НОУ "Эрудит"

МОУ Кезская средняя общеобразовательная школа №1

Исследовательская работа

«Как  с  помощью  компьютера  найти самое большое простое  число?»

Автор: учащийся 9б класса,

Ившин Сергей Андреевич

Руководитель работы: учитель информатики,

Ветошкина Наталья Владимировна

п. Кез, 2010

Содержание

1. Содержание……………………………………………….………………………….2

2. Введение……………………………………………………………………………...3

3. Основные этапы работы

        3.1. Теоретическая часть…………………………………………………….......4

        3.2. Практическая часть…………………………………………………………6

4. Заключение……………………………………………….........................................10

5. Литература…………………………………………………………………………..11

6. Рецензия……………………………………………………………………….…....12

Введение

В жизни нас повсюду окружают числа. Но есть особая группа чисел, название которой простые числа. И я решил узнать, что такое простые числа, совершенные числа, числа – близнецы, и  найти самые большие простые числа с помощью компьютерных технологий. Но так как существует бесконечное число чисел я столкнулся с противоречием: существует ли самое большое простое число. А из противоречия следует проблема: можно ли найти самое большое простое число. Тема моего исследования – простые числа.

Объект исследования -  нахождение простых чисел

Предмет – нахождение самого большого простого числа с помощью компьютерных технологий.

Моя цель – найти самые большие простые, совершенные числа и числа близнецы.

Задачи:

        1. разузнать о простых числах.

        2. составить программу по нахождению простых чисел.

        3. найти самое большое простое число.

        4. Проверить гипотезу Гольбаха

Гипотеза: должно быть самое большое простое число.    

Теоретическая часть

Натуральные числа

Каждое натуральное число, большее единицы делится по крайней мере на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно нацело делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие - то целые делители, то составным. Единичка же не считается ни простым числом, ни составным.

История возникновения совершенных чисел.

   Греческие   математики называли число совершенным, если сумма всех его собственных делителей  (т.е. натуральных делителей, отличных от самого числа) была равна этому числу. Им были известны четыре таких числа: 6, 28, 496, 8128, например, 6 = 1+ 2+3;

28 = 1+ 2+  4+ 7+14;  496 = 1 +2 +4 +8 +16 +31 +62 +124 +248).Первые два числа знали уже пифагорейцы  в VI веке до нашей эры, которые считали, что они отражают совершенство.  А заслуга открытия двух последних  совершенных чисел принадлежит Евклиду. Греческий математик I в. н. э. Никомах Геразский писал: «Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и многочисленны, безобразные же встречаются  в изобилии». Совершенные числа встречаются в греческих преданиях. В сказочном государстве золотого века, Атлантиде, описанном Платоном в разных местах его диалогов, фигурирует преимущественно число 6. У римлян на пирах самым почётным местом было шестое, на котором, по сатире Горация, возлежал Меценат, благодетель Горация. В Риме при постройке метро под землёй была обнаружена странная комбинация помещений: общий зал и вокруг него 28 келий, выходящих в этот зал. Это казалось помещение неопифагорейской академии, которая существовала в Риме в первые века нашей эры. Очевидно, что академии этой было 28 членов. Ранние  комментаторы  Ветхого завета усматривали в совершенстве чисел 6 и 28 особый смысл. Разве не  за 6 дней был сотворён мир, восклицали они, и разве Луна обновляется не за 28 суток?

  Среди совершенных чисел есть четные и нечетные числа.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА - БЛИЗНЕЦЫ

Числа близнецы – два простых числа, разность между которыми правна 2, например: 3 и 5, 5 и 7, 17 и 19, 2027 и 2029.

Гипотеза Гольбаха.

Известно, что любое чётное число, большее 2, представимо в виде суммы 2 простых чисел, причём таких разложений может быть несколько. Впервые гипотезу о существовании данного разложения сформулировал математик Х. Гольбах.

Практическая часть

Задача № 1.

Поиск совершенных чисел.

REM Задача 1

FOR N = 2 TO 10000000 STEP 2

S = 1

FOR I = 2 TO INT (N / 2)

IF N / I = N \ I THEN S = S + I

NEXT I

IF N = S THEN ?S

NEXT N

END

Время работы программы: 9 часов

Числа:

6, 28, 496, 8128,

Задача №2.

Числа – близнецы.

REM Задача 2

FOR N = 3 TO 9999999 STEP 2

M = N + 2

K = 0

FOR I = 1 TO N \ 2

IF N / I = N\I THEN K = K + 1

NEXT I

L = 0

FOR J = 1 TO M \ 2

IF M / J = M \ J THEN L = L + 1

NEXT J

IF K = 1 AND L = 1 AND M – N = 2 THEN ?N; M,

NEXT

END

Время работы программы: 9 часов

Числа: 169889 - 169891

Задача № 3

Проверка гипотезы Гольбаха

REM задача 3

INPUT “введите число большее 2”; N

FOR M = 2 TO N / 2

S = N – M

K = 0

FOR I = 1 TO M

IF M / I = M \ I THEN K = K + 1

NEXT I

L = 0

FOR J = 4 TO 5

IF S / J = S \ J THEN L = L + 1

NEXT J

IF K = 2 AND L = 2 AND M + S = N THEN ?M; S

NEXT M

END

Задача № 4

Простые числа.

CLS

S = 0

FOR N = 3 TO 999999999 STEP 2

K = 0

FOR I = 1 TO N \ 2

IF N / I = N \ I THEN K = K + I

NEXT I

IF K = 1 THEN ?N: S = S + 1

NEXT

?”Всего чисел”; S

Самое большое до миллиона: 999983

Время работы после миллиона: 30 минут

Полученное самое большое число после миллиона: 1000999

Всего чисел после миллиона: 75

        В ходе моего исследования, я выяснил, что моё предположение оказалось ложным. Но возможно самое большое простое число есть. Возможно, если взять более совершенный компьютер и использовать другую среду, например Delfi или Pascal. Самое большое простое число, которое я получил это число 1000999. Самоя большая  пара чисел – близнецов – 169889 и 169891 . Самое большое совершенное число - 8128. Я удостоверился, что гипотеза Гольбаха работает.  

ЛИТЕРАТУРА

1.   Научно-теоретический и методический журнал «МАТЕМАТИКА В

      ШКОЛЕ» №4, 2001, издательство «ШКОЛА-ПРЕСС»

2.   Энциклопедия Брокгауза Ф.А. и Эфрона И.

3.   Большая Советская Энциклопедия

4. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

МОУ   «Кезская средняя общеобразовательная школа №1»

Моделирование графиков функций двух

переменных

Исследовательская работа

Автор: учащийся 9а класса,

Никитин Кирилл Валентинович

Руководитель работы: учитель информатики,

Ветошкина Наталья Владимировна

п. Кез, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

1. Содержание…………………………………………………………………..…2

2. Введение………………………………………………………………………...3

3. История……………………………………………………………………….4-5

4. Основные этапы работы

        4.1. Теоретическая часть………………………………………………...…6

        4.2. Практическая часть……………………………………………...…7-12

5. Заключение…………………………………………………………………….13

6. Приложение………………………………………………………………..14-16

7. Литература…………………………………………………………………….17

Введение

        На одном из уроков алгебры мы изучали графики функций, и учитель сказал, что существуют графики  функций  двух переменных и их графики строятся в трехмерной системе координат. Меня заинтересовал этот факт, и   я  решил смоделировать  графики  функций  двух  переменных  с  помощью   компьютера  в  среде  Q basic  и  в  среде  электронных  таблиц Excel.

Гипотеза

        Многие считают графики функций не интересной теорией, основанной на сухих фактах, не представляя,  какими красочными и завораживающими они могут оказаться.

Цель

Изучить  теоретический  материал  о  способах моделирования графиков функций двух переменных с помощью компьютера  и  составить  алгоритмы  их  построения  в  разных  программах.

Задачи

1) расширить понятия функции двух переменных;

2) построить с помощью компьютерных программ графики функций двух переменных;

3) рассмотреть известные графики функций двух переменных;

4) смоделировать в среде Q Basic и в электронных таблицах Excel графики функций двух переменных;

5) рассмотреть связь природы с графиками функций двух переменных.

История

        Функция двух переменных:

Само слово "функция" (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати он его ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины "переменная" и "константа". В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667 – 1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: "функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных". Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак j(x), называя характеристикой функции, а также буквы x или e; Лейбниц употреблял x1, x2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначил через f: y, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y).

        История Q Basic:

QBASIC — диалект языка программирования Бейсик (BASIC), разработанный компанией Microsoft, а также среда разработки, позволяющая писать, запускать и отлаживать программы на этом языке.

Создателями языка программирования Q Basiс были John George Kemeny и Тоm Kurtz, работавшие в Дортмундском колледже в 1964 году. Свой язык они назвали по первым буквам слов «Beginner's All-purpose Symbolic Instruction Code». Кроме того, имелась в виду ассоциация со словом «базовый». Новый язык быстро завоевал популярность благодаря своей простоте в изучении, особенно среди начинающих. Собственно, как и Pascal, Basic был предназначен для обучения студентов.

Джон Джордж Ке́мени (англ. John George Kemeny, венг. Kemény János György, 31 мая 1926, Будапешт — 26 декабря 1992, Нью-Гэмпшир,США) — американский математик и специалист по информатике. Вместе с Томасом Курцем разработал язык Бейсик (1964).[1] В 1970 году был избран 13-м президентом Дартмутского колледжа (одного из старейших и авторитетнейших университетов США) и занимал эту должность 11 лет. В этом колледже он впервые начал систематическое применение компьютеров в учебном процессе.

    Джон Кемани                                                                    Томас Курц

Томас Курц (Thomas Eugene Kurtz) — математик, профессор Дартмутского колледжа (США). Вместе с Джоном Кемени разработал язык программирования BASIC и сетевую систему пользования несколькими компьютерами одновременно («time sharing»). Получил научную степень в Принстонском университете в 1956 году и сразу был приглашен на Математический факультет в Дартмутский колледж.

История Excel:

Microsoft Excel (также иногда называется Microsoft Office Excel) - программа для работы с электронными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. Она предоставляет возможности экономико-статистических расчетов, графические инструменты и, за исключением Excel 2008 под Mac OS X. Microsoft Excel входит в состав Microsoft Office и на сегодняшний день Excel является одним из наиболее популярных приложений в мире. Первая версия Excel предназначалась для Mac и была выпущена в 1985 году, а первая версия для Windows была выпущена в ноябре 1987 года.

Теоретическая часть

Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y , из некоторой области их изменений D,  соответствует одно определенное значение величины z, то говорят, что z – есть функция двух независимых переменных  x и y , определенная  в области D (область определения функции).

С помощью графика функций двух переменных мы имеем возможность наглядно представить значения и связь трех величин в любых сферах деятельности. Также можно выявить между собой связь этих трех величин. Примеров множество: от обыкновенного  прогноза погоды до математического моделирование плазмы в термоядерном ядре.

В смоделированной программе графика двух переменных в среде Q Basic используются следующие алгоритмические структуры:

1) линейная;

2) циклическая;

3) разветвляющаяся.

Вариантом циклической структуры является цикл – ДЛЯ

FOR i=i1 TO i2 STEP i3

<Тело цикла>

NEXT i

i – переменная, счетчик

i1 – первое значение которое принимает переменная i

i2 – последнее значение либо близкое к нему, не превосходящее i2

i3 – длина шага

Вариантом структуры ветвления является ветвление – ЕСЛИ

IF условие 1 OR условие 2 THEN действие 1 ELSE действие 2

Практическая часть        

Часть 1: Составление графика Гиперболический параболоид в электронных таблицах Excel    

1. Зададим значение переменной y от -3 до 3 с шагом 0,5

2. Зададим значение переменной x от -3 до 3 с шагом 0,5

3. Введем в ячейку B2 адаптированную к электронным таблицам формулу гиперболического параболоида =B$1^2-$A2^2 и скопируем её в ячейки до ячейки N14

4. Выделим область ячеек от B2 до N14.

5.  Воспроизведем следующий порядок команд: Вставка- Диаграмма,  выбираем тип- Поверхность, Готово

6. Удалим с графика лишнее, переместим на свободную поверхность

        И вот мы получили довольно интересный рисунок, который является графиком функции двух переменных. По этому аналогу можно строить графики любых функций двух переменных (примеры в приложении). Это занимает не много времени, но выглядит очень красочно и наглядно.

Часть 2: Составление Графика функции двух переменных в среде программирования QBasic

        Программа №1 «Обезьянье седло»

sx = 180

sy = 180

ratio = .6

hx = sx / 2

hy = sy / 2

s = SQR(2) / 2

aa = hx * s

SCREEN 7

FOR a = -aa TO aa + 5 * s

max = -hy

bb = aa + a - 10 * s * INT((a + ABS(a)) / (10 * s))

FOR b = -bb TO bb + s * 4 STEP 10 * s

x = s * (a + b)

y = s * (b - a)

z = b

r = SQR(x * x + y * y)

z = x * y * (x - y) * (x + y) / (1000 * r) + b

IF z < max THEN GOTO 760

max = z

u = hx + a

v = hy + z * s / ratio

IF v < 0 OR v > sy THEN GOTO 760

PSET (u, v)

760 NEXT b

NEXT a

END

Программа №2

sx = 176

sy = 160

ratio = .6

hx = sx / 2

hy = sy / 2

s = SQR(2) / 2

aa = hx * s

SCREEN 7

FOR a = -aa TO aa + 5 * s

max = -hy

bb = aa + a - 10 * s * INT((a + ABS(a)) / (10 * s))

FOR b = -bb TO bb + s * 4 STEP 10 * s

x = s * (a + b)

y = s * (b - a)

z = b

r = SQR(x * x + y * y)

z = 10 * COS(r / 5) + b

IF z < max THEN GOTO 760

max = z

u = hx + a

v = hy + z * s / ratio

IF v < 0 OR v > sy THEN GOTO 760

PSET (u, v)

760 NEXT b

NEXT a

END

Программа №3

sx = 180

sy = 180

ratio = .6

hx = sx / 2

hy = sy / 2

s = SQR(2) / 2

aa = hx * s

SCREEN 7

FOR a = -aa TO aa + 5 * s

max = -hy

bb = aa + a - 10 * s * INT((a + ABS(a)) / (10 * s))

FOR b = -bb TO bb + s * 4 STEP 10 * s

x = s * (a + b)

y = s * (b - a)

z = b

r = SQR(x * x + y * y)

z = 75 * EXP(-r * r / 600) + b

IF z < max THEN GOTO 760

max = z

u = hx + a

v = hy + z * s / ratio

IF v < 0 OR v > sy THEN GOTO 760

PSET (u, v)

760 NEXT b

NEXT a

END

Заключение

        В качестве заключения был проведен опрос, в котором выяснилось, что 100% опрошенных считают, что график функции двух переменных смоделированный в среде электронных таблиц Excel выглядит понятнее и нагляднее.

Таким образом, опытным путем мы выяснили, что моделирование графиков функций  двух переменных в среде электронных таблиц Excel нагляднее и проще для восприятия, чем эти же графики, но смоделированные в среде программирования Q basic.

        Если учитывать по времени выполнения графиков в этих двух средах то можно уверенно сказать, что моделирование в среде электронных таблиц  в 10 разы быстрее и, что немаловажно, легче.

        В дальнейших исследованиях возможно построение этих графиков в других средах, или же можно построить  другие графики более сложные по структуре. А также изучить вопрос о том, какие процессы описываются функциями двух переменных. Как применяются графики функций двух переменных.

Приложение

        График функции Полусфера  

График функции Конус

График функции Эллиптический цилиндр  от 0 до 2

График функции Гиперболический цилиндр от -1 до 1

        График функции Эллиптический параболоид

График функции  

Литература

1. Журнал «Информатика», №1, 1-15 января 2007 года, издательский дом «Первое сентября»
2. «Занимательная математика и компьютер», Ч. Конёвски, издательство «Мир», 1987 год.
3. «Основы Информатики и вычислительной техники», А.П. Ершова и В.М. Монахова, издательство «Просвещение», 1985 год.
4. «Методические рекомендации по изучению языка программирования MSX- Бейсик», Глазов, 1988 год.
5. http://ru.wikipedia.org

    Министерство образования и науки

Удмуртской Республики

Муниципальное образовательное учреждение

Кезская средняя Общеобразовательная школа №1

                                             Научно-исследовательская

                                               работа по информатике

                                                             на тему:

             «Исследование и моделирование фракталов».

                                                                                                       Выполнила:

                                                                                  ученица 10а класса

                                                                              МОУ КСОШ№1

                                                                           Пинаева Дарья

                                                                                           Руководитель:

                                                                                              учитель информатики

                                                                                              МОУ КСОШ №1

                                                                                                             Ветошкина Наталья Владимировна

2008 – 2009 год.

Содержание.

Введение………………………………………………………………………………..3

Рождение и развитие фрактальной геометрии…………………………………… 3-4

Бенуа Мандельброт-основатель фрактальной геометрии…………………………. 4

Типы фракталов ……………………………………………………………………..4-6

Способы построения фракталов…………………………………………………….6-9

Применение фракталов……………………………………………………………..9-10

Заключение…………………………………………………………………………10-11

Литература…………………………………………………………………………….11

Введение

   Кто хотя бы раз видел фракталы – удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным явлением. Фрактальные рисунки – вершина вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Такими представляются фракталы, которые строят современные компьютеры.

   До недавнего времени геометрические модели природных объектов изображались с помощью комбинаций простых фигур: прямых, треугольников, окружностей, сфер, многогранников. Правда, с помощью набора этих известных фигур трудно описать более сложные природные объекты: пористые материалы, формы облаков, кроны деревьев, др. Современная наука не может обойтись без новых компьютерных средств. Они выводят математику на чрезвычайно высокий уровень. Изучая фракталы, весьма трудно провести грань между математикой и информатикой – так тесно они переплелись в своём стремлении открыть уникальные модели, приближающие нас к пониманию некоторых природных процессов и явлений.

   Тогда возникает проблема: можно ли в школьных языках программирования смоделировать фракталы, и если можно, то в каких целях и где это можно применить?

   Гипотеза: нет ли специальных систем для программирования фракталов?

    Объект: фрактальные множества. 
    Материал: научная литература по истории открытия фракталов, данные исследований Б. Мандельброта и Е. Федера, программное обеспечение.
   Цель: исследование фракталов в природе, в математике.

    Задачи: 
 • узнать, что такое фракталы;

 • изучить историю возникновения и развития фрактальной геометрии;

 • ознакомиться с биографией создателя фракталов –   Бенуа Мандельброта;

 • смоделировать фракталы на языках программирования – QBasic и Pascal.

Рождение и развитие фрактальной геометрии.

  Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли в 70-80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает разбитый (поделённый на части). Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных структур. По определению, данному Мандельбротом,  «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Свойство самоподобности отражает главную особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несёт в себе полную информацию обо всём организме.

  С математической точки зрения фрактал – это прежде всего множество дробной размерности. Всем, кто изучает геометрию, известно, что размерность отрезка равна 1, квадрата-2, куба и параллелепипеда-3. Дробная размерность-основное свойство фракталов.

  Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». В ней использованы научные результаты учёных, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области. Среди них Пуанкаре,  Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф. Только в наше время удалось объединить эти работы в единую систему.

   Фрактальная геометрия – это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или моря. Облака -это не сферы, горы - это не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах бесконечно».

   Новая фигура – фрактал - может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны, и т.д. Древовидные фракталы применяются  для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы.

   Если рассматривать фрактальные объекты в различном масштабе, то нетрудно обнаружить одни и те же основные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную (фрактальную) размерность необычной геометрической фигуры.

Бенуа Мандельброт-первооткрыватель фрактальной геометрии.

Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году. В 1936 году семья Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. После войны Бенуа стал студентом Сорбонны. В 1958 году Мандельброт приступил к работе в научно исследовательском центре IBM в Йорктауне. Переформулировал закон Ципфа-Мандельброта. Также Мандельброт исследовал экономику и обнаружил, что произвольные, на первый взгляд, колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку. Мандельброт увидел самоподобные фракталы там, где все остальные видели деньги и ткани. Сегодня Бенуа

Мандельброт – профессор Йельского университета, член американской Академии искусств и наук и Национальной академии наук США. Он удостоен многочисленных почетных степеней и наград. Его последняя важная награда – премия Вольфа по физике.

Классификация фракталов.

  Для их изучения фракталов следует разделить их на определенные классы. Одной из общепринятых классификаций является классификация фракталов на геометрические, алгебраические и стохастические.

                                    Фракталы 

Алгебраические                       Геометрические                      Стохастические

   Геометрические фракталы 

     История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в 19 веке. Это и есть те функции-монстры, которых так называли за недифференцируемость в каждой точке. Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, так как сразу видна самоподобность. Вообще все геометрические фракталы обладают жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Для построения геометрических фракталов характерно задание "основы" и "фрагмента", повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. Поэтому эти фракталы иногда называют конструктивными или автомодельными. Примерами таких фракталов являются треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Леви и многие  другие.  В графике геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т.д.
     Конструктивные фракталы строятся с помощью рекурсивных процедур, систем итерированных функций, L-систем, и др.

     Алгебраические фракталы

     Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых.

     Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.
     Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.

     Стохастические фракталы 

     Фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры, называют стохастическими. Термин стохастичность происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».                                                

Стохастическим природным процессом является броуновское движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объекты, очень похожие на природные, - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и так далее. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря, процесса электролиза.

С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задаётся более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых. 

 Существует еще одна интересная классификация. Фракталы в этом случае классифицируются на два класса: рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учеными, и он при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. в действительности это не так, т.к. у дерева не бесконечное число ветвей, и берег имеет не бесконечную длину. Поэтому на природные фракталы накладывается ограничение на область существования. Вводится максимальный и минимальный размеры, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

Фракталы и способы их моделирования.

Треугольник Серпинского    

 В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект, известный как решето Серпинского. Этот треугольник один из самых ранних известных примеров фракталов. Существует несколько способов построения этого фрактала. Один из них представляет следующий процесс. Берется сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется перевернутый треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трех оставшихся треугольников. Продолжая этот процесс, на n-ом шаге удаляем 3n-1 перевернутых треугольников из центров 3n-1 оставшихся треугольников. По теории конца этому процессу не будет, и в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадется - получится объект, состоящий из одних только дырок. Это и есть треугольник Серпинского. Треугольник Серпинского также называют салфеткой или решетом Серпинского.

Программа для моделирования треугольника Серпинского в PASCAL:

Program Sierp10;

Uses CRT, Graph;

Var

  gd, gm: Integer;

  l, x, y: Real;                        

Begin

  gd:=Detect;

  InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');

  x:=0; y:=0;

  Randomize;

  While not Keypressed Do Begin

    l:=2/3*pi*random(3);

    x:=x/2+cos(l);

    y:=y/2+sin(l);

    PutPixel(320 + Round(x*130), 240 + Round(y*130), 14);

  End;

  Readkey;

  CloseGraph;

End.

Множество Мандельброта

Program M2;

Uses Graph, Crt;

Type

   TComplex = Record

     X : Real;

     Y : Real;

   End;

Const

   iter = 50;

   max  = 16;

Var

   z, t, c : TComplex;

   x, y, n : Integer;

   Cancel  : Boolean;

   gd, gm  : Integer;

   mx, my  : Integer;

Begin

   Cancel := False;

   Randomize;

   gd := Detect;

   InitGraph(gd,gm,'e:\bp\bgi');

   Mx := GetMaxX div 2;

   My := GetMaxY div 2;

   For y := -my to my do

      For x := -mx to mx do Begin

         n := 0;

         C.X := X * 0.005;

         C.Y := Y * 0.005;

         z.X := 0;

         z.Y := 0;

         While (sqr(z.X) + sqr(z.Y) < max) and (n < iter) do Begin

            t := z;

            Z.X := sqr(t.X) - sqr(t.Y) + C.X;

            Z.Y := 2 * t.X * t.Y+ C.Y;

            Inc(n);

            If keypressed then cancel := true;

         End;

         If n < iter then Begin

            Put Pixel (mx + x,my + y,16 - (n mod 16));

         End;

         If cancel then exit;

      End;

   Readkey;

   CloseGraph;

end.

Фракталы из окружностей

Program Circle;

Uses Graph, Crt;

Var

   x, y, z  : Integer;

   gd, gm   : Integer;

   mx, my   : Integer;

Begin

   gd := Detect;

   InitGraph(gd,gm,'e:\bp\bgi');

   mx:=GetMaxX div 2;

   my:=GetMaxY div 2; 

   For y:=-my to my do

      For x:=-mx to mx do Begin

        z:=trunc(0.1*(sqr(x)+sqr(y)));

        PutPixel(mx + x,my + y,z mod 16);

      End;

   Readkey;

   CloseGraph;

end.

Кривая Коха

SCREEN 12

p = 4

pi = 3.14

x = 0

y = 400

l = 640 / (3 ^ p)

PSET (x, y)

FOR i = 0 TO 4 ^ p

a = 0

n = i

k = 0

WHILE k <= p

m = n MOD 4

n = n \ 4

IF m = 0 THEN a = a + 0

IF m = 1 THEN a = a - pi / 3

IF m = 2 THEN a = a + pi / 3

IF m = 3 THEN a = a + 0

k = k + 1

WEND

x = x + l * COS(a)

y = y + l * SIN(a)

LINE STEP(0, 0)-(x, y)

NEXT i

END

Применение фракталов.

   Главное применение  фракталов - современная компьютерная графика. С их помощью можно создавать плоские множества и поверхности очень сложной формы, посредством изменения параметров в том или ином уравнении.

   Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, морей, горных ландшафтов. Можно сказать, что учёные нашли простой способ представления сложных объектов, образы которых напоминают природные формы.

   Большой вклад в теорию фракталов вносят мощные современные компьютерные программы, рисующие листья деревьев и папоротника, искусственные горные цепи, облака и не существующие в природе планеты с вымышленными океанами и континентами.

    Компьютерные системы. Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами. Другое преимущество фрактального сжатия состоит в том, что при увеличении картинки не наблюдается эффекта пикселизации. При фрактальном сжатии после увеличения картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

   Механика жидкостей и газов. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны, и поэтому очень сложно строить их модели. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя лучше понять динамику сложных потоков.

  Телекоммуникации. Для передачи данных на расстояние используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

  Физика поверхностей. Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух различных фракталов.

   При помощи фракталов также можно моделировать языки пламени и другие , ещё более сложные, физические процессы. Фрактальные формы хорошо передают пористые материалы, которые имеют очень сложную геометрическую структуру. Эти знания используются в науке о нефти.

    Теория фракталов используется и пи изучении структуры Вселенной.

    Биология. Здесь такие примеры - биосенсорные взаимодействия и биения сердца, моделирование хаотических процессов, в частности, при описании моделей популяций. Интересным приложением фракталов является генерация деревьев, как плоских, так и пространственных. Компьютерная программа, с помощью которой строятся эти фракталы, позволяет изменять различные параметры дерева: от ветвистости, толщины ствола и веток, до угла наклона веток и цвета листьев.

    Фрактальное искусство. Ещё одной захватывающей, но спорной областью применения фракталов является компьютерное искусство. Фракталы не только служат учёным, но  и помогают художникам передавать их мысли, чувства и настроения, воплощая самые невероятные фантазии. В наше время живописец уже не может обойтись без компьютерной программы, которая строит причудливые картины-фракталы.

Заключение
    

 Компьютер - это новое средство познания. Он позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. В истории открытия фракталов это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, можно постичь во всей их сложности, опираясь на нашу интуицию. При этом стимулируются новые идеи, новые ассоциации, и у каждого, кто мыслит в образах, пробуждается творческий потенциал. 
    Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика, и я убедилась в этом, выполняя исследовательскую работу, в ходе которой научилась строить некоторые виды фракталов, узнала, что существуют специальные программы для моделирования фракталов, убедилась в том, что область применения фракталов чрезвычайно велика.   Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
    Компьютеры становятся все мощнее, и все более тонкие эффекты они позволяют нам наблюдать на экране дисплея. Нас ждет еще много интереснейших и необычайных находок.

Список литературы и ресурсы Интернета

1.Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство./Математика в школе, №5/2005

2.«В мир информатики», журнал «Информатика»: №23, №24/2008, изд-во «1ое сентября»

3.Волошников А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000

4. http://fractalworld.xaoc.ru/ article/tree 3.html

5. http://www.fractals.nsu.ru/

6. http://fractals.narod.ru/

7. http://ru.wikipedia.org/wiki