коротко, то это общее решение для обоих уравнений. Пара  является решением каждого уравнения, а значит, и всей системы.

 Метод подстановки

Рассмотрим систему уравнений: .

Первое уравнение нам сообщает, что . Тогда запишем, что .

Говорят: «мы выразили переменную  из первого уравнения».

Так как уравнения объединены в систему, значит, речь в каждом идет про одни и те же  и . Значит, все, что мы знаем про  из первого уравнения, мы можем использовать во втором.

Заменим во втором уравнении  на равное ему выражение. Вот именно здесь и появляется метод подстановки. Информацию из одного уравнения подставляем в другое. Получим: .

Получили уравнение с одной переменной , которое мы уже умеем решать:

Теперь эту информацию, про , используем в первом уравнении.

Решение системы – это пара чисел .

Метод подстановки, когда одно условие подставляется в другое, мы часто используем в обычной жизни. Кто хочет, может изучить пример использования этого принципа при поиске человека в социальных сетях.

Поиск в социальных сетях

Представьте такую ситуацию. Вы в гостях у своего друга Пети познакомились с девочкой Женей и, уже вернувшись домой, решили найти ее в социальной сети.

Вот что вы знаете:

1. Она подруга Пети

2. Она тоже учится в  классе, хоть и в другой школе

3. Зовут Женя

4. Живет тоже в Москве

Каждое из этих условий имеет очень много решений по отдельности. Друзей у Пети много, -классниц огромное количество, девочек с именем Женя тоже и так далее.

Но так как все эти условия относятся к одному человеку, то это система: , а решением системы является такой человек, который соответствует сразу всем условиям. И решаем эту систему мы методом подстановки. Выбираем одно условие, потом туда подставляем другое и так далее.

Итак:

Открываете страничку Пети и выбираете список всех его друзей. Это решения первого условия. Их . (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Решение первого условия системы

Подставляем сюда второе условие. Раз в  классе, то ее возраст от  до  лет. Количество решений уменьшилось до . (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Выполнение первых двух условий системы

Добавляем условие, которое мы изначально забыли, но нам его подсказала сеть – пол. Женский. Осталось . (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Еще одно условие

Город Москва. Осталось 37 человек (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Выполнение еще одного условия

Имя Женя. Осталось два человека. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Итог после выполнения всех условий

Итак, система имеет  решения, из них несложно выбрать нужного нам человека.

Мы последовательно в одно условие подставляли другое и так  раза, то есть решили задачу методом подстановки.

 Пример (с графическим методом)

Решить систему: .

Решение

Выражать переменную легче ту, коэффициент перед которой равен единице. Если нет переменной с таким коэффициентом, то выражаем любую переменную из любого уравнения.

Выразим из первого уравнения переменную  (выбрали ее, потому что у нее наименьший коэффициент, но это не принципиально):

Подставим во второе уравнение вместо  полученное выражение:

Получили уравнение только с переменной . Решим его:

Так, .

Подставим найденное значение  в выражение для :

Поменяем местами первое и второе уравнение:

Сделаем проверку, подставив решение в каждое уравнение.

Получаем верные равенства:

Проиллюстрируем решение системы графически.

Для каждого уравнения системы выберем по два решения. Например,  и  для  и  и  для 

Отметим эти решения в виде точек и проведем через них прямые. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Графики уравнений

Получили графики (множество решений) каждого уравнения. Точка пересечения  и есть решение системы.

 Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки

1. Выразить одну (любую) переменную из любого уравнения.

2. Подставить полученное выражение во второе уравнение.

3. Решить уравнение с одной переменной.

4. Найденное значение переменной подставить в первое уравнение и найти значение второй переменной.

 Примеры

1. Решить .

Решение

Выразим  из первого уравнения: 

И подставим во второе: 

Во втором уравнении получили очевидный факт, верное равенство. Эта запись не несет никакой полезной информации для нас, мы ее можем исключить. Остается только первое уравнение.

Система эквивалента одному уравнению: , а ее решение – это решение данного уравнения, которых бесконечно много.

Проиллюстрируем решение системы графически.

Возьмем два решения для первого уравнения:  и .

Но они же являются решениями и для второго. Два графика совпадают. (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Графики совпадают

Решение уравнения и есть решение системы. То есть решений у системы бесконечно много – вся прямая.

Итак, если после подстановки мы получили верное числовое равенство, то система имеет бесконечно много решений.

2. Решить .

Решение

Выразим  из первого уравнения: .

Подставим выражение во второе уравнение: .

Решим полученное уравнение с одной переменной:

Получили неверное числовое равенство. То есть уравнение, полученное после подстановки, не имеет решения. Задаем себе вопрос – при каких значениях  и : ? Не существует таких значений. Делаем вывод: система не имеет решений.

Построим графики уравнений этой системы. Выбираем по два решения для каждого уравнения и строим графики. (См. Рис. 8.) Например,  и  для  и  и  для .

Рис. 8. Графики уравнений

Они параллельны друг другу. То есть нет общих точек (общих решений) у этих графиков. Вывод: решений у системы нет.

Таким образом, если после подстановки мы получили неверное числовое равенство, то решений у системы нет.

3. Решить: 

Решение

Одно из уравнений содержит только одну переменную. Задача становится только проще. Выражаем  и подставляем во второе уравнение:

Получаем решение: .

Построим графики этих уравнений. График первого уравнения – прямая, параллельная оси , проходящая через отметку  на оси . Второй график проходит, например, через точки  и . Точка пересечения – решение системы. (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Графики уравнений

 Заключение

Итак, повторим.

1. Уравнения системы – это информация про одни и те же переменные. Поэтому информацию из одного уравнения можно использовать в другом, подставлять в другое уравнение: .

2. Для решения системы выражаем одну (любую) переменную из любого уравнения и подставляем во второе уравнение: .

3. Получим уравнение с одной переменной. Решаем его: 

4. Полученное значение переменной подставим в первое и находим оставшуюся переменную: ; ;  .

5. Если в ходе решения в одном уравнении пропали все переменные и получилось ВЕРНОЕ числовое равенство: , это значит, что уравнения были эквивалентны друг другу, решениями системы являются решения любого из них. Их бесконечно много.

6. Если в ходе решения мы получили НЕВЕРНОЕ числовое равенство: , это означает, что одно уравнение не имеет общих решений со вторым. У системы нет решений.

На данном уроке мы рассмотрим еще один способ решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными – способ алгебраического сложения. Мы решим несколько различных примеров для закрепления техники.

 Решение опорного примера

Метод алгебраического сложения, как и метод подстановки, заключается в том, что изначально из двух уравнений с двумя переменными нужно получить одно уравнение с одной переменной. Рассмотрим метод алгебраического сложения на примере:

Пример 1:

Задана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, и нужно найти такую пару х и у, чтобы при подстановке ее в уравнения получились верные числовые равенства.

Несложно заметить, что в первом уравнении у стоит с минусом, а во втором – с плюсом, и если сложить эти уравнения, то у уничтожится, и мы получим одно уравнение с одной неизвестной:

+

Получаем:

Найдем значение х:

, 

Подставим значение х во второе уравнение и найдем у:

Ответ: (2,4; 2,2)

 Решение более сложного примера

Пример 2:

В данном случае если сразу применить метод алгебраического сложения, это ничего не даст и ни одна из переменных не уничтожится, так как ни одна из переменных не имеет противоположных коэффициентов, чтобы можно было применить данный метод, произведем некоторые преобразования:

 – обе части умножим на 3

 – обе части умножим на 4

Получаем:

Теперь противоположные коэффициенты имеет переменная у, и при сложении уравнений переменная уничтожится:

Подставим значение х во второе уравнение и найдем у:

Ответ: (; )

 Решение примера на сочетание сложения и вычитания уравнений

Обратим внимание на то, что мы рассматриваем метод алгебраического сложения, значит, уравнения можно не только складывать, но и вычитать. Рассмотрим пример:

Пример 3:

При сложении уравнений получим:

, 

Попробуем вычесть уравнения, причем, вычтем первое из второго:

, 

Ответ: (5,5; 0,5)

 Решение более сложного примера

Пример 4:

Хотелось бы сложить уравнения, чтобы избавиться, например, от переменной х, но для этого исходные уравнения необходимо преобразовать:

 – умножим уравнение на 3

 – умножим уравнение на -4

Получаем:

Выполним сложение, получим:

Подставим полученное значение у в первое уравнение:

Ответ: (-3; -2)

 Выводы по уроку

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели новый метод решения систем двух линейных уравнений – метод алгебраического сложения. Мы решили несколько примеров для закрепления данной техники.

На этом уроке мы разберем, как решать задачи с помощью систем линейных уравнений, научимся переводить условия задач на математический язык и строить математические модели.

 Введение

Решим такую задачу. (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Условие задачи

В задаче речь идет о трех объектах: о кролике, птице и кабане, и неизвестными величинами являются массы этих зверей.

Сумма трех кроликов – это три кролика. Можно продолжать с картинками, но это неудобно.

Заменим массу животных на переменные (см. Рис. 2):

Рис. 2. Условные обозначения

Перепишем все, что показано на картинке, с помощью переменных:

Решим полученную систему:

Тогда получаем, что масса трех животных:

Нам нигде не пришлось думать, решать задачу. Главное, что нужно было сделать – аккуратно переписать условие задачи с помощью введенных обозначений. Таким образом, мы построили математическую модель – записали условие задачи на математическом языке и решили ее абсолютно автоматически.

 Алгоритм решения задач

Все задачи, которые будут встречаться в дальнейшем, решаются по одному алгоритму. Итак, рассмотрим этот алгоритм. В нем выделим 4 пункта.

1. Что происходит?

Читаем внимательно задачу и представляем, что происходит. Перечисляем всех участников и их характеристики (величины), которые можно измерить.

2. Моделирование

Вводим обозначения для всех этих величин. Переписываем все, что сказано в условии задачи, с помощью этих обозначений. Получаем набор алгебраических условий, уравнений, который мы называем моделью.

3. Решение

Решаем полученные уравнения. Получаем ответ в рамках модели.

4. Ответ

Возвращаемся от модели к задаче. Даем ответ на вопрос задачи.

 Задачи

Пример 1.

Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми –  км, и встретились через  ч. С какой скоростью шел каждый турист, если первый прошел на  км больше, чем второй?

Решение

1 этап. Что происходит?

Два туриста идут навстречу друг другу и встречаются. Каждый прошел какое-то расстояние, у каждого есть скорость движения, каждый потратил какое-то время. Еще есть общее расстояние между городами. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

2 этап. Модель

Итак, для каждого участника есть три величины и еще общее расстояние:

Итак, 7 величин, 7 обозначений. (См. Рис. 4.) Пока нас не интересовало, какие из них уже известны, а какие нет.

Рис. 4. Условные обозначения

А как же быть с  и ? Будем ли мы вводить эти обозначения? Для задач на движение есть уже свои всем понятные обозначения:  – расстояние,  – скорость,  – время. И заменять их на  и  нет никакого смысла. А вообще это совершенно неважно. Делайте такие обозначения, чтобы вам было удобно и понятно.

Теперь нам нужно переписать условие задачи, используя введенные обозначения.

 – вышли одновременно и встретились через  ч.

 – расстояние между городами  км.

 – вышли из двух городов и встретились.

 – первый прошел на  км больше, чем второй.

Найти нужно скорости каждого туриста.

,  – ?

Кроме того, что сказано в задаче, мы владеем еще кое-какой важной информацией. А именно, как связаны все эти величины друг с другом. Запишем эти соотношения для каждого туриста:

Итак, мы получили математическую модель – ввели обозначения и с помощью них переписали условие задачи. То есть мы уже выполнили  всей работы.

3 этап. Решение

Наша модель содержит уже всю информацию. Никакой новой информации не будет, и никакая не пропадет. Мы просто займемся переписыванием ее в эквивалентном, но более удобном виде.

Итак, надо найти , .

Для начала уменьшим количество записей в модели. Для этого подставим все известные величины.

Нам известны ,  и . Получаем:

Нижние два уравнения содержат величины, которые мы ищем. Но здесь  неизвестных, и если эти два уравнения взять в качестве системы, то у неё будет бесконечно много решений.

Верхние два уравнения содержат только две неизвестные. Правда, там нет нам нужных, но если решить систему этих двух уравнений, мы найдем , , а затем уже и ,  из нижних двух.

То есть в качестве системы берем два верхних уравнения.

Решим систему методом сложения. Сложим почленно оба уравнения – получим первое уравнение новой системы, вычтем из первого второе – получим второе уравнение новой системы:

Нашли . Теперь подставим их в два оставшихся уравнения.

Итак, смоделированную задачу мы решили, остался последний этап.

4 этап. Ответ

Возвращаемся к исходной задаче. Заменяем наши обозначения на названия величин.

Ответ: скорость первого пешехода – , скорость второго пешехода – .

Пример 2.

На двух полках  книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в  раза больше, чем останется на второй. Сколько книг на каждой полке?

Решение

1 этап. Что происходит?

На двух полках стоят книги. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Размещение книг до перестановки

С одной полки переносят часть книг на другую. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Размещение книг после перестановки

2 этап. Модель

Первый момент, до перестановки. Обозначим через  и  количество книг на первой и второй полках. (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Количества книг на полках до перестановки

Второй момент, после перестановки. Теперь на полках другое количество книг. Обозначим новые количества через  и . (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Количества книг на полках после перестановки

Запишем все условия в этих обозначениях.

 – на двух полках  книг.

 – со второй полки переставили половину книг на первую.