элективный курс
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Модуль. Уравнения с модулем. Неравенства с модулем. 

Программа элективного курса уч-ся 10 кл. по математике.

Поличкина К.Г.,учитель математики высший категории средней школы №16 г.Новочебоксарска.

Пояснительная записка

Элективный курс 10 классов посвящен систематическому изложению учебного материала, связанного с понятием модуля числа и аспектами его применения. В нем рассматриваются различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, основанные на его определении, свойствах и графической интерпретации.

Для курса характерна практическая направленность. Его основное содержание составляют учебные задачи. Часть из них приводится с полным решением, иллюстрирующим тот или иной метод. Другие предлагаются для самостоятельной работы. Правильность выполнения этих заданий контролируется посредством приведенных ответов. Элективный курс «Алгебра модуля» направлен на подготовку школьников к обучению в классах физико-математического профиля, так как знание приведенного учебного материала будут способствовать более полному и глубокому усвоению таких базовых понятий математики как предел и производная. Кроме того, задания ЕГЭ экзамена по математике предполагают умение оперировать с модулем.

 Цели курса

Учебно-тематический план

Л и т е р а т у р а

Гайдуков И.И. Абсолютная величина: Пособие для учителей. - Изд. 2-е. - М., 1968.

Зильберберг Н.И. Алгебра для углубленного изучения математики. Псков, 1992.

Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач: Алгебра. Тригонометрия. М., 1984.

Мордкович А.Г. Кое-что о радикалах // Квант. - 1970. - №3.

Спатару К. Абсолютная величина числа. Кишинев, 1966.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. М., 1989.

Материал для занятий

Занятие 1. Определение модуля числа и его применение при решении уравнений.

1. Решите уравнение  

Исходя из определения модуля, приходим к выводу, что значение выражения  может быть равно 4 или – 4. Иными словами, данное уравнение равносильно совокупности уравнений  или . Решая их, получим или . Корни уравнения  есть 6 или – 6. Уравнение  не имеет корней, так как модуль ( расстояние ) не может быть отрицательным числом. Таким образом, числа 6 и –6 – корни данного уравнения. Данное уравнение можно решить, используя запись определения модуля с фигурной скобкой. Однако это более сложный путь отыскания корней.

2. Решите уравнение .

В отличие от предыдущего задания в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной. Поэтому уравнение имеет решение при условии, что 2x – 1 ≥ 0. В этом случае равенство возможно, если значения выражений и 2x – 1 одинаковы либо противоположны. Иными словами, данное уравнение равносильно системе:

решая которую, получим корни этого уравнения: 1; .

3. Найдите целые корни уравнения  .

Представим данное уравнение в виде . Повторяя рассуждения, приведенные выше, получим решение:

 Ответ: 1.

4. Решите уравнение .

Используя определение модуля, приходим к выводу, что равенство возможно, если значения выражений  и   равны или противоположны, т. е. данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Решая совокупность, получим корни данного уравнения: – 4;    –0,5; 2.

5. Решите уравнение: .

Обозначим выражение  буквой a. Тогда данное уравнение примет вид  Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству , решая которое, получим ответ: .

Занятие 2. Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

1. Решите неравенство  .

1) Найдем нули выражения .  

х1 = 0, x2 =3.

2) Разобьем координатную прямую на интервалы и установим знак выражения  на каждом интервале:

                        +   .      –      .  +                            

0            3                         x

3) Раскроем модуль:

4) Решим совокупность систем неравенств, равносильную данному неравенству:

Решение первой системы: .

Решение второй системы: .

Решение данного неравенства: .

Упражнения для самостоятельной работы

Решите уравнение.

10. 

Ответ:

11. 

Ответ: –12; –0,75.

12. 

Ответ: ± 0,2;  1;  3.

Докажите тождество:

13. 

14.

Решите неравенства:

15. 

Ответ: [-2; 1].

16. 

Ответ: (-;1] U [2; +)

17.

Ответ: (-).

Занятие 3. Решение неравенств вида ⏐x⏐< a, ⏐x⏐> a посредством равносильных переходов.

Рассмотрим примеры.

1. Решите неравенство .

Данное неравенство решено выше методом интервалов. Рассмотрим иное решение, основанное на доказанной теореме, согласно которой последнее неравенство равносильно системе неравенств

   решая которые, получим:

Решение системы:

  .///////////////////////////.           

1-                   1+                               x                 

\\\\\\\\\\\\\\\.                           .////////////                              

                                               x              

Запишем ответ: .

2. Решите неравенство .

Пользуясь доказанной равносильностью, перейдем к совокупности неравенств:     

Система  и неравенство 0 не имеют решений. Следовательно, решением совокупности (и данного неравенства) является числовой луч .

Занятие 4. Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств.

Проиллюстрируем использование этих свойств при решении задач.

1. Решите уравнение

Заметим, что , значит

Следовательно, по свойству (7) данное уравнение равносильно неравенству  (x3  - 1)(2 - x3 ) 0 ,решением которого является числовой отрезок .

2. Решите систему уравнений

Заметим, что .

Следовательно, по свойству (7) xy ≥ 0, т. е. x и y принимают значения одного знака. Тогда данная система равносильна совокупности систем:  или  

Решением первой системы является любая пара неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Например, . Решением второй системы является пара неположительных чисел, сумма которых равна -1. Например, ( -0,8; -0,2).

Решения данной системы наглядно представлены посредством графиков:

                               y

                              1

                      -1        0      1

                                                        х

                        -1

3. Решите систему уравнений:

Возводя каждое уравнение в квадрат, получим систему уравнений  равносильную данной. Последняя система имеет место при условии, что xy<0. Тогда она примет вид:

Решим полученную систему:

              или  

                                                                или  

Ответ: (6; -1), (-1; 6), (-6; 1), (1; -6).

4. Найдите числа x и y такие, что

По свойству (5) данное уравнение равносильно системе

.      

Решая систему, получим:           

5. Запишите при помощи знака модуля, что по крайней мере одно из чисел a, b, c, d отлично от нуля.

Ответ:

6. Дано:

Докажите неравенство  

Доказательство:

Упражнения для самостоятельной работы

23. При каких значениях x справедливы равенства:

а) .    

Ответ: [2; 9].

б) .      

Ответ:

24. Решите уравнение

Ответ:

25. Решите уравнение

Ответ: [-1; 1 ].

26. Решите уравнение

Ответ: (7,5; 1).

27. Найдите наименьшее значение суммы:

а) .                

Ответ: 2.

б) .                

Ответ: 0.

28. Докажите неравенство

Указание.

1) докажите, что ;

2) докажите, что

28. Если    и , то . Докажите.

Занятие 5. Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.

Рассмотрим примеры.

1. Решите уравнения.

а)    

Переводя запись данного уравнения на «язык расстояний», получим предложение «расстояние от точки с координатой x до точки с координатой 3 равно 1». Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 3 на расстояние 1. Обратимся к геометрической иллюстрации.

                                       2          3         4                            х

Корнями уравнения являются числа 2 и 4.

б)

Приводя данное уравнение к виду  используем формулу расстояния:

                               –2                  1                      х

Ответ: –2; 1.

в)          

Запишем данное уравнение в виде. Исходя из геометрических представлений, нетрудно понять, что корнем последнего уравнения является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и –2, т. е. число –0,5.

Используя аналогичные рассуждения, можно решать и неравенства.

2. Решите неравенства:

а) .  

Исходя из геометрических представлений, приходим к выводу, что решениями данного неравенства являются координаты точек, удаленных от точки с координатой 1 на расстояние, меньшее 2. Чтобы изобразить эти точки на координатной прямой, первоначально отметим точки, удаленные от 1 на расстояние, равное 2, а затем меньшее 2.

         ///////////////////////

     –1         1          3                         x

Решения данного неравенства составят числа, принадлежащие интервалу           (–1; 3).

б) .                                                                                      

Представим данное неравенство в виде . Рассуждения, аналогичные приведенным выше, и их геометрическая интерпретация

\\\\\\\\\\                    //////////

         –3          –1           1                          x 

позволяют получить решения неравенства:

в)  

Данное неравенство имеет следующий геометрический смысл: расстояние точки с координатой x до точки с координатой –1 меньше ее расстояния до точки с координатой 2. Отметим на прямой точку, равноудаленную от точек с координатами –1 и 2, а затем точки, расположенные к -1 ближе, чем к 2.

                                              0,5

 .\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\                                           

                          –1                                        2          x

Решения данного неравенства: (–∞; 0,5).

Приведенный метод позволяет находить решения достаточно узкого класса уравнений и неравенств с модулем. Однако использование именно таких неравенств при изучении пределов диктует целесообразность его рассмотрения.

3. Решите уравнения и неравенства.

1)

Ответ: 1,6; 2,4.

2)  

Ответ: –3,7;  -2,3.

3)  

Ответ: [2; 3].

4)  

Ответ: (3; 17).

5)  

Ответ:

6)  

Ответ:

7)  

Ответ: 0.

8)

Ответ: 0,4.

9)  

Ответ:

10)  

Ответ:

Занятие 6. Модуль и преобразование корней.

1. Упростите выражение

При  b>0,   b0  получим:

2. Вычислите значение выражения:  

при , где            

1) Преобразуем выражение для x:

2) Вычислим значение корня:

3) Вычислим значение знаменателя:

4) Вычислим значение выражения A: 

Ответ:

38. 

Ответ:  если x>3;  если 2<x<3; если x<2.

39. 

Ответ: 2(x-2) при  0 при

40. 

Ответ:  при  при

41. 

Ответ:  при  или  при  или

42. 

Ответ: 1, если x>1 или  –1; –если 0 или x<–1.

43. Вычислите значение выражения  при  где m>0, n>0. 

Ответ: n, если  если 0<n<1; m>0.

Занятие 7. Модуль и иррациональные уравнения.

Упражнения для самостоятельной работы

При решении уравнений, приведенных ниже для самостоятельной работы, также используется модуль.

44. 

Ответ: –6; 6.

45. 

Ответ: 5; –

46. 

Ответ:

47. 

Ответ: 0; 3.

48. 

Ответ: 2,5.

49. 

Ответ: нет решений.

50. 

Ответ: 1,5.

51. 

Ответ:

Занятие 8. Контрольная работа.

Приведем примерный вариант контрольной работы.

1. Решите уравнение.

1.1.  

1.2.  

2. Решите неравенство.

2.1.  

2.2.  

3. Упростите выражение.

.

4. Решите уравнение.

4.1. .

4.2. .

5. Решите систему уравнений.