Индивидуальный проект " Большая и малая теорема Ферма"

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 города Дигора

                                                 Индивидуальный проект на тему:

                                               «Малая и большая теорема Ферма»

                                                                            Выполнила: ученица 10 «А» класса

                                                                                Цебоева Анастасия Анатольевна

                                                           Руководитель проекта: учитель математики

                                                                                  Цагаева Фатима Мухарбековна

                                                       Дигора 2021

                                                      Оглавление

Введение………………………………………………………………………………………………………………

Основная часть…………………………………………………………………………………………………….

          1. «Князь любителей» математики……………………………………………………………

          2. Малая теорема Ферма……………………………………………………………………………

          3. Большая теорема Ферма………………………………………………………………………..

Заключение…………………………………………………………………………………………………………

Библиографический список……………………………………………………………………………….

                                                                      Введение

           Альберт Эйнштейн утверждал- «Среди всех наук Математика пользуется особенным уважением; основанием этому служит то единственное обстоятельство, что её положения абсолютно верны и неоспоримы, в то время как положение других наук до известной степени спорны, и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями»                                                                                                                                                                                

          История математики тысячами нитей связана с историей других наук. Она – существенная часть всей истории человеческой культуры. В ней есть главы, посвящённые отдельным людям и открытиям. Многие из них нельзя читать без волнения. Одной из таких глав является история жизни и деятельности Пьера де Ферма.

         Цель данной работы - рассмотреть биографию учёного, его Малую и Большую теоремы.

         В результате проведённой работы:

- я пополнила свои знания в области делимости чисел с помощью Малой теоремы Ферма;

- познакомилась с понятием сравнение по модулю;

- я узнала формулировку Большой теоремы Ферма и увлекательную историю её доказательства

- познакомилась с биографией учёного Пьера де Ферма

                                                   Основная часть  

                           1.  «Князь любителей» математики

                                                                                         Никто никогда столь успешно не                                

                                                                                         проникал в тайны чисел, как Ферма.

                                                                                                                        Леонард Эйлер

            Одним из блестящих и загадочных математиков в истории человечества был Пьер де Ферма (20.08.1601-12.01.1665 Франция).

            Пьер Ферма родился на юге Франции в небольшом городке Бомон-де-Ломань, где его отец -  Доминик Ферма – был «вторым консулом», то есть помощником мэра. Мать Пьера, Клер де Лонг, происходила из семьи юристов.

            Доминик Ферма дал своему сыну Пьеру очень солидное образование. В колледже родного города мальчик приобрел хорошее знание языков – латинского, греческого, испанского, итальянского. Впоследствии он писал стихи на латинском, французском и испанском языках. Всю силу своего гения Ферма направил на математические исследования. И всё же математика не стала его профессией. Учёные его времени не имели возможности посвятить себя целиком любимой науке.

           Ферма становится юристом. Степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в суде. Избрав стратегию неукоснительного выполнения возложенных на него обязанностей. Пьер весьма успешно продвигался по служебной лестнице и вскоре вошёл в высший совет Франции, став Пьером де Ферма. О его юридической деятельности говорится в «похвальном слове», что он выполнял её с большой добросовестностью и таким умением, что он славился как один из лучших юристов своего времени. В 1631 году Пьер женился на своей дальней родственнице с материнской стороны – Луизе де Лонг. В их семье было пятеро детей.

          В начале 17 века математика, как и вся передовая мысль, только оживилась после многовековых преследований инквизиции. Единственным учебным заведением, где была учреждена кафедра геометрии, был Оксфордский университет. В Европе действовало небольшое математическое сообщество, где математики обсуждали свои работы. А основная часть учёных проводила свои исследования в одиночку.

          Парижский священник Марен Мерсенн (1588-1648)- философ, физик, математик -  решил покончить с таким положением. Он начал привлекать в сообщество «одиночек», стал всячески способствовать обмену идей между математиками и поощрять использование результатов одного учёного в работе другого. Научных журналов ещё не существовало, поэтому идеи распространялись в письмах. Мерсенн стал как бы информационным центром для математиков разных стран: получив письмо от учёного, он переписывал его для других членов сообщества и срочно рассылал. Таким образом, сообщить Мерсенну о своём открытии означало опубликовать его для всей Европы. Позднее сообщество Мерсенна стало тем ядром, вокруг которого сформировалась Французская академия.

        В научном центре мира – Александрийской библиотеке- в результате пожаров 389 и 642 годов были уничтожены многие величайшие научные труды учёных предыдущих столетий. Исчезли и 13 книг «Арифметики» Диофанта, в которых были собраны все предыдущие достижения человечества в теории чисел и исследования самого Диофанта. Спустя почти тысячелетие, в 1453 году, когда турки разграбили Константинополь, среди книг, случайно прихваченных беженцами в Европу, были обнаружены 6 томов «Арифметики». Благодаря замечательному переводу французского лингвиста Баше де Мезириака в 1621 году читатели на латинском языке получили доступ к их содержанию. Так на письменном столе Ферма оказалось сочинение, с которым он уже не расставался до конца своей жизни. Оно воодушевило его на возрождение самой фундаментальной из всех математических дисциплин -теории чисел.  

          «Арифметика» Диофанта стала наставником и учителем Ферма. В книге собраны сотни задач, и каждую из них Диофант снабдил подробным решением. Пьер не перенял столь высокий уровень доступности. Его совсем не интересовало создание учебника для будущих поколений. Он жаждал лишь одного – получить удовлетворение от решенной им задачи. Изучая задачи и решения Диофанта, Ферма черпал в них вдохновение. Они воодушевляли его на создание аналогичных и более тонких задач. При этом Пьер записывал сформулированные задачи и утверждения, а их решения «прокручивал в уме». Лишь иногда кратко записывал самое необходимое для того, чтобы убедиться в правильности полученных выводов. Он не заботился о том, чтобы изложить остальную часть доказательства. Чаще всего сделанные им торопливые записи отправлялись прямиком в мусорную корзину, после чего Ферма спокойно переходил к следующей задаче. К счастью для нас, опубликованный Мезириаком латинский перевод «Арифметики» имел широкие поля, и иногда Ферма торопливо записывал на них ход своих рассуждений и свои комментарии. Эти заметки на полях стали бесценными, хотя и несколько отрывочными, документальными свидетельствами некоторых наиболее блестящих выкладок Ферма.

          Старший сын Пьера Клеман-Самюэль, осознававший значение любимого увлечения отца для научного мира, после его смерти приложил все усилия, чтобы его открытия не были потеряны для всего человечества. Пять лет он собирал все заметки и письма Пьера, изучал неразборчивые надписи на полях «Арифметики» и вскоре издал книгу под названием «Диофантова Арифметика содержащая примечания Пьера де Ферма». В неё наряду с оригинальным текстом на древнегреческом языке и его латинским переводом Баше вошло 48 примечаний Ферма. Изучив книгу, математическое содружество поняло, что письма Ферма были лакомыми кусочками из сказочного сокровища открытий.

           Ферма внёс значительный вклад во многие области математики. Но больше всего его прославили работы по теории чисел. Он страстно был увлечен теорией чисел-наиболее древнейшей областью математики, которую получил в наследство о Пифагора и Диофанта. Пьера манили свойства чисел и отношения между ними. Особенно его занимали «невозможные» задачи-задачи, не имеющие решения.

          Несмотря на настойчивые просьбы отца Мерсенна, Пьер упорно отказывался раскрывать свои доказательства, а лишь формулировал созданные теоремы. Признание результатов для него ничего не значило. Он получал удовольствие от сознания, что в тиши своего кабинета может творить новые теоремы. Тактика формулирования проблемы и скрытия её решения имела под собой и практическую мотивацию: Ферма не имел времени подробно излагать полученные доказательства и избавляться от мелочных придирок ревнивых критиков, на которых пришлось бы тратить время и силы, чтобы разъяснять им ход своих мыслей.

          Но скромный и замкнутый гений не был чужд озорству: он подразнивал своих коллег, направляя им формулировки новых теорем без доказательств. Учёный как бы бросал вызов свои современникам, испытывая их способность самим найти выкладки. В этом - весь Ферма! Это вызывало у его коллег чувство горького разочарования и унижения. Рене Декарт называл Пьера «хвастуном», а англичанин Джон Валлис-«проклятым французом». К несчастью для англичан, Ферма доставляло особое удовольствие разыгрывать своих коллег по ту сторону Ла-Манша.

         Всю энергию, которую учёному удавалось сохранить после исполнения служебных обязанностей, он отдавал математике, и в свободное время с наслаждением предавался своему увлечению. По существу, Ферма был истинным учёным-любителем, человеком, которого Э. Т. Белл назвал «князем любителей». Но математический талант его был столь велик, что Джулиан Кулидж в своей книге «Математика великих любителей» исключил Ферма из числа любителей на том весьма веском основании, что тот «был настолько велик, что должен считаться профессионалом».

                                                     2.Малая теорема Ферма

             Малая теорема Ферма – одна из наиболее известных теорем о делимости. Сам Ферма, конечно, оставил свою теорему без доказательства. Первым, кому удалось его найти, был Готфрид Вильгельм Лейбниц, который не знал о результате Ферма и открыл теорему независимо. Но работа Лейбница не была опубликована, и доказательство (очень похожее) в 1736 году обнародовал Леонард Эйлер.

            Сформулируем малую теорему Ферма так: для любого простого числа p и положительного целого числа a разность ap-a делится на p без остатка.

            Сам учёный дал следующую формулировку:

            для любого простого числа p и положительного целого числа a, не кратного p,

 ap-1-1 делится на p без остатка.

            Очевидно, что эти формулировки равносильны. Если в разности ap-a вынести множитель a за скобки, то получим произведение a(ap-1-1). Если a кратно p, то первый множитель делится на p, а если a не кратно p, то второй множитель делится на p. 

             Дадим определение сравнения по модулю и факториала:

             пусть m – произвольное натуральное число. Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если a и b дают одинаковые остатки при делении на него. При этом пишут a≡b (mod m).

             факториал числа n – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n и обозначается n!.

             Тогда доказательство теоремы можно предложить в следующем виде:

             поскольку остатки от деления чисел a, 2a, 3a, … (p-1) a на p – это какие-то из чисел 1; 2; 3; …; p-1, то

             a*2a*3a*… …* (p-1) a≡1*2*3… …*(p-1) (mod p),

             откуда получаем:

             (p-1)!* ap-1≡ (p-1)! (mod p).

             Сократив на (p-1)!, получим ap-1≡1 (mod p).

             Что и требовалось доказать.

             При решении задач часто используется следующее утверждение:

Говорят, что два числа a и b сравнимы по модулю m, и пишут a≡b (mod m), если разность a-b делится на m.

             Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю m, то они при делении на m имеют один и тот же остаток r. Тогда

             a=sm+r

             b=km+r

             где s и k некоторые целые числа.

             Разность этих чисел a-b=m(s-k) делится на m. ЧТД 

             Малая теорема Ферма имеет широкое применение при решении задач, служит одним из способов распознавания простоты натурального числа и используется при доказательстве многих теорем теории чисел.

            А теперь рассмотрим несколько задач, решаемые с помощью данной теоремы.

            Пример 1. Каков будет остаток от деления:

а) 24 на 5;                                         б) 34на 5;                                     в) 36 на 7;

г) 56 на 7;                          д) 310 на 11;                        е) 810 на 11;                 ж) 5996 на 97?

           Решение. Так как во всех случаях показатель степени на 1 меньше простого числа, на которое делится эта степень, то получим в остатке 1.

            Пример 2. Найти остаток от деления 3102 на 101.

Решение. Так как 101 – простое число, то по мтФ верно сравнение 3100≡1 (mod 101).

            Умножим обе части на 9:

            9*3100≡9*1 (mod 101),

            3102≡9 (mod 101). Значит, искомый остаток равен 9.

             Пример 3. Доказать, что 7120-1 делится на 143.

Решение. Число на 143 = 11*13.

             По мтФ 710≡1 (mod 11) и 712≡1 (mod 13).

             По свойству сравнений an≡bn (mod m) получаем:

             (710)12≡1 (mod 11) и (712)10≡1 (mod 13). Тогда 7120-1 делится и на 11, и на 13, значит, разность делится и на 143. ЧТД

                                        3. Большая головоломка Ферма

              В мире очень мало людей, ни разу не слышавшие о Великой теореме Ферма. Пожалуй, это единственная математическая задача, получившая столь широкую известность и ставшая настоящей легендой. Во многих книгах и фильмах приводится о ней упоминание в контексте её недоказуемости.

• В телесериале «Звёздный путь» капитан космического корабля Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине 24 века. Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия с этим эпизодом была снята в 1989 году.
• В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол» профессор Саймон Флэгг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу снят научно-популярный фильм «Математик и чёрт».  
• В рассказе Кира Булычева «Мечта заочника» студент-заочник Гаврилов приходит к профессору и приносит купленную курсовую работу, в которой приводится доказательство теоремы, с просьбой объяснить, что он написал.
• В книге Стига Ларссона «Девушка, которая играет с огнём» главная героиня в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма.
• В мюзикле «Последнее танго Ферма», созданном в 2000 году по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса, главный герой завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему помешать.
• За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел отрецензировать рукопись романа «Последняя теорема», над которой он трудился в соавторстве с Фредериком Полом. Книга вышла уже после смерти Кларка.
• В рассказе Н. Дарьяловой «Великая и загадочная» сюжет строится на теореме Ферма.

             Почему же теорема так знаменита?  

             Мало ли доказанных и пока ещё не доказанных теорем? Тут всё дел в том, что Великая теорема Ферма представляет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Её формулировка очень проста и понятна даже ученику 5-го класса. А доказательство настолько трудное, что даже не всякий математик – профессионал его поймёт. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго.

             В чём же она состоит?

             В 1637 году, читая очередную задачу из «Арифметики» Диофанта, Пьер был поражён разнообразием и обилием пифагоровых троек – чисел, которые могут служить сторонами прямоугольного треугольника. Другими словами, в известной всему миру теореме Пифагора можно брать бесконечное количество троек натуральных чисел и всегда квадрат одного (гипотенузы) будет равен сумме квадратов двух других (катетов). Пьер вместо показателя 2 написал число 3. Это незначительное изменение невероятно преобразило равенство: оно стало неверным на всём множестве натуральных чисел. То есть, нет ни одной тройки натуральных чисел, для которых куб одного из них был бы равен сумме кубов двух других. Аналогично для чисел четыре, пять, шесть и до бесконечности. Как всегда, свои выводы Пьер пишет на полях рядом с читаемой задачей: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки».

             С этого высказывания начинается одна из самых волнующих страниц в истории математики – история доказательства Великой, Большой, Последней теоремы Ферма. Словно дразня потомков ложными надеждами, Ферма оставил короткое сообщение, с которого началась гонка за романтической мечтой продолжительностью 358 лет.

             За прошедшие после смерти гения столетия учёные смогли доказать почти все утверждения Ферма, тем самым удостоверившись в том, что он действительно для себя устанавливал их справедливость. И только Великая теорема не поддавалась. Так как она была последней недоказанной, то вместе с «Великой» её стали называть ещё и «Последней». И наконец, из-за существования в теории чисел «Малой» теоремы Ферма она получила ещё одно название - «Большая» теорема Ферма. Более трёх столетий все попытки доказать её терпели поражение. Она стала неприступной крепостью, покорить которую мечтал каждый математик. Это был вызов всему математическому миру: удастся ли кому-либо сравняться с Ферма по блеску ума?

            В записях Ферма приводится схема доказательства для случая с показателем четыре. Более века спустя математический гений восемнадцатого столетия Леонард Эйлер, единодушно признанный современниками «первым математиком мира», разобрал эти выводы Ферма и только через два десятилетия совершил крупный прорыв и решил в 1768 году данную задачу для третьей степени. При этом способ доказательства в корне отличался от приёма самого Ферма, который не давал решения для случая с тройкой.

           Прошло ещё полвека. В двадцатых годах девятнадцатого века Французская Академия Наук учредила в качестве награды золотую медаль и назначила премию в 3000 франков за разгадку «тайны Ферма». Может поэтому девятнадцатый век стал более плодородным в поиске загадочного доказательства, так как научному миру были представлены следующие частные случаи:

          - в 1825 году одновременно и независимо друг от друга немецким математиком Петером Густавом Дирихле и французом Адриеном Лежандром была установлена справедливость утверждения для пятой степени;

          - вскоре в 1839 году усилиям французского математика Габриеля Ламе поддался случай для седьмой степени. Одно время он даже вывел общий случай , но в рассуждениях была обнаружена ошибка, что стало глубочайшей душевной травмой для учёного;

          - самые серьёзные исследования рассматриваемого вопроса в девятнадцатом веке связаны с именем немецкого математика Эрнста Куммера, которому и была вручена вышеназванная награда. Он смог к 1847 году доказать теорему для всех простых степеней из первой сотни, исключая 37, 59, 67. Однако и с этими исключениями вскоре удалось справиться. К концу жизни Куммер (1810-1893) уже не рассчитывал доказать теорему в полном объёме, а лишь хотел установить её справедливость для всех простых показателей. Но и это ему не удалось.

         Зато Куммер смог показать, что полное доказательство лежит за пределами существующих в девятнадцатом веке математических подходов. Это был блестящий образец логики и в то же время чудовищный удар по целому поколению учёных, потративших многие свои творческие годы на решение этой умопомрачительно сложной задачи. После вывода Куммера погасли надежды учёных решить проблему, и в их глазах она стала романтической мечтой. Если кто-то втайне и пробовал найти её доказательство, вслух об этом уже не говорилось.

         В начале 20 века знаменитого немецкого математика Давида Гильберта спросили, почему он никогда не пытался доказать Великую теорему Ферма. Он ответил: «Прежде чем начать, я должен был затратить года три на усиленную подготовку, а у меня нет столько времени, чтобы так расточительно тратить его на решение проблемы, которое может закончиться неудачей».

          Новый всплеск в уникальной истории доказательства головоломки Ферма даёт оглашение завещание немецкого промышленника Пауля Вольфскеля. Эта история весьма интересна. Семья Вольфскелей славилась своим богатством и покровительством искусствам и наукам. И Пауль не был исключением. В университете он изучал математику и, хотя свою жизнь Пауль посвятил строительству империи семейного бизнеса, всё же он продолжал на любительском уровне заниматься теорией чисел. В частности, Вольфскель не отказался от мысли найти доказательство Великой теоремы Ферма.

          Вольфскель отнюдь не был одаренным математиком, и ему не было суждено внести заметный вклад в поиски доказательства теоремы. Но цепочка неординарных событий привела к тому, что его имя оказалось навсегда связанным с ней, и вдохновила тысячи людей заняться поиском её доказательства.

         История начинается с того, что Вольфскель увлёкся красивой женщиной, которая отвергла его. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни привёл в порядок свои дела, а в последний день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.

         Он трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему потерпели неудачу Коши и Ламе. Пауль внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера. Неожиданно ему показалось, что он обнаружил пробел в работе, сел за стол и принялся набрасывать свои предположения с таким увлечением, что не заметил наступления рассвета.

         Плохие (с точки зрения математики) новости состояли в том, что Великая теорема Ферма по-прежнему оставалась недоступной. Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить пробел в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.

         Он разорвал свои прощальные письма и переписал своё завещание. После его смерти последовавшей в 1908 году, завещание было оглашено и повергло семью Вольфскеля в шок: выяснилось, что Пауль завещал значительную часть своего состояния в качестве премии тому, кто сумеет доказать Великую теорему Ферма. Премия в 100000 марок (более 1000000 фунтов стерлингов в современных масштабах ) была той суммой, которую Вольфскель счёл своим долгом уплатить в награду за головоломную проблему, спасшую ему жизнь. Деньги были положены на счёт Королевского научного Гёттингена, которое в том же году официально объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля.

         Следует заметить, что Комиссия выплатила бы 100000 марок первому математику, который доказал бы, что Великая теорема Ферма верна, но тот, кто доказал бы , что теорема Ферма не верна, не получил бы и пфеннига.

         О премии было объявлено во всех математических журналах, и вести о конкурсе быстро распространились по всей Европе. Несмотря на широкую рекламную компанию, Комиссии не удалось вызвать особый интерес у серьёзных математиков. Профессиональные математики считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить своё драгоценное время на такое бесполезное занятие. Однако премии удалось внедрить проблему Ферма в сознание совершенно новой аудитории – невидимой армии молодых умов, жаждущих испытать себя на решении «дорогостоящей» неприступной головоломки и не видящих ничего зазорного в том, что они приступают к поиску доказательства с явно недостаточным багажом. Их назвали «ферматистами».

          Через несколько недель после объявления конкурса на соискание премии Вольфскеля на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Не удивительно, что все они до одного оказались ошибочными.

          Несмотря на 300-летние провалы учёных, теорема неудержимо влекла математиков. Она была сиреной, манившей гениев только для того, чтобы вдребезги разбить их надежды.

          В 1854 году в Японии суждено было встретиться двум начинающим математикам Ютаке Танияме и Горо Шимуре. По традиции, существующей и до сих пор, молодых аспирантов берёт «под крыло» профессор, руководящий их становлением как математиков. Ютаке и Горо отвергли такую форму ученичества и работали самостоятельно.

         В сентябре 1955 года в Токио состоялся международный симпозиум, на котором Танияма сообщил о результатах своей работы. Его идея была настолько необычна, что присутствующие сочли её забавным наблюдением и случайным совпадением. По их мнению, гипотеза Таниямы не имела под собой достаточных оснований. Она опиралась не столько на факты, сколько на интуицию. Единственным союзником Ютаки был Шимура, твердо веривший в силу и глубину идей своего друга. По истечении двух лет работы в Америке в качестве приглашенного профессора Шимура намеревался возобновить совместную работу с Таниямой, но этим планам не суждено было сбыться, 17 ноября 1958 года непонятый сообществом математиков Ютака Танияма от отчаяния покончил жизнь самоубийством.

         За свою короткую жизнь в математике Ютака Танияма внёс немало радикальных идей. Наиболее значительную из них настолько опередила своё время, что ему так и довелось увидеть, какое огромное влияние она оказала на теорию чисел. После смерти друга и коллеги Шимура несколько лет упорно собирал все новые и новые факты и логические доводы в пользу его гипотезы. Но он не мог доказать её верность. Первоначально утверждение стали называть гипотезой Таниямы-Шимуры в знак признания заслуг человека, впервые высказавшего её, и его коллеги, который развил гипотезу.

         Осенью 1984 года на симпозиуме в Германии математик из Саарбрюкена Герхард Фрей высказал утверждение, что, если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, то тем самым была бы доказана и Великая теорема Ферма как её следствие. Впервые за сотни лет появилась надежда, что труднейшую математическую проблему всё же удастся разрешить. Но в течении тридцати лет доказать гипотезу Таниямы-Шимуры никому не удавалась, и надежд на успех оставалось всё меньше.

         Один из наиболее одарённых математиков этого периода профессор Принстонского университета (США) Эндрю Уайлс: «Однажды вечером, в конце лета 1986 года, я попивал чай в гостях у своего приятеля. В беседе он между прочим упомянул о том, что Кену Рибету удалось доказать существование взаимосвязи между гипотезой Таниямы-Шимуры и доказательством Великой теоремы Ферма. Я почувствовал себя так, словно через меня пропустили мощный электрический разряд. Мне сразу стало ясно, что отныне ход моей жизни круто изменился: ведь от доказательства Великой теоремы Ферма меня отделяло теперь только одно препятствие: доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры. Значит, моя детская мечта не пустой звук, а вполне реальное дело, которым стоит заниматься. Не медля ни минуты, я отправился домой и принялся за работу».

          Чтобы понять суть его фразы, вернёмся в Кембридж 1963 года. Десятилетний худой конопатый рыжик Эндрю Уайлс по дороге из школы домой, как всегда, заглянул в библиотеку. На этот раз его выбор остановился на книге Э.Белла «Великая проблема». Он не мог оторвать взгляд от страниц, с которых перед ним, как джин из лампы, постепенно вырастала, казалось бы, простая, но недосягаемая великая математическая тайна. Завершив чтение, мальчик был озадачен, заинтригован. В нём загорелась страсть покорителя, и он немедленно принялся за работу – срочно доказать эту теорему. Его ничуть не смущало, что самые блестящие умы человечества здесь потерпели фиаско. Эндрю мечтал потрясти мир!

          В зрелом возрасте Уайлс вспоминал: «Она выглядела такой простой, и всё же великие в истории математики умы не смогли доказать её. Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента я никогда не смогу отступиться от этой проблемы. Я должен был решить её».

          В 1975 году Эндрю Уайлс поступил в аспирантуру Кембриджского университета. В ближайшие три года ему предстояло работать над диссертацией на соискание учёной степени доктора философии под руководством профессора Джона Коутса. В последнее десятилетие всё, что делал Уайлс, было направлено на подготовку к решающей схватке с Великой теоремой Ферма, но теперь, когда он вступил в ряды профессиональных математиков, ему приходилось быть более прагматичным. Как вспоминает Уайлс, он был вынужден временно отказаться от своей мечты. «Придя в Кембридж, я отложил Ферма в сторону. Не то , чтобы я забыл о теореме – она всегда была со мной, но я вдруг осознал, что те методы, которыми мы пытались доказать её, существовали уже около 130 лет. По-видимому, они не позволяли дойти до корней проблемы». Работая под руководством Джона Коутса, Уайлс быстро заслужил репутацию блестящего специалиста в своей области.

          С самого начала Эндрю вознамерился работать над доказательством в полной изоляции и секретности. В современной математике сложилась культура кооперации и сотрудничества, поэтому принятое Уайлсом решение, могло бы показаться возвращением в прошлое. Он как бы подражал образу действий самого Ферма, самому знаменитому из математических отшельников. Своё решение работать в обстановке полной секретности Уайлс отчасти объясняет желанием работать без помех, не отвлекаясь от основной задачи. Ещё одним мотивом избранного им курса на уединение и секретность была жажда славы. Уайлс опасался, что, когда он проделает основную часть доказательства, но ему не будет доставать заключительного элемента выкладок, весть о прорыве просочится наружу – и ничто не помешает какому-нибудь сопернику из числа коллег-математиков воспользоваться проделанной Уайлсом работой, завершить доказательство и похитить награду. Даже самые близкие его коллеги оставались в неведении относительно проводимых им исследований. О его тайне знал только один человек – его жена Нада.

          Эндрю с огромным рвением продолжил работу. Наконец, после шести лет упорного труда, Уайлс увидел свет в конце туннеля.

          23 июня 1993 года в Кембридже двести математиков сидели как завороженные, следя за густой мешаниной греческих букв и алгебраических символов, выводимых Уайлсом на доске. Лишь четверть из них понимала смысл записей, а остальные присутствовали для того, чтобы стать счастливыми очевидцами поистине исторического события. Поставив последнюю точку, сияющий учёный сказал: «Думаю, мне следует на этом остановиться». Зал в едином порыве встал и зааплодировал.

         А Эндрю ещё не подозревал о тех заключениях, которые не замедлили вскоре последовать. Через несколько месяцев один из экспертов Ник Катц обнаружил очень тонкий логический просчёт. Учёный решил собраться с духом и попытаться восполнить пробел. Прошло почти шесть месяцев, а ошибка так и не была исправлена. Все СМИ мира трубили о сенсационном провале. Многократная история провала протекала по известному сценарию: многолетний адский труд и упорство, надежда и радость сменились горьким разочарованием и отчаянием. То, что должно было стать моментом величайшего торжества и гордости, превратилось в предмет насмешек.

         Весной 1994 года, когда казалось, что ситуация не может быть хуже, на экраны компьютеров всего мира поступило следующее сообщение по электронной почте: «Сегодня в доказательстве Великой теоремы Ферма произошел поистине поразительный сдвиг. Наум Элькис заявил, что располагает контр примером. Таким образом, Великая теорема Ферма оказалась неверной!»

         Для Уайлса это был весьма чувствительный удар: причина, по которой ему никак не удавалось исправить доказательство, заключалась в том, что так называемая ошибка была прямым следствием ложности Великой теоремы Ферма. Через день или два поняли, что сообщение было первоапрельской шуткой канадского специалиста по теории чисел Анри Дармана.

         Однако, справедливость восторжествовала – мучительный, унизительный и отчаянный период жизни длиной в 14 месяцев завершился блестящим озарением, позволившим Уайлсу найти правильное решение проблемы. И в 1995 году в ведущем математическом журнале «Анналы математики» на 130 страницах было опубликовано всё доказательство Великой теоремы Ферма.

         Это величайшее событие в истории развития человеческой мысли Эндрю Уайлс прокомментировал так: «Мне выпало счастье осуществить в моей взрослой жизни то, что было мечтой моего детства. Я знаю, что это редкая удача. … Я был настолько поглощён доказательством, что не мог думать ни о чём другом. … Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрёл покой».

                                                                Заключение

         Исходя из вышеизложенного, я могу сказать, что математика не является сухой и нудной наукой. В её истории есть главы, посвящённые отдельным людям и открытиям, которые нельзя читать без волнения. Одной из таких глав является приведённая мною история жизни и деятельности Пьера де Ферма.

         Его Малая теорема имеет широкое применение при решении задач, служит одним из способов распознавания простоты натурального числа и используется при доказательстве многих теорем теории чисел.

         А для доказательства его Великой теоремы был проделан титанический труд многими поколениями математиков. История этого доказательства подобна многоступенчатой лестнице, преодоление каждой ступеньки которой стоило учёным огромных умственных, физических и душевных сил. Хотя сама теорема «стоит на краю» математических исследований, особого применения не имеет, но все попытки её доказательства дали ощутимый толчок развитию математики. Именно в этом и состоит её научная значимость. Романтические оптимисты верят в существование гениально простого доказательства самого Ферма, основанного на элементарных методах 17 века, и не теряют надежды открыть его.

         В результате проведённой работы расширился мой общий кругозор:

         - я пополнила свои знания в области делимости чисел Малой теоремой Ферма, не изучаемой в школьном курсе;

         - познакомилась с понятием сравнение по модулю, также не изучаемым в школьном курсе;

         - узнала формулировку Большой теоремы Ферма и увлекательную историю её доказательства;

         - изучила биографию уникального учёного Пьера де Ферма.

                                         Библиографический список

1.  А.В.Деревянкин и многочлены. Методическая разработка для учащихся заочного отделения. М. 2008.- 10,17,19,20,23,28 стр.

2.  Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М.:Просвещение,1981. 11,73стр.

3.  Меркулов М.Ю. История доказательства Великой теоремы Ферма – CoolReferat.com>

4.  Малая теорема Ферма – globuss24.ru>Разработки>malaa-teorema-ferma

5.  Малая теорема Ферма. kvant.mccme.ru

6.  Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.:Педагогика,1985.- 310,311 стр.

7.  Самин Д.К. 100 великих учёных. Kovalencko.ucoz.ru>Elektron_book

8.  Саймон Сингх. Великая теорема Ферма. – ega-math.narod.ru

9.  Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М.:Наука,1984.- 142,144 стр.

10.  wiki.org>ru/Великая_теорема_Ферма