Математика 5-6

Данный урок поможет вам получить представление о системах счисления. Сегодня вы узнаете, что такое система счисления и для чего она нужна. Мы рассмотрим систему счисления на примере с кубиками. В этом уроке мы научимся различать позиционные и непозиционные системы счисления, а также узнаем, какими системами счисления мы пользуемся в повседневной жизни.

 Введение

Что же такое система счисления? Система счисления – это способ записи чисел с помощью письменных знаков. Например, китайцы используют иероглифы, евреи, славяне использовали буквы, а у нас есть специальные знаки.

 Позиционная система счисления

Представьте себе, что вы умеете считать только до двух. Давайте попробуем на примере с кубиками: 1 кубик, 2 кубика, а как дальше – мы не знаем (см. рис. 1).

Рис. 1. Кубики

Что же делать? Объединим их в новую мерку – столбик (см. рис. 2). Будем считать дальше: 1 кубик, 2 кубика, не можем посчитать следующий кубик. Объединяем в столбик. Дальше считаем: 1 кубик, 2 кубика, не можем посчитать следующий кубик. Объединяем в столбик. Считаем столбики: 1 столбик, 2 столбика, не можем посчитать следующий столбик.

Рис. 2. Столбики

Что будем делать? Будем делать еще одну новую мерку, только побольше. Назовем ее башенкой (см. рис. 3). Что же получилось? 1 башенка, 1 столбик и два кубика. Согласитесь, что все время писать так очень неудобно. Поэтому удобнее записать просто: 1 1 2. Возьмем теперь 9 кубиков и посчитаем их нашим способом: 1, 2, 3 – столбик; 1, 2, 3 – столбик, 1, 2, 3 – 1 столбик. Считаем столбики: 1, 2, 3 – 1 башенка. Как же теперь это записать. Так и пишем: 1 башенка, но так неудобно писать все время. Хочу записать по-другому – 1. Но как тогда понять 1 чего: кубика, столбика или башенки? Как же быть? Давайте допишем еще 2 ноля и получится: 1 башенка – 100. Что это будет означать? Это значит 1 башенка, 0 столбиков и 0 кубиков. А теперь возьмем еще 2 кубика. Как это записать? Пишем: 1 башенка и 2 кубика – 12. Но как понять, это 1 башенка и 2 кубика или 1 столбик и 2 кубика? Столбиков-то нет, значит, на их место мы поставим 0 – и получится у нас: 102.

Рис. 3. Башенки

Смотрим на это число и сразу понимаем, что у нас 1 башенка, 0 столбиков и 2 кубика. То, что мы сейчас сделали, называется позиционной системой счисления. Почему позиционной? Потому что в зависимости от того, в каком месте стоит цифра, меняется ее значение, то есть мы понимаем, про столбики идет речь или про башенки.

Давайте посмотрим, какие числа у нас получатся по порядку: 1, 2, 3 – столбик, то есть 10, потому что 1 столбик и 0 кубиков. Добавляем еще 1 кубик и получается: 11 (один столбик и один кубик), добавляем еще один кубик – 12 (1 столбик и 2 кубика), добавляем еще 1 кубик, получился новый столбик, то есть 20 (2 столбика и ни одного кубика). Еще добавляем 1 кубик: 21 (2 столбика и 1 кубик). Так мы делаем до тех пор, пока у нас не получится башенка, получается 100 (1 башенка, ни одного столбика и ни одного кубика). Еще добавляем 1 кубик: 101 (1 башенка, ни одного столбика и 1 кубик). Добавляем кубики до столбика плюс 1 кубик, получим 111 (1 башенка, 1 столбик и 1 кубик). Так можно продолжать до бесконечности. То, что мы получили, называется троичной системой исчисления, потому что у нас всего три цифры: 0, 1 и 2.

Обычно мы пользуемся десятичной системой исчисления. В ней десять цифр, поэтому она так и называется: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В десятичной системе каждые 10 конфет мы пакуем в коробку, каждые 10 коробок мы пакуем в мешок и каждые 10 мешков мы пакуем в контейнер. Поэтому, когда мы видим число 1548, мы сразу понимаем, что у нас 1 контейнер (или 1 тысяча), 5 мешков (или 5 сотен), 4 коробки (или 4 десятка) и еще 8 конфет (то есть 8 единиц). В десятичной системе мы производим практически все операции. Например, в 1 см 10 мм, в 1 дм 10 см, в 1 м 10 дм.

Но существует не только десятичная система счисления. Например, на двоичной системе счисления строится программирование. Потому что это очень просто: горит свет или не горит, есть сигнал или нет. В двоичной системе только две цифры: 0 и 1, как «да» и «нет».

 Непозиционная система счисления

Помимо позиционных систем счисления, есть еще непозиционные. Это такие системы, в которых, в каком бы месте значок ни был записан, он всегда обозначает одно и то же. Например, в римской системе счисления X обозначает цифру 10, и, где бы X ни стоял, он всегда обозначает 10. Правда, если поставить I справа от X (XI) и слева от X (IX), это будет либо 9, либо 11.

Древние славяне, например, цифры обозначали буквами. То есть цифра α = 1, буква β = 2. Чем неудобны непозиционные системы и почему сейчас мы пользуемся позиционной? Дело в том, что в позиционной системе счисления очень удобно складывать. Вы коробки складываете с коробками, пакеты с пакетами, штуки со штуками. А в непозиционной системе так не получится. Сегодня непозиционные системы счисления используются, скорее, как выразительное средство, или там, где это исторически принято. Например, для записи времени постройки здания или для обозначения глав.

Давайте подведем итог. Система счисления – это способ записи чисел. Бывают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение символа зависит от того, на каком месте он стоит, а в непозиционных системах счисления совершенно все равно, на каком месте стоит символ, он всегда обозначает одно и то же.

На этом уроке мы поговорим о том, что такое число, какие функции оно может выполнять. Кроме того, мы поговорим о том, почему мы так их записываем, почему используем десятичную систему счисления.

 Введение

В жизни мы практически каждый день видим такие рисунки (Рис. 1). Это знаки.

Рис. 1. Знаки

Их понимают практически все, поэтому их используют там, где необходимо сообщить какую-то информацию большому количеству разных людей: в аэропортах, на железнодорожных вокзалах, там, где много иностранцев, или на автомобильных дорогах (Рис. 2).

Рис. 2. Знаки и их значение

Этот знак мы не понимаем (Рис. 3). Но в Китае его понимают все – там он и используется.

Рис. 3. Китайский иероглиф

Люди придумали знаки, чтобы что-то сообщать друг другу. Из всего того, что люди сообщают посредством речи, можно выделить слова, которые означают предметы, и слова, которые означают понятия, на которые нельзя указать (дружба, любовь, опасность и т.д.) (Рис. 4).

Рис. 4. Первый столбец – предметы, второй столбец – понятия, на которые нельзя указать

Знак «сердечко» тоже означает не предмет, а отношение человека к объекту (Рис. 5).

Рис. 5. Смысл знака «сердечко»

Получается, что знаки можно различать по типу объекта, которые они означают. А можно поступить по-другому – различать знаки по их виду.

• Изобразительные. Такие знаки понятны практически любому, ведь в них угадываются отличительные особенности реальных объектов (Рис. 6).

Рис. 6. Знак «Пешеходный переход» и иероглиф «Дверь»

• Символы. Это, например, любое записанное слово или знак «кирпич». Такие знаки понятны только тем, кто заранее знает, что они означают (Рис. 7).

Рис. 7. Символ

Слова – это самые часто употребляемые знаки. И для записи слов придумали алфавит (Рис. 8).

Рис. 8. Алфавит

Алфавит и иероглифы

Мы используем алфавитное письмо. То есть все слова состоят из букв (Рис. 1).

Рис. 1. Буквы

Сама буква не несет никакого смысла. И только соединенные в определенном порядке вместе буквы образуют слово. Таким образом, единица алфавита, буква – это знак, который обозначает только лишь сам себя (Рис. 2).

Рис. 2. Буквы, стоящие в определенном порядке, образуют слово

А иероглиф – это знак, который обозначает целый предмет. Иероглифы обозначают сразу целое слово (Рис. 3).

Рис. 3. Иероглифы обозначают слово

Существенное отличие двух этих систем записи в том, что любое новое слово в русском языке может быть записано с использованием уже имеющихся букв. Например, относительно недавно из букв И, Н, Е, Т, Р появилось слово «интернет» (Рис. 4).

Рис. 4. Образование новых слов

При использовании иероглифов для записи нового слова нам потребовался бы новый символ (Рис. 5).

Рис. 5. Новый символ

Как видите, алфавитная система гораздо экономней. Для записи любого слова необходимо всего лишь  символа. А англичане обходятся только лишь 26 символами (Рис. 6).

Рис. 6. В английском алфавите  букв

Словами мы можем описать, например, свойство предмета – зеленый, высокий (Рис. 9).

Рис. 9. Слова описывают свойства

А какое свойство есть у множества предметов? Причем общее свойство, присущее любому множеству. Это количество предметов (Рис. 10).

Рис. 10. Количество предметов – общее свойство всех множеств

Для записи количества используются другие символы – цифры. Цифры – это словно буквы для чисел. Мы привыкли использовать десять цифр: . Используя цифры, можно записать абсолютно любое число:  и т.д.

 Функции чисел

Числа, как и слова, это знаки-символы. Натуральное число обозначает только лишь количество предметов в множестве, независимо от того, что это за предметы. Мы говорим «пять», «шесть», зная, что называем только лишь количество, а не сами предметы. Получается, что одна из основных функций чисел – это обозначение количества (Рис. 11).

Рис. 11. Числа обозначают количество

Кроме количества, натуральные числа могут задать порядок. Эта роль числа также очень важна (Рис. 12). Только представьте, как бы мы искали места в кинотеатре, если бы на каждом из них было написано имя купившего билет.

Рис. 12. В данном случае число задает порядок

Третьей, не менее важной и привычной для нас функцией натурального числа, может быть его использование в качестве имени. Когда мы записываем в телефон номер друга, мы словно присваиваем ему числовое имя. Ясно, что это просто набор цифр, который не обозначает количество, не задает какой-либо порядок, это просто имя телефона друга в телефонной книге (Рис. 13).

Рис. 13. Число в роли имени

Другими примерами использования этой функции чисел могут быть автомобильные номера, номера паспортов и т.д. (Рис. 14).

Рис. 14. Примеры использования чисел в качестве имен

Все три функции чисел и их записи существенно отличаются. Если использовать числа для определения количества, то их можно складывать. Например, было  яблок, потом купили  яблок, и в итоге стало  (Рис. 15).

Рис. 15. Числа, использующиеся в роли количества, можно складывать

Если мы идем по улице и проходим мимо дома номер 11, то мы знаем, что через один дом будет  (Рис. 16). То есть если мы используем число для определения порядка, то оно определяет место в ряду подобных объектов.

Рис. 16. Порядок домов

Вместе с тем мы не складываем номера телефонов. К тому же мы не связываем два номера, которые отличаются только лишь последней цифрой на единицу (Рис. 17). Это же не означает то, что один телефонный номер больше другого, или то, что они находятся где-то рядом.

Рис. 17. Телефонные номера

Более того, наверняка ни у кого нет в телефонной книжке номеров, идущих подряд. Так что в этом случае номера – это просто имена (по-латыни «номер» обозначает «имя»).

Таким образом, мы видим  роли,  применения для чисел (Рис. 18).

Рис. 18. Функции чисел

 Десятичная система счислений

Для записи чисел используют разные символы: римские, арабские (Рис. 19).

Рис. 19. Запись чисел в различных системах

Привычная нам система записи чисел называется десятичной, т.к. в ней используется десять цифр. Но важно также то, что она является позиционной. Величие изобретения позиционной системы в том, что с ее помощью можно записать абсолютно любое количество элементов во множестве. Как это сделать до , понятно: можно просто использовать по одной цифре – . А потом? Придумали измерять количество группами. Например, двадцать четыре – это два по десять и еще четыре: . И можно еще сильнее сократить эту запись, если использовать следующее сокращение: . На первом месте мы обозначаем десятки, а на втором – единицы. То есть  (Рис. 20).

Рис. 20. Запись чисел в десятичной системе

Так, конечно, было не всегда. Люди записывали числа палочками, узелками, римскими цифрами (Рис. 21).

Рис. 21. Что использовалось для записи чисел

Что неудобного в римской системе? Очень трудно записывать большие числа, да и складывать их очень тяжело (Рис. 22).

Рис. 22. Римские цифры

Итак, используя всего десять привычных нам цифр, мы можем записать абсолютно любое натуральное число, сколь угодно большое (Рис. 23).

Рис. 23. Использование современной системы счисления

А вот с помощью римских цифр совсем непонятно, как записать, например,  (Рис. 24).

Рис. 24. Использование римских цифр

Позиционные и непозиционные системы счисления

Почему мы используем десятичную систему счисления, а не римскую, в принципе понятно. С помощью позиционной системы счисления можно легко выполнять операции с числами, да и к тому же небольшого количества цифр хватает, для того чтобы написать абсолютно любое число. Но почему именно десятичная, а не какая-либо другая? Однозначно ответить на этот вопрос нельзя, хотя можно выделить основные причины. Если бы цифр было меньше, то тогда запись чисел стала бы слишком громоздкой. Например, в двоичной системе счисления, где только две цифры  и , число  выглядело бы как . А если бы цифр было слишком много (например, в Древнем Вавилоне использовалась шестидесятеричная система счисления (Рис. 1)), то тогда бы пришлось очень много запоминать – существенно увеличились бы таблицы сложения и умножения.

Рис. 1. Шестидесятеричная система счисления

Конечно, можно предположить, что немаловажную роль сыграло то, что на руках у человека  пальцев и десять цифр можно буквально показывать на пальцах, это существенно упрощает запоминание. Стоит отметить, что алфавит – это тоже своего рода позиционная система счисления. От порядка расположения букв в слове зависит его смысл, например, «кот» или «ток» (Рис. 2).

Рис. 2. Кот и ток

Буквы – это словно цифры, и, используя  буквы, можно написать абсолютно любое слово.

На этом уроке вы узнаете про понятия точки и линии. Поймете, когда можно, а когда нельзя изображать объект точкой, а также научитесь определять, когда точка принадлежит линии, а когда – нет.

 Точка

Точкой мы обозначаем объект, когда нам не важен его размер. Например, если нужно на карте большой страны отметить город, то он обозначается точкой (см. рис. 1).

Рис. 1. Города на карте

На этом кусочке карты отмечены разные города. Сами города разного размера, имеют разное по количеству население. Но отмечены они одинаковыми точками. Это сделано по той причине, что в данной ситуации не важны размер и население города. Важно только его местоположение. И, разумеется, название.

Давайте отметим две точки на листе (см. рис. 2).

Рис. 2. Точки на листе

Если их рассматривать в увеличительное стекло (см. рис. 3), то, наверное, они будут иметь чуть разные размеры и форму. Но мы хорошо понимаем, что эти различия совсем несущественны.

Рис. 3. Точки под увеличительным стеклом

Важными различиями является то, где они расположены, и названия этих точек. Точки часто имеют названия, чтобы их не путать, и обозначаются заглавными буквами латинского алфавита – , ,  и т.д. (рис. 4).

Рис. 4. Точки, обозначенные буквами  и 

Говорят, что точка не имеет размера. Это означает, что не важно, какого размера мы нарисуем точку на листе бумаги. Важно, где она находится.

Один и тот же объект в одной ситуации можно отметить точкой, а в другой – нет. Например, если автомобиль едет из Москвы во Владивосток, то его местоположение вполне можно отметить точкой (см. рис. 5).

Рис. 5. Автомобиль, который можно обозначить точкой

В данном случае размер и форма автомобиля несущественны, потому как расстояние между городами намного больше, чем размеры автомобиля.

Если же необходимо начертить план автостоянки и понять, сколько машин там поместится, то размер становится важен и обозначить автомобиль точкой уже нельзя (см. рис. 6).

Рис. 6. Автомобили, которые нельзя обозначить точками

Итак, подведем итог:

· точки не имеют размера,

· точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита,

· обозначить какой-либо объект точкой можно, если размер этого объекта нам не важен (обычно это бывает, когда сам объект намного меньше той области, которую мы рассматриваем: город на карте страны, поезд по дороге из Москвы во Владивосток).

 Линия

Кроме точки, на листе мы еще с легкостью можем нарисовать линию. Обычно линию используют в двух случаях. Первый случай, когда нужно отделить одну часть рисунка от другой.

На рисунке Пабло Пикассо 1906 года «Бык» (см. рис. 7) мы видим две линии, которые ограничивают реку, являются ее берегами. Сам бык тоже очерчен линиями, и благодаря им мы понимаем, какая область рисунка – это тело быка, а какая нет.

Рис. 7. «Бык» Пабло Пикассо (1906)

Итак, чтобы отделить одну область от другой, мы проводим линию. На карте линии используют, чтобы отделить одну страну от другой (см. рис. 8). Они в данном случае называются границами.

Рис. 8. Страны на карте отделены линиями

Другой случай, когда мы используем линию, это если необходимо нарисовать след от движения, траекторию какого-нибудь движущегося объекта.

Например, если мы хотим на карте изобразить маршрут нашего автомобиля, который двигался из Москвы во Владивосток, то мы тоже воспользуемся для этого линией (см. рис. 9).

Рис. 9. Маршрут, обозначенный линией

Если рисовать линии разными карандашами, кистями, использовать разный нажим, то будет получаться разная толщина. Но во всех рассмотренных случаях толщина линии была не важна. И тонкая, и толстая линия одинаково хорошо отделяют одну область от другой, как это было с берегами реки на картине, или показывает маршрут автомобиля. Поэтому мы будем считать, что линия не имеет толщины, подразумевая, что она не важна.

 Обозначение линии

Обычно линию обозначают одним из двух способов.

1 способ

Часто линию обозначают одной строчной буквой латинского или греческого алфавита. Мы видим две линии (см. рис. 10), левая обозначена греческой буквой  (гамма), а правая – латинской буквой .

Рис. 10. Обозначение линий буквами

2 способ

Если на линии отмечено две точки и больше, то ее можно обозначить, последовательно перечислив эти точки. Например: линия  (см. рис. 11).

Рис. 11. Линия, обозначенная буквами 

Линия  (см. рис. 12).

Рис. 12. Линия, обозначенная буквами

Линия  (см. рис. 13).

Рис. 13. Линия, обозначенная буквами 

Точек нужно назвать столько, чтобы было точно понятно, о какой линии идет речь, но стараться не использовать лишних.

Например, не очень понятно, что такое линия . От точки  до точки  можно добраться разными способами (см. рис. 14).

Рис. 14. Способы обозначения линии 

Если же линии обозначить  (см. рис. 15) и  (см. рис. 16), то понятно, о какой линии конкретно идет речь.

 Точка и линия. Вывод

Итак, мы рассмотрели понятие точки и линии. Обсудили, что точка обычно нужна для обозначения местоположения. Точка не имеет размеров. Точка обозначается заглавной буквой латинского алфавита.

Линия нужна для отделения одной области от другой или для изображения траектории движения. Линия не имеет толщины. Линия обозначается или одной строчной буквой, или несколькими заглавными, где каждая заглавная буква обозначает точку нашей линии.

 Точка и линия. Принадлежность точки линии

Рассмотрим точки  и  и линию  (см. рис. 17).

Рис. 17. Линия  и точки  и 

Говорят, что точка  принадлежит линии , или линия  проходит через точку . Точка  не принадлежит линии , или линия  не проходит через точку . Таким образом, про конкретные точку и линию можно сказать одно из двух: либо точка принадлежит линии, либо нет.

Сама же линия состоит из бесконечного числа точек. Несомненно, каждая такая точка принадлежит линии. На рис. 18 изображены две линии  и . Они пересекаются в точке . Точка  принадлежит и линии , и линии .

Рис. 18. Линии  и , пересекающиеся в точке 

На рис. 19 линии  и  не пересекаются. Эти линии не имеют общих точек, то есть таких точек, которые принадлежат одновременно обеим линиям.

Рис. 19. Линии  и .

 Заключение

Итак, на сегодняшнем уроке мы обсудили точку и линию. На следующих уроках мы рассмотрим уже конкретные типы линий – отрезок, прямую и луч.

Список рекомендованной литературы

1. Математика. 5 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. 14-е изд., испр. и доп. - М.: 2013. – 270
2. Математика. 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 24-е изд., испр. - М: 2008. - 280с.
3. Математика. 5 класс. Учебник в 2 ч.  Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. 2-е изд., перераб. - М.: 2011; Ч.1 - 176с, Ч.2 - 240с.

Домашнее задание

1. Назовите точки, лежащие на отрезке  (см. рис. 20). Назовите точки, не лежащие на отрезке.
   Рис. 20. Иллюстрация к задаче
2. Найдите длину отрезка , если известно, что длина отрезка  равна 1 см (см. рис. 21).
   
   Рис. 21. Иллюстрация к задаче

На этом уроке учитель продолжит разговор о линиях и точках, расскажет, что такое отрезок, как он обозначается. Также вы узнаете о четырех способах сравнения отрезков и узнаете о единицах измерения длины. В конце урока вы вместе с учителем потренируетесь решать задачи, используя единицы измерения длины.

 Отрезок. Отрезок и точка

Если заданы точка и линия, то точка либо принадлежит этой линии, либо нет. Еще говорят, что линия проходит через точку.

На рисунке 1 точка  не принадлежит линии , или линия  не проходит через точку . Точка  принадлежит линии , или линия  проходит через точку .

Рис. 1. Линия и точки: принадлежащие линии и не принадлежащие

Пусть у нас есть две точки  и  (рис. 2). Сколько можно провести линий, которые будут проходить через обе эти точки? Или сколькими линиями можно соединить эти две точки? Бесконечное количество.

Рис. 2. Точки  и 

Точки  и  могут обозначать два места, например дом и школу. А линии, их соединяющие, – траекторию, по которой можно пройти от дома до школы (рис. 3). Часто интересует самая короткая дорога от дома до школы, от одного места до другого, от точки  до точки .

Рис. 3. Дорога от дома до школы как отрезок

Какая дорога от школы до дома самая короткая? Какая линия, соединяющая  и , будем самой короткой?

Чтобы дорога оказалась самой короткой, идти от школы до дома надо по прямой. Чтобы линия, соединяющая точки, оказалась самой короткой, соединять их нужно по прямой.

Соединим  и  самой короткой возможной линией. Такая линия называется отрезком (рис. 4). Точки  и  называются концами отрезка.

Рис. 4. Точки  и  – концы отрезка

Обозначается сам отрезок , по именам точек – концов отрезка. Другой такой же короткой линии, соединяющей  и , не существует. Если провести из  в  любую другую линию, она обязательно окажется длиннее. То есть существует только одна кратчайшая линия между  и . Она и называется отрезком.

Если мы хотим указать на другие линии, соединяющие наши точки, например верхние или нижние, то нужно добавить еще точки, чтобы не было путаницы (рис. 5).

Рис. 5. Линии  и , соединяющие точки  и 

Если две точки  и  необходимо соединить отрезком, то используется линейка. Линия, проведенная по линейке от точки  до точки  по линейке, и будет нужным отрезком (рис. 6). Сам отрезок будет называться . Точки  и  – его концами. Отрезок  является кратчайшей линией, соединяющей точки  и .

Рис. 6. Построение отрезка с помощью линейки

Любая точка либо принадлежит отрезку, либо не принадлежит.

Или говорят еще: «точка лежит на отрезке либо не лежит на отрезке». На рисунке точки  и  не принадлежат отрезку , точка  принадлежит отрезку (рис. 7).

Рис. 7. Точки, принадлежащие и не принадлежащие отрезку

Сами точки  и , концы отрезка, тоже принадлежат отрезку .

 Сравнение отрезков. Длина отрезка

Посмотрим на два отрезка на рисунке 8. Что про них можно сказать? Отрезок  короче отрезка  (рис. 8). .

Рис. 8. Отрезки  и 

Как мы это поняли? Просто увидели. То есть сравнить эти два отрезка оказалось несложно.

Задача сравнения отрезков, их длины встречается в жизни достаточно часто. Например, два человека хотят выяснить, чей рост больше, кто из них выше.

 Способы сравнения отрезков

1 способ: на глаз

Он подходит, если отрезки сильно отличаются и ответ однозначен.

Очевидно, что на рисунке 9 отрезок  больше, длиннее, чем отрезок .

Очевидно, что папа выше сына.

Рис. 9. Сравнение роста папы и сына

Очевидно, что телебашня выше дерева на рисунке 10.

Рис. 10. Сравнение высоты телебашни и дерева

Этот способ очень прост, но может привести к ошибке.

 Ошибки восприятия

Иногда, когда мы смотрим на картинку, то мы совершенно уверены, что понимаем, какой из двух отрезков больше. Но оказывается, что мы ошибаемся, потому что дополнительные построения вокруг отрезков обманывают зрение.

Пример 1

На картинке 1 нам кажется, что верхний отрезок длиннее нижнего.

Рис. 10.2. Иллюзия: кажется, что отрезки разной длины

Но это не так. В этом легко убедиться, если построить еще две линии.

Рис. 10.3. Одинаковые отрезки

Пример 2

Один из самых простых примеров ошибки восприятия. Какой отрезок короче на рисунке 3?

Рис. 10.4. Иллюзия: кажется, что отрезки не равны по длине

«Конечно же, первый!» – говорит наше восприятие. Но это не так. Эти отрезки одинаковые. В этом можно будет убедиться, воспользовавшись любым из остальных способов сравнения отрезков, которые мы рассматриваем на нашем сегодняшнем уроке.

Пример 3

Сложно поверить, что отрезки  и  равны. Дополнительные линии вокруг заставляют нас поверить, что отрезок  намного короче отрезка  на рисунке 4.

Рис. 10.5. Иллюзия: отрезки  и  имеют одинаковую длину

Все рассмотренные картинки являются примерами оптических иллюзий. Наберите в поисковой системе «оптические иллюзии», и вы найдете огромное количество очень интересных примеров по этой теме. Не только про сравнение отрезков.

Ну а мы с вами делаем главный вывод из этих примеров: не всегда можно доверять нашей оценке «на глаз». Нужны более точные методы сравнения отрезков.

 2 способ : Наложение

Если бабушка хочет понять, одинаковы ли две спицы по длине, то она возьмет их вместе, зажмет в руку и несильно стукнет ими по столу, чтобы нижние края спиц оказались на одном уровне (рис. 11). По положению верхних краев она поймет, одинаковы ли спицы, если нет, то какая из них длиннее.

Рис. 11. Проверка с помощью наложения

Такой способ можно использовать, если предметы, которые мы сравниваем, можно легко приложить один к другому. Например, для сравнения роста люди встают спиной друг к другу и смотрят, чья макушка окажется выше.

Итак, метод заключается в том, что два предмета прикладывают друг к другу, совмещают концы с одной стороны и по положению других концов понимают, какой отрезок больше или, может быть, они равны.

Этот метод уже является точным, в отличие от первого. Но у него есть один серьезный недостаток. Чтобы им воспользоваться, нужно иметь возможность взять один отрезок и переместить, приложить его ко второму. Это не всегда возможно.

Ведь даже если нарисованы два отрезка, затруднительно взять один из них и приложить к другому. Если только разрезать лист, сложить части друг с другом и посмотреть на просвет.

 3 способ : Промежуточный измеритель

Если один предмет мы не можем приставить к другому, то можно использовать третий, который легко совмещается с первым и вторым по очереди. Таким измерителем часто являются наши руки.

Если мы хотим понять, пройдет ли диван в дверной проем, мы руками отмечаем его ширину и, стараясь не изменить расстояние между руками, подходим к дверному проему и проверяем, хватит ли ширины дверей.

Мы можем использовать веревку, нитку, палку, чтобы сравнить длины двух предметов, которые сложно перемещать. Приложить нитку к одному предмету, потом ее же к другому. Так сразу будет понятно, какой из предметов длиннее. В математике для этой цели используются специальный измеритель, циркуль.

Нужно сравнить два отрезка  и  (рис. 12).

Рис. 12. Отрезки для сравнения

Совмещаем концы отрезка  с иголками измерителя (рис. 13) и, не меняя раствора, сравниваем с другим отрезком (рис. 14).

Отрезок  равен отрезку .

Записывается это так: .

Или может оказаться такая ситуация (рис. 15).

Рис. 15. Отрезки для сравнения

Отрезок  не равен отрезку . Он равен отрезку , который является частью отрезка  (рис. 16).

Рис. 16. Отрезок равен части отрезка 

Отрезок  меньше отрезка , так как является его частью.

Отрезок меньше отрезка , потому что равен его части.

 4 способ: Измерение отрезков

Во всех предыдущих способах мы сравнивали отрезки, выясняли, у кого из них длина больше. Но саму длину не измеряли. Мы ее не знали.

Так, два человека могут встать друг другу спиной и выяснить, кто из них выше. Но каков рост каждого из них, они не узнают.

Последний способ, который мы сейчас рассмотрим, заключается в том, чтобы измерить длину каждого отрезка и сравнить их длины.

Так, если два человека знают, что рост одного составляет 1 м 73 см, а другого – 1 м 75 см, то понятно, что второй выше, и не нужно вставать рядом, чтобы это понять.

Длина, выраженная числом, то есть измеренная, становится очень удобным инструментом. Мы теперь эту длину можем записать, передать по телефону, запомнить.

Чтобы измерить отрезок, нужно приложить к нему линейку с нанесенной шкалой.

На рисунке 17 мы видим, что длина первого отрезка составляет 6 см, второго – 7 см.

Рис. 17. Измерение отрезков линейкой

Второй отрезок больше. Кроме того, мы теперь знаем, что второй не просто больше, а больше на 1 см.

А что если один отрезок измерял один человек, а второй – другой человек, да еще и в другом городе? Можно ли будет сравнить эти два отрезка? Да, это возможно потому, что на всех линейках нанесены одинаковые деления и не важно, какой конкретно линейкой мы пользовались. Скорее всего, на всех таких линейках мы увидим одинаковые деления – сантиметры и миллиметры.

 Единицы измерения длины. Метр

Одна из самых часто встречающихся единиц длины – это метр.

Метр используется при измерении объектов не маленьких, но и не огромных, таких, которые можно оценить на глаз, увидеть сразу целиком: длина комнаты или двора, высота дерева или дома, расстояние от дома до школы и так далее. Сокращенно метр обозначается буквой «м». Точка, обозначающая сокращение, не нужна.

Все остальные единицы для измерения либо очень больших объектов, либо намного меньших получаются из метра.

 Километр

Приставка «кило-» означает тысячу. Если перед словом метр поставить приставку «кило-», то полученное слово «километр» будет обозначать тысячу метров.

Сам километр кратко обозначается двумя буквами «км», тоже без точки для сокращения.

В километрах мы меряем большие расстояния, например расстояния между городами.

Если соединить центры Москвы и Санкт-Петербурга воображаемым отрезком (рис. 18), то его длина будет равна 635 км, или 635 000 метров.

Рис. 18. Отрезок между Москвой и Санкт-Петербургом

 Дециметр

Для измерения длин небольших объектов используют более мелкие единицы. Разделим 1 метр на 10. Чтобы получить название этой единицы длины, поставим приставку «деци-» перед словом «метр».

Приставка «деци-» означает одну десятую, что в десять раз меньше. Обозначается дециметр буквами «дм».

 Сантиметр

Разделим 1 метр на 100. Чтобы получить название этой единицы длины, поставим приставку «санти-» перед словом «метр». Приставка «санти-» означает одну сотую, что-то, в сто раз меньшее. Обозначается сантиметр буквами «см».

 Миллиметр

Разделим 1 метр на 1000. Чтобы получить название этой единицы длины, поставим приставку «милли-» перед словом «метр». Приставка «милли-» означает одну тысячную, что-то, в тысячу раз меньшее. Обозначается миллиметр буквами «мм».

 Взаимосвязь единиц длины

Кроме понимания, сколько в 1 метре содержится дециметров, сантиметров и миллиметров, полезно запомнить и соотношения напрямую между соседними единицами.

Мы делили метр на 10, 100 и 1000 частей. Но это равносильно делению на 10 уже полученных единиц. То есть поделили метр на 10, получили дециметр. Поделили еще раз на 10, получили сантиметр. Еще раз на 10, получили миллиметр.

Посмотрим еще раз на все эти единицы измерения вместе. Метр примерно можно получить как расстояние от плеча одной руки до вытянутых кончиков пальцев другой руки (рис. 19).

Рис. 19. Расстояние от плеча одной руки до конца второй руки примерно равно метру

На рисунке 20 деления на верхней линейке – сантиметры. В 1 метре 100 сантиметров. На нижней линейке сантиметры разделены на 10 делений. Это миллиметры.  

Рис. 20. Линейки с различными шкалами

Дециметры обычно не отмечают на линейках и не делают для них специальных делений. Так сложилось, что в жизни редко используют эту величину. Мы почти не слышим слова «дециметр», хотя слова «сантиметр» и «миллиметр» можем услышать достаточно часто. В различных задачах эта единица бывает часто, и, чтобы решать их, нужно обязательно помнить, что это такое.

Рост человека измеряют или только в сантиметрах, или метрах и сантиметрах. Если рост человека составляет 1 м 75 см, то каков его рост в сантиметрах?

Так как 1 м равен 100 сантиметрам, то рост равен .

Рост Петра Первого составлял 203 см. Как его рост записать другим способом?

 Задача

Дорога длиной 3 км и шириной 2 м 40 см выложена квадратной плиткой со стороной 6 дм. Сколько плиток понадобилось, чтобы выложить всю дорогу?

Решение

Рассмотрим рисунок 21.

Рис. 21. Иллюстрация к задаче

Найдем сначала, сколько плиток помещается в ширину дороги.

Для этого нужно ширину дороги разделить на размер стороны плитки, но перед этим нужно указать эти размеры в одинаковых единицах измерения.

В одном метре 10 дм, следовательно, 2 метра – это 20 дм. 10 сантиметров – это 1 дециметр, следовательно, 40 см – это 4 дм.

Получаем: .

В ширину дороги укладывается  То есть дорожка в 4 раза шире, чем плитка. Значит, в ширину помещается 4 плитки.

Теперь посчитаем, сколько плиток помещается в длину.

Длина дороги составляет 30 000 дм. Разделим эту длину на размер плитки, на 6 дм.

 Заключение

Итак, в длину помещается 5000 плиток, а в ширину – 4 штуки.

Всего необходимо  плиток.

На уроке вы познакомитесь с понятием плоскости, с различными минимальными фигурами, которые есть в геометрии, и изучите их свойства. Узнаете, что такое прямая, отрезок, луч, угол и др.

 Плоскость

Все геометрические фигуры мы изображаем на листе бумаги карандашом, на школьной доске мелом или маркером. Часто летом мелом или белым камушком мы рисуем фигуры на асфальте. И всегда, прежде чем начинать рисовать задуманное, мы оцениваем, хватит ли нам места. А так как мы редко знаем точные размеры нашего будущего рисунка, то всегда места нужно взять с запасом, и лучше с большим запасом. Обычно мы не боимся, что место для рисования кончится, если поле для рисования во много раз больше, чем сам рисунок. Так асфальта во дворе вполне хватит, чтобы начертить поле для прыганья. Тетрадного листа достаточно, чтобы посредине начертить два пересекающихся отрезка.

В математике таким полем, на котором мы все изображаем, является плоскость (рис. 1).

Рис. 1. Плоскость

Она обладает двумя качествами:

1. На ней можно изобразить любую фигуру, про которую мы уже говорили, или еще будем говорить.

2. Мы не дойдем до края. Ее размеры можно считать намного большими, чем размеры рисунка.

 Бесконечность

То обстоятельство, что мы никогда не доходим до края плоскости, можно понимать как отсутствие краев вообще. Нам не нужны ее края, вот мы и договорились считать, что их нет (рис. 2).

Рис. 2. Плоскость бесконечна

В этом смысле плоскость бесконечна в любую сторону.

Мы можем представлять ее как большой лист бумаги, большую ровную асфальтовую площадку или огромную доску для рисования.

 Элементарные фигуры

Геометрических фигур бесконечное множество, и изучить их все совершенно невозможно. Но геометрия устроена во многом как конструктор. Есть несколько видов основных деталей, из которых можно построить все остальное, любую самую сложную постройку.

Этот принцип можно сравнить со словами и буквами: мы знаем все буквы, но не знаем всех слов. Встретив незнакомое слово, мы сможем его прочитать, так как знаем, как буквы пишутся и как произносятся соответствующие звуки.

Так и в математике – существует совсем немного основных геометрических фигур, которые нам с вами нужно хорошо знать.

 Прямая

Рассмотрим отрезок  (рис. 3). Отрезок – это кратчайшая линия, соединяющая две точки.

Рис. 3. Отрезок 

Продолжим отрезок в обе стороны до бесконечности. Продолжать будем тоже прямо.

Что значит «прямо»? Рассмотрим отрезки  и  (рис. 4).

Рис. 4. Отрезки  и 

Продолжим их в обе стороны. Верхняя линия прямая, а нижняя нет (рис. 5).

Рис. 5. Прямая линия  и непрямая линия 

Добавим еще по одной точке на верхнюю и нижнюю линию  и  (рис. 6). Часть верхней линии между точками  и  тоже является отрезком, а часть нижней линии между точками  и  отрезком не является, так как он не соединяет эти точки по самому короткому пути.

Рис. 6. Продолжение линий  и 

Прямая – это линия, продолжающаяся бесконечно в обе стороны, любая часть которой, ограниченная двумя точками, является отрезком.

 Свойства прямой

Прямая – это тип линии, и, как любая линия, прямая является фигурой. И, как для любой линии, данная точка либо принадлежит данной прямой, либо нет (рис. 7).

Рис. 7. Точки  и , принадлежащие прямой, и точки  и , не принадлежащие прямой

1. Прямая делит плоскость на две части, на две полуплоскости. На рисунке 8 точки  и  лежат в одной полуплоскости, а  и  – в разных полуплоскостях.

Рис. 8. Две полуплоскости

2. Через две точки всегда можно провести прямую, причем только одну (рис. 9).

Рис. 9. Прямая, проведенная через две точки

Прямую, как и любую линию, можно отметить одной строчной буквой латинского алфавита или последовательностью точек, который на ней лежат. Чтобы обозначить прямую через точки, лежащие на ней, достаточно двух точек.

 Луч

Продлив отрезок в обе стороны до бесконечности, получили прямую. Если так же продлить отрезок, но всего лишь в одну сторону до бесконечности, получим фигуру, которая называется луч (рис. 10). Этот геометрический луч очень похож на световой луч, поэтому он так и называется. Если взять в руки лазерную указку, то луч света будет начинаться в указке и уходить в бесконечность по прямой.

Рис. 10. Луч

Точка  называется началом луча. Обозначается луч .

Если на прямой отметить точку , то она делит эту прямую на два луча (рис. 11). Оба луча имеют начало в точке , но направлены в разные стороны. Два этих луча составляют прямую, являются ее половинами. Поэтому луч часто еще называют «полупрямая».

Рис. 11. Точка  делит прямую на два луча

Рассмотрим рисунок 12.

Рис. 12. Отрезок, прямая и луч

Разберемся, в чем похожи и не похожи друг на друга отрезок, прямая и луч:

- отрезок и луч легко достраиваются до прямой, отрезок для этого нужно продолжить в обе стороны, а луч в одну;

- на прямой всегда можно выделить отрезок или луч;

- точка  делит прямую на два луча, на две полупрямые;

- точки  и  ограничивают на прямой отрезок ;

- все эти фигуры: отрезок, луч, прямая – являются «прямыми линиями». Различаются они наличием концов. У отрезка их два, у луча один, у прямой ни одного. Иначе можно сказать еще так: и луч, и отрезок являются частью прямой;

- нам известно, что у отрезка можно измерить его длину. Два отрезка можно сравнить, выяснить, какой из них длиннее;

- прямая же бесконечно продолжается в обе стороны, луч – в одну сторону. По этой причине невозможно измерить длину прямой или луча, также невозможно сравнить по длине две прямых или два луча. Они все одинаково бесконечны.

 Угол

Два луча, имеющие свои начала в одной точке, образуют еще одну геометрическую фигуру из основного набора – угол. Точка, начало обоих лучей, называется вершиной угла. Сами лучи называются сторонами угла.

Итак, угол – это фигура, состоящая из двух лучей, выходящих из одной точки (рис. 13).

Рис. 13. Угол

Обозначают угол одной буквой, соответствующей обозначению вершины. В данном случае угол можно назвать угол  (рис. 14). Чтобы было понятно, что речь идет именно об угле, а не о точке, перед его названием надо написать слово «угол» или поставить специальный знак угла («»).

Рис. 14. Угол 

Если по вершине сложно понять, о каком именно угле идет речь, как на рисунке 15, то используют еще две точки на обеих сторонах угла.

Если просто назвать угол  на этом рисунке, то непонятно, о каком конкретно идет речь, ведь с вершиной в точке  мы видим несколько углов. Поэтому на стороны нужного нам угла добавим по точке и угол обозначим как  (рис. 15).

Рис. 15. Угол 

Можно при обозначении пойти в обратную сторону, но чтобы опять вершина  оказалась в середине записи .

Еще одно распространенное обозначение – одной греческой буквой: альфа, бета, гамма и так далее (рис. 16). В этом случае букву вписывают обычно внутрь угла (рис. 17).

Рис. 16. Греческий алфавит

Рис. 17. Название угла, записанное внутри угла

Так, на рисунке 18 обозначения , ,  являются эквивалентными, обозначают один и тот же угол.

Рис. 18. , ,  – один и тот же угол

Пусть две прямые  и  пересекаются в точке  (рис. 19). Точка  делит каждую прямую на два луча, то есть всего 4 луча. Каждая пара лучей задает угол.

Рис. 19. Прямые  и  образуют 4 луча

Например, , , .

 Ломаная

Через две точки  и  всегда можно провести прямую. Так ли это с тремя точками?

На рисунке 20 через три точки можно провести прямую, а на рисунке 21 – нельзя.

Рис. 20. Через три точки можно провести прямую

Рис. 21. Через три точки нельзя провести прямую

Про три точки на рисунке говорят, что они лежат на одной прямой. Так говорят, даже если сама прямая не начерчена, просто подразумевая, что ее можно провести. Во втором случае говорят, что точки не лежат на одной прямой, подразумевая, что провести прямую через все три точки невозможно.

Если мы соединим последовательно сначала 1-ю и 2-ю точки, потом 2-ю и 3-ю, то полученная линия называется ломаной (рис. 22). Название следует из ее внешнего вида.

Рис. 22. Ломаная

Аналогично ломаной можно соединить любое количество точек. Точки , , , ,  называются вершинами ломаной, отрезки , , ,  – звеньями ломаной.

Обозначается ломаная своими вершинами .

Рис. 23. Ломаная 

Если последнюю точку соединить с первой, то полученная ломаная называется замкнутой (рис. 24).

Рис. 24. Замкнутая ломаная 

 Треугольник

Какую ломаную можно построить с минимальным набором вершин и звеньев? Если есть две точки, то их можно соединить отрезком. Это и будет самым простым примером ломаной: две вершины и одно звено, их соединяющее. Можно сказать, что отрезок – это минимальная ломаная.

Если требуется, чтобы ломаная была замкнута, то самой простой такой ломаной будет треугольник. Если взять две точки, то соединить последнюю точку с первой получится только тем же самым отрезком, который уже есть. То есть ломаная останется, как и раньше, незамкнутой. А если добавить еще одну точку, не лежащую на одной прямой с точками  и , соединить тремя отрезками все точки, получится треугольник (рис. 25).

Рис. 25. Треугольник

Треугольник – это замкнутая ломаная с тремя вершинами. Или даже так: треугольник – это минимальная замкнутая ломаная.

Точки ,  и  – это вершины треугольника. Отрезки, их соединяющие, звенья ломаной, называются сторонами треугольника.

Обозначается треугольник по своим вершинам. Например, . Перед обозначением нужно поставить слово «треугольник» или специальный символ треугольника («»).

Треугольник подразумевает три угла. Из каждой из вершин исходит по две стороны, то есть стороны треугольника являются сторонами углов (рис. 26).

Рис. 26. Углы треугольника

Таким образом, треугольник имеет три вершины (три точки ,  и ), три стороны (три отрезка ,  и ).

 Многоугольники

Возьмем теперь замкнутую ломаную из 4 точек . Полученная фигура по аналогии с треугольником называется четырехугольником  (рис. 27).

Рис. 27. Многоугольник 

Аналогично можно построить пяти-, шести- или, скажем, десятиугольник.

На рисунке 28 изображен 7-угольник .

Рис. 28. Семиугольник

В четырехугольнике появился новый элемент, которого не было в треугольнике.

На рисунке вершины  и  четырехугольника  не соединены. Если их соединить, то отрезок  не будет являться стороной четырехугольника, потому что вершины  и  не являются соседними. Такой отрезок называется диагональю (рис. 29).

Рис. 29. Диагональ

Четырехугольник имеет две диагонали. В данном случае это диагонали  и .

Общее название для треугольников, четырехугольников, пятиугольников, шестиугольников – многоугольники.

Самым важным будет являться треугольник, так как он относится к тому основному набору фигур, вместе с отрезком и лучом, необходимому для построения всех остальных фигур. Из треугольника можно построить любой другой многоугольник.

Рассмотрим четырех- и шестиугольники (рис. 30).

Рис. 30. Четырех- и шестиугольники

Проведем в четырехугольнике диагональ  (рис. 31). Диагональ разбивает четырехугольник на два треугольника.

Рис. 31. Диагональ разбивает четырехугольник на два треугольника

Аналогично можно поступить и с шестиугольником. Проведем из точки  все диагонали, какие возможно. Их можно провести 3 штуки , ,  (рис. 32).

Рис. 32. Диагонали , ,  многоугольника 

Мы видим, что наш шестиугольник разбивается на 4 треугольника.

В качестве тренировки посчитайте, на сколько треугольников таким способом можно разбить 10-угольник, 20-угольник, 100-угольник, -угольник.

На этом уроке вы познакомитесь с некоторыми измерительными приборами, их шкалой измерения. Учитель расскажет, для чего они применяются и как их использовать.

 Задача 1

В классе нужно посчитать:

1. Количество учеников

2. Рост каждого ученика

3. Массу каждого ученика

4. Измерить температуру тела каждого ученика

Что из этого легче всего сделать? Конечно, посчитать количество, потому что для подсчета людей нам не нужны специальные инструменты. У нас есть шкала для подсчета – единицы, штуки. Можно считать. В классе 25 человек.

Чтобы измерить остальное, нам нужны измерительные инструменты. Линейка для измерения роста, весы для измерения массы, термометр для измерения температуры.

 Измерительные приборы

Например, нужно измерить:

• Длину стола
• Вес арбуза
• Температуру в комнате

Чтобы приступить к измерениям, нужно выбрать шкалу, единицы измерения. Но здесь выбор не велик. Шкала – это общая договоренность, а в нашей стране и почти везде в мире договорились о метрах, килограммах и градусах Цельсия. Будем использовать их.

Необходимые инструменты: рулетка (рис. 1), весы (рис. 2) и термометр (рис.3).

На этих приборах мы видим единицы измерения: метры и сантиметры, килограммы и граммы, градусы Цельсия (рис. 4).

Рис. 4. Единицы измерения на приборах

То есть шкалы нанесены на измерительные инструменты. Если нужно измерять в килограммах, то шкала на весах должна быть в килограммах. Если бы нужно было измерять вес в фунтах, то весы со шкалой в килограммах нам не подошли бы, а нужны были бы весы со шкалой именно в фунтах.

 Шкалы приборов: линейка

Рассмотрим устройство шкал на конкретном примере. Начнем с линейки, так как мы с ней хорошо знакомы.

Шкала состоит из черточек и чисел. Помните, шкала по-латыни – это лестница. Черточки – это ступеньки лестницы (рис. 5).

Рис. 5. Линейка

Черточки называют отметками. Числа есть не у всех отметок, но где их нет, легко посчитать от ближайшей отметки, у которой есть число.

 Цена деления

Измерим длину карандаша (рис. 6) двумя разными линейками.

Рис. 6. Карандаш, который мы будем измерять

Первое измерение – 9 см (рис. 7). Карандаш длиннее, чем 9 см, но нам точнее не измерить.

Рис. 7. Измерение первой линейкой

Второе измерение – 9 см и 3 мм (рис. 8)

Рис. 8. Измерение второй линейкой

Карандаш один и тот же, а результаты измерения получились разные, потому что на второй линейке больше отметок. Расстояние между соседними отметками первой линейки равно 1 сантиметру, а второй – 1 миллиметру. Это расстояние называется «цена деления».

Первой линейкой мы измерили карандаш и сказали, что его длина – 9 см и, может быть, еще чуть-чуть. Второе измерение дало нам результат 9 см 3 мм. Это еще не точный результат. Он точнее, чем первый, но может быть не окончательным. Если бы у нас был инструмент с еще меньшей ценой деления, то мы могли бы еще уточнить длину карандаша (рис. 9).

Рис. 9. Линейка с ценой деления меньше миллиметра

То есть цена деления – это та точность, с которой мы можем проводить измерения.

Рассмотрим линейку на рисунке 10.

Рис. 10. Линейка со шкалой дюймов

У этой линейки две шкалы. Сверху единицы измерения – сантиметры и миллиметры. Цена деления – 1 мм.

А у нижней шкалы единицы измерения – дюймы. Обозначение INCHES означает дюймы. Длинные отметки с числами соответствуют целым дюймам. То есть здесь мы видим длину шкалы в 4 дюйма. Если сравнить с верхней шкалой, то видно, что 1 дюйм – это примерно 2,5 см.

Расстояния между длинными отметками в 1 дюйм поделено короткими отметками на 8 промежутков. То есть длина самого короткого промежутка –  дюйма. Цена деления –  дюйма.

У верхней и нижней шкал подписаны цена деления каждой. У верхней – миллиметр, у нижней –  дюйма.

 Шкалы приборов: весы

Для измерения массы используют весы. На рисунке 11 вы видите пример очень простых весов – безмена. Безмен используется, когда высокая точность не нужна.

Рис. 11. Весы-безмен

Цифры на шкале соответствуют килограммам. Часть шкалы от нуля до 1 кг разделена на 10 частей. То есть цена деления –  кг, или 100 граммов.

Безменом имеет смысл измерять тогда, когда точность до 100 граммов достаточна. Например, картошку взвешивать безменом можно, а вот красную икру уже нет.

 Шкалы приборов: термометр

Для измерения температуры используют термометр, или градусник.

На рисунке 12 мы видим два градусника. Один – для измерения температуры воздуха на улице, второй – для измерения температуры тела человека.

Рис. 12. Два вида градусников

У первого есть нулевая отметка. Она не в начале шкалы, а посередине. Это потому, что нулевое значение температуры – не самое низкое значение температуры. Температуру мы измеряем в градусах Цельсия. Термометром на картинке можно мерить температуру в диапазоне от  до  градусов Цельсия. Точность измерения – это цена деления. Легко увидеть, что она составляет 1 градус Цельсия.

Второй термометр – всем хорошо знакомый градусник. Им измеряют температуру человеческого тела. На шкале этого градусника нет нулевой отметки. Диапазон измеряемой температуры от 35 до 42 градусов. Организм человека так устроен, что у него всегда почти одна и та же температура, чуть меньше 37 градусов. Отклонения могут быть незначительны, и они очень сильно сказываются на самочувствии. Если температура поднимается на 1 градус, то есть до 38, то мы не можем этого не почувствовать. Если же на 2 или 3 градуса, до 39–40, то это значит, что мы очень серьезно больны. Поэтому здесь не нужна нулевая отметка, температура всегда сильно выше нуля, но нам здесь важна точность. Цена деления уже составляет  градуса (рис. 13).

Мы часто слышим, что температура здорового человека – 36 и 6. То есть 36 целых и 6 десятых градуса. Цена деления  градуса позволяет нам измерять с такой точностью.

Рис. 13. Цена деления градусника для измерения температуры человека

 Шкалы приборов: Часы

Наиболее часто встречаемый прибор со шкалой – это часы (рис. 14). Такая круглая шкала называется циферблатом.

Рис. 14. Часы

Посмотрим на эти часы и попробуем разобраться со шкалой. Шкала разбита на 12 больших интервалов (рис. 15), они подписаны, и каждый из них делится еще на пять (рис. 16) неподписанных.

Чему равна длина шкалы и цена деления этой шкалы? Так просто и не ответишь, потому что, оказывается, здесь не одна, а целых три шкалы, хотя это и не сразу заметно. Но в часах сколько стрелок, столько и шкал. Отметки у них одни и те же, но означают они разное, в зависимости от того, на какую стрелку мы смотрим.

 Часовая стрелка

Начнем с самой толстой стрелки, она называется часовой. Нулевая отметка совпадает с отметкой 12. Длина шкалы равна 12 часам. Числа, которые написаны на циферблате, означают целые часы. Какова цена деления этой шкалы? Час разделен маленькими отметками на 5 промежутков,  часа. В часе 60 минут.  минут (рис. 17). То есть цена деления этой шкалы –  часа, или 12 минут. Если бы на часах осталась только часовая стрелка, то мы могли бы определять время с точностью до 12 минут.

Рис. 17. Шкала циферблата относительно часовой стрелки

 Минутная стрелка

Вторая стрелка по толщине – минутная. Она делает оборот за 1 час. Длина шкалы – 1 час, или 60 минут. Написанные числа уже не имеют к ней отношения, они остались от предыдущей шкалы. Всего маленьких интервалов у нас 60: 12 больших, и каждый еще разделен на 5, . Длина всей шкалы – 1 час = 60 минут. Значит, цена деления – 1 минута (рис. 18). Расстояние между числовыми отметками равно 5 минутам.

Если на часах есть только часовая и минутная стрелка, то время можно измерить с точностью до 1 минуты.

Рис. 18. Шкала циферблата относительно минутной стрелки

 Секундная стрелка

И последняя шкала – для секундной стрелки. Самая тонкая секундная стрелка описывает круг за 1 минуту, или 60 секунд. Значит, длина наименьшего деления уже составляет 1 секунду. Цена деления этой шкалы – 1 секунда. И эта шкала позволяет измерить время с точностью до 1 секунды.

Рис. 19. Шкала циферблата относительно секундной стрелки

Каково расстояние между соседними отметками на часах, то есть цена деления шкалы? Если мы смотрим на секундную стрелку, то 1 секунда, если на минутную – 1 минута, если на часовую – 12 минут.

 Заключение

Итак, что же такое шкала?

С одной стороны, шкала – это единицы измерения, о которых есть общая договоренность.

С другой стороны, шкала – это часть измерительного прибора, с помощью которой прибор нам может показать, чему равна измеряемая величина. Это тот язык, с помощью которого прибор общается с человеком.

Данный урок посвящен сравнению натуральных чисел. В этом уроке мы научимся сравнивать многозначные числа, длины отрезков, площади фигур. Также мы узнаем, с помощью каких знаков записываются результаты сравнения чисел.

 Введение

Тема сегодняшнего урока – «Сравнение чисел». Мы поговорим о том, зачем эти числа уметь сравнивать и как записывать результаты сравнения чисел. Сначала давайте вспомним, какие числа называют натуральными.

 Сравнение чисел

Натуральные числа были придуманы для того, чтобы измерять количество элементов множеством. Натуральные числа используют при счете предметов и для указания порядкового номера того или иного предмета.

Предположим, в зал, где стоят шесть стульев, зашли шесть человек. Каждый из них занял по одному стулу. Говорят, что количество множества стульев и людей одинаково. А теперь предположим, что в этот же зал с тем же количеством стульев зашли десять человек. Очевидно, что четверым стульев не хватит, потому что количество элементов в множестве людей и в множестве стульев не равно. В такой ситуации мы скажем, что стульев меньше, чем людей, или что людей больше, чем стульев.

Результаты сравнения чисел записываются с помощью знаков  (больше),  (меньше) и  (равно).

В своей повседневной жизни каждый знает, что 70-летний человек старше 55-летнего. Но как же сравнивать многозначные числа, если количество, которое они обозначают, трудно себе представить? Нам нужно сравнить два многозначных числа: 1537 и 5820.

Сравнение многозначных чисел начинается с наивысшего разряда. Наивысший разряд у этих двух чисел – разряд единиц тысяч. В разряде единиц тысяч числа 1537 – одна единица, в разряде единиц тысяч 5820 – пять единиц. Один меньше пяти, значит, число 1537 меньше числа 5820.

1537  1520.

Давайте сравним еще два многозначных числа: 3841 и 3079. По правилу сравнения чисел начинаем их сравнивать с наивысшего разряда. Наивысший разряд у этих чисел – разряд единиц тысяч. В первом числе в разряде единиц тысяч – три единицы, во втором числе – тоже три единицы. Сравнить эти два числа мы пока не можем, потому что в наивысшем разряде одинаковое количество единиц, поэтому мы переходим к следующему разряду – разряду сотен. В числе 3841 в разряде сотен восемь единиц, а в числе 3079 в разряде сотен ноль единиц. Восемь больше, чем ноль, значит, число 3841 больше, чем число 3079.

3841  3079.

А как вы думаете, понадобится ли вам умение сравнивать числа в повседневной жизни? Конечно, понадобится. Когда покупатель идет в магазин он должен сравнить количество денег, которое у него имеется в наличии, с ценой товара, чтобы сделать вывод о том, может ли он себе позволить такую покупку или нет. Для того чтобы ответить на вопрос «Кто старше?», нужно уметь сравнивать возраст людей. В дальнейшем умение сравнивать числа вам пригодится для того, чтобы сравнивать величины.

 Сравнение длин отрезков

Нам нужно сравнить длины двух отрезков: отрезка  и отрезка . Как это сделать? Мы знаем, что длина отрезка  7 см, а длина отрезка  6 см (см. рис. 1).

Рис. 1. Отрезки  и 

7 см и 6 см – это величины. Для того чтобы сравнить длины этих отрезков, нужно сравнить их числовые показатели: 7  6, это значит, что 7 см 6 см, а это значит, .

 Сравнение площадей фигур

А теперь сравним площади двух фигур: 1 и 2 (см. рис. 2).

Рис. 2. Фигуры 1 и 2

Площадь – это величина, которая измеряется в квадратных сантиметрах. Давайте выясним, чему равна площадь первой фигуры. Площадь первой фигуры 6 см². Посчитаем, чему равна площадь второй фигуры: она равна 6 см². Сравним площади обеих фигур. Поскольку 6 6, значит, 6 см²  6 см², а это значит, что площадь первой фигуры будет равна площади второй фигуры: .

 Чтение и запись сравнения чисел

Записывать результаты сравнения можно в виде равенства: 7 = 7;

в виде неравенства: 7  10; 7  3;

записывать в виде двойного неравенства: 3  7  10.

Прочитать его можно так: семь больше трех, но меньше десяти.

Прочитаем двойное неравенство: .  больше шести и меньше одиннадцати. Какие значения может принимать переменная ? Для этого нужно понять, какие числа находятся между числами 6 и 11. Очевидно, что это числа 7, 8, 9 и 10. Значит, переменная  может принимать любое из этих значений.

А теперь, используя результаты сравнения, определите, высота какого дерева наибольшая, а какого дерева наименьшая. Высота березы – 15 м, высота каштана – 25 м, высота липы – 20 м, высота сосны – 45 м (см. рис. 3).

Рис 3. Береза, каштан, липа и сосна

Для того чтобы ответить на вопрос, какое из деревьев самое низкое, а какое – самое высокое, мы должны сравнить числа. Из четырех чисел самое маленькое число 15, значит, высота березы наименьшая, это самое низкое из четырех деревьев, а самое большое число – 45, значит, самое высокое дерево – это сосна.

Сегодня мы поговорили о сравнении чисел и сравнении величин. Я надеюсь, вы убедились, что сравнивать числа и сравнивать величины пригодится не только в математике, но и в повседневной жизни.

Данный урок посвящен тому, как найти вычислительную ошибку в ваших вычислениях. Многие из вас, решая задачи, примеры, уравнения, сталкивались с тем, что ответы неправильные, а искать ошибку в длинном примере или заново его решать будет очень долго. В сегодняшнем уроке вы узнаете несколько способов, как найти вычислительную ошибку, не решая заново, это быстро и эффективно. Вы узнаете, как пользоваться методом последней цифры и методом округления.

 Введение

Тема сегодняшнего урока посвящена тому, как найти вычислительную ошибку. Вы когда-нибудь ошибались в вычислениях? Не ошибается только тот, который ничего не делает. С другой стороны, из этого можно сделать один очень важный вывод: уметь искать свои ошибки не менее важно, чем решать задачу. Задача, решенная с ошибкой, и задача, не решенная вовсе, чаще всего будут значить одинаково, то есть ничего. Поэтому сегодня мы попробуем научиться отыскивать ошибки в своих вычислениях и исправлять.

Сразу возникает следующая проблема. Хорошо, когда вы уверены, что в вашем примере есть ошибка, и рано или поздно вы ее найдете. А вот как самому во время контрольной работы или экзамена догадаться, что в примере есть ошибка? Ведь можно час искать ошибку в примере, а потом выяснится, что ее нет. Сегодня мы познакомимся с некоторыми довольно простыми соображениями, которые позволяют проверять, есть ли в примере ошибка.

 Метод последней цифры

Одно из таких соображений называется последняя цифра (или анализ последней цифры). Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих данный подход.

Например: 1) 346757 + 23546 = 369575.

Даже не считая в столбик можно сразу увидеть, что в этом примере есть ошибка, потому что если проверить по последним цифрам 7 + 6 = 13, то есть число должно оканчиваться на 3, а оканчивается на 5 – значит, где-то есть ошибка. Нужно вернуться к своим вычислениям и эту ошибку найти.

346757 + 23546369575

2) 2465313 = 6546371

Можно сразу сказать, что в вычислении допущена ошибка. Почему? Потому что если перемножить последние цифры 5 и 3, то получается 15, число должно оканчиваться на 5, а у нас оканчивается на 1.

2465 3136546371

3). 347 + 234  235=47806

Опять без подсчетов в столбик можно сказать, что здесь допущена ошибка. Как видите, этот пример содержит два действия. Попробуем сделать все действия с последними цифрами. Как вы помните, порядок действия у нас таков: сначала делаем умножение, потом сложение. Мы умножаем 4 на 5 – и получается 20, на конце числа должен стоять 0, к 0 прибавляем 7, должно получиться 7, а у нас на конце числа 6, значит, в примере допущена ошибка. Где именно, мы не знаем, может, была допущена ошибка в умножении или в сложении, но то, что ошибка есть, мы уже поняли.

347 + 234  235  47806

4) (345 4567 – 9873)  237 – 366 = 12948371

Первым действием мы 5 умножаем на 7 и получаем 35, на конце 5. Вторым действием вычитаем: 5 минус число, оканчивающееся на 3, и получаем 2 на конце. Умножаем это на 237, дважды семь – получаем 14, после третьего действия получаем на конце 4. Наконец, вычитаем из 14 число 6, получаем 8, которое должно стоять на конце. Значит, ответ 12948371 неправильный.

(345  4567 – 9873)  237 – 366  12948371

Нужно быть очень аккуратными, если в вашем выражении присутствует знак деления.

1) 28 : 4 = 7

Если разделить это выражение просто, то получится 7. С другой стороны, если мы попробуем проверить это равенство по методу последней цифры, 8 разделить на 4 равно 2, что не подходит к уравнению. Метод последней цифры к делению не применяется. Если по последней цифре все совпало, это еще ничего не значит. Это значит, что мы не нашли противоречия в данном случае, но ошибка все же может быть.

Например: 2) 2 2 = 14

Понятно, что это уравнение изначально неправильное, но, если проверить по последней цифре, два умножить на два будет 4, и у нас в конце уравнения стоит 4. Поэтому, если по последней цифре не сошлось, значит, в уравнении есть ошибка. Если же сошлось, это ничего не значит, может, ошибка есть, а может, и нет.

2 2  14

Итак, давайте подведем краткий итог первого метода. Если у вас решен пример на вычисление, который не содержит деления, а содержит только натуральные числа, то вы можете проверить себя, проделав все вычисления устно только с последними цифрами. Если результат сошелся, значит, с большой вероятностью, ошибки нет. Если же результат не сошелся, то ищем ошибку.

 Метод округления

Давайте рассмотрим следующий пример: 143 147 = 221.

По проверке последней цифры, 3 умножить на 7, получаем 21, в конце числа 1, все в порядке, казалось бы, ошибки нет. С другой стороны, давайте сделаем простой предварительный подсчет. Если 100 умножить на 100, уже получится 10000, но у нас числа больше, чем 100, и мы получили в произведении только 221. Конечно, где-то закралась ошибка.

100  100 = 10000

143  147  221

Такая очень грубая прикидка, такое округление, позволяет нам понять, что пример решен неверно.

2) 2342 + 23426 = 234648

Опять же мы можем прикинуть по последней цифре и выяснить, что 2 плюс 6 – это 8, казалось бы, ошибки нет. С другой стороны, сделаем грубую прикидку: каждое число округлим до тысяч: 2 тысячи плюс 23 тысячи получается 25 тысяч, а в уравнении 234 тысячи. Значит, в примере где-то есть ошибка.

2000 + 23000 = 25000

3) 73462 – 2346 = 5362

Этот пример показателен тем, что вы можете найти ошибку, пользуясь и первым методом, и вторым. Действительно, если вычесть из 12 число 6, получаем 6, а в ответе последняя цифра 2. Уже неправильно. С другой стороны, давайте опять округлим до тысяч: 73 тысячи минус 2 тысячи получается 71 тысяча, а у нас примере 5 тысяч.

73000 – 2000 = 71000

4) 27  27 = 729

С последней цифрой все в порядке, семью семь – сорок девять, оканчивается на 9. Давайте сделаем округление: 30  30 = 900.

То есть ответ вроде правильный. Метод округления ошибку не выявляет. И этот пример действительно решен верно.

5) 342 + 253  175 = 306777

Обратите внимание, что с последней цифрой все в порядке: 3 умножить на 5 будет 15, то есть оканчивается на 5 плюс еще 2 – и будет 7. Но давайте снова округлим до сотен.

300 + 300  200 = 60300

Сами видите, что в левой части 60300, а в правой – 306 тысяч, равенство неверное. Значит, где-то допущена ошибка, при этом мы не знаем, где именно.

Таким образом, если мы хотим сделать проверку нашего примера с помощью прикидки или округления, мы должны сделать следующее: берем каждое число нашего примера и округляем его, то есть приравниваем его к ближайшему круглому числу. Проводим все вычисления с округленными числами и сравниваем тот ответ, который мы получаем с тем, который получился у нас в исходном примере. Естественно, ответы не должны полностью совпасть. Если они получились неравными, не паникуйте. Но они должны получиться близкими друг к другу. Если в примере ответ получился 102, а после округления ответ получился 1000000, значит, вы где-то ошиблись. Если же ответ у вас получился 102, а после округления 100, скорее всего, все правильно. Посмотрим еще на один пример: 33⋅33 = 1089.

Давайте округлим: 30  30 = 900. О чем же говорит такой ответ? Формально, как вы видите, у нас в ответе 4 цифры, а при округлении получилось 3 цифры. То есть вроде бы мы ошиблись на целый порядок, наверное, ошибка есть. Но, если вы присмотритесь к этим числам, вы увидите, что эти числа близки: 900 и 1000. Если вы видите, что разница в количестве цифр есть, но реально она не велика, возможно, никакого противоречия нет. В данном случае пример верный.

Еще один маленький совет. Если задача имеет какой-то практический смысл, старайтесь проверять, подходит ответ под этот смысл или нет. Например, если в задаче требуется найти скорость велосипедиста, а у вас после вычисления получилось 500 км/ч, скорее всего, вы ошиблись. Или предположим, вам нужно посчитать, сколько молока в литрах привезли на завод в сумме двух цистернах, а у вас получилось 3 литра. Наверное, это все-таки маловато для двух цистерн, так что тоже, скорее всего, у вас ошибка.

 Итоги

Давайте подведем краткие итоги сегодняшнего урока. Сегодня мы познакомились с некоторыми методами, которые позволяют проверить, правильным ли получился ваш ответ. Эти методы не дают стопроцентной гарантии того, что вы отыщете ошибку. Даже если с помощью каждого из методов все получается в порядке, возможно, в примере есть ошибка. С другой стороны, проверка каждого из этих методов занимает не очень много времени, и поэтому, если даже в трех случаях из десяти какой-то из этих методов даст вам возможность найти ошибку, это уже будет хорошо.

На этом уроке вы познакомитесь с сложением натуральных чисел и законами, которым оно подчиняется. Выясните, что, используя эти законы, гораздо удобнее складывать числа. А также решите несколько примеров.

 Пример 1 (со слогами)

Детям, которые учатся читать и писать, дают такое задание: сложите два слога в одно слово: БАН и КА.

БАН + КА = БАНКА

Но иногда делают и наоборот: КА + БАН = КАБАН

 Пример 2 (с ведрами)

Лена и Ваня наливают воду в ведро. У Лены есть двухлитровая банка с водой, а у Вани – трехлитровая. Есть разница, в какой последовательности они выльют воду? Нет. В любом случае там окажется одинаковое количество воды (5 литров).

В обоих примерах складывали две части. Но в первом случае порядок был важен, и если мы переставляли слагаемые местами, то менялся результат. Во втором случае порядок был не важен, слагаемые можно было менять местами.

 Математическое сложение

Вычислите: .

Вычислите: .

То есть .

Все эти три записи означают одно и то же количество.

Вспоминая примеры со слогами и водой, приходим к предположению, что математическое сложение похоже на второй пример с водой, где менять местами слагаемые было можно.

Чтобы понять, что можно делать при сложении, а чего нельзя, нужно выяснить, что это такое. Что значит сложить 5 и 3? Это значит, что надо сложить 5 единиц и 3 единицы. Можно представить их палочками (см. рис. 1).

Рис. 1. Представление сложения

Слово «сложить» значит сложить в одну кучу. А потом посчитать, сколько там всего. Получится восемь (см. рис. 2).

 Утверждение 1

Количество единиц, палочек в большой куче всегда можно посчитать. То есть любые две группы палочек можно сложить в одну большую. И там будет конкретное количество палочек.

На языке математики это можно сказать следующим образом: два любых натуральных числа  и  можно сложить. В результате получится новое натуральное число .

Числа  и  называются слагаемыми. Число  называют суммой чисел  и . Саму запись  тоже называют суммой.

 Переместительный закон сложения

Складывая две группы единиц в одну большую, можно поступить двумя способами:

1) к первой группе добавить вторую,

2) ко второй добавить первую.

Неважно, в какой последовательности это делать. Взять сначала пять единиц и к ним добавить три или наоборот. То есть мы просто внутри большой кучки поменяли местами несколько элементов. Но от этого их количество не изменится. Результат всегда будет одинаков. Единиц, палочек в общей кучке всегда будет одно и то же количество. В данном случае восемь.

На языке математики это можно сказать следующим образом: от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Так , потому что и та, и другая сумма равны 8.

С большими числами этот закон тоже работает: . Эти две суммы равны друг другу. Чтобы это понять, не нужно считать. Мы знаем, что от перестановки слагаемых сумма не меняется.

 Сочетательный закон сложения

Пусть теперь у нас три числа (три группы единиц) и их нужно сложить. То есть сложить в одну кучу. Есть два варианта:

1) добавить к первой сначала вторую, потом третью,

2) добавить к первой уже сложенные заранее вторую и третью.

Нет никакой разницы. Мы всегда будем получать одно и то же множество единиц, палочек. Ниоткуда новые не возьмутся, и имеющиеся не потеряются.

Если записать это с помощью чисел:

Если складывать любые три числа , то можно сложить сначала первые два числа, а можно начать с последних двух. Последовательность действий при сложении нескольких слагаемых не важна.

Эти законы очень сильно могут облегчить вычисления.

 Пример 1

Мы можем складывать в любой последовательности. Выберем такую последовательность, чтобы было удобно. Смотрим на последние цифры. Если они дают в сумме 10, то лучше попробовать начать с них, их проще сложить. У второго слагаемого в конце 6, а у третьего 4, в сумме они дают 10, поэтому сложим сначала их, а затем прибавим первое слагаемое.

 Пример 2

Первое и последнее числа заканчиваются на пять, значит, сумма будет заканчиваться на ноль, это удобно. Но они стоят не подряд. Поменяем местами 39 и 295.

Идея проста: если надо сложить сразу несколько чисел, мы можем переставлять их, как хотим, и выполнять действия в любом порядке.

 Пример 3

Первое число удобно сложить с последним, а второе – с третьим.

 Пример 4

Пусть у нас несколько ваз, в каждой какое-то количество яблок. Нужно узнать, сколько яблок всего. Не нужно ссыпать все яблоки в одну кучу и пересчитывать их. Просто выпишем на бумагу, сколько в каждой вазе яблок, и сложим эти числа. Например, .

Если какая-то ваза окажется пустой, то мы напишем, что в ней ноль яблок, и общий подсчет будет выглядеть так: .

Пустая ваза не влияет на общее количество яблок. То есть добавления нуля не меняет исходное количество: .

 Заключение

Подведем итог.

1)         

Любые два натуральных числа  и  можно сложить, в итоге будет тоже натуральное число . Числа  и  называются слагаемыми, число  суммой.

2)         

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

3)         

Последовательность действий при суммировании не важна.

4)         

Прибавление нуля к числу не меняет этого числа.

На уроке вы узнаете, какие бывают прямые и обратные действия в математике. Учитель расскажет обо всех компонентах вычитания, а также покажет два способа для вычитания суммы из числа.

 Прямое и обратное действие

В жизни мы все время сталкиваемся с прямыми и противоположными действиями. Можно налить воду в кружку, можно вылить воду. Можно зайти в дом, потом выйти из дома. Таких примеров очень много.

В математике мы тоже легко найдем пару таких противоположных действий. Это сложение и вычитание.

Как устроено сложение? Добавили к 3 яблокам 2 яблока, получили 5 яблок, получилось сложение (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация сложения

Вычитание: было 5 яблок, отняли 2, осталось 3. Получилось вычитание (рис. 2).

Рис. 2. Вычитание

Ясно, что добавить и отнять – это противоположные действия, таким образом, сложение и вычитание – это взаимопротивоположные действия.

 Вычитание

Чтобы выполнить сложение или вычитание, мы не берем себе в помощь предметы и не складываем их в одну кучу. Мы решаем такую задачу отвлеченно, используя числа и противоположные операции.

Например, чтобы вычесть 2 из 5, мы должны понять, что останется.

А для этого нам нужно представить 5 как сумму двух частей.

И мы понимаем, что если вычесть 2, то останется 3.

Одно и то же количество можно представить и записать различными способами. Все эти способы эквивалентны: . Мы всегда можем пользоваться тем, который нам удобен в данном случае. Сейчас нам удобно представить, что 5 – это сумма 3 и 2. Поэтому если убрать, вычесть одну часть (2), то останется вторая (3).

Как из 15 вычесть 7?

Мы сразу представляем, что . Значит, после вычитания 7 останется 8.

Становится понятно, что вычитание – это нахождение неизвестного числа разложения.

Еще раз рассмотрим пример.  Чтобы вычесть из числа 5 число 2, нужно представить 5 в виде двух слагаемых  и найти неизвестное слагаемое. Оно и будет результатом вычитания .

 Определение вычитания

Если из числа  нужно вычесть число :

Значит, что число  нужно представить в виде двух слагаемых  и .

Одно слагаемое нам неизвестно. Его и надо найти. Оно и есть результат вычитания.

Понятно, что взять из вазы больше яблок, чем там было, невозможно. Поэтому, когда мы говорим о вычитании натуральных чисел, мы не можем из меньшего числа вычесть большее. Потом будут и другие числа, не только натуральные, и вычитание из меньшего числа большего станет возможным.

Или еще вот такое рассуждение: вычесть – значит представить в виде двух слагаемых, но ведь слагаемые, части не могут быть больше целого.

Но пока договоренность следующая: из числа  вычитаем число , только если  не меньше, чем . Результатом будет новое число .

• Число , от которого мы будем отнимать, которое мы будем уменьшать, называют «уменьшаемое».
• Число , количество, которое мы будем отнимать, вычитать, называется «вычитаемое».
• Число , результат вычитания, называется разностью.
• Сама запись  тоже называется разностью (рис. 3).

Рис. 3. Названия компонентов при вычитании

Слово «разность» очень похоже на слово «разница». В самом деле, какова разница, на сколько отличается число 15 от числа 7, 15 яблок от 7 яблок? На 8 яблок. То есть, разность чисел 15 и 7 – это и есть разница между ними.

Таким образом, с одной стороны разность – это результат вычитания из большего числа меньшего. С другой стороны – это то, на сколько одно число отличается от другого, разница между ними.

 Задачи на вычитание. Пример 1

Папе 36 лет, а маме на 2 года меньше. Сколько маме лет?

Из 36 вычитаем 2.

Это первый тип задач, которые мы решаем при помощи вычитания: известно одно число, нужно найти второе, которое меньше на известную величину. То есть нам сразу известны уменьшаемое и вычитаемое, числа  и .

 Пример 2

В классе учится 25 человек, из них 14 девочек. Сколько в классе мальчиков?

Понятно, что девочек и мальчиков всего 25 человек. Девочек 14, мальчиков – неизвестное количество.

Нужно найти неизвестное слагаемое. А поиск неизвестного слагаемого – это уже задача на вычитание. Из 25 нужно отнять 14.

В классе 11 мальчиков.

Это второй тип задач, когда складывают два числа, одно из них известно, а другое нет. Но зато известен результат, сумма.

Синим цветом выделены известные  и . Необходимо найти неизвестное слагаемое . Но поиск неизвестного слагаемого – это и есть вычитание.

 Пример 3

Сестре 12 лет, а брату 9. На сколько лет сестра старше брата?

Нужно узнать разницу, а значит нужно вычитать. Итак, вычитаем из 12 число 9.

Сестра старше брата на 3 года.

Это третий тип задач – задачи на сравнение.

 Задача 1

В вазе было 17 яблок. Петя взял 4 яблока, Маша взяла 3. Сколько осталось яблок в вазе?

Решение

1 способ

Петя взял 4, Маша – 3, всего они взяли  яблок. Чтобы найти, сколько осталось, вычитаем:

Если записать в одну строчку:

2 способ

Посчитаем, сколько оставалось яблок каждый раз, когда Петя и Маша брали яблоки. Петя взял 4, осталось . Маша взяла еще 3, осталось .

Или, в одну строчку, .

В вазе осталось 10 яблок.

Оба способа равносильны, ответ одинаковый. То есть вычесть сумму – это все равно, что вычесть каждое слагаемое этой суммы по отдельности.

 Правило вычитания

Если необходимо вычесть сумму, то можно сначала вычислить сумму в скобках, после этого произвести вычитание. Либо можно вычесть каждое слагаемое по отдельности:

 Пример 4

1 способ

Можно сделать сначала действия в скобках и потом из 79 вычесть результат.

2 способ

Мы видим, что 79 и 19 оканчиваются на одну цифру, на 9. Значит, удобнее вычесть из 79 первое число,19, а затем второе число 24.

 Правило

Вычитание и сложение – равноправные действия.

Пусть есть ваза с яблоками. Мама туда добавила 3 яблока, а папа взял 4. Изменится ли итоговое количество яблок, если они сделают это в другой последовательности – сначала папа возьмет 4, а потом мама добавит 3?

Нет, конечно, результат будет одинаков. То есть если к числу что-то прибавляется и вычитается, то эти действия можно менять местами. Главное – помнить, что мы не можем от меньшего отнять большее.

 Пример 5

Здесь удобно сначала из 79 вычесть 19. Для этого меняем местами действия сложения и вычитания.

Имеет ли смысл переставлять местами слагаемые? Нет. 

Здесь явно удобнее вычесть третье слагаемое из первого.

 Заключение

На данном уроке вы познакомитесь с числовыми и буквенными выражениями, научитесь составлять числовые и буквенные выражения к задачам и находить их значения.

 Числовые выражения

Возьмем два каких-либо числа и соединим их каким-либо знаком арифметического действия. Например, 2+5; 7 - 4; 1055; 78 * 13. Мы получили простейшие числовые выражения. Чтобы получить сложные числовые выражения, мы простейшие числовые выражения по такому же правилу соединим арифметическими знаками действия.

Например, (2+7) - (7 - 4); 7* (28 - 14); 24  (10 - 2) + (36 - 9)*4.

В математике не говорят простое числовое выражение или сложное числовое выражение, говорят просто – числовое выражение. Числовое выражение состоит из одних чисел.

Найдем значение числового выражения 2 + 5.

2 + 5 = 7; 7 называют значением числового выражения.

Число, получаемое в результате выполнения всех указанных действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Числовые выражения используют при решении задач.

Задача 1. Карлсон два дня ел плюшки. В первый день он съел 52 плюшки, а во второй день на 18 плюшек меньше.

Сколько плюшек съел Карлсон за два дня? 1. 52 + (52 - 18) = 86 (пл.)

Ответ: Карлсон съел за два дня 86 плюшек.

Задача 2. Карлсон два дня ел плюшки. В первый день он съел 52 плюшки, а во второй день на 11 плюшек меньше.

Сколько плюшек съел Карлсон за два дня? 1. 52 + (52 - 11) = 93 (пл.)

Ответ: за два дня Карлсон съел 93 плюшки.

Задача 1 и задача 2 отличаются только тем, сколько плюшек съел Карлсон во второй день. Если мы обозначим изменяющуюся величину буквой а, то получим новую задачу.

 Буквенные выражения

Задача 3. Карлсон два дня ел плюшки. В первый день он съел 52 плюшки, а во второй день на а плюшек меньше.

Сколько плюшек съел Карлсон за два дня?

1. 52 + (52 - а) плюшки.

В данном выражении у нас появилась буква а. Такое выражение называется буквенным выражением. Если мы вместо буквы а поставим число 18, то мы получим числовое значение – 86. Если мы вместо буквы а поставим число 11, то мы получим числовое значение – 93.

Числа, которыми заменяют букву, называют значениями данной буквы. Буквенные выражения образуются по такому же правилу, что и числовые выражения.

Примеры: в + 17; х - 34; (m + 49)(p - c); а * в * с + d.

 Задание 1

Запишите выражения:

1. Сумма 25 и х. Ответ: 25 + х.

2. Разность в и 17. Ответ: в - 17.

3. Сумма а - 4 и в. Ответ: (а - 4) + в.

4. Разность 29 и m - n. Ответ 29 - (m - n).

5. Сумма 78 + р и 24 - с.

Ответ: (78 + с) + ( 24 - с).

Читать выражение начинают всегда с последнего действия в данном выражении.

 Задание 2

Назовите слагаемые и прочитайте выражение: (р - к) + 69. Первое слагаемое - (р - к), второе слагаемое – 69. Сумма разности  чисел р и к и числа 69. (m + n) + (12 - у). первое слагаемое – (m + n), второе слагаемое – (12 - у). Сумма суммы чисел m и n и разности чисел 12 и у.

 Задание 3

Назовите уменьшаемое и вычитаемое в разности и прочитайте выражения:

1. с - (к + 11). Уменьшаемое – с, вычитаемое – (к + 11). Разность числа с и суммы чисел к и 11.

2. (а - 34) - (123 - х). Уменьшаемое – (а - 34), вычитаемое – (123 - х). Разность разности чисел а и 34 и разности чисел 123 и х.

 Задание 4

Найдите значение выражения.

1818  а + 99, если а = 18; 2.

если а = 18

1818  18 + 99 = 101+ 99 = 200

Если а = 2

1818  2 + 99 = 909 + 99 = 1008.

 Составьте буквенное выражение

1. Сумма разности а и 248 и суммы 361 и в.

(а - 248) + (361 + в).

2. Разность разности 100 и m и разности n и с.

(100 - m) - (n - с).

 Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение

Бублик стоит 37 рублей, что на 29 рублей меньше, чем булочка. Сколько стоит бублик и булочка вместе?

Бублик – 37 рублей

Булочка – (37 + 29)

Бублик и булочка – ? рублей 37 + (37 + 29) = 103 (руб.)

Ответ: бублик и булочка стоят вместе 103 рубля.

Задача 1. Число в на 30 больше числа а. Чему равно число в? Решите задачу при а равном 65 и 100.

в = а + 30

если а = 65, то в = 95 если а = 100, то в = 130 Ответ: а + 30; 95; 130. Задача 2. Отцу х лет, а сын младше отца на у лет. Сколько лет сыну? При любых х и у задача имеет смысл?

Имеет ли она смысл, если х = 25, а у = 27?

Отец – х лет

Сын – (х - у) лет

х - у

Если значение х больше значения у, то задача будет иметь смысл, а если числовое значение х будет меньше значения у, то задача не имеет смысла.

При х = 25, у = 27

25 - 27

мы не можем выполнить вычитание, значит, при данных значениях задача не имеет смысла.

Ответ: х - у; нет; нет.

 Решение более сложных задач 1

Задача 1. В каждом ряду партера к мест, а число рядов на 8 больше, чем мест в ряду. Сколько мест в партере?

Составьте выражение к задаче и найдите значение выражения, если к = 10; к = 16.

Ряд – к мест

Количество рядов – (к + 8) рядов

Всего – ? мест

к * (к + 8)

Если к = 10

10 * (10 + 8) = 180 (м)

Если к = 16

16 * (16 + 8) = 384 (м)

Ответ: к * (к + 8); 180 м, 384 м.

Задача 2. Туристы за время путешествия должны были пройти 450 км. Они шли по горам а часов, со скоростью 4 км/ч, плыли на байдарке в часов со скоростью 8 км/ч, ехали на велосипедах с часов со скоростью 40 км/ч и оставшееся расстояние должны проехать на лошадях. Какое расстояние туристы проедут на лошадях? Составьте выражение для решения задачи.

Всего – 450 км

По горам – а часов; V = 4 км/ч

На байдарке – в часов; V = 8 км/ч

На велосипедах – с часов; V = 40 км/ч

На лошадях – ? км

450 - (4а + 8в + 40с) = 450 - 4а - 8в - 40с (км)

Ответ: 450 - (4а + 8в + 40с) = 450 - 4а - 8в - 40с км.

Задача 3. Длина одного звена ломаной – 3 см 4 мм, и оно на х мм длиннее второго звена этой ломаной. Третье звено короче на у мм второго. Найдите длину третьего звена и вычислите ее, если х = 5 мм, у = 1 см 6 мм.

АВ = 3 см 4 мм = 34 мм

ВС = 34 - х (мм)

СD = 34 - х - у (мм)

Если х = 5 мм; у = 1 см 6 мм = 16 мм

АВ = 34 мм

ВС = 34 - 5 = 29 мм

CD = 34 - 5 - 16 = 13 мм.

Ответ: длина третьего отрезка равна 1 см 3 мм.

Задача 4. Напишите девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

Не меняя порядка этих цифр, составьте числовое выражение, расставив между ними плюсы и минусы, всего три знака, таким образом, чтобы в результате получилось 100.

Ответ: 123 - 45 - 67 + 89 = 100.

Задача 5. Найдите значение числового выражения.

1998 чисел  2 = 999 чисел

1999 + 1 · 999 = 1999 + 999 = 2998

Ответ: 2998.

 Герон Александрийский и Диофант Александрийский

Первое упоминание о специальном знаке обозначения величины были найдены в работах Герона Александрийского и в Мичиганском папирусе. Эта буква греческого алфавита – сигма. Следующий шаг в создании буквенной символики сделал Диофант Александрийский – последний великий математик античности. Он автор арифметики в 13-ти книгах. До нас сохранилось 6, написанных по-древнегречески, и 4 в арабском переводе. Он впервые ввел буквенные обозначения.

На данном уроке Вы познакомитесь с буквенной записью свойств сложения и вычитания и научитесь их применять при решении различных задач

 Введение

Наверняка вы знаете законы сложения и вычитания еще с начальной школы: распределительный, сочетательный и переместительный. Как вы их обычно записывали? Вы обычно говорили вслух: «От перестановки мест слагаемых сумма не меняется» или писали, например, . Сочетательный закон записывали, например, следующим образом: . После записи вы говорили, что эти законы работают для любых чисел.

Возникает вопрос: как записать эти законы так, чтобы из одной записи уже было понятно, что они действительны для любых чисел? Потому что пока из наших записей видно, что законы работают только для конкретных чисел. Что же делать, чтоб показать, что законы верны для любых чисел? Давайте вспомним, что помимо чисел мы владеем еще и буквенными выражениями, то есть мы можем попытаться записать эти же законы с помощью букв. Так, переместительный закон можно записать как . Чем этот вид лучше конкретных чисел? Тем, что роль  и  могут играть абсолютно любые числа. То есть, в буквенное выражение можно вместо  и  подставить любые числа, и равенство останется верным.

Можно провести аналогию. Как мы ввели понятие числа, чтобы отойти от реальных предметов (так легче выполнять разные действия), так сейчас мы вводим буквы, чтобы абстрагироваться от чисел – тогда действие, записанное буквами, будет верно для любых чисел.

Важно помнить, что если вы подставляете какое-то число, например, вместо буквы , то нужно подставить это число вместо всех встречающихся букв  в данной записи.

 Законы в общем виде (в буквенной записи)

1. Переместительный закон: .
2. Сочетательный закон: .
3. Закон вычитания числа из суммы: .
4. Вычитание суммы из числа: .
5. Свойство прибавления (вычитания) : .

 Примеры

1) Упростить: .

  (использовали переместительный и сочетательный законы)

2) Упростить: .

  (использовали закон вычитания суммы из числа)

3) Найти значение выражения  при:

А)    Б)    В) .

Сначала упростим: . Тогда:

А) при : 

Б) при : 

В) при : 

 Задача

Каждый месяц Петя зарабатывает  рублей. При этом ежемесячно он тратит  рублей на квартплату и  рублей на остальные свои расходы. Сколько денег останется у Пети в конце месяца, если он зарабатывает в месяц: А)  рублей; Б)  рублей; В)  рублей?

Решение:

Сначала упростим выражение:  (использовали закон вычитания суммы из числа в обратную сторону).  Тогда:

А) при :  рублей.

Б) при :  рублей.

В) при :  рублей.

Ответ: А)  рублей; Б)  рублей; В)  рублей.

 Заключение

На этом уроке вы вспомнили основные свойства сложения и вычитания, и научились записывать их не в числовом виде, а в буквенном. Основная идея такой записи в том, что, когда мы записали все законы в буквенном виде, они стали верны для любых чисел, какие бы мы не подставили вместо этих букв – одной строчкой мы изложили свойство для всех возможных чисел. Также мы познакомились с тем, как применяются эти свойства, и увидели, как удобно с помощью этих свойств, преобразовывать буквенные выражения.

На этом уроке мы познакомимся с уравнениями, научимся их решать, применяя простейшие методы и приемы. Также мы узнаем, как решать задачи с помощью уравнений.

 Введение

Для начала дадим краткое определение уравнению. Разберем, в каких областях математики оно встречается. Слово «уравнение» производное от слов «уравнивать», «равняться». Также оно является однокоренным со словом «равенство», которое нам уже встречались неоднократно. Приведем примеры равенств:

Важно вспомнить, что равенства бывают верные и неверные. Рассмотрим пример неверного равенства: . Отметим, что в левой и правой частях равенств, приведенных в примерах, написаны только числовые выражения. Мы знаем, что есть еще и буквенные выражения. Например, .

Возникает вопрос, откуда может взяться такое выражение и зачем приравнивать такое выражение к какому-нибудь числу (). В таком равенстве мы уже не можем проверить, верное оно или нет. Давайте разберем на примере, откуда такое равенство может взяться, зачем нам оно нужно и что за  в нем стоит.

 Решение задач

Дано: нам нужно взвесить арбуз. Мы знаем, что если на одну чашу весов положить арбуз и гирю массой  килограмма, а на другую гирю массой  килограммов, то весы уравновесятся. Найдите массу арбуза.

Путем нехитрых вычислений мы определяем, что масса арбуза  кг. Может возникнуть вопрос, почему мы взвешивали арбуз именно так, ведь можно было просто уравновесить весы, поставив на другую чашу гирю массой  кг. Ответ простой, ведь может быть и так, что в нашем распоряжении есть только гири по  и  кг.

Давайте попробуем решить данную задачу через составление уравнения.

Решение: пусть  – вес арбуза, тогда на чаше весов с арбузом будет вес . По условию мы знаем, что на противоположной чаше находится  кг и весы уравновешены. Можем составить уравнение.

Ответ:  кг.

Теперь становится понятно, в каком случае мы можем вводить в равенства переменные.

Уравнением называется равенство двух выражений, в которых есть буквенная переменная.

Выходит, что уравнения нужны для того, чтобы находить значение буквенной переменной, которая обращает уравнение в верное равенство. Это приводит нас к определению того, что же означает решить уравнение.

Решить уравнение – значит найти все значения буквенной переменной, при подстановке которых уравнение обращается в верное равенство (или доказать, что таких значений нет).

Важно отметить, что уравнение может иметь больше одного решения, но с такими уравнениями мы познакомимся позже. В некоторых уравнениях вам может встретиться несколько переменных, но решить такое уравнение вам пока будет сложно, так как найти все возможные корни достаточно затруднительно. Пример такого уравнения: .

Можно сказать, что уравнение чаще всего составляют при решении каких-то практических задач. Таким образом, составив уравнение, мы можем решить его и найти неизвестную величину.

 Решение уравнений путем переноса слагаемых

Иногда уравнение можно решить подбором, но легче всего пользоваться несколькими правилами, которые упростят для вас вычисления. Разберемся с ними на примере.

Дано: через  лет Коле исполнится . Сколько лет Коле в данный момент?

Решение: пусть  – возраст Коли (на данный момент в годах), тогда через  лет ему будет . Из условия задачи известно, что ему через  лет будет  год. Составим и решим уравнение: .

Стоит отметить, что уравнение не меняется, если применить любое действия к обеим его частям. В данном случае отнимем с каждой стороны по : .

Ответ: Коле сейчас  лет.

Действие, которое мы применили для решения уравнения, называется переносом слагаемого из одной части уравнения в другую. Важно помнить, что при переносе выражения знак перед ним меняется на противоположный.

Рассмотрим еще один пример: . В этом уравнении нам нужно перенести тройку. Чтобы избавиться от нее в левой части уравнения, нужно прибавить три, соответственно, и к правой части прибавляем тройку:

Решим еще одну задачу.

Дано: Ксения задумала натуральное число, к этому числу она прибавила , после чего из суммы вычла задуманное число. Далее к полученному числу она прибавила  и в итоге получила . Какое число задумала Ксения?

Решение: пусть  – число, которое задумала Ксения, тогда мы можем составить уравнение с учетом преобразований задуманного числа.

Потренируем перенос, начнем с восьмерки:

В итоге мы пришли к верному числовому равенству, значит, оно верное для любого икса. Можно сделать вывод, что, какое бы число ни задумала Ксения, у нее все равно выйдет одиннадцать.

Ответ: Ксения могла задумать любое число.

Рассмотрим подобную задачу и решим ее составив уравнение.

Дано: Дмитрий задумал натуральное число, прибавил к нему , вычел из него , вычел задуманное число и получил . Какое число задумал Дмитрий?

Решение: пусть  – задуманное Дмитрием число, тогда можем составить уравнение.

В итоге мы получили неверное равенство, и это приводит нас к заключению, что решений это уравнение не имеет.

Значит, в условии задачи ошибка и  получить в результате указанных действий Дмитрий не мог.

 Заключение

На этом уроке мы познакомились с понятием уравнения. Выяснили, что значит решить уравнение, познакомились с методами решения уравнений. Также мы выяснили, для чего нужны уравнения и как решать с их помощью задачи.

На данном уроке вы научитесь умножать натуральные числа, познакомитесь со свойствами умножения, а также научитесь применять полученные знания на практике.

 Умножение натуральных чисел

Если сумма состоит из равных слагаемых, то ее можно записать короче: 25 + 25 можно записать, как 25 * 2.  

.

Натуральное число m умножить на натуральное число n – это значит найти значение суммы, которая состоит из nслагаемых, каждое из которых равно m. m является первым множителем, n является вторым множителем, m * nявляется произведением (рис. 1).

Рис. 1. Умножение

Примеры: 1.

Произведение чисел 8 и x

8 * x.

2. Произведение суммы чисел a и b и числа 15

(а + в) * 15.

3. Произведение (m + 2) и (k - 3) (m + 2) * (k - 3).

Первый множитель – (m + 2), второй множитель – (k - 3)

4. Произведение 4ab состоит из трех множителей: первый множитель – 4, второй множитель – a, третий множитель – в.

5. Число 12 можно представить в виде произведения несколькими способами:

12 * 1

6 * 2

4 * 3

.

 Сравнение произведений

Если произведение содержит одинаковый множитель, то из них больше то, у которого второй множитель больше.

1.

2. 

3. 195 * 12 > 190 * 8, так как первый множитель первого произведения больше первого множителя второго произведения. Второй множитель первого произведения, аналогично, больше второго множителя второго произведения. Очевидно, что первое произведение больше.

Если оба множителя первого произведения больше обоих множителей второго произведения, то первое произведение больше.

Эти свойства можно использовать при доказательстве следующего неравенства:

20 * 30 < 23 * 35 < 30 * 40

 Свойства умножения

При решении различных задач применяют свойства умножения.

1. Переместительное: от перестановки мест множителей значение произведения не меняется.

2. Сочетательное: чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.

3. Умножение на единицу: если число умножить на единицу, то число не изменится.

4. Умножение числа на нуль: если число умножить на нуль, то получится нуль.

Т. е., при умножении любого числа на нуль, получится нуль.

Примеры.

1.

2. 

3. 

4. 

5. .

Все эти свойства удобно применять при решении различных примеров.

 Примеры

1. 

2. 2500 * 40 = 25 * 100 * 4 * 10 = 25 * 4 * 100 * 10 = 100000.

3. 

4.  

5. 125 * (42 * 80) = 125 * (80 * 42) = (125 * 80) * 42 = 10000 * 42 = 420000

Применим сначала переместительный закон в скобках, получим 125 умножить на произведение чисел 80 и 42. Теперь применим сочетательный закон и в итоге получим 10000 умножить на 42. Получаем 420000.

Произведение больших чисел удобнее находить в столбик. Вы этому учились в начальной школе.

После того, как мы изучили умножение, мы сможем решать более разнообразные задачи.

 Задача

В первом ящике – 12 кг помидор, во втором ящике – в три раза больше, чем в первом. Сколько кг в обоих ящиках?

Первым действием мы узнаем, сколько кг помидор во втором ящике. 1. 12 * 3 = 36 (кг) – помидор во втором ящике; Вторым действие узнаем, сколько кг помидор в двух ящиках. 2. 36 + 12 = 48 (кг) – помидор в двух ящиках. Ответ: в обоих ящиках 48 кг помидор.

 Деление. Свойства деления

Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Пишут, 48:12=4.

Число, которое делят (48), называютделимым. Число, на которое делят (12), называют делителем.Результат деления (4) называют частным.

Назовите делимое и делитель в частных:

1.(254 + 781) : (97 - 92); (254 + 781) – делимое, (97 - 92) – делитель

2. 18c : a; 18c – делимое, a – делитель

3. (3 - y) : m; (3 - y) – делимое, m – делитель

4. x : (b + 5); x – делимое, (b + 5) – делитель

При делении натуральных чисел можно использовать следующие свойства:

1. а : 0 !!!

Ни одно число нельзя делить на нуль.

2. а : 1 = a

При делении числа на единицу получится то же самое число.

3. а : a = 1, a

При делении числа на это же число, если оно не равно нулю, получится единица.

4. 0 : a = 0, a

При делении нуля на любое число, если оно не равно нулю, получится нуль.

Например, 0 : 27 = 0; 85 : 1 = 85; 87 : 87 = 1.

 Примеры

1. При каких значениях буквы верно равенство:

25 : a = 25, верно при a = 1

y : 14 = 1, верно при y = 14

1 : x = 1, верно при x = 1

m : 5 = 0, верно при m = 0

d : d = 1, верно при d – любое, кроме нуля

p : 1 = 1, верно при p = 1

2. Изучив действия сложения, вычитания, умножения и деления, мы можем решать различные уравнения. Решим несколько уравнений:

 Деление с остатком

Не всегда деление одного натурального числа на другое возможно. Рассмотрим следующий пример,

23 : 4 = 5 (ост. 3)

23 = 5 * 4 + 3

23 является делимым, 4 является делителем, 5 является неполным частным и 3 – остаток. Остаток должен быть всегда меньше делителя. Чтобы найти делимое при делении с остатком, нужно неполное частное умножить на делитель и к этому произведению прибавить остаток. Примеры: Укажите неполное частное, делитель и остаток:

1. 2053 = + 37.

2053 – делимое, 24 – неполное частное, 84 – делитель, 37 – остаток.

2. 2891 = 

2891 – делимое, 2 – неполное частное, 1000 – делитель, 891 – остаток. Если поменять множители местами, применив переместительное свойство умножения, то казалось бы, мы ничего не изменили. Но не может быть делитель, а он бы стал 2, быть меньше остатка. Поэтому запись «1000 + 891» не верна. Если бы мы ее встретили, нам пришлось бы, как раз наоборот, применить переместительный закон умножения.

Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель нацело. И можно тогда представить произведение: делитель умножить на частное.

24 = 8 * 3

 Задачи на неполное частное

Сколько деталей по 18 кг можно отлить из 10 болванок по 20 кг? И сколько кг чугуна останется?

Работа происходит в литейном цехе, т. к. глагол был «отлить». Поэтому нам необходимо найти массу всего чугуна.

1. (кг) – масса всего чугуна;

2. 200:18 = 11 (д) получится и 2 кг чугуна останется;

Ответ: получится 11 деталей, и 2 кг останется.

Но если бы работали в токарном цеху, то нельзя было бы находить массу всего чугуна, тогда бы из одной болванки получилась бы только одна деталь.

Как записывать задачи, примеры, выражения с помощью универсального математического языка, который будет понятен во всех странах мира, независимо от того, на каком языке вы разговариваете? Как научиться понимать математический язык, применять и использовать его в повседневности? На этом уроке вы получите ответы на такие вопросы, а также узнаете, зачем нужна математическая запись, почему она так универсальна, лаконична, содержательна и очень удобна. Сможете научиться составлять целые фразы и выражения с помощью математического языка.

 Пример № 1

«И слон, и кит очень большие животные. Но кит во много раз больше» (см. рис. 1).

Похожую информацию можно сказать, записать математическим языком.

 – масса слона

 – масса кита

5 т – большое животное, 150 т – очень-очень большое животное, во много раз больше. А конкретно: в 30 раз.

Рис. 1. Слон и кит

 Пример № 2

Каждый язык обладает своими преимуществами. Каждый используется для определенных целей. Например, Петя говорит своей сестре Лене: «Да я в тысячу раз быстрее тебя бегаю» (см. рис.2). На математическом языке это будет выглядеть примерно так:

 – скорость Пети

 – скорость Лены

Согласитесь, что по-русски эта фраза звучала нормально, она же на математическом языке вызывает сомнения. Все-таки в математике мы привыкли к достоверности величин. А в русском языке вполне допустимы преувеличения, и мы понимаем, о чем идет речь. Разные языки нужны для разных целей. Но в принципе по своему предназначению они похожи. Мы с помощью них общаемся, передаем, сохраняем, обрабатываем информацию.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

 Сравнение математического и русского языков

Давайте сравним два этих языка – математический и русский.

1) Вспомним, что мы используем в математике: числа (1, 10, 152). Числа похожи на слова. Их можно сравнить с существительными.

2) Цифры (0, 1, 2, …9). Их всего 10 штук, они похожи на буквы в алфавите, которых всего 33. Цифрами мы записываем числа, как буквами слова.

Бывает, возникает такой вопрос: «3 – это число или цифра»? Это как спросить «и – это слово или буква?» Вообще-то буква, но есть такое слово, союз «и», которое состоит из одной буквы. Так, есть и десять чисел, которые записываются одной цифрой.

3) Дальше четыре знака арифметических операций (+, -, ∙, :). Их можно сравнить с глаголами. Они же тоже обозначают действия.

4) Скобки мы используем, что изменить порядок, в котором выполняются действия. Скобки можно сравнить с запятой. Помните про фразу: «казнить нельзя помиловать». Там запятая очень сильно меняет смысл фразы (см. рис. 3).

Рис. 3 Кадр из м/ф «В стране невыученных уроков»

5) Знаки сравнения (<, >, =). Если вам интересно, можете самостоятельно придумать аналогию в русском языке и написать в комментариях к этому уроку.

6) Буквы: , , , , , , . Буквы мы используем обычно вместо чисел, если конкретные числа нам по какой-то причине писать не хочется или не можем это сделать.

Такое может быть, если мы хотим написать правило, которое выполняется для всех чисел. Например, правило «от перестановки слагаемых сумма не изменяется» мы можем показывать на примере чисел, а можем – с помощью букв. При этом все понимают, что вместо букв можно поставить любые числа: .

Это всё были элементы, кирпичики математического языка. А что же уже осмысленного можно написать с помощью этих элементов? В принципе можно не сильно задумываться и начать делать математическую запись, пользуясь простым правилом: нельзя ставить подряд два числа (иначе они сольются в одно) и нельзя ставить подряд два знака.

Буквы с числами и буквы с буквами можно писать подряд, договорились считать, что между ними знак умножить. Вот пример вполне корректной математической записи: .

 Математические языковые конструкции

Поговорим теперь о том, какие вообще бывают языковые конструкции.

В русском языке есть такое понятие, как словосочетание. Например, «белый кот». Это словосочетание осмысленно, но не несет никакой информации. Собственно, как и любое другое словосочетание. С ним можно работать, изучать, делать разбор слов, но сообщения в нем никакого нет. Давайте сравним его с законченным предложением «У Лены есть белый кот». Совсем другое дело: здесь появляется сообщение, новая информация. Давайте сравним еще три конструкции.

1. Столица Англии.

2. Лондон – столица Англии.

3. Париж – столица Англии.

Первая является словосочетанием и не несет никакой информации, не является сообщением. Вторая и третья являются сообщением. Но у них есть существенная разница. Второе верное, а третье нет.

Кстати, фраза «У Лены есть белый кот» вполне может оказаться и неправдой. А вот про первую конструкцию «белый кот» можно сказать, верная она или нет? Нет, так как нет сообщения, то и про истинность его ничего нельзя сказать.

Даже про такое словосочетание, как «кот с крыльями», нельзя сказать, что оно не верное. Ведь это, может быть, начало верного предложения «Кот с крыльями не существует».

В математике дела обстоят очень похоже. Есть математические записи, которые осмысленны, но не несут никакого сообщения, никакой новой информации ни для кого.

Примеры:

Ни одна из этих записей ничего нам не сообщает. Это не значит, что они нам не нужны. Очень нужны. Из них, как из словосочетаний, мы будем создавать конструкции, которые уже несут информацию.

Давайте сравним с такими записями:

Каждая из них уже содержит некое утверждение, несет информацию. Что делает эти записи утверждениями, сообщениями? Знаки сравнения: = и >. Именно когда мы говорим: что-то чему-то равно или что-то больше чего-то, мы делаем утверждение, передаем информацию. Если математическая запись не содержит знаков сравнения (<, >, = ), то она называется выражением.

Это очень просто запомнить и не путать. Если нет знаков равно, больше, меньше – это выражение. Если есть – это не выражение, а что-то большее.

Выражения мы видим очень часто. Например, такие:

Выражение не содержит утверждения, не несет информации. Если выражение содержит только числа и знаки действия, то оно называется числовым:  – числовое выражение.

Если выражение содержит хотя бы одну букву, переменную, то его называют буквенным выражением, ну или не уточняют, какое оно, просто выражение. Вот примеры буквенных выражений:

Все остальные математические записи будут содержать какой-нибудь из знаков сравнения – равно, больше или меньше.

Пусть у нас теперь в записи появляется знак равно. Слева и справа стоят выражения. Такая запись называется равенство. Если букв нет, то есть с обеих сторон от знака равно стоят числовые выражения, то равенство называется числовым равенством.

Вот пример числового равенства: .

А что такое ? Нет, ответ «Неравенство» неверный. Это тоже равенство. У нас опять два числовых выражения, и между ними знак равно. То есть обе этих записи являются числовыми равенствами. А в чем у них принципиальная разница?

Первое – верное числовое равенство. Второе – неверное числовое равенство (помните про столицу Англии?). Так, про любое числовое равенство можно сказать, верно оно или нет. Вот ещё примеры двух равенств:

Первое – верное числовое равенство. А второе – неверное числовое равенство.

Если равенство содержит хотя бы одну переменную, то называется оно уравнением. Вот пример уравнения: . Можно ли про него сказать, как про числовое равенство, верно оно или нет? Нет, нельзя. Этот вопрос не имеет смысла. Мы не знаем, что кроется за переменной . Отметим, что вопрос об истинности здесь не уместен по другой причине, нежели с выражением. Там вообще не было никакого сообщения, а здесь оно есть, но есть неизвестная. Если сказать «белый кот», «У одного человека белый кот», то нельзя сказать ни про то, ни про другое, правда это или нет. По разным причинам. В первом случае нет сообщения, а во втором есть неизвестный. Если его заменять на конкретных людей, то утверждение будет становиться верным или нет.

Вернемся к уравнению. Вместо переменной  можно подставлять различные числа. Каждый раз уравнение будет превращаться в числовое равенство. Давайте подставим несколько чисел, например: 1, 2, 3, 4, 5. Получим пять числовых равенств.

Только одно из них оказалось верным. Число 3 превратило уравнение в верное числовое равенство. Это число 3 называется корнем уравнения (или другой термин-синоним – решение уравнения).

Неравенства

Поставим между двумя числовыми выражениями знак больше или меньше:

Такие утверждения называются числовыми неравенствами. Первое является верным, второе – неверным.

Для неравенства с переменными нет отдельного названия, как для уравнения. Оно так и называется неравенством, просто не является числовым. Вот пример такого неравенства: . Про него уже нельзя сказать, верное оно или нет. Если подставлять вместо  различные числа, то оно будет превращаться в числовое неравенство. Некоторые из них будут верными, некоторые нет.

 Выводы

1) Математический язык – это уникальный, многогранный и в то же время простой язык, который состоит из математических терминов, чисел, букв, формул и различных выражений. Как и любой другой язык, он является средством общения, благодаря которому мы можем передать информацию, описать то или иное явление, закон или свойство.

2) Обычный язык и математический имеют много общего.

3) Математическая запись без знаков сравнения называется выражением. Выражение не является утверждением, не несет информации.

3) Если по обе стороны от знака равно стоят числовые выражения, то мы имеем числовое равенство. Про него можно сказать, верное оно или нет.

4) Если хотя бы одно из них содержит переменную, то мы имеем уравнение. Решениями (корнями уравнения) называются такие числа, которые (при подстановке вместо переменной) превращают его в верное числовое равенство.

5) Аналогично со знаками сравнения. Только речь идет уже о числовых неравенствах и неравенствах с переменной.

С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.

 Введение

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык – математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» – можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася – друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить– значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

 Числовые и буквенные выражения

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .

Также  будет эквивалентно первым двум: .

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример: от числа  нужно отнять число .

Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .

То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.

 Пример. Упрощение выражения

Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».

Упростить выражение: .

Решение

1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .

2) Вычислим произведения: .

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

 Правила упрощения выражений

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1) выполнить все возможные действия,

2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

 Примеры

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

Вычислите:

1)        3) 

2)        4) 

Решение

1) Представим  как : .

2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение: .

3)  можно представить как  и выполнить умножение:

4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .

Выполните действия:

1)       2) 

Решение

1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону – вынести общий множитель за скобки.

2) Вынесем за скобки общий множитель : .

 Задача

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни – , прихожей – . Есть три вида линолеумов: по ,  и  рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.

 (руб.) – на кухню

 (руб.) – в прихожую

 (руб.)

И так еще считать для двух видов линолеума… Можно ли упростить себе расчеты? Да, можно.

Способ 2. Пусть цена линолеума . Тогда, чтобы купить линолеум на кухню, нужно  руб., а на линолеум в прихожую –  руб. Тогда на всю покупку нужно  руб. Осталось вместо  подставлять разную стоимость линолеума. Таким образом, мы упростили задачу, что дало нам формулу для расчета. Подставим:

1.  (руб.)
2.  (руб.)
3.  (руб.)

На уроке вы узнаете о роли скобок в выражениях и о правилах, по которым выполняются действия. А также решите несколько интересных примеров.

 Введение

В любом языке есть правила грамотной записи. Кроме самих слов, который несут основной смысл, мы используем знаки препинания. Они тоже крайне важны.

Вспомним всем известное «казнить нельзя помиловать». От того, где поставить запятую, смысл выражения меняется на противоположный (см. рис. 1).

Рис. 1. Как меняется смысл фразы от запятой

В этом предложении есть слова, которые несут смысл, а есть знак препинания – запятая, который очень сильно на этот смысл влияет.

В математическом языке тоже есть такой знак препинания, это скобки.

 Пример 1

Если выполнять действия, как они записаны, то получаем 6: .

Но если поставить скобки вокруг суммы , то сразу смысл выражения меняется: .

 Роль скобок. Порядок операций

В математике есть простые правила, указывающие, какие действия в каком порядке надо совершать. Скобки нужны, если мы хотим влиять на этот порядок действий. Зная эти правила, ошибиться в порядке действий практически невозможно. Их мы сейчас и обсудим.

 Сложение и вычитание равноправны

В этом примере у нас есть и сложение, и вычитание. Эти действия равноправны. Мы делаем их все подряд слева направо. Расставим последовательность действий.

 Умножение и деление тоже равноправны

Если у нас только умножение и деление, то мы опять делаем все действия подряд слева направо:

 Сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание

Если у нас разные действия в одном примере, то сначала нужно сделать все умножения и деления, слева направо, а потом все сложения и вычитания, тоже слева направо.

 Действия в скобках раньше всего

Действия в скобках делаются в первую очередь. Сначала вспомним еще раз нашу задачку, с которой начали урок.

Умножение идет первым, поэтому сначала умножение, потом сложение.

Но если поставить сложение в скобки, то начинаем мы с него, а умножение делаем вторым.

Очень простая задача, но здесь видно, что последовательность действий важна, меняем последовательность, получаем разные ответы.

 Пример 2

Сначала действия в скобках. Их две. Значит, расставляем последовательность действий над скобками слева направо. Потом идут умножение и деление слева направо, и последнее вычитание:

 Порядок выполнения действий

•  действия в скобках
• умножение и деление
• сложение и вычитание

 Пример 3

Внутри скобок может оказаться несколько действий. Тогда они выполняются по обычным правилам: сначала действия в скобках – сначала умножение, потом вычитание. Остались снаружи от скобок деление и последнее сложение.

 Пример 4

Внутри скобок могут оказаться еще скобки. Значит, смотрим на весь пример, сначала нужно сделать все действия внутри больших скобок, пользуясь правилом, то есть сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение. Снаружи больших скобок сначала умножение, потом сложение.

 Пример 5

Рассмотрим еще один прием вычислений, который иллюстрирует, как можно сократить количество действий.

Расставим последовательность действий.

Получилось восемь действий. Делая по одному действию, мы должны будем переписать этот пример восемь раз и только потом получим ответ. Это будет выглядеть так:

Запись можно сократить. Расставим последовательность действий. 1 и 2 действие не влияют на третье. Его можно сделать одновременно с первым. А то, что мы делаем в первых скобках, не влияет на то, что делаем во вторых. Действия в первых больших и последних скобках тоже можно делать одновременно.

За один раз выполнены три действия. Далее одновременно можно сделать по одному действию в первых и вторых скобках: деление и вычитание.

Заканчиваем решение:

Запись получилась короче.

 Заключение

Этот прием одновременных вычислений требует тренировки. Навык сам появится, когда вы выполните достаточное количество примеров.

На данном уроке Вы познакомитесь с определением степени числа, квадрата и куба числа, а также научитесь решать задачи по данной теме.

Тема: Умножение и деление натуральных чисел

Урок: Степень числа. Квадрат и куб числа

 1. Степень натурального числа а

Степенью натурального числа a называют произведение нескольких множителей, каждый из которых равен а.

Например:

 2. Квадрат числа а

Произведение a умножить на a называют второй степенью или квадратом числа a.

Например:

4

Квадраты первых десяти натуральных чисел вы легко вспомните с помощью таблицы умножения:

И другие квадраты чисел также можете легко найти.

 3. Куб числа а

Произведение числа a на a и на a называют третьей степенью или кубом числа a. Записывают таким образом, . Читают a в кубе или a в третьей степени.

Например:

Таблица кубов первых десяти натуральных чисел:

 4. Порядок выполнения действий

Если числовое выражение содержит квадраты и кубы чисел, то их значение выполняют раньше других действий, за исключением действий в скобках. Рассмотрим на нескольких примерах:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

 5. Уравнения

Благодаря таблице квадратов и кубов, мы можем решать уравнения для некоторых натуральных чисел и нуля, т.к. 02 = 0 и 03=0. Нуль не является натуральным числом.

Давайте рассмотрим уравнения:

1. x2 = 121

x = 11

2. a3 = 512

a = 8

3. a*a=1

a = 1

4. y * y * y = 0

y = 0

На этом уроке вы узнаете, что такое алгоритм и как им пользоваться при решении задач. Изучите понятие скорости и решите несколько задач для закрепления материала. А также вместе с учителем составите алгоритм решения задач на движение.

 Алгоритм

При поиске клада следует иметь подробные указания, как это делать. Например «встань под высоким дубом лицом на север. Иди прямо 52 метра, поверни направо и иди еще 35 метров. Копай вниз на 80 см.» Если такая подсказка есть и она правдива, то клад можно найти. А если ее нет, а мы знаем только примерное место, то искать можно очень долго.

Мы купили новый телевизор, нам нужно его подготовить к работе, включить, настроить каналы. Мы можем делать это сами, нажимая на все кнопки, но в коробке есть инструкция: «…подключите электрический кабель к телевизору, потом к розетке, подключите в разъем сзади антенну. Нажмите кнопку «вкл.» на телевизоре, дождитесь синего экрана, нажмите на пульте кнопку «меню», клавишей «вниз» выберите «автоматическая настройка каналов»…» Имея такую инструкцию, подробную подсказку, мы настроим наш телевизор намного быстрее и не испортим его.

Перед нами стояли разные задачи – найти клад, настроить телевизор. И мы решали их с помощью инструкции, подробного объяснения, как это делать. Они не обязательны, но часто бывают полезны. Такая инструкция, подсказка называется алгоритмом.

Если мы знаем алгоритм для решения задачи, то все просто. Алгоритм задает последовательность действий для решения задачи.

 Пример 1

Автомобиль едет быстрее велосипедиста.

Петя очень быстро ест, нужно есть медленнее.

Лена читает медленнее Вани.

Во всех этих примерах сравнивается скорость. Машина и велосипедист едут. Скорость движения машины больше скорости велосипедиста. Петя быстро ест. Его скорость приема пищи очень большая. Лена и Ваня читают. Скорость чтения Лены меньше скорости чтения Вани.

Всегда, когда можно сказать о чем-то «быстро», «медленно», «быстрее», «медленнее», значит, тут есть скорость.

 Пример 2

Пешеход прошел за 1 час 6 км. Какова его скорость?

, , 

Скорость пешехода – 6 км в час.

 Пример 3

Пешеход прошел за 2 часа 12 км. Какова его скорость?

, , 

Скорость не изменилась. За 1 час он проходил 6 км, за 2 часа – 12 км. То есть скорость та же самая – 6 км/ч.

 Пример 4

Велосипедист проехал за 3 часа 45 км. Какова его скорость?

, , 

За 3 часа он проехал 45 км, значит, за 1 час в три раза меньше, 45 делим на 3, ответ – 15 км/ч.

 Пример 5

Оля за 3 часа съела 6 пирожков. Петя за 3 часа съел 9 пирожков. Ваня за 2 часа съел 8 пирожков. Каковы их скорости, кто ест быстрее всех, кто медленнее всех?

Оля: 

Петя: 

Ваня: 

Ответ: самая низкая скорость у Оли, а самая большая – у Вани.

 Пример 6

Маша прочитала 560 слов за 8 минут, а Петя – 360 слов за 3 минуты. У кого скорость чтения больше?

Маша: 

Петя: 

Ответ: скорость чтения Маши ниже, чем скорость чтения Пети.

Во всех примерах скорость мы искали одинаковым способом. У нас был единый алгоритм, инструкция.

 Алгоритм вычисления скорости

Чтобы найти скорость, нужно взять то, что изменялось, – пройденное расстояние, количество съеденных пирожков, количество прочитанных слов, количество деталей, объем воды и так далее – и поделить на время, за которое это произошло.

 – расстояние,  – время:

 – количество,  – время:

 – объем,  – время:

В итоге мы получим скорость движения, скорость поедания пирожков, скорость чтения, скорость работы, скорость наполнения бассейна водой и тому подобное.

Не всегда нам нужно искать скорость, она уже может быть известна, а необходимо найти расстояние, количество прочитанных слов. Может оказаться, что нужно найти время, которое понадобилось для всего этого.

 Пример 7

Пешеход движется со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 3 часа?

 Пример 8

Завод выпускает 15 автомобилей в день, сколько дней ему понадобится, чтобы выпустить 90 автомобилей?

 Формулы для нахождения расстояние и времени

То есть кроме формулы для вычисления скорости, мы имеем еще две, для нахождения расстояния (количества, объема) и для нахождения времени (рис. 1).

Зная две величины, мы всегда можем найти третью. Формулы дают алгоритм этого. Нужно подставить в них известные величины и посчитать.

Рис. 1. Формулы нахождения скорости, времени и расстояния

А если задача окажется сложнее, чем просто по двум известным величинам найти третью, неизвестную? На это тоже есть алгоритм, инструкция для решения таких задач.

 Алгоритм решения более сложных задач. Шаг 1

Сначала нужно все величины, которые есть в задаче, обозначить, чтобы мы могли потом с ними что-то делать.

 Задача 1 шаг 1

Первый рабочий делает 12 деталей за 1 час, а второй – 15 за 1 час. Сколько сделают деталей оба рабочих вместе за 6 часов?

Двое рабочих работают вместе, но у каждого своя скорость, каждый производит свое количество. Введем обозначения для каждого.

 – количество деталей, которое произведет первый рабочий.

 – скорость, с которой работает первый рабочий.

количество деталей, которое произведет второй рабочий.

 – скорость, с которой работает второй рабочий.

 – количество деталей, которое произведут оба рабочих вместе.

 – время, за которое оба рабочих произведут нужное количество деталей.

 Задача 2 шаг 1

Из пункта  в пункт  вышел пешеход со скорость 5 км/ч. Навстречу ему 1 час спустя из пункта  выехал велосипедист со скоростью на 10 км/ч больше, и еще через 2 часа он встретил пешехода. Каково расстояние между пунктами  и ?

Есть пункты  и . И расстояние между ними обозначаем .

Пешеход движется некоторое время со своей скоростью и проходит какое-то расстояние. Обозначим эти величины:

 – путь, который преодолел пешеход.

 – скорость пешехода.

 – время, за которое пешеход преодолел пройденное расстояние.

Велосипедист также двигался с определенной скоростью, определенное время и преодолел некоторое расстояние. Обозначим эти величины:

 – путь, который преодолел велосипедист.

 – скорость велосипедиста.

 – время, за которое велосипедист преодолел расстояние.

Перечислены все физические величины.

 Шаг 2

Второй шаг – это, используя буквенные обозначения, записать все условия задачи.

 Задача 1 шаг 2

Первый рабочий делает 12 деталей в час, а второй – 15 деталей в час. Сколько сделают деталей оба рабочих вместе за 6 часов?

Обозначения введены. Запишем все условия:

Первый рабочий делает 12 деталей в час. Это его скорость.

Второй – 15 деталей в час.

Сколько сделают деталей оба рабочих вместе? Работают вместе, общее количество деталей равно сумме того, что сделал каждый.

За 6 часов. Значит время работы равно 6.

Найти надо общее количество.

 Задача 2 шаг 2

Из пункта  в пункт  вышел пешеход со скорость 5 км/ч. Навстречу ему 1 час спустя из пункта  выехал велосипедист со скоростью на 10 км/ч больше, и еще через 2 часа он встретил пешехода. Каково расстояние между пунктами  и ?

«Навстречу ему, 1 час спустя…» То есть велосипедист выехал на час позже, а закончили они движение одновременно, когда встретились. Это значит, что время велосипедиста на 1 час меньше или время пешехода на 1 час больше, как удобнее.

 или 

«со скоростью на 10 км/ч больше…»

И через 2 часа он встретил пешехода. 2 часа – это время велосипедиста.

Нужно найти расстояние между пунктами  и .

Итак, для всех задач введены обозначения всех величин (шаг 1 алгоритма), переписаны все условия на математическом языке (шаг 2 алгоритма)

 Шаг 3

Основная часть работы уже сделана. Следующий шаг уже подводит к ответу. А именно, нам нужно найти то условие, куда входит искомая величина, и подставить туда все остальные условия, все, что мы знаем.

 Задача 1 шаг 3

Нам нужно найти .

Берем условие 

Нам нужно подставить туда значения  и , но у нас их нет. Но мы знаем формулу, по которой считаются эти количества. Чтобы найти количество, нужно скорость умножить на время.

Эти величины нам все известны. Подставляем их.

Ответ: 162 детали.

 Задача 2 шаг 3

Ищем расстояние  между пунктами  и . Берем то условие, которое его и содержит.

Если бы мы знали, чему равны  и , то решили бы сразу, но так как мы не знаем, то используем формулу для вычисления расстояния: расстояние – это скорость, умноженная на время.

Нам известны  и , и неизвестны  и , но для них есть их выражения.

В правой части уравнения все известные величины, подставляем туда их значения:

 Заключение

В задачах на скорость всегда есть три величины:

ü  Расстояние (количество пирожков или деталей, объем воды)

ü  Скорость

ü  Время

Если известны две из них, то всегда можно найти третью. Для этого у нас есть три формулы:

Для решения задач на скорость используется алгоритм:

1. Обозначить все величины буквами.

2. Переписать все условия с помощью обозначений, этих букв.

3. Выбрать условие, которое содержит искомую величину.

4. Подставить туда все остальные условия.

5. Решить уравнение.

На данном уроке мы выучим, что такое формула, а также рассмотрим типы формул. Кроме того, будут рассмотрены задачи с использованием формул.

 Введение. Формула чисел Фибоначчи

Упражнение. Необходимо посмотреть на экран и запомнить следующий ряд чисел в течение следующих 5–7 секунд:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

Затем, не смотря на экран, попробуйте записать их на бумаге.

Не стоит переживать, если не вышло, так как существует формула, которая позволяет построить этот ряд.

Формула имеет следующий вид:

Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих.

Выпишем две единицы. Третий член получим как их сумму:

Четвертый является суммой 1 и 2:

Следующий уже как сумму 2 и 3:

Затем:

И так далее 21, 34, 55, 89, 144, 233 …ряд можно продолжать до бесконечности.

Такой ряд называется рядом чисел Фибоначчи, по имени средневекового математика, который изучал эти числа.

Теперь, зная формулу чисел Фибоначчи, каждый может взять бумагу и написать любое количество этих чисел. Формула позволяет освободить память, автоматизировать вычисления.

Сами числа Фибоначчи играют очень важную роль в физике и биологии. Если интересно, по этой ссылке можно посмотреть видео, рассказывающее о роли чисел Фибоначчи в растительном мире.

 Формулы

В математике и других науках используются разные формулы. Все они упрощают работу, экономят время и силы. Формулу создают один раз, а потом постоянно ими пользуются.

Есть 4 типа формул, с которыми человек обычно сталкивается. Все эти 4 типа и будут рассмотрены на уроке.

 Формула-определение

Часто формула является определением новой величины.

Рассмотрим два примера:

1) Формула скорости

Задача. Машина ехала 6 часов, проехала 480 км. Какова была скорость машины?

На самом деле, сначала надо ответить на другой вопрос: что такое скорость?

Время и расстояние понятны. Они наблюдаемые величины. 6 часов мы отмерили с помощью часов, расстояние измерили с помощью километровых столбиков на дороге.

А вот на вопрос «что такое скорость автомобиля» мы как раз и отвечаем формулой.

Определение.

Скорость, а вернее средняя скорость, – это расстояние, деленное на время.

Данная формула и есть ее определение. То есть это уже величина не наблюдаемая, а вычисляемая.

Теперь можно вычислить решение задачи:

2) Длина окружности

Люди давно заметили, что соотношение длины окружности и ее диаметра постоянно.

То есть если длину окружности делить на длину диаметра, то всегда получается одна и та же величина, какого бы размера ни была окружность.

Эту величину, это число, назвали  (пи).

Данная формула является определением числа .

Чаще ее можно увидеть в другой эквивалентной форме:

Задача. Найти длину окружности, радиус которой равен 20 см. (Рис. 1.)

Рис. 1. Окружность с радиусом 20 см

Решение:

Формула чисел Фибоначчи тоже является формулой-определением чисел Фибоначчи.

 Формула-теорема

На рисунке можно увидеть прямоугольник с высотой  и шириной . Внутри прямоугольника вписан треугольник. Вопрос: какую часть прямоугольника он занимает (рис. 2)?

Рис. 2. Прямоугольник с вписанным треугольником

Ответить сразу на этот вопрос не получится. Проведем отрезок из верхней точки треугольника вниз (рис. 3), то есть высоту треугольника. Эта высота тоже будет равна .

Левая часть треугольника занимает половину левого прямоугольника, правая – половину правого. Очевидно, весь треугольник занимает половину всего прямоугольника.

Рис. 3. Прямоугольник с вписанным треугольником с высотой 

Значит, его площадь равна половине прямоугольника.

Так как площадь прямоугольника равна произведению одной стороны на другую (), то площадь треугольника:

где – основание треугольника,  – его высота.

Эта формула была выведена, доказана, а не использована в качестве определения. Обычно такие формулы называют еще теоремами.

Для чего нужна эта формула? Понятно, если известны основание треугольника и его высота, то возможно найти площадь.

Но эта формула сообщает еще один удивительный факт.

Как бы ни была передвинута вершина треугольника, основание и высота у него не меняются, а значит, и площадь не меняется тоже (рис. 4).

Рис. 4. Передвижение вершины треугольника

 Экспериментальная формула

Часто люди видят, что одно явление зависит от других. Но сделать математическую запись этой зависимости обычно очень непросто.

Так, например, давно было понятно, что если тело толкать или тащить с разной силой, то результат будет разный. Но как описать эту зависимость, долго было не понятно.

Ньютон сформулировал это в виде формулы, которая называется вторым законом Ньютона:

где  – сила, которая действует на тело; – масса тела.

Она описывает такое свойство: во сколько раз больше сила, которая действует на тело, во столько раз быстрее тело разгоняется. Эту величину – скорость разгона – называют ускорением.

 Формула-тождество

Формула квадрата суммы

Пусть есть два числа  и . Что означает запись ?

Это значит, что умножается само на себя.

Известно, что это произведение равно площади квадрата с такой стороной. Потому вторая степень и называется квадратом. Проведены две вспомогательные линии. Большой квадрат разбивается на 4 части (рис. 5).

Тогда площадь большого квадрата равна сумме всех четырех фигур:

Эта формула позволяет упрощать вычисления. Она так и называется, формулой сокращенного умножения.

Рис. 5. Большой квадрат, разбитый на 4 части

Пример: 

Задание. Задан прямоугольник со сторонами  и  и квадрат со стороной . Напишите самостоятельно формулы периметров для каждой фигуры и формулу площади квадрата.

Вспомним, что периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Обозначается большой латинской буквой .

Проверка.

Периметр прямоугольника равен сумме его четырех сторон. Так как противоположные стороны равны, то получаем:

У квадрата все стороны равны, поэтому его периметр:

Квадрат является прямоугольником, его площадь равна произведению двух соседних сторон, но они равны друг другу:

Полученные формулы периметров и площади настолько просты, что нет никакой нужды их запоминать. Каждый раз, когда понадобится найти периметр или площадь таких фигур, можно будет опираться на смысл этих понятий.

Что на самом деле является полезным умением – это переписывать формулу в том виде, который нам более удобен в данный момент.

 Задача 1

Нужно в компьютер ввести формулу для расчета времени движения автобуса. Расстояние и средняя скорость будут меняться (разные маршруты, разное состояние дорог).

Мы знаем, что средняя скорость задается своей формулой:

Но нам нужна формула для расчета времени. Перенесем  в левую часть формулы, скорость, наоборот, в правую:

Получили формулу для расчета времени в пути. Это та же самая формула, но записанная в другом, эквивалентном, виде.

Что изменится, если расстояние меняться не будет (маршрут всегда один) и составит 350 км? Меняется только средняя скорость из-за погодных условий. Так как расстояние не меняется, то подставим его в формулу:

Новая формула пригодна для расчета времени только для этого конкретного маршрута, но зато требует ввода только одного значения, а не двух.

Найдем с помощью нее необходимое время на дорогу, если средняя скорость составляет 40 км/ч, 50 км/ч, 60 км/ч:

Ответ: , , 

 Задача 2

Банки краски хватает на покраску 15 кв. метров забора. Какой длины часть забора можно покрасить, если у нас одна банка?

Решение        

Понятно, что до тех пор, пока мы не знаем высоту забора, мы не сможем ответить на эти вопросы. Но мы можем подготовиться, составить формулы для вычисления этой длины. Как только высота забора будет известна, мы подставим ее в формулу и найдем длину.

Итак, покрашенная часть забора – это прямоугольник. Высоту забора обозначим , а длину покрашенной части –  (рис. 6).

Рис. 6. Закрашенный участок стены

Площадь, закрашенная с помощью одной банки, – , но она же .

Выразим длину :

Если банка была одна, то покрашенная площадь равна .

Мы получили формулу для расчета.

Если теперь мы узнаем высоту забору, то легко найдем длину окрашенной части забора (; ; ):

Ответ: ; ; .

 Вывод

На этом уроке было изучено, что формула – это алгоритм («Подумали один раз, вывели формулу, а пользуемся всю жизнь»).

Кроме того, было выделено 4 типа формул: формула-определение, формула-теорема, экспериментальная формула, математическое тождество.

Также следует запомнить, что формулу можно записывать в разных эквивалентных видах, в зависимости от того, какую величину мы хотим вычислять.

На этом уроке мы разберем, что такое площадь на наглядных примерах. Узнаем, в каких величинах ее принято измерять в мире, в зависимости от размера измеряемого объекта.

Часто в жизни можно услышать про площадь поля, площадь комнаты, площадь материка и т.д. На уроке мы разберем, что такое площадь и как ее измеряют.

 Измерение площади. Общие понятия

Возьмем как измерительный прибор любую фигуру, например прямоугольник (см. Рис. 1). Измерим с помощью него выделенную часть стола (см. Рис. 2), укладывая прямоугольники на эту часть.

Рис. 1. Прямоугольник

Рис. 2. Стол

На выделенной части стола, поместилось 9 прямоугольников (см. Рис. 3). То есть площадь составила 9 прямоугольников.

Рис. 3. Измерение выделенной области стола прямоугольниками

Также можно измерить выделенную часть стола ладонями (см. Рис. 4) площадь стола составила 4 ладони.

Рис. 4. Измерение выделенной области стола ладонями

Но измерение площади ладонями и прямоугольниками дают не совсем правильный результат.

Например, портной говорит, чтобы сшить штаны нужно приобрести ткань площадью в 200 ладошек. Но размер ладоней у всех разный и приобрести ткань нужной площади невозможно. Поэтому люди решили измерять площадь квадратами, для того чтобы, зная число квадратов, представляли площадь объектов, которые не смогут увидеть.

Возьмем шахматную доску (см. Рис. 5), она разбита на квадраты, в ней 64 квадрата, и это ее площадь.

Рис. 5. Шахматная доска

Но квадраты могут быть разными, поэтому договорились измерять квадратами со стороной 1 метр, также измерять маленькие площади квадратами со стороной 1 сантиметр и очень большие – со стороной 1 километр. Так образовались правила получения квадратных сантиметров и километров.

 Квадратный сантиметр

Квадратный сантиметр – это квадрат со стороной 1 сантиметр (см. Рис. 6).

Рис. 6. Квадратный сантиметр

 Квадратный метр

Берем квадратный метр и делим каждую его сторону на сантиметры (в 1 метре 100 сантиметров). Получаем 100 см на 100 см, то есть 10000 квадратных сантиметров (см. Рис. 7).

Рис. 7. Квадратный метр

 Квадратный миллиметр

Чтобы получить квадратный миллиметр, нужно квадратный сантиметр разделить на квадратные миллиметры (в 1 сантиметре 10 миллиметров). Получаем 10 мм на 10 мм, то есть 100 квадратных миллиметров (см. Рис. 8).

Рис. 8. 100 квадратных миллиметров

 Квадратный километр

Если нужно измерить площадь чего-то очень большого, берут квадратный километр для измерения (в 1 километре 1000 метров). Получаем 1000 м на 1000 м, то есть 1 000 000 квадратных метров (см. Рис. 9).

Рис. 9. Квадратный километр

Можно заметить, что все эти единицы измерения происходят от квадратного метра.

Маленькие площади измеряют квадратными сантиметрами. Средние площади, например, квартиры, измеряют квадратными метрами. А большие площади, например, поля, измеряют в квадратных километрах.

Чтобы измерять площадь, нужно посмотреть, сколько квадратных сантиметров, метров или километров поместится в измеряемой площади.

 Заключение

На этом уроке мы узнали, что площадь – это такая величина, которая показывает, сколько места на плоскости занимает наш измеряемый объект, а также, какие приняты величины для измерения площадей.

На этом уроке мы познакомимся с формулой площади прямоугольника и решим несколько примеров с применением этой формулы.

 Введение

Представьте ситуацию. Мама хочет испечь торт. Но у неё осталось мало глазури, которой она его покроет сверху. На какой из этих трёх тортов уйдёт меньше всего глазури (Рис. 1)?

Рис. 1. Торты разной формы

Казалось бы, все просто: какая фигура меньше, на ту меньше глазури и понадобится. Но что такое «меньше»? Для отрезков было понятно: сравнивали длины. А что можно сравнивать у фигур? Для этого используют другую характеристику – площадь. Чем меньше будет площадь торта, тем меньше глазури понадобится маме.

А как определить площадь фигуры? Как сравнивать площади разных фигур? На этом уроке мы поговорим о том, как посчитать площадь прямоугольника.

Почему мы начинаем именно с него? Во-первых, прямоугольники в нашей жизни встречаются часто, поэтому возникает много практических задач, связанных с вычислением площади прямоугольника: сколько стекла надо, чтобы застеклить оконный проём, сколько лака надо, чтобы вскрыть дверь, сколько бумаги надо, чтобы обернуть подарок и т.д. (Рис. 2).

Рис. 2. Примеры практических задач на вычисление площади прямоугольника

Во-вторых, прямоугольники легко укладывать плотно друг к другу (сравните: чем проще заполнить коробку – прямоугольными плитками или, например, круглыми, при условии, что пустого места должно оставаться как можно меньше) (Рис. 3).

Рис. 3. Заполненные прямоугольные коробки

Поэтому площадь любой фигуры можно посчитать достаточно точно, «разрезав» эту фигуру на прямоугольники (Рис. 4).

Рис. 4. Фигура разбита на прямоугольники

То есть если уметь находить площадь прямоугольников, то можно приближенно посчитать площади других фигур.

Аксиомы площади

На самом деле площадь прямоугольника важна не только для того, чтобы научиться считать площади других фигур. Она нужна, чтобы вообще дать определение: а что же такое площадь.

Интуитивно каждый из нас понимает, что такое площадь. Но сформулировать определение не так просто. Обычно говорят, что площадь – это место, которое фигура занимает на плоскости (чем больше площадь, тем больше места она занимает и наоборот).

Давайте попробуем строго определить, что же такое площадь фигуры, каким требованиям она должна удовлетворять, чтобы результат согласовывался с нашим жизненным опытом и здравым смыслом.

Итак, пусть у нас есть фигура (Рис. 1).

Рис. 1. Произвольная фигура

Чтобы найти её площадь, надо задать какой-то стандарт, то есть определить площадь известной фигуры. В математике такой фигурой считается единичный квадрат (квадрат со стороной ). Его площадь считается равной  (Рис. 2).

Рис. 2. Единичный квадрат

Теперь, если фигура состоит из двух квадратов, логично считать, что она занимает в  раза больше места, то есть её площадь равна сумме площадей двух квадратов, или равна  (Рис. 3).

Рис. 3. Фигура площадью 

Это свойство площади можно обобщить: если фигура состоит из двух фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур (Рис. 4). Действительно, эта фигура занимает столько же места, сколько те две фигуры вместе взятые.

Рис. 4. Фигура состоит из двух фигур

Наконец, совсем очевидно, что у одинаковых фигур (под одинаковыми мы имеем в виду те, которые можно совместить при наложении) площади должны быть равны, так как они занимают одинаковое место (Рис. 5).

Рис. 5. Одинаковые фигуры совместились при наложении

Этих свойств достаточно, чтобы научиться считать площадь любой известной нам фигуры.

 Площадь прямоугольника

Площадь фигуры равна количеству единичных квадратов, которые укладываются внутрь фигуры.

Возьмем прямоугольник: высота  см, а длина  см. Заполним его квадратами со стороной  см. Площадь каждого такого квадрата . Всего поместилось  квадратов (Рис. 5).

Рис. 5. Площадь данного прямоугольника

Значит, по определению площади фигуры, площадь нашего прямоугольника равна .

Обязательно ли нужно выкладывать все единичные квадраты внутри прямоугольника, чтобы понять, сколько их поместится? Давайте посмотрим еще раз. Выложим внизу прямоугольника один ряд единичных квадратов. Длина прямоугольника  см, а длина стороны квадрата  см. Их поместится  штук (Рис. 6).

Рис. 6. Первый ряд

Выложим второй ряд. Он будет содержать тоже  квадратов (Рис. 7).

Рис. 7. Второй ряд

Сколько всего таких рядов? Так как высота прямоугольника  см, то поместится  ряда (Рис. 8).

Рис. 8.  ряда

Итак,  ряда по  штук в каждом. Всего  квадратов. То есть, чтобы понять, сколько квадратов поместится, не обязательно их рисовать.

А если бы мы считали ряды по-другому? Каждый вертикальный ряд содержит  квадрата, и всего помещается  таких рядов (Рис. 9): .

Рис. 9.  рядов

Рассмотрим прямоугольник побольше. Если бы мы стали рисовать единичные квадраты, то получилось бы  рядов по  штук в каждом (Рис. 10), или, наоборот,  столбиков по  в каждом.

Рис. 10.  рядов

Рис. 11.  рядов

Но этого делать необязательно. Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой, причем в любом порядке: .

Итак, мы получили основной вывод: площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних сторон:  (Рис. 12).

Рис. 12. Прямоугольник

Если длины сторон измерены в сантиметрах, то площадь по этой формуле получится в: . Если длины в метрах, то значение площади получатся в: .

 Примеры

Пример 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами  м и  м (Рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к примеру 

Решение

Ответ: .

Пример 2. Найти площадь прямоугольника со сторонами  мм и  мм.

Решение

Чтобы найти площадь, нам необязательно рисовать прямоугольник. Все нужные данные у нас есть: .

Ответ: .

Может оказаться, что стороны будут измерены в разных единицах.

Пример 3. Найти площадь прямоугольника со сторонами  м и  см (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 3

В такой ситуации нужно выразить длины сторон в одних и тех же единицах измерения.

Переведем  м в сантиметры: . Так как теперь длины у нас в см, то площадь мы получим в : .

Ответ: .

 Площадь квадрата

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом (Рис. 15).

Рис. 15. Квадрат

К нему тоже применима формула площади прямоугольника. Но так как стороны равны, то формулу можно записать короче: .

Пример: найти площадь квадрата со стороной  м  см.

Решение

Запишем длину стороны в одних единицах, в сантиметрах: .

Найдем площадь квадрата: .

Ответ: .

 Другой тип задач

Встречаются задачи, где уже известна площадь прямоугольника и длина одной стороны. Требуется найти другую сторону. Разберем этот случай на конкретном примере.

Пример: поле имеет ширину  метров. Какова должна быть длина поля, что площадь поля получилась  га (Рис. 16)?

Рис. 16. Иллюстрация к примеру

Решение

Начнем с единиц, в которых нам дана площадь. Вспомним, что такое  га. Гектар – мера площади, используемая в сельском хозяйстве. Она равна площади квадратного участка земли со стороной  м. Вычислим эту площадь в : . То есть площадь в  и называют  га.

Теперь вернемся к условию задачи. Требуемая площадь поля  га. Переведем ее в : . Итак, нам известны ширина поля и его площадь. Не известна длина поля. Обозначим ее  (Рис. 17).

Рис. 17. Характеристики поля в 

Воспользуемся формулой площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон: . Площадь и одну длину мы знаем. Подставим в формулу: .

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель: .

Ответ:  м.

 Заключение

Итак, подведем итоги.

• Если нам известны две стороны прямоугольника (длина и ширина), то площадь прямоугольника находится по формуле  (Рис. 18).

Рис. 18. Произвольный прямоугольник

• Если длины сторон даны в м, то площадь получится в , если в мм, то площадь в , если длины в км, то площадь в .
• Если длины сторон указаны в разных единицах измерения (например, в метрах и километрах), то, прежде чем применять формулу, нужно выразить длины в одних и тех же единицах измерения (например, только в метрах).
• Формулу площади квадрата можно записать короче: .
• Если известна площадь и одна сторона прямоугольника, то мы можем найти другую сторону. Для этого площадь нужно разделить на длину известной стороны: .

Нахождение площади прямоугольника – простая, но очень важная задача. В дальнейшем мы будем ее использовать, чтобы получить формулы площадей других фигур.

На данном уроке мы узнаем, что такое прямоугольный параллелепипед, его свойства. Кроме того, будет выведена формула площади поверхности параллелепипеда, решена задача с применением данной формулы.

 Введение

Что общего у кирпича, коробки из-под телевизора и дома? (Рис. 1.)

Рис. 1. Кирпич, дом и коробка из-под телевизора

Можно ли понять что-то про них такое, что относится к каждому из этих предметов?

В этом и состоит задача математики: изучать нечто общее у совершенно разных вещей.

Например, мяч и глобус – шары и Земля – почти шар. (Рис. 2.)

Рис. 2. Мяч и глобус

Но вернемся к кирпичу, зданию и коробке. Как их возможно описать?

Это фигуры, ограниченные плоскостями (рис. 3). Каждая грань является прямоугольником. Все такие фигуры называются прямоугольными параллелепипедами.
Рис. 3. Грани прямоугольного параллелепипеда

По названию видно, что бывают и непрямоугольные параллелепипеды. Действительно, гранями параллелепипеда могут быть не только прямоугольники, а и произвольные параллелограммы (рис. 4).

Рис. 4. Произвольный параллелограмм

Так же, как из прямоугольника можно сделать обычный параллелограмм, так и из прямоугольного параллелепипеда легко сделать «косой параллелепипед» (рис. 5).

Рис. 5. Косой параллелепипед

 Как начертить прямоугольный параллелепипед?

Сначала необходимо нарисовать ближнюю к нам сторону, стенку, грань (это прямоугольник) затем верхнюю. Рисовать надо ее чуть-чуть под углом, как будто бы смотришь на нее немного сбоку.

Теперь необходимо нарисовать правую грань. Так как все грани – это прямоугольники, то нужно следить, чтобы противоположные стороны этих граней были параллельны друг другу.

Понятно, что, глядя на настоящую объемную фигуру, невозможно увидеть ее сразу со всех сторон.

Остальные, «невидимые», стороны тоже нужны. Поэтому договорились те линии, которые не видны, рисовать пунктиром. Необходимо дорисовать их, соблюдая параллельность. (Рис. 6.)

Рис. 6. Чертеж прямоугольного параллелепипеда  

Все, изображение прямоугольного параллелепипеда готово.

 Элементы прямоугольного параллелепипеда

У любого прямоугольного параллелепипеда есть 8 вершин. Зачастую их обозначают , , ,  снизу, , , ,  – сверху. (Рис. 7.)

Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед 

6 прямоугольников, вершины которых совпадают с вершинами параллелепипеда, называются гранями:

• передняя  и задняя ,
• верхняя  и нижняя ,
• левая  и правая .

На рисунке они не все выглядят как прямоугольники, это происходит потому что, мы смотрим на них не прямо, а под углом.

Еще есть отрезки , ,  и так далее. Они являются сторонами прямоугольников, то есть граней, и называются ребрами. У любого параллелепипеда 12 ребер.

Итак, у любого параллелепипеда всегда 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.

Многогранники. Теорема Эйлера для многогранников.