Объем конуса
план-конспект урока по геометрии (11 класс) на тему

  11 класс Геометрия

Тема урока: «Объем конуса»

Цель: вывести формулу объема конуса, усеченного конуса.

Задачи:

Образовательная: добиться усвоения формулы для вычисления объема конуса, усеченного конуса при решении типовых задач.

Развивающая: развивать пространственное воображение, логику.

Воспитательная: воспитывать ответственное отношение  к учебе.

Оборудование: модель конуса, таблица с изображением конуса, его элементов, сечений.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Сегодня на уроке особое внимание уделим такой пространственной фигуре, как конус, вспомнив:

1. единицы измерения  объемов (куб, ребро которого равно единицы длины, баррель – англо-американская единица – 159 л, амфора ≈ 25,5 л, ведро – 12 л – Россия…)
2. свойства объемов (стр.157-158, учебник)
3. определение конуса, его элементов, формулы боковой и полной поверхности конуса, усеченного конуса (стр. 136-137)

2. Мотивация учебной деятельности

Учащимся предлагается раздаточный материал  с изображением

конуса, усеченного конуса, условием типовых задач. Учитель предлагает решить задачи на ранее изученный материал. Учащийся должны прийти к выводу о том, что на уроке должны изучить формулу вычисления объема конуса.

Слово учителя.

- Сегодня на уроке мы должны научиться находить объем конуса, объем усеченного конуса.

III. Сообщение темы и цели урока: 

IV. Изучение нового материала.

Двое учащихся по заранее заготовленному чертежу доказывают формулу вычисления объема конуса.

Доказательство:

Построим два многоугольника в плоскости основания конуса многоугольник Р, содержащийся в основании конуса и многоугольник Р', содержащийся в основании конуса. Построим две пирамиды с основаниями Р и Р' и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида содержит конус,  а вторая содержится в конусе. При неограниченном увеличении числа

сторон n площади этих многоугольников приближаются к площади круга в основании конуса. Для таких многоугольников объемы построенных пирамид неограниченно приближаются к  S . H, где  S – площадь основания конуса, а Н – его высота. Следовательно  V  конуса = S . H =  R.  Итак объем конуса равен   произведения площади основания на высоту.

После записи в тетрадь формулы V  конуса = R2 H находят учащиеся объемы конусов в задачах №1,  №2, №3, №4. После проверки правильности решения этих задач переходим к доказательству следствия (стр.170).

Задача.

Найти объем усеченного конуса, где  

R и r  (R > r) – радиусы его оснований,

h – высота.  

Решение:

Пусть х – высота полного конуса.

V  усеч.кон. = V конуса – V отсечен.кон.

∆SO1A1~ ∆SOA  по двум углам ( _О1SA – общий, _ SО1A1= _ SOA = 90°).

SО1 = x-h; тогда:

 = ;

rx = R (x-h);

rx - Rx = - Rh;

Rx - rx = Rh;

x (R – r) = Rh;

x =

Следовательно (2 часть доказательства):

V усеч. кон. =  R2х -  R2 (x- h) =  x (R2 – r2) +  r2h =   (R2  - r2) . +  r2h =   +  r2h =  R + r) Rh +  r2h =  h (R2 + rR + r2) =  h (R2 +   + r2) =  h (S + S1 +  ), где  S и  S1  - площади оснований усеченного конуса.

 В тетрадь  записать: V усеч. кон. =  h (R2 + r2 + Rr) и

                                     V усеч. кон. =  h(S + S1 +  )

(2 часть доказательства, а именно алгебраические преобразования предложить на дом).

Перейти к решению задачи №5.

Предложить одному учащемуся тестовую задачу, другому выполнить необходимые измерения.

Для работы с классом:

№1 Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см и образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10 литровые воронки.

Решение:

2.1. Из ∆SOA  (_ SOA = 90°) найдем радиус ОА.

ОА =  =  =  = 12 см

2. V кон =  h ·12 · 52  = 4 · 25=  100 см

3. 314 см3 = 0,314 дм3

4. 10 л = 10 дм3

5. 10 : 0,314 ≈ 32 (воронки)

№2 (Если позволит время)

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра 22. Найти боковую поверхность конуса и его объем.

Решение:

1. Так как по условию R = h,

то Sбок. цил. = 2 rh = R2 = 22;

                             R2 = 11;

                                              R2 =  ;

                                               R =

2. Образующая конуса l будет равна:  l = R =  

3. Sбок. кон. =R l =     =   = 22.

4. V кон =  R2h, так как по условию h = R,

    V кон =    =

5. Итог урока: 1. Ответы учащихся, решающих индивидуальные задачи, указание основной формулы на основании которой решались задачи.

Рефлексия:

- Чему научились на уроке?

- Какие затруднения у вас возникли на уроке?

- Как вы считаете, изученный материал по этой теме пригодится вам на экзамене?

6. Домашнее задание: п.81 (рассмотреть доказательство теоремы о вычислении объема конуса через интеграл, выполнить алгебраические преобразования, которые приводят к формуле

V усеч. кон. =  h(S + S1 +  )

№ 701, №705, №711.

Приложение.

Ответы: