Материалы по предмету "Алгебра"
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Тема: «Иррациональные уравнения»

Иррациональным  называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Так, иррациональными являются уравнения:

Рассмотрим два метода решения иррациональных уравнений: метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метод введения новых переменных.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

б) возводят обе части полученного уравненияв п-ую степень:

в) учитывая, что

получают уравнение f(x)=g(x)

г) решают уравнение и делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней. Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример1.  Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в шестую степень, получим х-3=64, откуда х=67.

Проверка. Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим 2=2, т.е. верное равенство.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение к виду

и возведем обе части уравнения в квадрат. Получим:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

           144(х-1)=  ( 29-х)2, т.е. х2-202х+985=0, откуда х1=5, х2=197.

Проверка. 1) при х=5 имеем 6=6, таким образом, х=5 явялется корнем заданного уравнения, а при х=197 получаем неверное равенство. Следовательно,х=197 –посторонний корень.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Применим метод введения новой переменной. Положим

тогда

и мы получаем уравнение у2-у-2=0, откуда находим у1=2, у2=-1

Теперь задача свелась к решению двух уравнений:

Возведя обе части 1-го уравнения в пятую степень, получим х-2=32, откуда х=34.

Второе уравнение не имеет корней, поскольку под знаком  возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Задания для самостоятельной работы студентов:

Решить уравнения: