Конспекты уроков Алгебра, 8 класс

На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется почасти торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе.  Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.

 Определение и примеры алгебраических дробей

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения.

Определение. Рациональная дробь – дробное выражение вида , где  – многочлены.  – числитель,  – знаменатель.

Примеры рациональных выражений:  – дробные выражения;  – целые выражения. В первом выражении, к примеру, в роли числителя выступает , а знаменателя – .

Значение алгебраической дроби, как и любого алгебраического выражения, зависит от численного значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных  и , а во втором только от значения переменной .

 Вычисление значения алгебраической дроби и две основные задачи на дроби

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях входящих в нее переменных.

Пример 1. Вычислить значение дроби  при а) , б) ,    в) 

Решение. Подставим значения переменных в указанную дробь: а) , б) , в)  – не существует (т. к. на ноль делить нельзя).

Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.

Как видим, возникает две типовые задачи для любой дроби: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений буквенных переменных.

Определение. Допустимые значения переменных – значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Множество всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или область определения.

 Допустимые (ОДЗ) и недопустимые значения переменных в дробях с одной переменной

Значение буквенных переменных может оказаться недопустимым, если знаменатель дроби при этих значениях равен нулю. Во всех остальных случаях значение переменных являются допустимыми, т. к. дробь можно вычислить.

Пример 2. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение. Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Таким образом, недопустимыми будут только те значения переменной, при которых знаменатель будет равняться нулю. Знаменатель дроби , поэтому решим линейное уравнение:

.

Следовательно, при значении переменной  дробь не имеет смысла.

Ответ: -5.

Из решения примера вытекает правило нахождения недопустимых значений переменных – знаменатель дроби приравнивается к нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

Рассмотрим несколько аналогичных примеров.

Пример 3. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь.

Решение. .

Ответ. .

Пример 4. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение..

Встречаются и другие формулировки данной задачи – найти область определения или область допустимых значений выражения (ОДЗ). Это означает – найти все допустимые значения переменных. В нашем примере – это все значения, кроме . Область определения удобно изображать на числовой оси.

Для этого на ней выколем точку , как это указано на рисунке:

Рис. 1

Таким образом, областью определения дроби будут все числа, кроме 3.

Ответ..

Пример 5. Установить, при каких значениях переменной не имеет смысла дробь .

Решение..

Изобразим полученное решение на числовой оси:

Рис. 2

Ответ..

 Графическое представление области допустимых (ОДЗ) и недопустимых значений переменных в дробях

Пример 6. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .

Решение.. Мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры:  или  и т. д.

Изобразим это решение на графике в декартовой системе координат:

Рис. 3. График функции 

Координаты любой точки, лежащей на данном графике, не входят в область допустимых значений дроби.

Ответ. .

 Случай типа "деление на ноль"

В рассмотренных примерах мы сталкивались с ситуацией, когда возникало деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда возникает более интересная ситуация с делением типа .

Пример 7. Установить, при каких значениях переменных не имеет смысла дробь .

Решение..

Получается, что дробь не имеет смысла при . Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Может показаться, что если конечное выражение равно 8 при , то и исходное тоже возможно вычислить, а, следовательно, имеет смысл при . Однако, если подставить  в исходное выражение, то получим  – не имеет смысла.

Ответ..

Чтобы подробнее разобраться с этим примером, решим следующую задачу: при каких значениях  указанная дробь равна нулю?

 (дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю) . Но необходимо решить исходное уравнение с дробью, а она не имеет смысла при , т. к. при этом значении переменной знаменатель равен нулю. Значит, данное уравнение имеет только один корень .

 Правило нахождения ОДЗ

Таким образом, можем сформулировать точное правило нахождения области допустимых значений дроби: для нахождения ОДЗ дроби необходимо и достаточно приравнять ее знаменатель к нулю и найти корни полученного уравнения.

Мы рассмотрели две основные задачи: вычисление значения дроби при указанных значениях переменных и нахождение области допустимых значений дроби.

Рассмотрим теперь еще несколько задач, которые могут возникнуть при работе с дробями.

 Разные задачи и выводы

Пример 8. Докажите, что при любых значениях переменной дробь .

Доказательство. Числитель – число положительное. . В итоге, и числитель, и знаменатель – положительные числа, следовательно, и дробь является положительным числом.

Доказано.

Пример 9. Известно, что , найти .

Решение. Поделим дробь почленно . Сокращать на  мы имеем право, с учетом того, что  является недопустимым значением переменной для данной дроби.

Ответ..

На данном уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с дробями. На следующем уроке мы рассмотрим основное свойство дроби.

На данном уроке будет рассмотрено основное свойство алгебраической дроби. Умение правильно и без ошибок применять это свойство является одним из важнейших базовых умений во всем курсе школьной математики и будет встречаться не только на протяжении изучения данной темы, но и практически во всех изучаемых в дальнейшем разделах математики. Ранее уже было изучено сокращение обыкновенных дробей, а на данном уроке будет рассмотрено сокращение рациональных дробей. Несмотря на довольно большое внешнее отличие, существующее между рациональными и обыкновенными дробями, у них очень много общего, а именно – и обыкновенным, и рациональным дробям присущи одинаковое основное свойство и общие правила выполнения арифметических действий. В рамках урока мы столкнемся с понятиями: сокращение дроби, умножение и деление числителя и знаменателя на одно и то же выражение – и рассмотрим примеры.

 Основное свойство обыкновенной дроби

Вспомним основное свойство обыкновенной дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Напомним, что деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля число называется сокращением.

Например: , при этом значение дробей не изменяется. Однако зачастую при применении данного свойства многие допускают стандартные ошибки:

1)  - в приведенном примере допущена ошибка деления только одного слагаемого из числителя на 2, а не всего числителя. Правильная последовательность действий выглядит таким образом:  или .

2)  - здесь мы видим похожую ошибку, однако, кроме этого еще в результате деления  получен 0, а не 1, что является еще более частой и грубой ошибкой.

Теперь необходимо перейти к рассмотрению алгебраической дроби. Вспомним это понятие из предыдущего урока.

Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь – дробное выражение вида , где  – многочлены.  – числитель,   – знаменатель.

Алгебраические дроби являются, в некотором смысле, обобщением обыкновенных дробей и над ними можно проводить те же операции, что и над обыкновенными дробями.

 Основное свойство алгебраической дроби

Основное свойство алгебраической дроби – и числитель, и знаменатель дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или число, отличное от нуля. Это будет тождественное преобразование алгебраической дроби. Вспомним, что как и ранее, деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля выражение называется сокращением.

Основное свойство алгебраической дроби позволяет сокращать дроби и приводить их к наименьшему общему знаменателю.

 Примеры сокращения обыкновенных дробей

Для сокращения обыкновенных дробей мы прибегали к основной теореме арифметики, разлагали и числитель, и знаменатель на простые множители.

Определение.Простое число – натуральное число, которое делится только на единицу и само себя. Все остальные натуральные числа называются составными. 1 не является ни простым, ни составным числом.

Пример 1. а), где множители, на которые разложены числители и знаменатели указанных дробей, являются простыми числами.

Ответ.; .

 Примеры сокращения алгебраических дробей

Следовательно, для сокращения дробей необходимо предварительно разложить на  множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители. Т.е. следует владеть методами разложения многочленов на множители.

Пример 2. Сократить дробь а), б) , в)  .

Решение. а) . Необходимо заметить, что в числителе находится полный квадрат, а в знаменателе разность квадратов. После сокращения необходимо указать, что , во избежание деления на ноль.

б) . В знаменателе выносится общий числовой множитель, что полезно делать практически в любом случае, когда это возможно. Аналогично с предыдущим примером указываем, что .

в) . В знаменателе выносим за скобки минус (или, формально, ). Не забываем, что при сокращении .

Ответ. ;; .

Теперь приведём пример на приведение к общему знаменателю, делается это аналогично с обыкновенными дробями.

 Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю

Пример 3. Привести к общему знаменателю дроби  и .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) двух знаменателей, т.е. НОК(3;5). Иными словами, найти наименьшее число, которое делится на 3 и на 5 одновременно. Очевидно, что это число 15, записать это можно таким образом: НОК(3;5)=15 – это и будет общий знаменатель указанных дробей.

Чтобы преобразовать знаменатель 3 в 15, его необходимо умножить на 5, а для преобразования 5 в 15, его необходимо умножить на 3. По основному свойству алгебраической дроби следует умножить на те же числа и соответствующие числители указанных дробей.

 и .

Ответ.; .

Пример 4. Привести к общему знаменателю дроби  и .

Решение. Проведем аналогичные предыдущему примеру действия. Наименьшее общее кратное знаменателей НОК(12;18)=36. Приведем к этому знаменателю обе дроби:

 и .

Ответ.; .

 Сокращение сложных обыкновенных дробей

Теперь рассмотрим примеры, демонстрирующие применение техники сокращения дробей для их упрощения в более сложных случаях.

Пример 5. Вычислить значение дроби: а) , б) , в) .

а) . При сокращении пользуемся правилом деления степеней .

б) .

в) .

 Сокращение сложных алгебраических дробей

После того, как мы повторили использование основного свойства обыкновенной дроби, можно перейти к рассмотрению алгебраических дробей.

Пример 6. Упростить дробь  и вычислить при заданных значениях переменных: а) ; , б) ; 

Решение. При подходе к решению возможен следующий вариант – сразу же подставить значения переменных и начать расчет дроби, но в таком случае решение сильно усложняется и необходимое на его решение время увеличивается, не говоря уже об опасности ошибиться в сложных вычислениях. Поэтому удобно сначала упростить выражение в буквенном виде, а затем уже подставить значения переменных.

а) . При сокращении на множитель  необходимо проверить, не обращается ли он в ноль в указанных значениях переменных. При подстановке получаем  , что дает возможность сокращения на данный множитель.

б) . В знаменателе выносим минус, как мы это уже делали в примере 2. При сокращении на  снова проверяем не делим ли мы на ноль: .

Ответ.; .

 Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Пример 7. Привести к общему знаменателю дроби а)  и , б)  и , в)  и .

Решение. а) В данном случае подойдем к решению следующим образом: не будем пользоваться понятием НОК, как во втором примере, а просто умножим знаменатель первой дроби на знаменатель второй и наоборот – это позволит привести дроби к одинаковому знаменателю. Конечно же, не забываем при этом умножать и числители дробей на такие же выражения.

. В числителе раскрыли скобки, а в знаменателе воспользовались формулой разности квадратов.

. Аналогичные действия.

Видно, что такой способ позволяет умножить знаменатель и числитель одной дроби на тот элемент из знаменателя второй дроби, которого не хватает. С другой дробью проводятся аналогичные действия, и знаменатели приводятся к общему.

б) Проделаем аналогичные с предыдущим пунктом действия:

. Умножим числитель и знаменатель на тот элемент знаменателя второй дроби, которого не хватало (в данном случае на весь знаменатель).

. Аналогично.

в) . В данном случае мы умножили на 3 (множитель который присутствует в знаменателе второй дроби и отсутствует в первой).

.

Ответ. а)  ; , б) ; , в) ; .

На данном уроке мы изучили основное свойство алгебраической дроби и рассмотрели основные задачи с его использованием. На следующем уроке мы более подробно разберем приведение дробей к общему знаменателю с использованием формул сокращенного умножения и метода группировки при разложении на множители.

На уроке продолжается тема предыдущего урока и более подробно рассматриваются методы приведения дробей к общему знаменателю с использованием основного свойства дроби. Умение приводить дроби к общему знаменателю является важнейшим для сложения и вычитания дробей, что будет рассмотрено на дальнейших уроках. Основной упор сделан на сложные случаи, в которых для приведения дробей к общему знаменателю требуется умение разложения многочленов на множители и нахождения наименьшего общего знаменателя для двух многочленов. В ходе изложения материала приводится большое количество примеров, что позволяет развить и наработать навыки обращения со сложными дробными выражениями. В конце урока делается анонс дальнейших тем и демонстрируется пример вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

 Приведение к общему знаменателю дробей с численными знаменателями

Вспомним основные понятия, упомянутые в предыдущих уроках, которые пригодятся нам сегодня.

Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь – дробное выражение вида , где  многочлены.  – числитель,   – знаменатель.

Основное свойство алгебраической дроби – и числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или число, отличное от нуля.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Т.к. общим знаменателем дроби является , то и приведем эти обе дроби к знаменателю 12. Для этого знаменатель и числитель первой дроби умножим на 2, а первую дробь оставим без изменения.

.

Ответ.  и .

Пример 2. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение.  - это и будет общий знаменатель дробей. Чтобы его получить, числитель и знаменатель первой дроби умножим на 3, а второй дроби на 2.

; .

Ответ. и .

Как мы видим, в указанных примерах для приведения дробей к общему знаменателю необходимо было их умножить на определенные числа, их удобно называть дополнительные множители.

Определение.Дополнительный множитель – результат деления общего знаменателя на знаменатель соответствующей дроби. В школе обычно учат писать их над числителями соответствующих дробей, отделяя от них своеобразными «палочками» (см. рис. 1), это действительно удобно, и позволяет не забывать, на что следует домножить числитель дроби.

Рис. 1.

Далее мы уже рассмотрим примеры, когда в качестве дополнительных множителей будут выступать и числа, а буквенные выражения.

 Приведение к общему знаменателю дробей с буквенными знаменателями

Пример 3. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Знаменатель первой дроби  делится на знаменатель второй дроби , т.е. уже сам по себе является общим знаменателем для дробей. Следовательно, первую дробь мы оставим без изменений, а для второй дроби дополнительным множителем будет .

.

Ответ. и .

Пример 4. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Т.к. у знаменателей дробей нет общих множителей, то для нахождения общего знаменателя их следует просто перемножить. В таком случае дополнительным множителем для первой дроби будет знаменатель второй дроби, аналогично для второй дроби.

; .

Ответ. и .

На данном примере мы вспомнили удобное правило для нахождения общего знаменателя для дробей со знаменателями, не имеющими общих делителей. Это правило, как работало для случая обыкновенных дробей, так же работает для алгебраических и является универсальным для всех случаев нахождения общего знаменателя, даже, если у знаменателей есть общие делители. Просто в таком случае, применяя это правило, мы найдем не наименьший общий делитель, что не так оптимально для решения. Изобразить это правило нахождения общего знаменателя удобно с помощью рисунка 2.

Рис. 2.

Пример. 5. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Задача полностью аналогична предыдущей, только в качестве дополнительно множителя для первой дроби выступает уже многочлен , поэтому поступаем таким же образом.

; .

Ответ.  и.

Перейдем теперь к примерам, в которых для нахождения общего знаменателя необходимо будет знаменатели дробей раскладывать на множители.

Пример 6. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Рассматривая предыдущие примеры, мы могли убедиться в том, что для нахождения общего знаменателя у дробей удобно видеть на какие множители их знаменатели можно разложить. Если процедура разложения не проведена еще в условии задачи, то необходимо ее провести при решении. Это поможет нам находить дополнительные множители для дробей.

В нашем случае видно, что можно разложить на множители (вынести общий множитель) знаменатель второй дроби:

 . Мы провели сокращение и уже получили знаменатель такой же, как и у первой дроби. Следовательно, задача уже решена.

Ответ. и .

Как мы видим, для нахождения общего знаменателя полезны простейшие действия, такие как разложение на множители, сокращение и все остальные арифметические действия, кстати, тоже. Т.е. до проведения дополнительных процедур по приведению дробей к общему знаменателю следует их сначала просто упростить, если это возможно.

 Приведение к общему знаменателю трех дробей с использованием разложения на множители

Рассмотрим теперь аналогичные примеры, но уже с тремя дробями.

Пример. 7. Привести дроби ,  и  к общему знаменателю.

Решение. У знаменателей каждой из дробей присутствует численный коэффициент, наименьшим общим кратным для чисел 2, 4 и 6 является число 12. Буквенные множители знаменателей, в свою очередь, являются делителями выражения . Следовательно, наименьшим общим знаменателем дробей будет . Дополнительные множители для числителей дробей находим, как и ранее: для первой дроби , для второй  , для третьей .

; ; .

Ответ.,  и .

Пример 8. Привести дроби ,  и  к общему знаменателю.

Решение. Знаменатель первой дроби можно разложить на множители . Мы видим, что он уже содержит в себе знаменатели двух других дробей в виде множителей, следовательно, для первой дроби знаменатель менять не нужно, а для двух других найдем дополнительные множители: вторая дробь , третья дробь .

; .

Ответ. ,  и .

Пример 9. Привести дроби ,  и  к общему знаменателю.

Решение. Очевидно, что основной частью метода приведения к общему знаменателю здесь будет разложение на множители для дальнейшего поиска дополнительным множителей. Разложим первый знаменатель методом группировки множителей:

.

Второй и третий знаменатели раскладываются с вынесением общего множителя, причем, проделаем это таким образом, чтобы получить в качестве множителей выражения соответствующие множителям первого знаменателя, чтобы проще находить затем дополнительные множители.

; .

Общий знаменатель дробей должен содержать все различные множители, которые мы нашли, т.е. будет равен: 

Дополнительные множители: первая дробь , вторая дробь , третья дробь .

; ; .

Ответ. ,  и .

 Пример на вычитание дробей с одинаковым знаменателем

Основное внимание на уроке мы уделили сложным случаям нахождения общих знаменателей у дробей. В дальнейшем это умение пригодится для проведения простейших операций с дробями, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим один такой пример.

Пример 10. Найдите значение выражения  при .

Решение. В подобных примерах подстановка числового значения в исходное выражение не является рациональной, сначала следует проделать все возможные операции в буквенном виде, т.е. упростить выражение, а уже затем подставлять числа. В данном случае необходимо вычесть дроби, они уже с одинаковыми знаменателями, поэтому поступаем, как и в случае обыкновенных дробей.

Сокращение дроби на множитель  мы имеем полное право проводить, т.к. значение подставляемой в дальнейшем переменной не входит в область недопустимых значений (см. урок №1). Недопустимым значением переменной в данном случае является: .

Ответ:  .

На следующих уроках мы более подробно рассмотрим технику сложения и вычитания алгебраических дробей и убедимся, что она аналогична методам работы с обыкновенными дробями.

В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему – сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров

 Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Сформулируем правило сложения (вычитания) алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (оно совпадает с аналогичным правилом для обыкновенных дробей):  То есть для сложения или вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо составить соответствующую алгебраическую сумму числителей, а знаменатель оставить без изменений.

Это правило мы разберём и на примере обыкновенных дробей, и на примере алгебраических дробей.

 Примеры применения правила для обыкновенных дробей

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение

Сложим числители дробей, а знаменатель оставим таким же. После этого разложим числитель и знаменатель на простые множители и сократим. Получим: .

Примечание: стандартная ошибка, которую допускают при решении подобного рода примеров, заключается в следующем способе решения: . Это грубейшая ошибка, поскольку знаменатель остаётся таким же, каким был в исходных дробях.

Ответ: .

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение

Данная задача ничем не отличается от предыдущей: .

Ответ: .

 Примеры применения правила для алгебраических дробей

От обыкновенных дробей перейдём к алгебраическим.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:как уже говорилось выше, сложение алгебраических дробей ничем не отличается от сложения обыкновенных дробей. Поэтому метод решения такой же: .

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение

Вычитание алгебраических дробей отличается от сложения только тем, что в числитель записывается разность числителей исходных дробей. Поэтому .

Ответ: .

Пример 5. Вычесть дроби: .

Решение: .

Ответ: .

Пример 6. Упростить: .

Решение: .

Ответ: .

 Примеры применения правила с последующим сокращением

В дроби, которая получается в результате сложения или вычитания, возможны сокращения. Кроме того, не стоит забывать об ОДЗ алгебраических дробей.

Пример 7. Упростить: .

Решение: .

При этом . Вообще, если ОДЗ исходных дробей совпадает с ОДЗ итоговой, то его можно не указывать (ведь дробь, полученная в ответе, также не будет существовать при соответствующих значениях переменных). А вот если ОДЗ исходных дробей и ответа не совпадает, то ОДЗ указывать необходимо.

Ответ: .

Пример 8. Упростить: .

Решение: . При этом y (ОДЗ исходных дробей не совпадает с ОДЗ результата).

Ответ: .

 Примеры с вынесением знака «-» за скобки в знаменателе

При работе с дробями следует крайне внимательно относиться к знакам, так как именно с неправильным употреблением знаков связано наибольшее количество ошибок. В частности, минус перед дробью можно отнести либо только к числителю, либо только к знаменателю.

Пример 9. Упростить: .

Решение: .

Ответ: .

Пример 10. Упростить: .

Решение: .

Ответ: .

Пример 11. Упростить: .

Решение: .

Ответ: .

 Различные примеры на применение правила

При сложении и вычитании дробей также не следует забывать об упрощении полученной суммы – сокращении дроби . Рассмотрим несколько примеров.

Пример 12. Упростить: .

Решение: . При этом необходимо указать, что  (так как это ограничение не входит в ОДЗ ответа).

Ответ:.

Пример 13. Упростить: .

Решение: . При этом необходимо указать, что  (так как это ограничение не входит в ОДЗ ответа).

Ответ:.

 Примеры на доказательство тождеств, упрощение и вычисление значений

Ещё одним типом задач, в которых может понадобиться сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем, могут быть примеры на доказательство тождеств. Рассмотрим такой пример.

Пример 14. Докажите тождество: .

Доказательство: .

Доказано.

Разберём также несколько примеров, в которых очень важна аккуратная работа со знаками (в частности, происходит умножение на  и числителя, и знаменателя дроби – при этом сама дробь, как мы помним, не меняется).

Пример 15. Упростите выражение: .

Решение: .

Ответ:.

Пример 16. Упростите выражение: .

Решение: .

Ответ:.

Складывать и вычитать дроби иногда приходится и в задачах на вычисление значений выражений. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 17. Найти значение выражения:  при .

Решение: .

Ответ:.

На данном уроке мы рассмотрели правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, решили типовые задачи с использованием этих правил. В дальнейшем мы рассмотрим более сложные примеры задач на эти правила, а также научимся складывать и  вычитать дроби с разными знаменателями.

Данный урок является логическим продолжением предыдущего, т. к. на прошлом уроке рассматривалась техника сложения и вычитания алгебраических дробей, а в рамках сегодняшнего урока будут рассмотрены более сложные случаи тех же операций над дробями. Дополнительно в рассматриваемых примерах будет делаться акцент на применение формул сокращенного умножения и на замену знака множителя на противоположный. Оказывается, что подобные процедуры могут существенно помочь при решении сложных примеров на сложение и вычитание алгебраических дробей.

 Пример №1 на сложение/вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вспомним изученное на прошлом уроке правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковым знаменателем:

Примечательно то, что оно одинаково применимо и для простейших случаев, рассмотренных ранее, и для более сложных, которые мы сейчас разберем на примерах.

Пример 1. Сложить и вычесть указанные дроби: .

Решение. Очевидно, что указанные дроби уже с одинаковым (общим) знаменателем, и мы можем воспользоваться упомянутым ранее правилом их сложения/вычитания.

.

Прокомментируем последовательность действий. В процессе применения правила сложения/вычитания дробей следует помнить, что такой знак, как минус перед дробью, относится ко всему числителю, и вычитать его необходимо в скобках. После приведения подобных слагаемых необходимо попытаться разложить знаменатель и числитель дроби на множители в надежде сократить на какой-то из них, что мы успешно и проделали. Затем при удачном стечении обстоятельств дробь сокращается, как в нашем случае, например, на . При этом стоит помнить, что любые сокращенные элементы необходимо учесть в области недопустимых значений переменных, так как они пропадают из дроби, и о них можно забыть. В нашем случае запишем, что .

Ответ..

 Пример №2 на сложение/вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 2. Сложить и вычесть указанные дроби:.

Решение. В указанном условии неочевидно, одинаковы ли знаменатели у дробей. Чтобы это проверить, разложим их на множители. При разложении на множители первого знаменателя  видим, что он почти такой же, как и у второй дроби, противоположен только знак второго множителя. Чтобы привести знаменатели к одинаковому виду, вынесем минус из второго множителя второй дроби, и он окажется перед дробью, так как знак знаменателя и числителя относятся и ко всей дроби сразу:

.

Знаменатель третьей дроби тоже очень похож на знаменатель первой до разложения. Поступим с ним аналогично – вынесем минус и разложим на множители:

.

Все полученные преобразования дробей подставим в исходное условие (знак перед третьей дробью получится положительным, т. к. «минус на минус дает плюс»).

.

В числителе воспользовались формулой квадрата разности. После сокращения учтем, что .

Ответ. .

Рассмотрим теперь пример на применение умения складывать дроби с одинаковыми знаменателями в других целях.

 Пример на применение сложение/вычитания дробей при доказательстве положительности выражения

Пример 3. Доказать, что выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной.

Решение. Поскольку необходимо исследовать выражение при всех допустимых значениях переменной, определим эти значения. По уже известному принципу, это все значения , кроме . Следовательно, . Выполним действия:

.

После приведения подобных слагаемых мы воспользовались формулой квадрата разности , далее, т. к. , то . Числитель и знаменатель положительные числа, значит, и дробь положительна.

Доказано.

На следующих уроках мы поговорим уже о сложении и вычитании дробей с разными знаменателями, используя похожую на изученную нами технику.

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями – одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

 Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Чтобы складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями, проведём аналогию с обыкновенными дробями и перенесём её на алгебраические дроби.

 Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

 – наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа  и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел  должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

.

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ:.

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

 Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей:  и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ:.

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ:.

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

.

Ответ:.

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

 Пример вычитания алгебраических дробей с разложением знаменателя на множители

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

;

.

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

.

Ответ:.

 Примеры на закрепление правил сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ:.

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ:.

 Пример сложения трёх алгебраических дробей с разными знаменателями

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Пример 8. Упростить: .

Решение:

.

Ответ:.

 Пример вычитания алгебраических дробей с предварительным сокращением

Теперь рассмотрим пример, в котором необходимо сначала сократить дроби, а затем уже их складывать (вычитать).

Пример 9. Упростить: .

Решение:

Рассмотрим первую дробь:

. При этом следует указать, что .

Проведём аналогичные преобразования со второй дробью:

 . При этом следует указать, что .

Таким образом, получаем следующее преобразование:

Ответ:.

 На данном уроке мы рассмотрели правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также решили типовые несложные задачи с использованием этих правил. В дальнейшем мы рассмотрим более сложные примеры задач на эти правила.

рок является продолжением предыдущего занятия, и на нем более глубоко и подробно рассматривается техника сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. В начале урока приводится несколько примеров на повторение сложения и вычитания дробей в простых случаях, а затем большое внимание уделяется задачам повышенной сложности. В них рассматривается применение умения раскладывать многочлены на множители различными способами для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей.

 Введение

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (более сложные случаи)

 1. Повторение сложения/вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями

На уроке мы продолжим тему предыдущего урока и будем рассматривать задачу сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, т.е. упрощение выражений вида: , где . В основном, задача сводится к нахождению наименьшего общего знаменателя дробей, а это делается, как мы уже знаем, по аналогии с обыкновенными дробями. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Выполнить действие .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей воспользуемся основной теоремой арифметики и разложим знаменатели на простые множители.

 и . Следовательно,  и .

Вспомним, что наименьший общий знаменатель должен содержать множители всех знаменателей, причем так, чтобы множителей было минимально возможное количество. В нашем случае необходимы множители . Следовательно, общий знаменатель , а дополнительные множители: к первой дроби , ко второй дроби .

.

Как видно из решения, удобно даже не перемножать простые множители в знаменателе до получения числителя общей дроби, чтобы потом было легче сокращать дробь.

Ответ..

 2. Примеры на сложение/вычитание двух алгебраических дробей с разными знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители

Теперь рассмотрим аналогичные операции с алгебраическими дробями. Не сложно догадаться, что самой трудоемкой частью сложения или вычитания дробей с разными знаменателями является нахождение наименьшего общего знаменателя. Если в случае обыкновенных дробей можно было пользоваться разложением чисел на множители, то в алгебраических дробях на множители необходимо будет раскладывать многочлены. Для этого существует несколько известных нам методов: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения и метода группировки слагаемых. Рассмотрим более подробно их применение для решения сложных задач на сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.

Пример 2. Выполнить действия .

Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя и дополнительных множителей разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель уже представляет собой простое выражение, а второй раскладывается по формуле разности квадратов:

. Как видно по ходу решения, в качестве наименьшего общего знаменателя выбран знаменатель второй дроби, который делится и на первый знаменатель и сам на себя. Дополнительный множитель в таком случае пригодился только для первой дроби. Во втором переходе можно обратить внимание на внесение минуса перед дробью в один из множителей знаменателя для того, чтобы сделать знаменатели дробей максимально похожими друга на друга; такой прием нам уже знаком из темы «сложение алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (более сложные случаи)» (урок №5).

Ответ..

Пример 3. Выполнить действия .

Решение. Поступим аналогично с предыдущим примером и разложим по ходу решения знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов, перед этим внесем минус перед дробью в знаменатель для того, чтобы он получил более удобный вид:

.

Ответ..

 3. Примеры на сложение/вычитание трех алгебраических дробей с разными знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители

Рассмотрим теперь более сложные примеры на сложение/вычитание трех дробей.

Пример 4. Выполнить действия .

Решение. Как и ранее, разложим на множители каждый знаменатель, найдем наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.

.

Как и ранее, для приведения выражения к удобному виду, вынесем минус из знаменателя второй дроби. Поскольку в выражении присутствует три дроби, чтобы не запутаться, выпишем наименьший общий знаменатель отдельно, составив его из множителей, входящих во все знаменатели: . Исходя из него, укажем и дополнительные множители для каждой из дробей, как те множители, которых не хватает знаменателю, чтобы стать общим.

 .

Последний переход (раскрывание скобок) не принципиален, и можно было указать в ответ выражение, записанное предпоследним.

Ответ..

Пример 5. Выполнить действия .

Решение. Поступаем уже известным для нас образом: раскрываем знаменатели на множители, при необходимости меняем знаки в знаменателях дробей, находим наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.

.

Наименьший общий знаменатель: .

.

Можно заметить, что выражение в числителе представимо в виде  по формуле квадрата суммы, аналогично выражение .

В конце проведено сокращение на , значит необходимо обязательно записать область недопустимых значений переменной, связанную с этим сокращением:  и  являются недопустимыми значениями переменных. Во всех остальных случаях выражение равно .

Ответ..

На следующем уроке мы подробно остановимся на технике разложения на множители знаменателей дробей для их последующего сложения и вычитания. Эта техника чрезвычайно важна, т.к. мы видим, что она активно используется во всех рассмотренных ранее операциях с дробями.

На данном уроке будут рассмотрены  различные способы разложения знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей. Фактически, мы вспомним те методы, которые уже были изучены ранее. Это и вынесение общего множителя за скобки, и группировка слагаемых, и применение формул сокращённого умножения, а также выделение полного квадрата. Все эти методы применяются при сложении и вычитании алгебраических дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы вспомним все вышеперечисленные правила, а также разберём примеры на применение этих правил.

 Общие правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, примеры

Напомним, что алгебраической дробью называется выражение , где  – многочлены. А многочлены можно и нужно уметь раскладывать на множители. Предположим, нам необходимо сложить или вычесть две алгебраические дроби: .

Каков алгоритм наших действий?

1. Сократить или упростить каждую из дробей.

2. Найти наименьший общий знаменатель двух дробей.

Эти действия требуют разложения на множители многочленов .

Рассмотрим несколько примеров на сокращение (упрощение) дробей.

Пример 1. Упростить: .

Решение:

Первое, что необходимо попытаться сделать при сокращении, – вынести общий множитель за скобки.

В нашем случае и в числителе, и в знаменателе есть множители, которые можно вынести за скобки.

.

Затем сократим общие множители числителя и знаменателя. Получим:

. При этом учтём, что знаменатель дроби не может равняться . То есть: .

Ответ:.

Пример 2. Упростить: .     

Решение:

По схеме решения предыдущего примера попытаемся вынести за скобки общий множитель. В числителе это сделать нельзя, а в знаменателе можно вынести за скобку .

Если не получается вынести общий множитель, нужно попробовать воспользоваться формулами сокращённого умножения. Действительно, в числителе стоит полный квадрат разности. Получаем:

.

Мы видим похожие скобки в числителе и знаменателе.

Однако они отличаются знаком.

Для этого воспользуемся равенством: . Отсюда получаем: . Получаем:

.

Ответ:.

Рассмотрим теперь пример, в котором необходимо упростить разность двух дробей.

Пример 3. Упростить: .

Решение:

Поскольку в знаменателе первой дроби стоит разность кубов, воспользуемся формулой сокращённой умножения. Получаем:

.

Ответ:.

 Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки

Давайте вспомним: что же такое многочлен? Многочлен – это сумма одночленов. А одночлен – это произведение степеней переменных и чисел.

Теперь перечислим и разберём примеры разложения многочленов на множители.

Способ 1. Вынесение общего множителя за скобки.

Пример 4. Разложить на множители: .

Пример 5. Разложить на множители: .

В последнем примере общий множитель – двучлен.

 Разложение на множители: группировка слагаемых

Способ 2. Группировка.

Пример 6. Разложить на множители: .

Решение:

Вынести общий множитель за скобки в этом примере не удаётся. В этом случае необходимо попробовать сгруппировать слагаемые, в которых есть общие множители.

В этом примере удобно сгруппировать одночлены, содержащие  и . Получаем: . Мы видим, что выражения в скобках практически одинаковы с точностью до знака. Получаем: .

Ответ: .

 Разложение на множители: формулы сокращённого умножения

Способ 3. Формулы сокращенного умножения.

Перечислим основные формулы сокращённого умножения:

1.  – разность квадратов;

2.  – квадрат суммы (разности);

3.  – разность кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом суммы);

 – сумма кубов (выражение во второй скобке называется неполным квадратом разности).

Надо не только запомнить эти формулы, но и уметь находить и применять их в реальных задачах.

Пример 7. Разложить на множители: .

Пример 8. Разложить на множители: .

Решение:

Здесь напрашивается формула квадрата разности. Однако возникает вопрос: как применить эту формулу. Проще всего выделить квадраты, а затем уже найти удвоенное произведение. В данном примере: . То есть, в роли . Получаем: .

Ответ: .

 Разложение на множители: метод выделения полного квадрата

Не стоит забывать, что в чистом виде данные методы применяются редко. Чаще используются комбинированные методы.

Далее мы рассмотрим ещё один немаловажный приём разложения на множители.

Способ 4. Выделение полного квадрата.

Рассмотрим применение данного метода на конкретном примере.

Пример 9. Разложить на множители: .

Решение:

Выделение полного квадрата обычно происходит по первым двум слагаемым. Действительно, квадрат первого –  – у нас уже есть. Значит, второе слагаемое должно представлять собой удвоенное произведение первого выражения на второе. То есть: . Значит, если в роли  из формулы квадрата разности выступает , то в роли  должна выступать . Для применения этой формулы нам не хватает . Если чего-то не хватает, то можно добавить это выражение и вычесть, чтобы не менять значение выражения. Получаем:

Ответ: .

В заключение рассмотрим пример сложения дробей с применением данного метода разложения на множители.

Пример 10. Упростить: .

Решение:

Воспользуемся разложением на множители первого знаменателя из предыдущего примера. Получим:

.

При этом необходимо учесть ОДЗ данного выражения, а именно: знаменатель дроби не может равняться . Поэтому: .

Ответ: .

На данном уроке мы рассмотрели способы разложения знаменателя на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей, а также применение этих способов для конкретных примеров.

На этом уроке мы продолжим рассматривать простейшие операции с алгебраическими дробями – их сложение и вычитание. Сегодня мы сделаем основной акцент на рассмотрении примеров, в которых наиболее важной частью решения будет разложение знаменателя на множители всеми способами, которые нам известны: с вынесением общего множителя, методом группировки, выделением полного квадрата, с помощью формул сокращенного умножения. В ходе урока будет рассмотрено несколько достаточно сложных задач на дроби.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Задачи на сложение и вычитание дробей

 1. Общий вид рассматриваемых примеров

На уроке рассмотрим и обобщим все случаи сложения и вычитания дробей: с одинаковыми и с разными знаменателями. В общем виде будем решать задачи вида:

.

Ранее мы уже видели, что при сложении или вычитании алгебраических дробей одной из важнейших операций является разложение знаменателей на множители. Аналогичная процедура проделывается и в случае обыкновенных дробей. Еще раз вспомним, каким образом необходимо работать с обыкновенными дробями.

 2. Пример на сложение/вычитание обыкновенных дробей

Пример 1. Вычислить .

Решение. Воспользуемся, как и ранее, основной теоремой арифметики о том, что любое число можно разложить на простые множители: .

Определим наименьшее общее кратное знаменателей:  – это и будет общий знаменатель дробей, и, исходя из него, определим дополнительные множители для каждой из дробей: для первой дроби , для второй дроби , для третьей дроби .

.

Ответ..

 3. Методы, которые применяются для сложения/вычитания алгебраических дробей, и пример на упрощение сложного выражения

В указанном примере мы пользовались основной теоремой арифметики для разложения чисел на множители. Далее, когда в роли знаменателей будут выступать многочлены, их необходимо будет раскладывать на множители следующими известными нам методами: вынесение общего множителя, метод группировки, выделение полного квадрата, использование формул сокращенного умножения.

Пример 2. Сложить и вычесть дроби .

Решение. Знаменатели всех трех дробей являются сложными выражениями, которые необходимо разложить на множители, затем найти для них наименьший общий знаменатель и указать дополнительные множители для каждой из дробей. Проделаем все эти действия отдельно, а затем подставим результаты в исходное выражение.

В первом знаменателе вынесем общий множитель:  – после вынесения общего множителя можно заметить, что выражение в скобках сворачивается по формуле квадрата суммы.

Во втором знаменателе вынесем общий множитель:  – после вынесения общего множителя применяем формулу разности квадратов.

В третьем знаменателе выносим общий множитель: .

После разложения на множители третьего знаменателя можно заметить, что во втором знаменателе можно выделить множитель  для более удобного поиска наименьшего общего знаменателя дробей, сделаем мы это с помощью вынесения минуса за скобки , во второй скобке мы поменяли местами слагаемые для более удобной формы записи.

Определим наименьший общий знаменатель дробей как выражение, которое делится на все знаменатели одновременно, он будет равен: .

Укажем дополнительные множители: для первой дроби , для второй дроби  – вынесенный в знаменателе минус не учитываем, т. к. запишем его ко всей дроби, для третьей дроби .

Теперь выполним действия с дробями, не забыв поменять знак перед второй дробью:

. 

На последнем этапе решения мы привели подобные слагаемые и записали их в порядке убывания степеней при переменной .

Ответ. .

 4. Примеры на сокращение дробей до их сложения или вычитания

На приведенном примере мы еще раз, как и на прошлых уроках, продемонстрировали алгоритм сложения/вычитания дробей, который заключается в следующем: разложить на множители знаменатели дробей, найти наименьший общий знаменатель, дополнительные множители, выполнить процедуру сложения/вычитания и, по возможности, упростить выражение и произвести сокращение. Этим алгоритмом мы будем пользоваться и в дальнейшем. Рассмотрим теперь более простые примеры.

Пример 3. Вычесть дроби .

Решение. В данном примере важно увидеть возможность сократить первую дробь до приведения ее к общему знаменателю со второй дробью. Для этого числитель и знаменатель первой дроби разложим на множители.

Числитель:  – в первом действии разложили часть выражения по формуле разности квадратов, а во втором – вынесли общий множитель .

Знаменатель:  – в первом действии разложили часть выражения по формуле квадрата разности, а во втором – вынесли общий множитель . Подставим полученные числитель и знаменатель в исходное выражение и сократим первую дробь на общий множитель :

.

Ответ: .

Пример 4. Выполнить действия .

Решение. В этом примере, как и предыдущем, важно заметить и осуществить сокращение дроби до выполнения действий. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:  – по формуле разности кубов.

Знаменатель:  – вынесли общий множитель. Подставим все в исходное выражение и сократим дробь на :

.

После сокращения укажем область допустимых значений переменной .

Ответ..

На сегодняшнем уроке мы еще раз подчеркнули важность умения раскладывать многочлены на множители при сложении и вычитании алгебраических дробей. Эта техника окажется полезной и на дальнейших уроках.

На следующем уроке мы поговорим об умножении и делении алгебраических дробей.

На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и деление алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении. 

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Умножение и деление алгебраических дробей

 1. Правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей

Правила умножения и деления алгебраических дробей абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:

То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).

Деление на дробь – это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).

 2. Частные случаи применения правил умножения и деления дробей

Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:

Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .

 3. Примеры умножения и деления обыкновенных дробей

Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.

Пример 1

Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами называются такие натуральные числа, которые делятся только на  и на само себя. Остальные числа называются составными. Число  не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .

Пример 2

Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.

Пример 3

Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.

 4. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (простые случаи)

Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.

Пример 4

Пример 5

Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.

Пример 6

Пример 7

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

 5. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (сложные случаи)

До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример 17

Пример 18

На данном уроке мы рассмотрели правила умножения и деления алгебраических дробей, а также применение этих правил для конкретных примеров.

На уроке будет рассмотрен более обобщенный вариант умножения дробей – это возведение в степень. Прежде всего, речь будет идти о натуральной степени дроби и о примерах, демонстрирующих подобные действия с дробями. В начале урока, также, мы повторим возведение в натуральную степень целых выражений и увидим, каким образом это пригодится для решения дальнейших примеров.

 Правила возведения дробей и целых выражений в натуральную степень с элементарными примерами

Правило возведения обыкновенных и алгебраических дробей в натуральную степень:

Можно провести аналогию со степенью целого выражения и вспомнить, что понимается под возведением его в степень:

Пример 1. .

Как видно из примера, возведение дроби в степень – это частный случай умножения дробей, что изучалось на предыдущем уроке.

Пример 2. а) , б) – минус уходит, т. к. мы возвели выражение в четную степень.

Ответ. ; .

Для удобства работы со степенями вспомним основные правила возведения в натуральную степень:

 – произведение степеней;

 – деление степеней;

 – возведение степени в степень;

 – степень произведения.

Пример 3.  – это известно нам еще с темы «Возведение в степень целых выражений», кроме одного случая:  не существует.

 Простейшие примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень

Далее рассмотрим примеры посложнее.

Пример 4. Возвести дробь в степень .

Решение. При возведении в четную степень минус уходит:

.

Ответ. .

Пример 5. Возвести дробь в степень .

Решение. Теперь пользуемся правилами возведения степени в степень сразу без отдельного расписывания:

.

Ответ..

Теперь рассмотрим комбинированные задачи, в которых нам будет необходимо и возводить дроби в степень, и умножать их, и делить.

Пример 6. Выполнить действия .

Решение. . Далее необходимо произвести сокращение. Распишем один раз подробно, как мы это будем делать, а затем будем указывать результат сразу по аналогии: . Аналогично (или по правилу деления степеней) . Имеем: .

Ответ. .

Пример 7. Выполнить действия .

Решение. . Сокращение осуществлено по аналогии с примером, разобранным ранее.

Ответ. .

Пример 8. Выполнить действия .

Решение. . В данном примере мы еще раз более подробно расписали процесс сокращения степеней в дробях, чтобы закрепить этот способ.

Ответ. .

 Более сложные примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень (с учетом знаков и со слагаемыми в скобках)

Пример 9. Выполнить действия .

Решение. В данном примере уже пропустим отдельное умножение дробей, а сразу воспользуемся правилом их умножения и запишем под один знаменатель. При этом следим за знаками – в указанном случае дроби возводятся в четные степени, поэтому минусы исчезают. В конце выполним сокращение.

.

Ответ..

Пример 10. Выполнить действия .

Решение. В данном примере присутствует деление дробей, вспомним, что при этом первая дробь умножается на вторую, но перевернутую.

 .

Ответ. .

На данном уроке мы рассмотрели возведение дробей в натуральную степень. В дальнейшем умение это делать и осуществлять действия с дробями, изученными ранее, мы будем использовать для преобразования рациональных выражений.

На данном уроке будут рассмотрены основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях, а также примеры преобразования рациональных выражений. Данная тема как бы обобщает изученные нами до этого темы. Преобразования рациональных выражений подразумевают сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень алгебраических дробей, сокращение, разложение на множители и т. п. В рамках урока мы рассмотрим, что такое рациональное выражение, а также разберём примеры на их преобразование. 

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях

 Рациональные выражения (примеры и частные случаи)

Определение

Рациональное выражение – это выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций и операции возведения в степень.

Рассмотрим пример рационального выражения:

.

Частные случаи рациональных выражений:

1. степень: ;

2. одночлен: ;

3. дробь: .

Преобразование рационального выражения – это упрощение рационального выражения. Порядок действий при преобразовании рациональных выражений: сначала идут действия в скобках, затем операции умножения (деления), а затем уже операции сложения (вычитания).

 2. Примеры преобразования рациональных выражений

Рассмотрим несколько примеров на преобразование рациональных выражений.

Пример 1

Решение:

Решим данный пример по действиям. Первым выполняется действие в скобках.

Ответ: 

Пример 2       

Решение:       

Ответ: 

Пример 3

Решение:

Ответ: .

Примечание: возможно, у вас при виде данного примера возникла идея: сократить дробь перед тем, как приводить к общему знаменателю. Действительно, она является абсолютно правильной: сначала желательно максимально упростить выражение, а затем уже его преобразовывать. Попробуем решить этот же пример вторым способом.

.

Как видим, ответ получился абсолютно аналогичным, а вот решение оказалось несколько более простым.

На данном уроке мы рассмотрели рациональные выражения и их преобразования, а также несколько конкретных примеров данных преобразований.

На предыдущем уроке уже было введено понятие рационального выражения, на сегодняшнем уроке мы продолжаем работать с рациональными выражениями и основной упор делаем на их преобразования. На конкретных примерах мы рассмотрим методы решения задач на преобразования рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Преобразование рациональных выражений

 1. Рациональное выражение и методика его упрощения

Вспомним сначала определение рационального выражения.

Определение. Рациональное выражение – алгебраическое выражение, не содержащее корней и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень).

Под понятием «преобразовать рациональное выражение» мы имеем в виду, прежде всего, его упрощение. А это осуществляется в известном нам порядке действий: сначала действия в скобках, затем произведение чисел (возведение в степень), деление чисел, а затем действия сложения/вычитания.

 2. Упрощение рациональных выражений с суммой/разностью дробей

Основной целью сегодняшнего урока будет приобретение опыта при решении более сложных задач на упрощение рациональных выражений.

Пример 1. Упростить рациональное выражение .

Решение. Сначала может показаться, что указанные дроби можно сократить, т. к. выражения в числителях дробей очень похожи на формулы полных квадратов соответствующих им знаменателей. В данном случае важно не спешить, а отдельно проверить, так ли это.

Проверим числитель первой дроби: . Теперь числитель второй: .

Как видно, наши ожидания не оправдались, и выражения в числителях не являются полными квадратами, т. к. у них отсутствует удвоение произведения. Такие выражения, если вспомнить курс 7 класса, называют неполными квадратами. Следует быть очень внимательными в таких случаях, т. к. перепутывание формулы полного квадрата с неполным – очень частая ошибка, а подобные примеры проверяют внимательность учащегося.

Поскольку сокращение невозможно, то выполним сложение дробей. У знаменателей нет общих множителей, поэтому они просто перемножаются для получения наименьшего общего знаменателя, а дополнительным множителем для каждой из дробей является знаменатель другой дроби.

Конечно же, далее можно раскрыть скобки и привести затем подобные слагаемые, однако, в данном случае можно обойтись меньшими затратами сил и заметить, что в числителе первое слагаемое является формулой суммы кубов, а второе – разности кубов. Для удобства вспомним эти формулы в общем виде:

 и .

В нашем же случае выражения в числителе сворачиваются следующим образом:

, второе выражение аналогично. Имеем:

.

Ответ. .

Пример 2. Упростить рациональное выражение .

Решение. Данный пример похож на предыдущий, но здесь сразу видно, что в числителях дробей находятся неполные квадраты, поэтому сокращение на начальном этапе решения невозможно. Аналогично предыдущему примеру складываем дроби:

, здесь мы аналогично способу, указанному выше, заметили и свернули выражения по формулам суммы и разности кубов.

Ответ. .

Пример 3. Упростить рациональное выражение .

Решение. Можно заметить, что знаменатель второй дроби раскладывается на множители по формуле суммы кубов. Как мы уже знаем, разложение знаменателей на множители является полезным для дальнейшего поиска наименьшего общего знаменателя дробей.

.

Укажем наименьший общий знаменатель дробей, он равен: , т. к. делится на знаменатель третьей дроби, а первое выражение вообще является целым, и для него подойдет любой знаменатель. Указав очевидные дополнительные множители, запишем:

.

Ответ.

 3. Упрощение рациональных выражений со сложными «многоэтажными» дробями

Рассмотрим более сложный пример с «многоэтажными» дробями.

Пример 4. Доказать тождество  при всех допустимых значениях переменной.

Доказательство. Для доказательства указанного тождества постараемся упростить его левую часть (сложную) до того простого вида, который от нас требуется. Для этого выполним все действия с дробями в числителе и знаменателе, а затем разделим дроби и упростим результат.

. Доказано при всех допустимых значениях переменной.

Доказано.

На следующем уроке мы подробно рассмотрим более сложные примеры на преобразование рациональных выражений.

На данном уроке будет рассмотрено преобразование более сложных рациональных выражений. На предыдущих уроках уже были рассмотрены примеры преобразования рациональных выражений. Однако, иногда встречаются достаточно громоздкие выражения, преобразование которых можно выполнить, только обладая навыками работы с рациональными выражениями. Получить соответствующие навыки можно только при решении как можно большего количества соответствующих примеров. В рамках урока мы рассмотрим два примера с преобразованиями сложных рациональных выражений. 

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Преобразование более сложных рациональных выражений

 1. Пример на доказательство тождества с помощью преобразований рациональных выражений

На этом уроке мы рассмотрим преобразование более сложных рациональных выражений. Первый пример будет посвящён доказательству тождества.

Пример 1

Доказать тождество: .

Доказательство:

В первую очередь при преобразовании рациональных выражений необходимо определиться с порядком действий. Напомним, что в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, а затем уже сложение и вычитание. Поэтому в данном примере порядок действий будет таким: сначала выполним действие в первых скобках, затем во вторых скобках, затем поделим полученные результаты, а затем к полученному выражению добавим дробь. В результате этих действий, а также упрощения, должно получиться выражение .

Действие №1:          

Действие №2:          

Действие №3:          

Действие №4:          

Доказано

 2. Пример на преобразование сложного рационального выражения

Рассмотрим теперь пример на упрощение рационального выражения.

Пример 2

Упростить выражение: .

Решение:

И снова нам необходимо определить порядок действий данного примера. Сначала необходимо выполнить действие в скобках. Затем полученное выражение поделить на дробь, которая стоит за скобками.

Действие №1:          

Действие №2:          

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели более сложные случаи преобразования рациональных выражений. Все рассмотренные примеры и методы в дальнейшем нам очень пригодятся. Особенно полезны они будут при изучении рациональных уравнений, которые мы рассмотрим на следующем уроке.

В рамках данного урока мы обсудим методику решения рациональных уравнений. Вначале мы рассмотрим несколько примеров на повторение преобразования рациональных выражений, акцентируем внимание на важности уметь работать с такого рода преобразованиями, а затем перейдем непосредственно к разбору примеров уравнений.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Первые представления о решении рациональных уравнений

 1. Понятие рационального уравнения и повторение преобразования рациональных выражений

Определение. Рациональное уравнение – это уравнение вида  и все уравнения к нему сводящиеся, где  и  – многочлены.

Заметим, что решение множества рациональных уравнений основано на технике преобразования рациональных выражений, которую мы подробно рассматривали на предыдущих уроках. Начнем с повторения технологии подобных преобразований и решим несколько примеров.

Пример 1. Выполните подстановку и упростите выражение , где .

Решение. Вынесем  за скобку:

.

Применим стандартный подход к упрощению подобных сложных выражений и выполним преобразования по действиям: сначала упростим выражение в скобках, а затем умножим на . Подставим значение переменной  в выражение в скобках:

, после сокращений и сложения дробей получили упрощенный результат.

Теперь перейдем ко второму действию и умножим полученное выражение на значение :

.

Ответ. .

 2. Доказательство рациональных тождеств и их связь с рациональными уравнениями

Пример 2. Доказать тождество .

Доказательство. Можно задачу сформулировать и по-другому: «Решить уравнение» – т. е. найти все значения , при которых выполняется указанное равенство. Начнем, все же, с доказательства тождества.

Заметим, что в знаменателе второй дроби находится сумма кубов:

.

Легко увидеть, что полученные множители являются знаменателями двух других дробей, находящихся в первых скобках, следовательно, знаменатель второй дроби является наименьшим общим знаменателем для всех трех дробей в скобке. Аналогично предыдущему примеру преобразуем данное выражение по действиям и начнем с первой скобки. Складывая и вычитая дроби, укажем дополнительные множители:

.

Вторым действием упростим выражение во второй скобке:

.

Теперь перемножим полученные выражения:

, после первого сокращения в знаменателе умножим две одинаковые скобки, а выражение в числителе свернем по формуле полного квадрата суммы.

Доказано.

Теперь вернемся к самому тождеству и попробуем рассмотреть его, как уравнение. Напомним, что решить уравнение – это найти все значения , которые удовлетворяют уравнению.

Решение. Мы уже доказали, что левая часть тождества тождественно равна правой при всех допустимых значениях переменной. Вот именно «допустимые значения переменной» в данном случае и являются важной фразой, ведь выражения с дробями, которые содержат переменную в знаменателе, могут иметь смысл не при всех значениях этой переменной.

Левая часть рассматриваемого выражения имеет смысл, когда знаменатели входящих в нее дробей не равны нулю:

1. Первый и четвертый знаменатели: .

2. Поскольку второй знаменатель раскладывается на первый и третий, то сначала рассмотрим третий знаменатель:  при любых значениях переменной . Докажем это. Для этого выделим полный квадрат в исследуемом выражении:

.

Попробуем объяснить, зачем мы проделали подобные действия. Поскольку в исходном выражении старшая степень  и линейный член  вычитаются, то мы будем приводить его к квадрату разности по формуле: . Для этого из старшей степени с коэффициентом выделим квадрат , а из линейного члена выделим удвоенное произведение , тогда в роли квадрата второго коэффициента будет выступать . Но, поскольку мы прибавили член , которого в исходном выражении не было, то нам его придется и вычесть, а затем прибавить оставшуюся единицу, которую мы не преобразовывали. В итоге получаем:

 при любых значениях переменной . Мы воспользовались неотрицательностью квадратичного выражения.

Имеем, что знаменатель третьей дроби не равен нулю ни при каких значениях переменной .

3. Знаменатель второй дроби раскладывается на множители, которые представляют собой знаменатели первой и третьей дробей, а поскольку из них только значение первого может равняться нулю, а второго нет, то: , т. е. уже найденное ранее ограничение на допустимые значения переменной.

Таким образом, мы указали, что вся левая часть выражения имеет смысл при всех допустимых значениях переменной, т. е. при , что и является решением уравнения.

Ответ..

Пример 3. Докажите тождество .

Доказательство. Проделаем преобразования по действиям. Упростим выражение в первой скобке. Для этого укажем наименьший общий знаменатель трех дробей, он равен , т. к. именно это выражение делится на все знаменатели одновременно. По известному нам алгоритму укажем и дополнительные множители:

.

В числителе полученной дроби нам придется воспользоваться формулами куба суммы и куба разности, которые мы сейчас вспомним в общем виде:

 – куб суммы;

 – куб разности.

Применим эти формулы для упрощения числителя и откроем в нем все скобки, а затем приведем подобные слагаемые:

, подставим это выражение в упрощаемую дробь и перепишем знаменатель в виде квадрата разности квадратов:

.

Перейдем ко второму действию, в котором умножим упрощенную нами первую скобку на указанную дробь, но перевернутую, т. к. на нее изначально требуется разделить. При этом, во второй дроби разность четвертых степеней разложим как разность квадратов квадратичных элементов:

.

В третьем действии вычтем из полученного выражения последнюю дробь, т. к. мы можем поменять перед ней знак на противоположный, чтобы в знаменателе получить разность, аналогичную знаменателю полученной выше дроби.

.

Доказано.

Мы повторили методы упрощения довольно сложных рациональных выражений. Теперь можем перейти к решению непосредственно рациональных уравнений, преобразования в которых, как правило, легче.

 3. Решение простейших рациональных уравнений

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Начнем, как обычно, с упрощения рационального выражения, указанного в левой части уравнения. Для этого найдем наименьший общий знаменатель дробей, дополнительные множители и вычтем их:

.

На данном этапе решения акцентируем внимание на важном правиле решения рациональных уравнений: дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В нашем случае в знаменателе уже имеется число, не равное нулю, поэтому имеем линейное уравнение из числителя:

.

Ответ..

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Для того чтобы воспользоваться правилом решения рациональных уравнений, перенесем все в левую сторону, чтобы справа получился ноль:

.

Для упрощения выражения, находящегося слева, сложим/вычтем дроби по хорошо известному нам алгоритму. Наименьший общий знаменатель дробей: .

.

В конце мы воспользовались уже сформулированным правилом решения рациональных уравнений (дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Полученные ограничения на область допустимых значений переменной не повлияли на полученный корень уравнения.

Ответ..

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основы техники решения рациональных уравнений и убедились, что прежде всего она базируется на умении преобразовывать рациональные выражения.

На следующем уроке мы продолжим работать с рациональными уравнениями.

На данном уроке будет рассмотрено решение рациональных уравнений. С помощью рациональных уравнений решается целый ряд задач, которые возникают не только на страницах учебника математики, но и в жизни. Однако, для того чтобы решить рациональное уравнение, его ещё необходимо уметь правильно составить. Поэтому на данном уроке мы не только рассмотрим примеры решения рациональных уравнений как таковых, но и примеры математического моделирования задачи, которое приводит к возникновению соответствующих рациональных уравнений.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Решение рациональных уравнений

 1. Пример решения рационального уравнения, являющегося математической моделью текстовой задачи

Как вы уже успели заметить на предыдущем уроке, основа решения рациональных уравнений – техника преобразования рациональных выражений. Рассмотрим пример решения рационального уравнения.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

В первую очередь обратим внимание на то, что в числителях обеих дробей, а также в правой части уравнения стоят чётные числа. То есть, можно упростить уравнение, поделив обе его части на . Этот шаг не является обязательным, но, чем проще уравнение, тем легче его решать, а чем меньше числа, фигурирующие в уравнении, тем легче арифметические вычисления при его решении.

В результате сокращения получаем:

Теперь перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить справа , а затем приведём полученные в левой части дроби к общему знаменателю:

Напомним, что дробь равна  тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Поэтому наше уравнение превращается в следующую систему:

Теперь вспомним ещё один важный факт: произведение равно  тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен , а остальные множители при этом существуют. И наша система превращается в следующую:

.

Оба полученных корня являются решениями данного уравнения, так как при них знаменатель определён.

Ответ: .

 2. Пример текстовой задачи и решения её с помощью математического моделирования

Рассмотренное нами уравнение является моделью для такой задачи:

Задача 1

Лодка прошла  по течению реки и  против течения реки, затратив на весь путь . Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна ?

Решение:

Решение данной задачи осуществим с помощью метода математического моделирования и выделим 3 этапа данного метода.

Этап 1. Составление математической модели

Обозначим через  собственную скорость лодки (это стандартный приём при решении текстовых задач – обозначить с помощью неизвестной ту величину, которая спрашивается в условии задачи). Тогда:

 – скорость движения лодки по течению реки;

 – скорость движения лодки против течения реки.

В этом случае, воспользовавшись формулой: , получаем, что время движения лодки по течению реки выражается как , а время движения лодки против течения реки – . Тогда общее время движения лодки равно , откуда получаем уравнение:

 – это и есть математическая модель данной задачи.

Этап 2. Работа с математической моделью

В данном случае работа с математической моделью сводится к решению данного рационального уравнения, что мы уже сделали в примере 1. При этом получили корни уравнения: .

Этап 3. Ответ на вопрос задачи

Дело в том, что математическая модель потому и является математической, что абстрагирована от реальной жизни. Если брать конкретно данную задачу, то математическая модель – это уравнение, которое может иметь любые корни. Однако неизвестная величина обозначает скорость лодки, поэтому не может быть, к примеру, отрицательной. Или: не может быть меньше скорости течения реки, иначе бы лодка не смогла бы плыть против течения. И такие ограничения могут быть в самых разных задачах. Поэтому, прежде чем записать ответ, необходимо оценить, является ли он правдоподобным.

В данном случае очевидно, что  не подходит, так как лодка не смогла бы с такой скоростью плыть против течения. Поэтому в ответ пойдёт только одна величина: .

Ответ:

 3. Различные примеры решения рациональных уравнений

Рассмотрим несколько примеров на решение непосредственно рациональных уравнений.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение:

Перенесём все слагаемые в левую часть, а затем приведём дроби к общему знаменателю.

Снова воспользуемся тем фактом, что дробь равна  тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Из этого следует, что данное уравнение эквивалентно системе:

Ответ:.

Пример 3

Решить уравнение: .

Решение:

В данном уравнении в правой части уже стоит , поэтому ничего переносить левую часть не нужно. Сразу приведём дроби в левой части к общему знаменателю:

.

Снова воспользуемся тем фактом, что дробь равна  тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Из этого следует, что данное уравнение эквивалентно системе:

. Подставив данное значение в знаменатель, убеждаемся, что он не равен . Значит, это значение переменной является ответом.

Ответ:.

Пример 4

Решить уравнение: .

Решение:

Схема решения данного уравнения абсолютно такая же, как и у предыдущих:

Ответ:.

 4. Решение задачи, сводящейся к рациональному уравнению

К решению рациональных уравнений часто сводятся различные задачи. Рассмотрим один из таких примеров.

Задача 2

Существует ли такое значение , при котором разность дробей  и  равна ?

Решение:

Запишем уравнение, соответствующее условию данной задачи: .

Решим данное рациональное уравнение точно так же, как и в предыдущих примерах.

Приведём подобные слагаемые в числителе (они отмечены одинаковым цветом):

То есть, такое значение  существует.

Ответ: существует:.

Итак, мы рассмотрели примеры решения рациональных уравнений, а также их использование при решении различных задач. На следующих уроках мы перейдём к изучению новой темы, посвящённой различным функциям.

На данном уроке мы обсудим работу со степенями с отрицательными показателями. Мы узнаем, что все свойства степеней с натуральным показателем остаются верны и для степеней с отрицательным показателем.

 Определение и свойства степеней с натуральным показателем

Вспомним, что такое степень с натуральным показателем. По определению:

Вспомним также свойства степеней с натуральным показателем:

1. ;

2.  ();

3. ;

4. ;

5.  ().

Постараемся ввести степень с отрицательным показателем так, чтобы свойства для степени с натуральным показателем остались верными и для степеней с отрицательными показателями.

 Степень с нулевым показателем

Сначала введём степень с показателем 0. Для этого в свойстве 2 положим: . Получим:

 ()

()

Таким образом, получаем следующий вывод: для любого ненулевого основания его нулевая степень должна равняться 1.

Или: .

 Степень с отрицательным показателем

Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Для этого в свойстве 2 положим , получим:

 ()

 ()

Получаем такое определение степени с отрицательным показателем:

, .

Мы вводили определение так, чтобы все свойства степени с натуральным показателем сохранялись. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Поэтому в дальнейшем мы можем смело ими пользоваться.

 Решение примера

Рассмотрим несколько примеров на применение полученного определения и свойств степени.

 Пример 1.

 а) ;

б) ;

в) ;

Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой: . Докажите её самостоятельно.

г) .

Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой: . Докажите её самостоятельно.

 Пример с приведением различных чисел к степеням с одинаковым основанием

Пример 2.

Представить следующие выражения в виде степеней числа 2:

.

Решение:

.

Последнее выражение можно было преобразовать и по-другому: .

Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой:  Докажите её самостоятельно.

Второй пример очень важен: мы научились сводить разные основания к одному. Это полезно при решении различных примеров.

 Решение более сложных примеров

Пример 3. Вычислить:

а) ;

б) .

Последнее выражение можно было преобразовывать и другим способом: 

Аналогичные идеи работают не только с числами, но и с буквенными выражениями. Рассмотрим несколько примеров.

 Решение примеров с буквенными переменными

Пример 4.

 а) ;

б) ;

в) ;

г) 

На этом уроке мы ввели понятие степени с отрицательным показателем, выяснили, что все свойства степеней с натуральными показателями остаются верными и для нового вида степеней. Также рассмотрели ряд примеров на применение данных свойств.  

На следующем уроке мы начнём изучение новой темы – квадратные уравнения.

Этот урок является вводным в теме, и на нем будет введено понятие арифметического квадратного корня. Кроме того, будут рассматриваться некоторые его базовые свойства и будут приведены простейшие примеры на его использование.

 Задача для введения понятия квадратного корня

На сегодняшнем уроке нам необходимо ввести понятие арифметического квадратного корня. Чтобы это сделать, представим себе, что нам выделили участок земли квадратной формы (рис. 1) и мы хотим измерить длину его стороны. При этом известно, что сторона изображенной сетки равна 1 км.

Рис. 1.

Чтобы найти длину стороны участка, можно выписать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке красным цветом. Катеты этого треугольника имеют длины по 1 км, а длину гипотенузы обозначим за .

, но нами пока еще не найдена сторона участка, а найдено значение ее квадрата.

По-другому можно было найти  следующим образом: записать площадь квадратного участка , с другой стороны, она равна сумме площадей четырех равных прямоугольных треугольников, из которых состоит участок: . Но площадь прямоугольного треугольника, который является равнобедренным в данном случае, равна . Таким образом, площадь участка: , а с другой стороны , т. е. получаем то, что было получено ранее: .

Вопрос заключается в том, как найти значение стороны квадрата, т. е. ? Попробуем перебрать числа, которые могут претендовать на роль ответа. Начнем с нуля, но  не подходит, затем проверим :  тоже не подходит (меньше двух), проверим :  не подходит, т. к. это больше двух. Получаем следующий вывод, что это некое число между 1 и 2, но оно не может быть, очевидно, целым. Проверять отрицательные числа не будем, т. к. их возведение в квадрат дает положительные значения, которые мы уже проверили. Поскольку у уравнения нет целых решений, то необходимо проверить наличие рациональных решений. Вспомним для этого определение рационального числа.

Определение. Рациональное число – число, которое можно представить в виде дроби , в которой числитель () является целым числом, а знаменатель () натуральным.

Во вставке указано доказательство того факта, что число  не может быть рациональным числом.

Вставка 1. Доказательство того, что  не является рациональным числом

Теорема. Число , которое удовлетворяет уравнению , не является рациональным.

Доказательство. Предположим, что число , которое удовлетворяет уравнению , является рациональным, т. е. по определению рационального числа его можно представить в виде дроби  ( целое число,  натуральное), причем примем тот факт, что данная дробь несократима (а если она сократима, то, сократив ее, приступим к доказательству). Подставим такую запись  в исследуемое уравнение:

.

Поскольку правая часть уравнения является четной, т. к. имеет множитель 2, то и левая часть тоже должна быть четной. Поскольку  четное, то и  тоже четное, т. к. оно целое по предположению и не может быть нечетным, поскольку квадрат нечетного числа тоже нечетное число. Тогда число  можно представить в виде , где  – некое целое число. Подставим это в полученное уравнение:

.

Проведя аналогичные рассуждения, как и для числа , можем сделать вывод, что число  является четным, и его можно представить в виде . Тогда дробь , как видно, является сократимой, что противоречит предположению доказательства. Поскольку мы пришли к противоречию, то число  не является рациональным.

Доказано.

Доказано, что искомое число  не может быть ни целым, ни рациональным. Поскольку мы впервые столкнулись с числом, которое не является целым и не является рациональным, то необходимо ввести понятие нового вида чисел. Поможет нам в этом понятие квадратного корня.

Определение. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа  называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Стоит отметить важные характеристики чисел из определения. Во-первых, квадратный корень можно вычислять только из неотрицательного числа, т. е. квадратный корень, например, из  не имеет смысла, во-вторых, значение самого квадратного корня также является неотрицательным, т. е. квадратный корень не может равняться, например, .

Обозначение квадратного корня из числа : .

Соответственно, мы теперь имеем возможность определить значение стороны нашего земельного участка. Поскольку , то  – это такое число, квадрат которого равен двум, а по определению квадратного корня следует, что . Таким образом, искомая сторона земельного участка равна  км.

Рассмотрим примеры на работу с квадратными корнями.

 Примеры на вычисление и применение корней

Пример 1. Существуют ли выражения: , , , ?

Решение. Для ответа на поставленный вопрос необходимо воспользоваться определением, по определению квадратный корень извлекается только из неотрицательного числа. Поскольку 3, 5 и 0 являются неотрицательными числами, то выражения ,  и  существуют.  является отрицательным числом, поэтому  не существует.

Ответ.,  и  существуют;  не существует.

Стоит отметить, что есть случаи, когда значение квадратного корня можно вычислить в виде целого числа, а есть – когда нельзя. Например, нельзя утверждать, что  является целым числом, и значение этого выражения так и приходится оставлять в форме корня, а вот некоторые квадратные корни можно являются целыми числами, убедимся в этом на примере.

Пример 2. Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) 

Решение. а) , т. к. корень из 4 – это такое число, квадрат которого равен 4, а это 2 (). Можно утверждать, что не учтено, что  и  тоже должно являться корнем из 4, но по определению квадратный корень может быть только неотрицательным числом, поэтому  не подходит.

б) , т. к.  по аналогичным рассуждениям.

в) , т. к. .

г) Поскольку число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, является большим (трехзначным), то описанный ранее метод подбора числа, квадрат которого равен 324, не совсем удобен. Хотя кто-то может знать, что в данном случае подходит число 18, т. к. . Для упрощения поиска ответа разложим число 324 на множители: , теперь попробуем представить полученные числа в виде квадратов: .

Ответ. 2; 5; 0; 18.

В ходе разбора решения пункта «г» предыдущего примера может возникнуть вопрос, а на каком основании мы имеем право утверждать, что корень из произведения равен произведению корней, ведь никакие из свойств корней еще не введены. В следующей вставке можно ознакомиться с основными свойствами корней, которые объяснят наши действия в указанном примере.

Вставка 2. Основные свойства квадратных корней

1. , корень из произведения равен произведению корней, при этом  неотрицательные;

2. , корень из частного равен частному корней, при этом  неотрицательное,  положительное;

3. , корень из квадрата числа равен модулю этого числа (это позволяет избавляться от минуса в случае его наличия).

Замечание. Как уже оговаривалось в ходе решения примера, извлечение корня – это операция по вычислению значения корня.

Рассмотрим уравнения с корнями.

Пример 3. а); б) ; в) .

Решение. а)Из определения квадратного корня (7 – это такое неотрицательное число, квадрат которого равен ) выпишем, что .

б) В данном случае важно обратить внимание на такую часть определения квадратного корня из числа: «Квадратным корнем …называется такое неотрицательное число…», а в нашем случае значение квадратного корня отрицательное, что не имеет смысла по определению, т. е. решений у уравнения нет.

в) По определению квадратного корня,  – это такое число, квадрат которого равен 5, т. е. . В данном случае важно отметить, что полученное решение не является для уравнения единственным, т. к.  тоже удовлетворяет уравнению, поскольку , и никаких противоречий с определением квадратного корня здесь нет. Т. е. уравнение имеет два решения:  и  или .

Ответ.; решений нет; .

На сегодняшнем уроке мы познакомились с понятием квадратного корня и решили несколько простейших примеров.

На данном уроке мы познакомимся с функцией  , ее свойствами и графиком. Изучение свойств функции поможет нам с решением различных задач, связанных с квадратным корнем. Кроме того, мы познакомимся с понятием выпуклости функции (выпуклости вверх и выпуклости вниз).

 Повторение, квадратный корень

Квадратным корнем из неотрицательного числа  называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен . Это число обозначают , число  называют подкоренным числом.

Примеры:

1.  (, )

2.  (, )

Обратите внимание:

 , но  – корень не может быть равен отрицательному числу.

 – нельзя вычислить. Корня квадратного из отрицательного числа не существует.

 Функция 

Функцией , где , называется закон, который каждому неотрицательному числу  сопоставляет число .

Функция  нам уже известна. Это функция типа . Таким образом, изучать функцию  мы будем на базе функции , где .

 График функции 

Графиком функции  является ветвь параболы. Проверим это, составив таблицу.

Построим найденные точки на координатной плоскости (см. Рис. 1).

Рис. 1. График функции 

Прочтем график:

Если аргумент возрастает от 0 до , функция возрастает от 0 до .

 Свойства функции 

1. Множество значений функции  – это луч .

Докажем это свойство

Доказательство

Пусть  – это произвольное число из промежутка . Найдется ли такое , при котором ? Чтобы узнать это, решим уравнение:

Число  достигается, когда аргумент равен  (см. Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к доказательству

Следовательно:

Что и требовалось доказать.

Следствия из данного свойства

а) Функция  не ограничена сверху. То есть на оси  для этой функции нет самого большого положительного числа.

б) Функция ограничена снизу и имеет наименьшее значение.

в)  при всех .

2. Функция  монотонно возрастает на всей области определения, то есть при .

 Примечание:

Функция называется монотонно возрастающей на всей области определения, если для любых  и , принадлежащих области определения, из неравенства  следует неравенство .

Рисунок 3 иллюстрирует нам, что функция  является монотонно возрастающей.

Рис. 3. Функция  монотонно возрастающая

3. Функция  выпукла вверх на всей области определения.

Для любых двух точек, например  и  (см. Рис. 4), дуга, лежащая между этими точками, будет находиться над отрезком, соединяющим эти две точки, следовательно, функция выпуклая вверх.

Рис. 4. Функция  выпуклая вверх

На сегодняшнем уроке мы повторим определение квадратного корня, свойства функции y = √x и ее график, а затем рассмотрим несколько задач, при решении которых будет использоваться построение графика данной функции.

 Повторение понятия квадратного корня и графика функции y = √x

Данный урок мы посвятим решению типовых задач на построение графика функции . Вспомним определение квадратного корня.

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа  называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .

.

Изобразим график  – это правая ветвь параболы (рис. 1).

Рис. 1.

На графике наглядно виден смысл вычисления квадратного корня. Например, если рассмотреть ординату 16, то ей будет соответствовать абсцисса 4, т. к. . Аналогично, ординате 9 на графике соответствует точка с абсциссой 3, поскольку , ординате 11 соответствует абсцисса , т. к.  (квадратный корень из 11 не извлекается в целых числах).

Теперь вспомним график функции  (рис. 2).

Рис. 2.

На графике для наглядности изображены несколько точек, ординаты которых вычисляются с помощью извлечения квадратного корня: , , .

 Примеры на преобразование графиков с корнями

Пример 1. Постройте и прочтите график функции: а) , б) .

Решение. а) Построение начинается с простейшего вида функции, т. е. в данном случае с графика  (пунктиром). Затем для построения искомого графика график функции  необходимо сдвинуть влево на 1 (рис. 3). При этом все точки графика сдвинутся на 1 влево, например, точка с координатами (1;1) перейдет в точку с координатами (0;1). В результате получаем искомый график (красная кривая). Проверить такой способ легко при подстановке нескольких значений аргумента.

Рис. 3.

Прочтем график: если аргумент меняется от  до , функция возрастает от 0 до . Область определения (ОДЗ) при этом требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, т. е. .

б)  Для построения графика функции  поступим аналогичным образом. Сначала строим график  (пунктиром). Затем для построения искомого графика график функции  необходимо сдвинуть вправо на 1 (рис. 4). При этом все точки графика сдвинутся на 1 вправо, например, точка с координатами (1;1) прейдет в точку с координатами (2;1). В результате получаем искомый график (красная кривая).

Рис. 4.

Прочтем график: если аргумент меняется от  до , функция возрастает от 0 до . Область определения (ОДЗ) аналогична предыдущему случаю: .

Замечание. На указанных примерах несложно сформулировать правило построения функций вида:

.

Пример 2. Постройте и прочтите график функции: а) , б) .

Решение. а) Этот пример также демонстрирует преобразование графиков функций, но только уже другого типа. Начинаем построение с простейшей функции  (пунктиром). Затем график построенной функции смещаем на 2 вверх и получаем на рисунке 5 искомый график (красная кривая). Точка с координатами (1;1) при этом, например, переходит в точку (1;3).

Рис. 5.

Прочтем график: если аргумент меняется от 0 до , функция возрастает от 2 до . Область определения (ОДЗ): .

б) Также начинаем построение с простейшей функции  (пунктиром). Затем график построенной функции (рис. 6) смещаем на 1 вниз и получаем искомый график (красная кривая). Точка с координатами (1;1) при этом, например, переходит в точку (1;0).

Рис. 6.

Прочтем график: если аргумент меняется от 0 до , функция возрастает от  до . Область определения (ОДЗ): .

Замечание. С помощью указанных примеров сформулируем правило построения функций вида:

.

Пример 3. Постройте и прочтите график функции .

Решение. Метод построения указанной функции представляет собой комбинацию двух методов, которые мы видели в предыдущих примерах. Сначала строим основную функцию  (пунктиром), затем смещаем ее на 1 вправо и на 2 вверх (рис. 7). При этом, например, точка с координатами (1;1) сначала перейдет в точку (2;1), а затем в точку (2;3). Искомая кривая изображена красным цветом.

Рис. 7.

Прочтем график: если аргумент меняется от  до , функция возрастает от 2 до . Область определения (ОДЗ) – подкоренное выражение неотрицательно: .

Замечание. Как видно на указанном примере, преобразования графиков функций, которые мы рассмотрели, можно применять последовательно в комплексе.

Пример 4. Постройте и прочтите график функции .

Решение. Для построения данной составной функции изображаем ее части в приведенных диапазонах построения (рис. 8). Для этого сначала изображаем пунктиром всю функцию , затем всю функцию , а затем наводим (красная кривая) только те их области, которые заданы условием задачи. Сливаются два участка кривой в точке с координатами (1;1).

Рис. 8.

Прочтем график: если аргумент меняется от  до 1, функция возрастает от 0 до , если аргумент меняется от 1 до , функция убывает от 1 до 0. Область определения (ОДЗ) – подкоренное выражение неотрицательно: .

 Пример на решение системы уравнений с квадратным корнем

Пример 5. Графически решить систему уравнений .

Решение. Для решения системы графическим способом необходимо построить графики функций (рис. 9), представляющих собой уравнения системы, и определить координаты их точек пересечения.

Рис. 9.

На графике изображен полезный факт, демонстрирующий, что графики квадратичной функции и квадратного корня симметричны относительно графика функции  . По графику видно, что имеем две точки пересечения, т. е. система имеет два решения. Для определения точных значений этих решений подставим стандартные значения аргумента в обе исследуемые функции: 0 и 1. При этом получим:  и , т. е. координаты точек пересечения графиков и решения системы:  и .

Ответ. (0;0), (1;1).

 Пример на решения уравнения с параметром

Пример 6. (С параметром). При каких значениях параметра  имеет решение уравнение ?

Решение. Для исследования значений параметра  воспользуемся графическим методом и построим график функции . Мы его уже строили на сегодняшнем уроке, поэтому воспользуемся готовым рисунком 10.

Рис. 10.

Прочтем график: если аргумент меняется от  до , функция возрастает от 2 до . Из этого следует, что функция принимает значения только , причем при аргументе  она принимает свое минимальное значение . Из полученного диапазона изменения  можно сделать однозначный вывод, что параметр , который в уравнении приравнивается к рассмотренной функции, может принимать такие же значения . Например, при  имеем, что , т. е. у уравнения есть корень и т. д.

Ответ..

На следующем уроке мы рассмотрим свойства квадратных корней.

На данном уроке мы познакомимся со свойствами квадратных корней. Эти свойства позволяют решать многие примеры, связанные с квадратными корнями. На этом уроке мы не только сформулируем свойства квадратных корней, но и докажем их, а также решим несколько примеров.

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Свойства квадратных корней

 1. Повторение определения и графика функции y = √x

На этом уроке мы повторим теорию, изученную ранее, а также сформулируем и докажем свойства квадратных корней и решим несколько примеров.

Напомним определение квадратного корня:

квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен : .

К примеру: , т. к. ; , т. к. ; , т. к. .

Вспомним, как выглядит график функции . Он тесно связан с графиком функции .

Рис. 1.

График функцией :

Рис. 2.

Итак, мы вспомнили, что такое корень квадратный из неотрицательного числа (арифметический корень) и как выглядит его график.

 2. Свойство корня из произведения с примерами

Квадратный корень (арифметический корень) обладает целым рядом свойств:

1.  (). Если  и  – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: . Но мы знаем, что функция  принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

Рассмотрим обобщение первого свойства:

.

Примеры:

1. .

2. .

3.  (). Если  – неотрицательное число, а  – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

 3. Свойство корня из частного с примерами

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: . Но мы знаем, что функция  принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

3.  ().

 4. Свойство корня из чётной степени с примерами

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: . Но мы знаем, что функция  принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

 5. Примеры решения различных задач на свойства квадратного корня

Рассмотренные свойства широко используются в различных задачах.

Решим несколько примеров.

1. .

Конечно, в данном примере можно было просто вычислить квадраты указанных чисел, а затем посчитать их разность. Однако предложенный нами способ решения универсальный. А подсчёт «в лоб» станет невозможным для больших чисел.

Прежде, чем решать следующий пример, рассмотрим одну из самых распространённых и грубейших ошибок, которую часто допускают при работе с квадратными корнями.

Утверждение:  – НЕВЕРНО!!!

В качестве подтверждения рассмотрим следующий пример:

, а не: . Как видим, применение неправильной формулы приводит к неправильным результатам.

2.  .

3. .

4. 

Или: .

Итак, мы рассмотрели свойства квадратного корня из неотрицательного числа, доказали эти свойства, а также научились применять их для решения различных примеров.

На следующем уроке мы научимся решать различные более сложные задачи с помощью этих свойств.

На этом уроке мы систематизируем те знания о квадратных корнях, которые мы получили на предыдущих уроках. Вначале мы вспомним определение квадратного корня, основные свойства корней, а затем закрепим знание теории на решении практических задач с корнями.

 Определение и основные свойства квадратного корня

Вначале повторим основную теорию.

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа  называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .

.

Из определения следует тождество  при .

Пример 1. Вычислить значения корней:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Основные свойства квадратного корня:

а) 

б)  (аналогично верно и для любого количества множителей)

в) 

г) 

 Примеры на вычисление квадратных корней с применением их свойств

Пример 2. Вычислите а) ; б) .

Решение. а) Преобразуем десятичную дробь к виду обыкновенной дроби .

б) Внесем частное корней под один корень и выполним сокращение: .

Ответ. 1,5; 30.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Для вычисления корней из больших чисел удобно использовать их разложение на простые множители, что можно сделать согласно основной теореме арифметики.

. Из полученного разложения можно записать: .

Ответ. 28.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Для выполнения умножения дробей и извлечения из них квадратного корня необходимо привести их к виду неправильных дробей.

 и . Подставим полученные дроби под знак корня:

.

Ответ..

Пример 5. Вычислить .

Решение. Этот пример демонстрирует, что в некоторых случаях для преобразования численных выражений удобно пользоваться формулами сокращенного умножения, в данном случае это формула разности квадратов.

.

Ответ..

 Пример на функциональное тождество

Пример 6. Дано: . Доказать: .

Доказательство. Отметим, что указанная функция имеет область определения  из определения квадратного корня. Выпишем, чему равны левая и правая часть доказываемого тождества:

, что и требовалось доказать.

Доказано.

На следующем уроке мы начнем рассмотрение преобразований выражений с корнями.

На данном уроке мы познакомимся с одной из важнейших операций при работе с корнями – вынесение множителя из-под знака корня. Кроме того, мы научимся извлекать корень из квадрата положительных и отрицательных чисел. На этом уроке мы сформулируем и докажем свойства квадратных корней, связанных с вынесением множителя из-под знака корня, а также разберём ряд примеров на эти свойства.

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)

 1. Повторение определения и свойств квадратного корня

Напомним определение квадратного корня:

квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое число неотрицательное число , квадрат которого равен : .

Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:

.

Рассмотрим несколько примеров на вычисление корней: , т. к. ; , т. к. ; , т. к. ; .

Напомним также основные свойства квадратного корня:

1.  (). Если  и  – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

2.  (). Если  – неотрицательное число, а  – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

3.  ().

Примеры:

1. .

2. .

 2. Свойство корня – вынесение множителя из-под знака корня

Докажем теперь ещё одно не менее важное свойство квадратного корня:

, т. е.: .

Доказательство:

Напомним вначале определение модуля: . Примеры: , , .

Рассмотрим два случая:

1. , т. к.  – можно пользоваться определением корня квадратного из неотрицательного числа.

2. . В этом случае: . Тогда для числа  можем воспользоваться результатами первого случая: .

Утверждение доказано

Естественным обобщением данного свойства является формула:

 .

 3. Примеры решения задач на вынесение множителя из-под знака корня

Рассмотрим типовые задачи на применение указанного свойства.

Примеры:

1. 

.

2. 

.

3. 

.

4. 

.

Необходимо понимать, что во всех рассмотренных примерах значение корней всегда получается неотрицательным (несмотря на наличие перед некоторыми ответами знака . К примеру, в примере 4 ответ положительный, так как знак выражения  , а перед самим выражением стоит ещё один . Как известно, минус на минус даёт плюс.

Решим ещё несколько примеров, в которых фигурируют уже несколько переменных:

5. 

 ( – по условию,  – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).

6. 

 ( – по условию,  – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).

7. 

( – по условию,  – так как ).

8. 

 ( – по условию,  – так как ).