Элективные курсы
элективный курс по геометрии (10, 11 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Зерносовхозская средняя школа имени М.Н. Костина

п. Новоселки муниципального образования «Мелекесский район» Ульяновской области».

Пояснительная записка

Данный элективный курс «Математика в экономике» предназначен для   учащихся 10 класса, обучающихся в школе по профилю экономической направленности и рассчитан на 35 часов. Он расширяет и углубляет базовую программу по математике, не нарушая ее целостности. Программа элективного курса применима для различных групп школьников, независимо от выбора их будущей профессии, профиля в старшей школе.

Школьная математика должна включать в себя обе ветви современной математики (теоретическую и прикладную). Под прикладной обычно понимается тот раздел математики, в котором демонстрируется применение математической теории в практических ситуациях. В школьном курсе математики при решении прикладных задач естественным этапом является математическое моделирование реальных процессов. В связи с этим выдвигаются следующие задачи:

– ознакомление учащихся с соотношениями между явлениями реального мира и его математическими моделями;

– практическое обучение школьников построению математических моделей для встречающихся жизненных ситуаций.

Прикладные задачи являются неотъемлемой частью школьного курса математики.  Но в  этом отношении современные российские учебники заметно проигрывают.

Однако учитель в современной школе может и должен обогатить содержание учебного материала задачами прикладного характера. Ведь решение таких задач показывает практическое применение математического аппарата, изучаемого в школе, тем самым пробуждает интерес у учащихся к изучению предмета. Математика становится “нужной” ученику. Решение подобных задач естественным путем осуществляет функцию интеграции школьных предметов.

На занятиях элективного курса в качестве прикладных задач рассмотрим задачи с экономическим содержанием: задачами, поставленными в области экономики, решение которых требует использования математического аппарата. Симонов А.С. отмечает, что “современное российское общество живет в экономизированном мире, а школьная математика (да и другие предметы) на эти особенности никак не реагируют”, именно поэтому ряд современных исследователей в области преподавания математики отмечают необходимость включения прикладных задач с экономическим содержанием в школьный курс математики.

Эти задачи не только актуализируют знания учащихся, повышают их мотивацию к обучению, но и вызывают у учащихся ярко выраженный познавательный интерес.

 В основной школе представление о процентах учащиеся получают, но умением решать задачи экономическо-практического содержания не владеют.

Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение. Он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, интереса к предмету, данной теме, и, что особенно важно, формированию умений решать практические задачи в различных сферах деятельности человека. При изучении курса рекомендуется использовать поисково-исследовательскую деятельность учащихся, которая реализуется и на занятиях, и в ходе самостоятельной работы школьников. Предлагаются такие формы занятий как практикум, деловая игра, экскурсия. Проведение занятий может быть организовано в индивидуальной и фронтальной форме, а при работе по проблеме исследования создаются группы. Содержание индивидуальных групповых заданий предлагает выбор учащимися объектов исследования.

В процессе изучения данного курса школьник получит знания и умения, используя которые в практической деятельности и повседневной жизни, он лучше адаптируется в современном мире:

Цель курса: формирование у школьников осознанного отношения к практическому применению процентов в различных сферах деятельности человека и понимания того, что математика является инструментом познания окружающего мира.

Задачи курса:

1. Развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики.
2. Воспитывать активную жизненную позицию, интерес к знаниям, способствовать профессиональному самоопределению учащихся.
3. Показать широту применения известного учащимся математического аппарата - процентные вычисления, связь математики с различными направлениями реальной жизни.        
4. Развивать логическое мышление учащихся, обогащать и расширять математический кругозор учащихся.
5. Научить применять математические знания в решении повседневных жизненных задач бытового характера.

Форма деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная и групповая.

Формы организации учебных занятий: семинары, практикумы, деловая игра, экскурсия.

Требования к уровню подготовленности школьников

Учащиеся должны знать:

• что такое процент;
• основные соотношения на процентные расчеты;
• алгоритм решения задач составлением уравнения;
• формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста;
• что такое концентрация, процентная концентрация.

Учащиеся должны уметь:

• решать типовые задачи на проценты;
• применять алгоритм решения задач составлением уравнений к решению более сложных задач;
• использовать формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста;
• решать задачи на сплавы, смеси, переливания.

Учащиеся должны уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Тематический план курса

Программа элективного курса

 Тема 1.ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ.

             Основные понятия: понятие процента, выражение числа в процентах, выражение процентов в виде десятичной дроби, нахождение процентов от числа, нахождение числа по его проценту, процентные отношения чисел.

Тема 2.ПРОПОРЦИЯ, ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ.

                     Определение пропорции.  Применение свойств  пропорции при решении задач. Примеры прямой пропорциональной зависимости.

ТЕМА 3. СИСТЕМАТИЗАЦИЯ СТАНДАРТНЫХ ЗНАНИЙ. Решение задач. Выполнение самостоятельной работы.

ТЕМА 4. СФЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОЦЕНТНЫХ РАСЧЕТОВ

        Сферы применения процентных расчётов: распродажа, тарифы, штрафы, банковские операции, голосование, задачи на смеси, растворы, сплавы. Познакомить учащихся с версией возникновения знака %. Рассказать о решении посредством “сложного тройного правила”. Вспомнить правила нахождения процента от числа и числа по его процентам. Алгоритм решения задач методом составления уравнений. Решение задач на числах с постепенным обобщением решения. Решение более сложных задач на процентные расчёты методом составления уравнений.

ТЕМА 5. ЗАДАЧИ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ. СХЕМЫ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СМЕСИ

        Познакомить с понятием “концентрация вещества”. Разобрать решение задач на нахождение процентного отношения вещества в смеси. Познакомить со схемами при решении задач на смеси. Решение задач «из жизни»: как получить 9% раствор уксуса из 70% уксусной эссенции, что означает проба на изделии из золота и серебра и.т.д.

ТЕМА 6. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

        Формула начисления «сложных процентов», формула простого процентного роста. Показать применение этих формул в реальных условиях.

ТЕМА 7. ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ В РАЗЛИЧНЫХ СФЕРАХ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: И ГОЛОСОВАНИЕ, ОПЛАТА ШТРАФОВ, УСТАНОВЛЕНИЕ ТАРИФОВ, ПОВЫШЕНИЕ ЗАРПЛАТЫ И ПЕНСИИ

        Использование процентных расчётов в жизненных ситуациях, в банковском деле, на производстве, в бизнесе и т.д. Игра “Математик – бизнесмен”.

        При изучении темы предполагаются экскурсии в сберкассы, банки, на предприятия различных отраслей и форм собственности. ( Во время экскурсий выяснить, как используются процентные расчеты в жизненных ситуациях, в банковском деле, на производстве, в бизнесе. Школьники собирают материал для подготовки и защиты группами своих индивидуальных заданий.)

ТЕМА 8. ИТОГОВОЕ ЗАНЯТИЕ.

        Отчет групп о проделанной работе по проблеме исследования. Защита своих индивидуальных заданий.

Литература

1. Кузнецова, Л.В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 кл. / Л.В Кузнецова, Е.А. Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б.  Суворова − М.: Дрофа, 2004.
2. Симонов,  А.С. Экономика на уроках математики. −  М.: Школа-Пресс, 1999.
3. Лысенко, Ф.Ф. Алгебра 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации – 2008 / Ф.Ф. Лысенко. − Ростов-на-Дону: Легион, 2008.
4. Шестаков, С.А. Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 кл. − М.: АСТ:Астрель, 2007
5. Лысенко Ф.Ф. Математика. ЕГЭ−2008. Вступительные испытания / Ф.Ф. Лысенко. −  Ростов-на-Дону: Легион, 2008.
6. Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. средней школы.  − М.: Просвещение, 1989.
7. Дорофеев Г.В.Процентные вычисления. Учебно-методическое пособие 10 – 11 классы / Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова. − М.: Дрофа, 2003.

  Календарно- тематическое планирование.

Элективный курс

«Фрактальная геометрия»

Зимкиной А.С.

Введение

      Математическая наука в 1975 г. обогатилась новым геометрическим языком. В ней только понятие точки не изменилось. Следующий по сложности объект – кривая линия – приобретает новые свойства. Мир, к которому мы привыкли, цельноразмерный. Наличие длины, ширины и высоты означает, что физические объекты находятся в трехмерном пространстве. Само наличие физических объектов означает существование пространства. Физические объекты создают геометрию, а геометрия говорит, как должны происходить физические процессы. Но многие физические объекты и происходящие в них процессы изломаны, изрезаны, фрагментарны. Они создают новую геометрию, в которой пространство не цельноразмерное, а дробное, или фрактальное.

      Наглядные образы, к которым мы привыкли, для понимания новой

геометрии не подходят. Только общение с многочисленными примерами дадут понимание фрактальной геометрии. Решения конкретных задач дадут представление о новой, фрактальной геометрии, выработают точку зрения.

В Евклидовой геометрии линия – это одномерный объект и для измерения ее длины требуется только один масштаб. Новая геометрия имеет дело с фрактальной линией, измерение длины которой требует бесконечного числа масштабов. Размерность такой фрактальной линии оказывается больше единицы. По поводу этого говорят о многомасштабности, или масштабируемости, объектов. Кроме этого, во фрактальной геометрии фрактальные линии обладают еще одним удивительным свойством. Под каким бы увеличением не смотреть на фрактальную линию в микроскоп, она будет все такой же изрезанной и изломанной. Как вся кривая линия, так и любой ее участок обладают одной и той же фрактальной размерностью. Такое свойство называют самоподобием. Цельноразмерная Евклидова геометрия – это 39 аксиом (по Давиду Гильберту).

      Наверняка все замечали, что оценка расстояния «на глазок» в горах или на сильнопересеченной местности не совпадает с реально пройденным расстоянием. Если прикидываем, что участок преодолеем за полчаса, то реально оказывается, что потратили почти час. Это связано с тем, что обычно линии мы представляем себе плавными, а на самом деле в природе почти все линии сильно изрезаны и искривлены. Такие линии Мандельброт назвал фрактальными. Они обладают многими замечательными свойствами, главным из которых является зависимость длины от измерительной линейки. Измерение длины метровой линейкой не совпадает с измерениями длины сантиметровой. Первым, примерно в 1920 г., многомасштабность установил английский математик Ричардсон. Он обратил внимание, что длины границ государств зависят от того, какой мерной линейкой измерять длину. В 30-х гг. в Польше картографы измеряли длину р. Висла. При этом получили ошеломляющий результат: при уточнении измерений длина реки увеличивалась! Так математики получили задачу, которую отнесли к математическим курьезам, и благополучно забыли. В 70-х гг. туристы обратили внимание, что при измерении периметров Великих Озер в Америке у всех людей получались разные результаты. Так природа в третий раз продемонстрировала, что длина природной линии зависит от масштаба измерения.

Пояснительная записка.

Элективный курс  разработан в рамках реализации Концепции пред профильного обучения на средней ступени общего образования и соответствует государственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данного курса учитывалось, что элективный курс как компонент образования должен быть направлен на удовлетворение потребностей и интересов девятиклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности.

      Одной из самых важных целей преподавания геометрии является формирование и развитие у учащихся пространственных представлений, а также способности и умения производить операции над пространственными объектами. Достижение этой цели важно не только для тех учащихся, которые в дальнейшем посвятят себя техническим профессиям, но и для тех, кто выберет специальности художника, дизайнера, модельера, хирурга, астронома и других. Слабое развитие пространственных представлений затрудняет изучение ряда учебных дисциплин, а в деятельности взрослого человека может стать причиной многих неудач. Например, конструктору этот недостаток может помешать реализовать творческие планы. Систематическая работа над формированием и развитием пространственных представлений приводит к их улучшению даже при наличии средних природных данных.

Цели курса:

• углубить теоретическое и практическое содержание курса фрактальная геометрия;
• развивать пространственные представления и логическое мышление;
• развивать умение применять знания на практике, в новой ситуации, приводить аргументированное решение, анализировать условие задачи и выбирать наиболее рациональный способ ее решения.

Задачи курса:

• познакомиться с фракталами, их многообразием и классификацией;
• изучить  методы построения геометрических фракталов;
• решить задачи на построение фракталов с помощью L-кодов;
• решить задачи на построение фракталов геометрическим способом;

Все занятия направлены на расширение и углубление базового курса. Содержание курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня подготовленности учеников.

Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируются различные формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть - дома самостоятельно.

Тематическое планирование

Занятие № 1. История возникновения фракталов.

Бенуа Мандельброт

Понятие «фрактал» придумал Бенуа Мандельброт. Слово происходит от латинского «fractus», означающего «сломанный, разбитый».

Фрактал (лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Для математических объектов, к которым оно относится, характерны чрезвычайно интересные свойства. В обычной геометрии линия имеет одно измерение, поверхность — два измерения, а пространственная фигура трехмерна. Фракталы же — это не линии и не поверхности, а, если можно это себе представить, нечто среднее. С ростом размеров возрастает и объем фрактала, но его размерность (показатель степени) — величина не целая, а дробная, а потому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру. Такая геометрическая регулярность называется масштабной инвариантностью или самоподобием. Она-то и определяет дробную размерность фрактальных фигур.

До появления фрактальной геометрии наука имела дело с системами, заключенными в трех пространственных измерениях. Благодаря Эйнштейну стало понятно, что трехмерное пространство — только модель действительности, а не сама действительность. Фактически наш мир расположен в четырехмерном пространственно-временном континууме.
      Благодаря Мандельброту стало понятно, как выглядит четырехмерное пространство, образно выражаясь, фрактальное лицо Хаоса. Бенуа Мандельброт обнаружил, что четвертое измерение включает в себя не только первые три измерения, но и (это очень важно!) интервалы между ними.

Рекурсивная (или фрактальная) геометрия идет на смену Евклидовой. Новая наука способна описать истинную природу тел и явлений. Евклидова геометрия имела дело только с искусственными, воображаемыми объектами, принадлежащими трем измерениям. В реальность их способно превратить только четвертое измерение.

Жидкость, газ, твердое тело — три привычных физических состояния вещества, существующего в трехмерном мире. Но какова размерность клуба дыма, облака, точнее, их границ, непрерывно размываемых турбулентным движением воздуха?

В основном фракталы классифицируют по трём группам:

1. Алгебраические фракталы
2. Стохастические фракталы
3. Геометрические фракталы

Занятие №2. Фракталы и их применение

Фракталами называются геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от латинского слова fractus и переводится как дробный, ломаный. Самоподобие как основная характеристика фрактала означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. Так, при увеличении маленькие фрагменты фрактала получаются очень похожими на большие. В идеальном случае такое самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект не изменяет основных своих геометрических особенностей при изменении масштаба.

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

Мы можем наблюдать фракталы в природе: модель горного хребта, крона дерева, листья папоротника, река и ее притоки, языки пламени, система кровообращения, дыхательная система и легкие, почки, каскадные водопады, гроза, облака, тучи, турбулентные процессы.

Приведем несколько примеров применения фракталов.

Компьютерные системы. Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

Механика жидкостей. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к их фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени. Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

Текоммуникации. Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

Физика поверхностей. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

Медицина. Биосенсорные взаимодействия, биения сердца, нервная и кровеносная системы млекопитающих

        Биология. Моделирование хаотических процессов, в частности при   описании моделей популяций.

Литература. Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста: неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное самой себе с любой итерацией («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)

Язык фрактальной геометрии необходим, например, при изучении поглощения или рассеяния излучения  в пористых средах, для характеристики сильно развитой турбулентности, при моделировании свойств поверхности твердых тел, для описания молнии, при анализе процессов усталостного разрушения  материалов, при исследовании различных стадий роста вещества за счет диффузии и последующей агрегации, в квантовой механике.         Удивительно то, что сходные геометрические формы встречаются в совершенно различных областях науки: в астрономии при описании процессов образования галактик во Вселенной, в картографии при изучении форм береговых линий и разветвленной сети речных русел и, например, в биологии, при анализе строения кровеносной системы или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.

Мир фракталов многообразен. Для того чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации.

Занятие №3. Классификация фракталов.

Все разнообразие фракталов можно разделить на три больших класса:

• геометрические фракталы;

• алгебраические фракталы;

• стохастические фракталы.

          Геометрические фракталы.

Первыми были открыты так называемые детерминированные фракталы. Их отличительной чертой является свойство самоподобия, обусловленное особенностями метода их генерации. Некоторые предпочитают называть эти фракталы классическими, геометрическими фракталами или линейными фракталами.

Фракталы этого класса самые наглядные. Эти фракталы обычно формируются, начиная с инициатора — фигуры, к которой применяется определенный основной рисунок. Во всех геометрических фракталах  самоподобие проявляется на всех уровнях то есть  независимо от того насколько вы приближаете фрактал, вы увидите все тот же узор. Для сложных фракталов, которые будут рассмотрены позже, это не так. Ниже находятся примеры некоторых геометрических  фракталов.

   Снежинка Коха                 Шестиугольник Серпинского          

Квадратный ковер Серпинского         Губка Менгера            

                Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двумерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

                  Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом возникают объекты очень похожие на природные – несимметрические деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на  детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

Занятие №4. Геометрический метод построения фракталов

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками еще в XIX веке. Многие называют эти фракталы классическими или линейными. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видно самоподобие.

Эти фракталы обычно формируются, начиная с инициатора — фигуры, к которой применяется определенный основной рисунок. Во всех геометрических фракталах  самоподобие проявляется на всех уровнях. Это значит, что независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, узор будет тем же. Геометрические  фракталы образуются в процессе, называемом итерацией, которая применяет основной рисунок к инициатору, после чего применяет его к результату и так далее. Большинство людей итерируют геометрические фракталы 5-7 раз, чтобы получить четкую красивую картинку. Для сложных фракталов это не так. Одномерные геометрические фракталы линейны, так как при каждой итерации что-то убирается, либо прибавляется в форме прямых линий.

Такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную (или поверхность в трехмерном случае), называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры  получается геометрический фрактал.

Рассмотрим несколько примеров построения геометрических фракталов.

Пример 1.Построение кривой Коха.

Для построения этой кривой выполняем следующие действия (рис.1):

 1. Единичный отрезок делим на три равные части.

 2. Отбрасываем среднюю часть.

 3. На месте средней части строим как на основании, равносторонний

   треугольник.

 4. Повторяем процедуру с каждым из построенных отрезков.

 5. Выполняем любое конечное число итераций.

          Мы в своей работе построили пять итераций кривой Коха.

Рис.1.            Рис.1.Построение кривой Коха.

        Если в качестве исходного объекта выбрать не единичный отрезок прямой, а равносторонний треугольник со сторонами единичной длины, то  с помощью той же процедуры  возникает симметричная, похожая на снежинку, бесконечно изломанная кривая, которая представляет собой самоподобное множество, называемое снежинкой Коха (рис.2). Она была так названа в честь шведского  математика Helge von Koch, который впервые описал ее в 1904 году. Отличительной ее особенностью является то, что она, будучи замкнутой, тем не менее нигде себя не пересекает, поскольку достраиваемые треугольники каждый раз достаточно малы и никогда не «сталкиваются» друг с другом.

В качестве нулевой итерации рассматривается равносторонний треугольник:

     Рис.2. Построение снежинки Коха

Пример 2. Построение ковра Серпинского.

Геометрический фрактал, называемый ковром Серпинского, получается последовательным вырезанием центральных равносторонних треугольников следующим образом (рис.3): 

1. Берем равносторонний треугольник со сторонами единичной длины

2. Проводим прямые, соединяющие попарно середины сторон

4. Получим 4 треугольника. Отбросим  центральный треугольник

5. С каждым из 3-х оставшихся треугольников проделаем те же операции.

После бесконечного повторения итераций мы получим предельное множество, которое называется ковром Серпинского .

                                                                                     Рис.3. Построение ковра

                                                                                                 Серпинского.

Занятие №5. Метод построения фракталов с помощью L-кодов.

    Напомним, что фрактальной кривой называется кривая, состоящая из частей, каждая из которых представляет уменьшенную копию целого. В самом простом случае небольшая часть фрактальной кривой содержит информацию о всей кривой.

 Большинство фрактальных кривых имеет интересную и сложную структуру. Для построения таких кривых существуют различные способы, одним из которых является метод L-кодов. Это наиболее простой способ построения геометрических фракталов, разработанный в 1968 году Аристидом Линденмайером. Он был биологом по образованию и изначально рассматривал  L-системы, как формальный способ описания развития биологических объектов, но позже L-системы нашли применение в компьютерной графике. Оказалось, что с их помощью очень удобно рисовать фракталы и различные природные объекты с самоподобной структурой. Метод построения графических объектов с помощью L-кодов ещё называют "черепашьей графикой" (turtle geometry).

   В алгоритме построения фрактальных кривых используется код для описания кривой. Простейший код состоит из буквы Е и знаков + и - . Кроме этого, задаются два угла φ и φ0. Буква Е означает, что мы чертим отрезок длины l в нужном нам направлении. Знак + означает, что следующий отрезок мы будем чертить в направлении на угол φ против часовой стрелки, и знак - означает, что поворот происходит на угол φ по часовой стрелке. Угол φ0 задает начальное направление. Если дана координатная система XOY, то φ0 – начальный угол между осью OX и первым отрезком Е. Угол φ0 откладывается от положительного направления оси OX  против часовой стрелки.

Занятие №6. Примеры построения некоторых  фрактальных кривых методом

L-кодов.

Пример1. На рис.7.

        а). Простой код Е, состоящий только из одной буквы Е и угла φ0 = 0, задает отрезок, параллельный оси OX.

        б). Простой код Е, состоящий из одной буквы Е и угла φ0 = π/2,  задает отрезок, параллельный оси OY.

        в). Код Е-Е с углами  φ0 =0 и φ = π/2 задает ломаную линию. Сначала

откладываем отрезок длины l в положительном направлении оси OX, потом поворачиваем по часовой стрелке на φ = π/2  и откладываем отрезок длины l в отрицательном направлении оси OY.  

                                                  Рис.7

        Пример 2.

        Возьмем  φ0 = 0 и φ = π/2 и  построим кривую с помощью кода Е+Е+Е+Е. Мы начинаем двигаться в положительном направлении оси OX. Первая буква Е означает, что мы передвигаемся на l единиц в этом направлении. Знак + после Е означает, что мы изменяем направление на π/2 так, что оно совпадает с положительным направлением оси OY. Третий знак кода, буква Е, означает, что мы передвигаемся вверх на l единиц. Четвертый знак кода + означает, что мы снова поворачиваем на угол  π/2, и направление изменяется на отрицательное направление оси OX. Пятый знак кода, буква Е, означает, что мы передвигаемся на l единиц в этом направлении. Следующий знак + меняет данное направление на отрицательное направление оси OY, и последняя буква Е в коде означает, что мы двигаемся вниз на l единиц.

         В итоге мы придем в ту же самую точку, откуда начали построение. Таким образом, мы построили заданную L-кодом кривую, и в результате получился квадрат (рис.8).  

                                                                  Рис.8

Пример 4. Построение кривой Коха с помощью L-кода.

        Рассмотрим кривую, порожденную кодом Е+Е- -Е+Е, где углы φ0 = 0 и φ = π/3.

 Сначала мы перемещаемся вправо на l единиц, затем изменяем направление на угол π/3 против часовой стрелки и снова передвигаемся на l единиц. Два знака - означают, что теперь мы меняем направление на отрицательный угол -2π/3 и получаем направление, образованное углом -π/3 и положительным направлением оси ох. Мы передвигаемся на l единиц, и последний знак + означает, что мы меняем данное направление на положительное направление оси ох, и передвигаемся на l единиц в конец кривой (рис.9). Заметим,  что конечная точка находится на расстоянии 3l вправо от начальной точки.

                                                                 Рис.9

        Кривые, представленные в примерах 1-4, не являются очень сложными.  Для получения более сложных кривых используем правило подстановки. Для этого букву Е будем заменять на заданную последовательность кода в любом месте, где она встретится в этой последовательности. Повторяя эту замену много раз, мы будем  получать все более сложные кривые, и в предельном случае получим действительно сложную фрактальную кривую. Заметим, что начальный код кривой и код подстановки могут не совпадать. В процессе выполнения этой замены мы видим, что начальная точка кривой после подстановки остается той же, что и у первоначальной кривой (аналогично и для конечной точки) Таким образом, мы изменяем длину l в значении буквы Е на каждом шаге замены.

Пример 5.

        Пусть кривая порождается простым кодом Е и  φ0 =0 и φ = π/3. Возьмем

замену кода Е+Е- -Е+Е. На первом этапе мы получим только одну линию, а после первой замены - кривую из примера 4. После второй замены мы получим код Е+Е- -Е+Е + Е+Е- -Е+Е - - Е+Е- - Е+Е + Е+Е- -Е+Е. Изображая соответствующую кривую, мы заменим любой отрезок в кривой из примера 4 на копию, которая будет в три раза меньше исходной кривой (рис.10).

                                       Рис.10

        Повторяя эту процедуру, мы в предельном варианте получим кривую Коха.

        Если изменить простой начальный код в примере 5 на Е- -Е- -Е и взять те же углы и ту же замену кода, то таким образом мы получим  снежинку Коха (рис.11).

                                    Рис.11

Занятие №7. Построение кривой с помощью L-кодов

Задача 1. Возьмем кривую, полученную с помощью кода ЕЕ+Е+ЕЕ+Е, где углы φ0 = 0 и φ = π/2. Отличие от кривой в примере 2 состоит в том, что мы теперь перемещаемся на 2l единиц в направлении, параллельном оси OX, и кривая будет прямоугольником, горизонтальные стороны которого в два раза больше вертикальных сторон (рис.12).

             Рис.12

Задача 2. Построить кривую с начальным кодом   Е-Е-Е-Е-Е-Е-Е-Е-Е-Е-Е-Е-Е, где φ0 = 0 и φ = π/6 и заменой Е+Е-Е+Е. Сначала строим кривую по начальному коду и получаем правильный 12-ти угольник. Затем строим кривую замены. Делаем замену и получаем первую итерацию фрактала «солнышко» (рис. 13)

                                       Рис.13. Построение фрактала «солнышко»

Занятие №8. Построение кривой Серпинского.

 Можно построить непрерывную линию, геометрически эквивалентную ковру Серпинского. Инициирующим элементом для такого построения берется отрезок единичной длины, который потом заменяется на конструкцию, называемую генератором, состоящую из трех отрезков длиной 1/2 , расположенных под углом 120 градусов друг к другу. Затем каждый из этих отрезков заменяется, в свою очередь, на генератор в два раза меньшего размера так, как показано на рис.4.

                                           Рис.4. Построение кривой Серпинского.

         Контуры будущего ковра Серпинского отчетливо проступают на следующих двух этапах (рис.5). Эта процедура повторяется до бесконечности. Легко видеть, что каждое следующее изображение может быть получено из предыдущего путем склеивания трех уменьшенных в два раза его копий, две из которых повернуты на угол в 120 и -120 градусов относительно оригинала.

 Рис.5. Следующие два шага в построении кривой Серпинского.

Занятие №9. Построение фрактала «журавлиный клин»

           Алгоритм построения фрактала «журавлиный клин»:

 1. Берем квадрат со стороной единичной длины    

           2.  Делим исходный квадрат на 16 равных квадратов со стороной ¼

          3.  Отбросим не закрашенные  9 квадратов

4. С каждым из оставшихся 7 закрашенных квадратов проделываем ту же процедуру

Процедуру повторяем сколько угодно раз. На рис.6. представлено 5 итераций.

         Рис.6. Построение фрактала «журавлиный клин»

Занятие № 10. Практические работы.

Сначала остановимся на фракталах «Ожерелье», «Победа» и «Квадрат».

Первое – «Ожерелье» (рис. 7). Инициатором данного фрактала является окружность. Эта окружность состоит из определенного числа таких же окружностей, но меньших размеров, а сама же она является одной из нескольких окружностей, представляющих собой такую же, но больших размеров. Так процесс образования бесконечен и его можно вести как в ту, так и в обратную сторону. Т.е. фигуру можно увеличивать, взяв всего одну маленькую дугу, а можно уменьшать, рассматривая построение ее из более мелких.

рис. 7.

Фрактал «Ожерелье»

Второй фрактал – это «Победа» (рис.8). Такое название он получил потому, что внешне напоминает латинскую букву “V”, то есть “victory”-победа. Этот фрактал состоит из определенного числа маленьких “v”, составляющих одну большую “V”, причем в левой половине, которой маленькие ставятся так, чтобы их левые половины составляли одну прямую, правая часть строится так же. Каждая из этих “v” строится таким же образом и продолжается это до бесконечности.

Рис.8. Фрактал «Победа»

Третий фрактал – это «Квадрат» (рис. 9). Каждая из его сторон состоит из одного ряда ячеек, по форме представляющих квадраты, стороны которых также представляют ряды ячеек и т.д.

Рис.9.Фрактал «Квадрат»

Фрактал был назван «Роза» (рис. 10), в силу внешнего сходства с данным цветком. Построение фрактала связано с построением ряда концентрических окружностей, радиус которых изменяется пропорционально заданному отношению (в данном случае Rм / Rб = ¾ = 0,75.). После чего в каждую окружность вписываются правильные шестиугольник, сторона которого равна радиусу описанной около него окружности.

Рис. 11. Фрактал «Роза*»

Далее обратимся к правильному пятиугольнику, в котором проведём его диагонали. Затем в получившемся в при пересечении соответствующих отрезков пятиугольнике снова проведём диагонали. Продолжим данный процесс до бесконечности и получим фрактал «Пентаграмма» (рис. 12).

Введём элемент творчества и наш фрактал примет вид более наглядного объекта (рис. 13).

                                                                                          Рис. 12. Фрактал «Пентаграмма».

                                                 Рис. 13 фрактал «Черная дыра»

Список литературы.

1. Р.М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000.-352 с.
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/фрактал
3. http://ghcube.com/
4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.
5. Третьяков Ю.Д. Дендриты, фракталы и материалы // Соросовский образовательный журнал.
6. http://www.fractals-main.ru/perelman_page0.html:
7. http://lol54.ru/education/uvgsfeshshht_informative/28368-ogromnaja-podborka-fraktalov-fractals-176-sht..html 
8. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%F0%E0%EA%F2%E0%EB.  http://3dfractal.ru/stati-o-fraktalah/31.html