Тригонометрические уравнения
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10, 11 класс)

Тригонометрические уравнения

Занятие 1.

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения

Цель: повторить решение простейших тригонометрических уравнений, разобрать решение уравнений, являющихся равенством двух одноименных тригонометрических функций.

Основная идея решения тригонометрического уравнения – сведение его к одному или нескольким простейшим уравнениям, т.е. уравнениям вида sin x =a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a. Каждое из этих уравнений легко решается с помощью единичной окружности, на которой изображаются соответствующие точки, после чего с учетом периодичности тригонометрических функций записывается ответ. С определенной степенью условности любое стандартное тригонометрическое уравнение («стандартное» не обязательно означает «простое») можно отнести к одному из двух основных типов: уравнения, сводимые к простейшим с помощью тех или иных тригонометрических преобразований (понижение степени, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, введение вспомогательного угла и др.), и уравнения, вначале сводимые к алгебраическим с помощью той  или иной замены переменной, а затем с помощью обратной замены приводимые к одному или нескольким простейшим.

Основные трудности у участников экзамена, приступивших к решению тригонометрического уравнения, возникают на этапе отбора корней: при верно решенном уравнении либо неверно проводится отбор корней, либо не проводится вовсе. Рассмотрим различные способы отбора корней.

Арифметический способ:

∙ Непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;

∙ Перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. Алгебраический способ:

∙ Решение неравенства относительно целочисленного параметра и вычисление корней;

∙ Исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами. Геометрический способ:

∙ Изображение корней на тригонометрической окружности и их отбор с учетом имеющихся ограничений;

∙ Изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.

Функционально-графический способ:

∙ Отбор корней с использованием графиков простейших тригонометрических функций.

Сегодня на занятие рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений, а также уравнений, являющихся равенством двух одноименных тригонометрических функций.

Прежде, чем решать тригонометрические уравнения, вспомним основные тригонометрические формулы (каждый учащийся получает памятку с формулами).

Уравнения, сводящиеся к простейшим

Практически все тригонометрические уравнения считаются «сводящимися к простейшим», но можно выделить ряд уравнений которые сводятся к простейшим достаточно просто.

Рассмотрим сначала виды простейших уравнений. К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида: sinx = a , cosx = a , tgx = a, ctgx = a . На эти уравнения следует обратить особое внимание, так как без умения их решать невозможно решить никакое другое тригонометрическое уравнение. В ваших памятках имеются схемы решения каждого из простейших уравнений.

Примеры:

Решите уравнение и укажите корни, принадлежащие указанному промежутку:

а)

б) ;   в) 

Уравнения, являющиеся равенством двух одноименных тригонометрических функций:

а) уравнения вида sin f (x) = sinϕ(x) равносильно совокупности уравнений:

Домашнее задание.

а)  

б)

в)

г)

Занятие 2.

Тема: Тригонометрические уравнения, решаемые методом подстановки. Однородные уравнения.

Цель: повторить решение тригонометрических уравнений методом подстановки.

Уравнения данного вида ϕ2 (х) +ϕ (х) + с = 0, где ϕ(х) − тригонометрическая функция, часто называют сводящимися к квадратным и решают методом подстановки вместо тригонометрической функции данного аргумента некоторого параметра t с учетом допустимых значений t в зависимости от области значения функции.

Примеры:

Однородные уравнения

Однородные уравнения можно разделить на группы по степени входящих в него тригонометрических функций: уравнения первой степени, второй, третьей и т.д.:

.

Из основного тригонометрического тождества следует, что синус и косинус одного и того же аргумента одновременно быть равными нулю не могут, следовательно, решаем эти уравнения путем деления обеих частей на высшую степень одной из функций.

Примеры:

3. 2cosx −3sin x = 0,

Занятие 3.

Тема: Неоднородные уравнения.

Цель: научить решать неоднородные тригонометрические уравнения.

Сегодня мы рассмотрим неоднородные уравнения первой и второй степени:

Начнем с уравнений второй степени. Используя основное тригонометрическое тождество, представим , раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим однородное уравнение второй степени.

Что касается неоднородных уравнений первой степени, то здесь можно выделить три основных способа решения:

1 способ. При помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества:  

данное уравнение сведется к однородному уравнению второй степени.

2 способ.  При помощи формул синуса и косинуса суммы (разности) аргументов.

3 способ. При помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла:

 уравнение сведется к квадратному уравнению относительно   .

Примеры:

4. 3sin2x+3cos2x=16sinxcos3x-8sinxcosx

При решении неоднородных уравнений второй степени помним, что

Примеры:

4. 3sin2x+cos2x=1

Занятие 4-5.

Тема: Решение конкурсных задач.

Цель: разобрать решение тригонометрических уравнений – прототипов задания 13 ЕГЭ.

На этих занятиях мы рассмотрим тригонометрические уравнения, предлагаемые для решения на ЕГЭ предыдущих лет.

Примеры:

1. ЕГЭ – 2018: а)

2. ЕГЭ – 2017: а) ,  

б) ,  

в)

3. Разные года