Разработка занятий элективного курса
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Методические разработки занятий элективного курса «Функция антье, ее свойства и приложения»

В работе первое занятие составлено в виде технологической карты, остальные описаны в виде их планов.

Технологическая карта первого занятия

Тема занятия: Понятие целой части действительного числа

Тип занятия: изучение нового материала

Планируемые результаты: 

Личностные: мотивация к учебной деятельности.

Метапредметные:

Познавательные УУД:

-умеют схематизировать, моделировать;

- самостоятельно формулируют проблему;

- умеют анализировать информацию;

- используют знаково-символические обозначения;

- выделяют сходства/различия;

- устанавливают причинно – следственные связи.

Предметные результаты:

- умеют формулировать определение понятия целой части действительного числа;

- знают свойства целой части  действительного числа;

- умеют решать простые задачи на применение  изучаемого понятия.

(см. Табл.2 «Технологическая карта» на сл. стр.)

    (Планы занятий см. на сл. стр.)

Планы занятий элективного курса « Функция антье, ее свойства и приложения»

Занятие 2. Функция антье, ее основные свойства и график (2 ч)

Тип: комбинированный

Цель: - обучающиеся умеют формулировать определение понятия целой части действительного числа (умение представлять информацию при помощи системы обозначений);

- знают свойства функции (умение разделять объект на части, располагать части в определенной последовательности, умение характеризовать их), умеют доказывать некоторые из них (умение анализировать, выделять существенные признаки, определять истинность логических суждений);

- умеют строить график функции антье (умение представлять информацию в виде графиков).

Формы: диалог с классом, практическая исследовательская самостоятельная работа по движению графиков функции, практическая групповая работа по построению графиков и описанию их свойств.

Методы: словесные, практические, частично поисковые.

Основные теоретические положения первой части занятия:

1. Выступление с докладами обучающихся.

2. Актуализация знаний.

Вопросы на актуализацию:

Что собой представляет целая часть числа?

Как ее обозначают?

Какими основными свойствами обладает целая часть числа?

3. Изучение нового материала.

Функция антье, ее основные свойства и график

Функция целой части числа была введена Адриеном Мари Лежандром (1752-1833) - французским математиком. Его работа «Опыт теории чисел», которая вышла в свет в 1798 году, является фундаментальным трудом, итогом арифметических достижений XVIII века. [28] Именно в честь него функцию называют французским словом «Антье» (фр. «entier» -целый) обозначают . Построим график функции антье на координатной плоскости (дается время на построение, затем учитель проверяет его правильность, при необходимости выполняют построения совместно)

Рассмотрим и докажем некоторые основные свойства функции антье

1. Область определения: .

Доказательство: Функция имеет смысл для всех значений переменной , это следует из определения целой части действительного числа и свойств числовых множеств. Следовательно, областью определения функции  является все множество действительных чисел, то есть  .

2.  

Доказательство: Множество значений функции , это множество целых чисел (по определению целой части действительного числа).

3. Функция антье неограниченная.

Доказательство: Так как множеством значений функции выступает множество целых чисел (по определению функции), а множество целых чисел неограниченно, то  и сама функция неограниченная.

4. Нули функции: .

Доказательство: (по свойству целой части числа) . Таким образом, функция принимает значение 0 для всех , принадлежащих интервалу  Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

5. Учитывая свойства целой части числа функция  принимает отрицательные значения, при , и положительные значения, при .

Доказательство: Пусть  тогда а если  тогда   

6. Точек экстремума функция не имеет.

7. Функция не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.

4.Исследовательская работа:

Постройте график функции  пунктиром.

Далее на этой же координатной плоскости построить графики следующих функций. После каждого построения обратить внимание на поведения функций, сравнивая ее график с графиком функции антье, и сделать соответствующий вывод:

1.  (сравнивая график функции  что можно заметить?)

2.  (как ведет себя график данной функции?)

3. . (что будет представлять собой график?)

Какой вывод можно сделать из построенных графиков?

5. Домашнее задание: доказать остальные свойства графика функции .

Основные теоретические положения второй части занятия:

1. Проверка домашнего задания.

2. Актуализация: 

1. Найти целую часть выражения:

2. Определить, сколько корней будут иметь уравнения:

3.  Практическая работа по группам: обучающиеся (делятся на 3 группы и выполняют задание, после группы защищают свою работу).

Задание: построить графики функций и опишите свойства данных функции

1. ; 2.; 3.

4. Домашнее задание: повторить свойства функции антье, понятие целой части числа.

Литература: [13], [14]

Занятие 3. Пол и потолок функции антье (2ч)

Тип: комбинированный. 

Цель: Обучающиеся умеют формулировать определение понятия пола и потолка целой части действительного числа (умение представлять информацию при помощи системы обозначений);

- знают свойства функций (умение разделять объект на части, располагать части в определенной последовательности, умение характеризовать их), умения доказывать их (умение анализировать, выделять существенные признаки, определять истинность логических суждений, устанавливать причинно-следственные связи);

- умеют строить график функции  , (умение представлять информацию в виде графиков, умение получить информацию из представленного графика, умение устанавливать связи между объектами).

Формы: устный опрос; диалог с классом; небольшая письменная работа.

Методы: словесный, объяснительно-иллюстативный, практический.

Основные теоретические положения первой части занятия:

1.Объяснение новой темы, путем построения аналогии с понятием функции .

Целую часть числа, или антье называют также пол. Наряду с полом существует парная функция — потолок — округление  до ближайшего целого числа в большую сторону. Рассмотрим подробнее эти функции. Начнем с определений пола и потолка функций

Определение: для любого вещественного числа х функции наибольшего и наименьшего целого имеет следующий вид:

 = наибольшее целое, меньшее или равное ;

 = наименьшее целое, большее или равное .

Эти обозначения, как и названия «пол» и «потолок» были введены в обиход Кеннетом Э. Айверсоном в начале 60-х годов. [1, с. 12]

Помимо многозначности в обозначениях, существует неоднозначность в существе этих функций. Так, в некоторых калькуляторах имеется функция INT, определяемая как  при положительном  и как при отрицательном . Вероятно, создатели таких калькуляторов хотели, чтобы их функция INT удовлетворяла соотношению . Но мы останемся приверженцами наших функций пол и потолок, поскольку они обладают гораздо более привлекательными, чем это, свойствами.

Один из подходящих способов получить представление о функциях пол и потолок - разобраться в их графиках.

2. Построение графиков функций, с помощью наводящих вопросов  учителя

Исходя из определения функции наименьшего и наибольшего целого, постройте их графики (при возникновении трудностей строят совместно с учителем, отвечая на вопросы).

Вопросы при построении: сравните данные графики с графиком функции антье, что общего у них, чем отличаются.

3. Некоторые особенности функций пол и потолок.

Глядя на эту графическую иллюстрацию, можно отметить ряд фактов относительно полов и потолков. Прежде всего, поскольку функция пол лежит на и под диагональной линией  то , точно так же . (также это ясно из определения.) В целых точках обе эти функции совпадают: .

(«» - «тогда и только тогда») А если они не совпадают, то потолок ровно на 1 выше пола:

Если же сдвинуть диагональную линию вниз на единицу, то она целиком окажется под функцией пол, так что ; точно так же . Объединяя эти наблюдения, получаем, что

.

И, наконец, данные функции являются отражениями друг друга относительно обеих осей:

Таким образом, каждая из них легко выражается через другую. Это обстоятельство позволяет объяснить, почему функция потолок прежде не имела собственного обозначения. Но потолки встречаются столь часто, что заслуживают специальных знаков отличия, точно так же, как нами были присвоены специальные обозначения возрастающим, равно как и убывающим, степеням. У математиков издавна есть синус и косинус, тангенс и котангенс, секанс и косеканс, максимум и минимум — а теперь у нас есть как пол, так и потолок. Разность между  и  называется дробной частью  и в приложениях возникает столь часто, что заслуживает собственного обозначения:

4. Домашнее задание:

1. Приготовить небольшой доклад на тему Кеннет Э. Айверсон, его жизнь и основные работы.

2. Определить значения х в выражениях:

;  

Основные теоретические положения второй части занятия:

1. Проверка домашнего задания (выступление обучающихся).

2. Свойства функций пол и потолок (аналогично с функцией целой части числа), некоторые правила, простейшие вычисления значений функций ,.

Для того чтобы доказать свойства этих функций, полезны следующие два правила:  (1)  (2)

Во всех случаях считается, что — целое, а  — вещественное число

Правила (1) и (2) суть следствия определения функций пол и потолок.

Целочисленное слагаемое можно вносить и выносить в (за) скобки пола (или потолка):  – целое.

Но аналоги этой операции — типа вынесения за скобки постоянного множителя — в общем случае недопустимы. Так, , когда  и . Это значит, что скобки пола и потолка недостаточно гибки, - мы счастливы уже тогда, когда удается вообще отделаться от их присутствия либо что-то сделать при их наличии.

3. Самостоятельно: запишите основные свойства функций наименьшего и наибольшего целого (пол и потолок).

4. Письменная работа в классе: пол и потолок функции.

1.Найти значение функции, при заданных значениях точки :

a);         б);             в);          г) .

2. Найти значение функции , при заданных значениях точки :

a); б) ; в) ; г)  .

3. Построить график функции:

а) ; б) ;

4. Определить значение х в данных выражениях:

а) ; б) .

5. Решить уравнение .

5. Домашнее задание: доказать некоторые свойства функций пол и потолок числа по аналогии с доказательствами свойств функции антье.

Литература: [1], [2].

Занятие 4. Примеры процессов, описываемых функцией антье (1 ч)

Тип: применения и закрепление.

Цель: - умеют описывать и строить графики функций, приводить примеры процессов (умение анализировать, умение представлять информацию при помощи системы обозначений) представлять информацию в виде модели и читать график (умение получить информацию из представленного графика).

Формы: диалоговая форма общения, самостоятельная домашняя работа, решение олимпиадной задачи.

Методы: словесные, практические, частично поисковые.

Основные теоретические положения:

1. Примеры процессов, описываемых функцией

Многие процессы, происходящие в реальной жизни, описываются непрерывными функциями. Например, нагревая воду в кастрюле, температура воды будет увеличиваться с течением времени. В этом примере с точки зрения математики, температура воды есть функция времени, и эта функция такова, что при некотором изменении аргумента (времени)  изменяется функция (температура). Или, например, при увеличении скорости автомобиля, увеличивается и пройденный путь, то есть чем скорость будет больше, тем больше будет пройденное расстояние. Переводя на язык математики, мы получаем, что пройденный путь есть функция скорости, и эта функция такова, что при некотором изменении аргумента (скорости) изменяется функция (расстояние).

Но не все явления происходят непрерывно. Например, процесс работы секундомера. Известно, что минутная стрелка секундомера движется скачкообразно, то есть в промежутке между последовательными целыми минутами она находится в покое, а затем мгновенно меняет свое положение. Поэтому если показания минутной стрелки рассматривать как функцию времени, то её график представляет собой ступенчатую фигуру.

Рассмотрим еще 1 пример таких процессов. Скидка общей стоимости покупки зависит от количества приобретенного товара по следующей акции: с приобретением 1 товара скидка составляет 10% от общей стоимости покупки, а за каждые последующие товары скидка возрастает на 10%. Максимальная скидка на приобретенный товар составляет 40%

2.Анализ ситуации и графическая интерпретация.

График зависимости скидок на общую стоимость покупки от количества приобретенного товара демонстрируется и анализируется совместно с учителем на доске. Обращаем внимание на то, что график расположен в первой координатной четверти, так как известно, что количество товара не может быть числом отрицательным. Также можно сказать про скидки общей стоимости покупок. Рассматривая подробно график, видим, что с приобретением одного товара скидка будет составлять 10%, если приобретено два товара- 20% и т.д. Если количество товара составляет 4 и более - скидка 40%.то есть количество товара неограниченно, а максимальная скидка составляет 40%.

3.Рассмотрение задачи с олимпиады:

Представьте числа от 1 до 10 с помощью числа π, используя скобки, знаки действий, извлечение квадратного корня, а также символ функции , где  – целая часть числа . Например,  (3 балла).

4.Домашнее задание: придумать (подобрать) процессы, протекающие в жизни и построить соответствующий график, по свойствам совпадающий с графиком функции антье.

Литература: [11], [12].

Занятие 5. Применение целой части числа при решении задач на делимость (2ч)

Тип: применения и закрепление.

Цель: - создать условия для формирования умения решать задачи на делимость, применяя целую часть числа (умение анализировать, структурировать знания, умение выбирать наиболее простые способы решений в зависимости от конкретных условий, производить контроль результатов деятельности); систематизации знаний о применении функции антье при решении задач (умение синтезировать).

Формы: устные выступления (чтения графиков), решение нестандартных задач.

Основные теоретические положения первой части занятия:

1. Поверка домашнего задания. (Выступления обучающихся с графиками, описывающие процессы, протекающие в жизни, комментирование ).

Критерии оценивания:

1) точность описания примера.

2) наличие графика, построенного в соответствии с приведенными данными.

3) ответы на вопросы.

Основные теоретические положения второй части занятия:

 1.Решение задач. Задачи на делимость чисел появились еще в эпоху Возрождения. В это время были широко известны признаки делимости чисел. С тех пор и до сегодняшнего дня в математике довольно часто встречаются задачи, связанные с делимостью целых чисел. Они нестандартны, поэтому их решение иногда вызывает затруднения. Такие задачи решаются разными методами и использование  одних признаков делимости не всегда достаточно для их решения. Задачи на делимость могут быть решены и с использованием функции целой части числа. Рассмотрим примеры:

1. Доказать, что число , где  означает целую часть числа , при натуральных значениях  делится без остатка на 5.

Указание к решению: проанализировать все возможные значения выражения  при натуральных значениях , преобразовать выражение и сделать вывод.

2. Сколькими нулями оканчивается число ?

Указание к решению: Задача будет решена, если мы узнаем, чему равна максимальная степень числа , на которую делится число . Но поскольку , нам достаточно подсчитать, в какой степени число 5 входит в разложение на простые множители числа  

3. Доказать, что число  делится на . (указание к решению: Необходимо и достаточно доказать, что   делится на  и . Имеем . Найдем показатели степеней  и , с которыми входят числа 2 и 3 в разложения на простые множители чисел 3196!, 196! и 3000!.)

2. Домашнее задание: проверить, верны ли утверждения:

а) число  делится на 56;

б) число 50! Заканчивается 11 нулями.

Литература: [2], [4], [6, с. 30].

Занятие 6. Применение функции антье при решении уравнений, неравенств и системы уравнений (2 ч)

Тип: применение и закрепление.

Цель: - создать условия для формирования умения решать и  самостоятельно составлять уравнения (умение разделять объект на части, составлять целое из частей, умение располагать части в определенной последовательности, умение выделять существенные признаки), неравенства и системы уравнений, содержащие целую часть числа (умение устанавливать связи, представлять информацию в виде определенной системы обозначений).

Формы: самостоятельное решение задач и взаимопроверка.

Методы: практический, частично-поисковый (метод активного поиска способов решения уравнений и их систем.)

Основные теоретические положения первой части занятия:

1. Решение уравнений, неравенств и систем уравнений.

На данном занятии обучающиеся совместно с учителем решают упражнения, при необходимости с подробным объяснением решения.

1. Решить систему уравнений:  .

Решение: Так как выражение  есть целое число, то  также является целым числом. Поэтому . Если выразить из второго уравнения системы , то получим  следовательно число   также является целым, поэтому .  Таким образом, заменяя  и  через  и  соответственно, получаем следующую систему уравнения:   подставляя из первого уравнения во второе получим   . Ответ: (2,3).

2. Решить уравнение:  

Решение: По  свойству функции :  следовательно , поэтому уравнение перепишется в виде:  после приведения подобных получим следующее уравнение:  . Далее по определению целой части действительного числа имеем  .

3. Решить неравенство: .

Решение: Найдём все , удовлетворяющие обратному неравенству , тогда значения  которые ему не удовлетворяют, будут являться решением неравенства задачи.  Пусть  удовлетворяет обратному неравенству и . Из этого неравенства следует, что , и, значит, . В таком случае, используя неравенство  получаем   откуда  

Решением последнего неравенства являются значения , но  - целое, так что годится лишь значение . Следовательно,  . Далее, из неравенства при  устанавливаем, что ; при  . Нетрудно проверить, что все значения из промежутков  удовлетворяют неравенству , поэтому значения  являются решением исходного неравенства.  Ответ:  

4. Решить систему уравнений:   . Данное задание не вызовет трудностей, если решать его как обычную систему методом исключения одного неизвестного, затем  найти значения каждой переменной по определению целой части. Поэтому задание можно предложить на самостоятельное рассуждение. 

Домашнее задание: придумать и решить уравнения, неравенства и системы уравнений, содержащие целую часть числа.

Основные теоретические положения второй части занятия:

1. Самостоятельная работа

На втором занятии предлагается небольшая самостоятельная работа:

Решить:

 1) , 2) , 3)  

2. Проверка домашнего задания: обучающиеся после выполнения самостоятельной работы, меняются заданиями, придуманными ими дома, выполняют их и делают взаимопроверку.

Литература: [2], [3, с. 72], [7, с. 374].

Занятие 7. Нахождение целой части иррациональных выражений (1 ч)

Тип: комбинированный.

Цель: - Умение находить целую часть числа иррациональных выражений (умение производить контроль и оценку результатов деятельности).

Формы: работа в мини-группах.

Методы: метод взаимного обучения.

Основные теоретические положения:

1. Примеры решения задач на нахождение целой части иррационального выражения. Для начала повторим, что представляют собой иррациональные выражения. Иррациональными выражениями называют выражения, содержащие операцию извлечения корня. Операцию по нахождению целой части иррациональных выражений по другому можно назвать  операцией по определению приближенного целого значения. Данная операция используется в математике при нахождении целой части иррационального выражения, при отборе корней на заданном промежутке, при сравнении чисел и т.д. При нахождении целой части иррациональных выражений возможно и использование  свойства целой части числа. Рассмотрим следующие примеры:

1. Найти целую часть числа . (Ответ: 40.)

2. Найти целую часть числа .

2. Задание (самостоятельная работа в парах с последующим объяснением, при затруднении): 

Найти целую часть данных выражений и определить, какие знания кроме целой части числа нужно знать при работе с подобными выражениями?: 1.  (ответ: 5); 2.  (ответ: 1); 3.  (отв: 1); 4.  (ответ: 6); 5.  (ответ: -1); 6.  (ответ: -13).

Сравнить числа:

3. Домашнее задание: установить соответствие между числовыми выражениями и их значениями:

Литература: [6].

Занятие 8. Применение антье при решении некоторых геометрических и текстовых задач (2 ч)

Тип: закрепление понятия целой части числа.

Цель: - сформировать у обучающихся умение применять целую часть числа при решении геометрических и текстовых задач (умение решить задачу несколькими способами, умение определять наиболее простой способ решения, умение прогнозировать условия, при которых невозможно решение задачи, определять  изменения в условиях, недостаточную информацию).

Формы: решение задач разными способами, диалог с классом.

Основные теоретические положения первой части  занятия:

1. Решение задач. Геометрические задачи  решаются, как правило, графическим методом или через ряд доказательств теорем, свойств и аксиом. Но иногда эти методы не позволяют точно ответить на вопрос задачи, или решение задачи содержит громоздкие  выражения (большие графики, записи и т. д.). В геометрии существуют  такие задачи, решения которых будет упрощенным с использованием свойств рассматриваемой  функции. Приведем некоторые из них (сначала пытаются решить графически, затем демонстрируется решение с использованием целой части числа).

1. Сколько целых точек расположено на сторонах и внутри треугольника, образованного прямыми   и осью абсцисс? (ответить на следующие вопросы: какие точки называют целыми, как записать в виде уравнения ось абсцисс?)

Решение: Найдём значения функции , при целых  (заметим, что у = 0, при ); получим ординаты

Легко подсчитать, что общее число целых точек, лежащих в данном треугольнике (учитывая точки на границе), равно сумме целых частей этих ординат плюс двенадцать точек, лежащих на оси абсцисс:
.

Таким образом, внутри данного треугольника лежат 24 целых точек.     Ответ: 24.

2. Доказать тождество        (рассматривается вместе)

(где  и  - взаимно простые натуральные числа).

Рассмотрим прямоугольник с вершинами  Отметим внутри прямоугольника все целые точки  Число этих точек равно произведению  Проведём диагональ OB нашего прямоугольника; её уравнение -  Так как и взаимно просты, а , то числа  - не целые, т.е. на диагонали OB нет целых точек, и таким образом в треугольнике, лежащем под диагональю , будет  целых точек. С другой стороны, способом, описанным в предыдущем примере, получаем, что число этих точек равно сумме  и, значит, нужное тождество доказано.

3. Известно, что количество полных километров в расстоянии между поселками А и Б в 5 раз больше количества неполных километров (т.е метров). Определить максимальную длину расстояния.

Указания к решению. Пусть  (м) – длина расстояния. Заметим, что , где  – количество полных километров в расстоянии между поселками, а  – количество неполных километров, т.е. метров.

Основные теоретические положения второй части занятия:

Задание на самостоятельное решение и повторение:

1. Найти количество целых точек расположенных на сторонах и внутри треугольника, образованного прямыми .

2.  Решить уравнения: ; .

3. Построить графики функций:

3. Домашнее задание: найти описание работы математических функций  floor(x) и ceil(x) на языке программирования в паскале. Посмотреть, что представляют собой эти функции?

Литература: [2], [16], [17]

Занятие 9. Некоторое применение функции антье  в информатике (1 ч)

Тип: закрепление понятия целой части числа.

Цель: - сформировать у обучающихся навык работы в составлении некоторых математических функции на языке программирования (умение структурировать знания, умение сравнивать, выделять признаки объектов).

Формы: практическая работа на компьютере.

Основные теоретические положения:

 На основе проверки домашнего задания (беседы с обучающимися, позволяющей выяснить степень понимания и усвоения найденной ими информации о функциях floor(x)  и ceil(x)) выделяются некоторые теоретические основы:

1. Описание функций floor(x)  и ceil(x)на языке программирования. Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола и потолка целой части числа , которые обозначаются как floor(x) и ceil(x). Floor — округляет дробь в меньшую сторону. Функция floor(x) возвращает наибольшее целое значение, которое меньше указанного входного значения. Однако необходимо помнить, что в случае отрицательных чисел, как и в обычной функции , округление в меньшую сторону соответствует увеличению абсолютного значения. Пример работы программы floor(x):

echo floor(4.3); // 4

echo floor(9.999); // 9

echo floor(-3.14); // -4

Ceil – округление дроби в большую сторону. Функция ceil (x) округляет аргумент x до наименьшего целого числа, которое больше или равно аргументу. Пример работы программы ceil(x):

echo ceil(4.3); // 5

echo ceil(9.999); // 10

echo ceil(-3.14); // -3

2. Практическое задание: определить следующие значения: 

3. Домашнее задание: Вычислить данные с помощью  программ  floor(x) и  ceil(x):

Литература: [5], [16].

10. Выполнение и защита групповых работ (2 ч)

Тип: обобщение и систематизация знаний, усвоенных в рамках элективного курса.

Цель: сформировать у обучающихся умение работать с математической информацией, извлекать из нее ключевую, структурировать и обобщать материал (умение представлять информацию при помощи определенной системы обозначений, умение анализировать объект, умение оценить по заданной системе критериев, устанавливать связи между объектами, достраивать недостающие элементы совокупности, формулировать проблему, нахождения ошибок).

Формы: работа с проектом.

Основные теоретические положения первой части занятия:

Выбор тем. Темы примерных групповых работ и критерии оценивания проекта (предлагается учителем): правило снятия знака вложенного в антье; Тождество Эрмита; Цепные непрерывные дроби; Алгоритм вычисления; Сумма антье и антье суммы; Произведение антье.(5-6 групп)

Критерии оценивания работы в группе:

- ответы на вопросы - 1б;

- содержание работы - 4б.

Содержание работы должно включать:

1. Историческая пятиминутка или интересные факты - 1б;

2. Теоретический материал - 1 б;

3. Практический материал - 1 б;

4. Проверка полученных знаний (форма проверки определяется группой самостоятельно) - 1б.

Итого: 5 баллов за работу.

На данном занятии класс, разбиваясь на группы, выбирают тему и начинают работать над проектом. Такое занятие необходимо проводить в компьютерном классе.

Основные теоретические положения второй части занятия:

Защита проектов

Она проходит следующим образом: после представления своих проектов, каждая группа письменно оценивает работу всех групп по предложенным критериям (кроме собственной).

Литература: [8], [9], [10], [13], [15], [17].

Библиографический список

1. Айверсон, К. Э. (Kenneth E. Iverson). A Programming Language.[Текст]/ К. Э. Айверсон.-Wiley. - 1962.
2. Андреев, А.А., Савин, А.Н. «Антье и ее окружение». [Электронный ресурс] URL: http://ermine.narod.ru/MATH/STAT/ENTIER/sect5.html  (дата обращения 12.11.2016 г.)
3. Бартенев, Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре: пособие для учителей. [Текст] / Ф.  А. Бартенев.  - М.: Просвещение, 1976.- 95с.
4. Березин, В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: книга для учителя. [Текст] /В. Н. Березин, Л. Ю. Березина, И. Л. Никольская.- М: Просвещение, 1985.-175с.
5. Виноградов, И.М. Основы теории чисел: учебное пособие. [Текст] /И. М. Виноградов.- Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1958. – 178с.
6. Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 кл. с углубл. изучением математики. [Текст] / М. Л. Галицкий, Л. И. Звавич. – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2003.- 271с., ил.-ISBN-5-09-012517-1.
7. Галкин, Е.В. Нестандартные задачи по математике. Алгебра: учеб. пособие для учащихся 7-11 кл.  [Текст] /  Е. В. Галкин. - Челябинск: «Взгляд», 2004.
8. Грэхем, Р. Конкретная математика. [Текст] /Р. Грэхем,   Д .Кнут, О.Паташник . — М. : Мир, 1998.
9. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики: Пер. с франц. [Текст] / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер - М.: Мир, 1986.— 432 с., ил. — С. 287-289.
10. Егоров, А. Целая и дробная части числа [Текст] / А. Егоров // Квант - 2002. –№5. – С. 36-39.
11. Звавич, Л.И. Алгебра. 8 класс: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. [Текст] / Л. И. Звавич, А.Р.Рязановский.- 5-е изд., перераб.- М.: Мнемозина, 2008.-271с., ил.ISBN 978-5-346-01083-8
12. Задание школьной олимпиады по математике.[Электронный ресурс] URL: http://gigabaza.ru/doc/100930.html (дата обращения 30.10.2016 г.)
13. Кармакова Т.С. Статья: целая часть действительного числа. [Электронный ресурс] URL: http://www.roman.by/r-89362.html (дата обращения 16.11.2016 г.)
14. Лежандр Андриен Мари. Великие математики. [Электронный ресурс] URL:http://freemath.ru/publ/istorija_matematiki/velikie_matematiki/lezhandr_adrien_mari/22-1-0-256 (Дата обращения 14.10.2016 г.)
15. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи. кн. для учащихся ст. классов сред.шк. [Текст] / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. – М.: Просвещение, 1989.
16. Функция  и некоторые ее применения. [Электронный ресурс] URL: http://bibliofond.ru/view.aspx?id=878765 (дата обращения 11.09.2016 г.)
17. Функции floor и сeil [Электронный ресурс] URL: https://stateika.com/funktsii-round-ceil-i-floor-okruglenie-chisla/#kcmenu (дата обращения 20.11.2016г.)