Проценты в нашей жизни

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Новосибирска    «Средняя образовательная школа №59»

Секция математики

Тимошенко Богдан Игоревич

6 «А» класс

Проценты в нашей жизни

Руководитель: Синягина Ирина Львовна

учитель математики

первой квалификационной категории

Контактный телефон: ______________

Новосибирск – 2012

Введение

1. Формирование понятия процента от средних веков до нового времени…………………………………………………………………………4
2. Основные три вида задач на проценты……………………………………6
3. Примеры задач из жизни……………………………………………………7
4. Решение задач на проценты с помощью пропорции……………………..10

4.1. Понятие пропорции……………….……………………..…………….11

2. Прямая пропорциональная зависимость………………………………12
3. Обратно пропорциональная зависимость……………………………..13

Заключение…………………………………………………………………….14

Список литературы……………………………………………………………15

Введение

Исторически сложилось так, что проценты привычно употребляются в обиходе, в разговоре, в средствах массовой информации для того, чтобы по возможности кратко сообщить количественную информацию о сравнении данных, характеризующих различные ситуации. Я обратил на них внимание ещё в пятом классе, изучая тему «Проценты»и понял, что они встречаются не только в математических задачах, но и в жизни. Я заметил их в составе продуктов и на товарных ярлычках; услышал о них по телевидению и заметил в газетной рекламе.

Например, часто приходится слышать, что некоторый товар подешевел на 10%, молоко содержит 3,2% жира, материал состоит из 95% хлопка и 5% эластана, рейтинг телеканала ТНТ равен 75%, в выборах приняли участие 55% избирателей, Сбербанк начислил 8% годовых, налог с зарплаты берётся в размере 13%.

Решая задачи в шестом классе по темам «Нахождение дроби от числа», «Нахождение числа по его дроби» и «Отношения», мы по заданию учителя подбирали задачи из жизни. Эта работа меня увлекла, и я решил обобщить свои знания.

Таким образом, целью моего исследования стало обобщение знаний по теме «Проценты». Для достижения данной цели я поставил перед собой следующие задачи:

1. изучение исследовательской и научной литературы,
2. рассмотреть историю понятия процента,
3. выделить основные виды задач на проценты,
4. рассмотреть основные способы решения данных задач.

В своей работе мной были использованы теоретические методы (анализ и  синтез), математические методы (анализ статистических данных и их визуализация) и практическое решение задач.

1. Формирование понятия процента: от средних веков до нового времени

Слово «процент» произошло от латинского слова procentum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли им быстро определять сумму процентных денег. Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась. Введение процентов оказалось удобным для оценки содержания одного вещества в другом. Они стали незаменимы в страховании, финансовой сфере, в экономических расчётах. В процентах выражают ставки налогов, доходность капиталовложений, темпы роста экономики и многое другое. Их часто привлекают для наглядного описания изменения измеряемых величин, как числовую характеристику.

Рассмотрим такую ситуацию: из 864 избирателей за Иванова проголосовали 327 человек. Как охарактеризовать «степень» его у спеха, как «далеко» он оказался от «полной победы»? Ясно, что Иванов собрал  долю общего числа голосов или, в десятичных дробях 0,378472… .Такая запись результата очень тяжеловесна, и потому её удобнее представлять в форме «сколько-то на сотню», т.е. в процентах, что составит ≈ 38%.

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/) ,возник современный символ для обозначения процента.

Pro cento ^ cento ^ cto ^ c/o ^ %

В учебнике Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова и С.И. Шварцбурда «Математика 5», вышедшим в 1996 году в издательстве «Мнемозина» в рубрике «История математики» (с 337) дана ещё одна любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошёл в результате нелепой опечатки, совершённой наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

  Процентом называется сотая часть какой-либо величины. Его обозначают знаком %. Например: 13%, 115%, 4,3%. Если данное число принять за 1, то 1% составит 0,01 этого числа. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, достаточно число процентов разделить на 100 (или умножить на 0,01). Например: 13% = 0,13; 115% = 1,15; 4,3% = 0,043; 2%== ; 93% = .

При вычислительных расчетах часто пользуютсяпроцентами, выраженными десятичными или обыкновенными дробями.

2. Основные три вида задач на проценты

По смыслу  различают три вида задач на проценты:

Схема № 1

3. Примеры задач из жизни

Вид №1.

1. Пара носков стоит 30 рублей. Какое количество денег придётся заплатить за 5 пар таких носков во время распродажи, когда скидка 15%.

Решение:

1) 30 × 0,15=4,5(руб.)- составляет скидка

2) 30-4,5=25,5(руб.)- 1 пара во время скидок.

3) 25,5×5=127,5(руб.)

Ответ: 127,5 рубля придётся заплатить за 5 пар.

2. Налог на доход- 13% от зарплаты. Зарплата Ивана Кузьмича равна 12000 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

Решение:

1)12000×0,13=1560(руб.)-сумма вычетов.

2)12000-1560=10440(руб.)

Ответ: 10440 рублей И.К. получил после вычета налогов.

3. В июне 1 кг огурцов стоил 50 руб. В июле огурцы подешевели на 20%. А в августе ещё на 50%. Сколько рублей стоил 1 кг огурцов после снижения цены в августе.

Решение:

1)50×0,2=10(руб.) - составляет скидка в Июле.

2)50-10=40(руб.) – цена огурцов в Июле.

3)40×0,5=20(руб.) – составляет скидка в Августе.

4)40-20=20(руб.) – цена огурцов в Августе.

Ответ: цена огурцов в Августе составляет 20 рублей.

4. В одном магазине утюг «Scarlett» стоит 1200 руб., а в другом 1800 руб. В обоих магазинах сделали скидку: в 1- на 25%, во 2- на 50%. Какой утюг вышел дороже?

Решение:

1)1200×0,25=300(руб.) – скидка в 1 магазине.

2)1200-300=900(руб.) – стоимость в 1 магазине.

3)1800×0,5=900(руб.) – скидка в 1 магазине.

4)1800-900=900(руб.) – стоимость во 2 магазине.

Ответ: в обоих магазинах утюг стоит 900 рублей.

1. В городе 19950  детей в возрасте до 15 лет и это 21% всех жителей. Сколько  человек проживают в городе?

Решение:

1)19950 ÷ 0,21=95000(чел.)

Ответ: 95000 человек проживают в городе.

2. Положив некоторую сумму в банк, вкладчик получил через год  14300 рублей. Какую сумму он положил в начале года на срочный вклад, если банк начисляет 10% годовых?

Решение: через год вкладчик получит 110% вложенной суммы.

1)14300 ÷ 1,1=13000(руб.)

Ответ: 13000 рублей вложил вкладчик в банк.

1. Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от стоимости покупки. Пакет сока стоит в магазине 70 руб., а пенсионерам платит за него 65 руб. 10 коп. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Решение:

1) 65,1÷70*100=93% - платит пенсионер.

2)100-93=7% - скидка для пенсионеров.

Ответ: скидка для пенсионеров составляет 7%.

2. В 6 «А» классе 30 человек. Из них 18 человек – отличники и хорошисты. В 6 «Б» классе 25 человек. Из них 15 человек – отличники и хорошисты. В каком классе выше качественная успеваемость?

Решение:

1) 18÷30×100=60% - кач-воуспеваемости в 6 «А» классе.

2) 15 ÷25×100=60% - кач-воуспеваемости в  6 «Б» классе.

Ответ: качество успеваемости в обоих классах одинаково.

3. Мобильный телефон стоит 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Решение:

1) 3500 – 2800 = 700 (руб.)настолько снизили стоимость телефона.

2) 700÷ 3500 × 100 = 20%

Ответ: скидка на мобильный телефон 20%.

4. Решение задач на проценты с помощью пропорции

Решать задачи на проценты можно и с помощью пропорции.  Например, мои родители и бабушка так и поступают. Я провёл такое исследование в нашей школе: попросил выпускников 9 классов решить задачу 1вида: В магазине «Рембыттехника» на телевизор марки «LG» стоимостью 15900 рублей предоставлена скидка 20%. Сколько денег сэкономит покупатель по этой скидке?   Результаты моих исследований таковы: умножением на проценты (выраженные десятичной дробью) решают 15%, по действиям – 10%, с помощью пропорции – 70%, и вообще не умеют решать такие задачи – 5%.  Результаты я представил на диаграмме.

4.1 Понятие пропорции

Пропорцией называется равенство двух отношений. Вспомним, что отношением называют частное двух чисел, и оно показывает, восколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Например: число 2 от 7 составляет  , а отношение  показывает, что число 9 в 2,25 раз больше 4.

Представим пропорцию в виде следующего равенства двух отношений  = или а ÷b = c÷d. Здесь а и d– крайние члены пропорции, bи с – средние.

Верная пропорция обладает таким свойством: произведение её крайних членов равно произведению средних членов.  Используя это свойство, всегда можно найти её не известный член, если все остальные члены известны.

Например:  = ; x×c = a×d; x = ;

4.2 Прямая пропорциональная зависимость.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз и тогда отношения соответвующих значений этих величин равны.

Так как 1% это 0,01 часть какой – либо величины, то всю исходную величину можно принять за 100%.

Задача 1:  Железнодорожный билет для взрослого стоит 270 рублей.  Стоимость билета для школьника составляет 30% от стоимости билета для взрослого. Сколько рублей стоит билет для школьника?

Решение:  Зависимость между стоимостью билета в рублях и стоимостью в процентах прямо пропорциональна.

Составим отношения соответствующих величин и найдём х.

  = ; х = ; х = 81.

Ответ: 81 рубль стоит билет школьника.

Задача 2 Компьютер со скидкой в 8%  по дисконтной карте стоил 11500 рублей. Какую сумму заплатил Миша при покупке компьютера, ели у него нет дисконтной карты?

Решение:  Так как скидка равна 8%, то 11500 руб. соответствует

100% – 8% = 92%, а полная стоимость компьютера 100%.

  = ;  х = ;  х = 12500

Ответ: 12500 рублей заплатил Миша при покупке компьютера.

4.3 Обратно пропорциональная зависимость.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении(уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается)  во столько же раз и тогда отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Задача 1:Сколько граммов воды надо добавить к 50г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствора?

Решение: Пусть надо добавить х г. воды, тогда получим (50 + х)г. раствора. Чем больше воды в растворе, тем меньше будет в нём процентное содержание соли. Значит это обратно пропорциональная зависимость. Составим и решим пропорцию.

         Кол-во воды в р-ре(г)                   % содержание соли

                       50                                                    8%

50+х                                                5%

 =;  5(50+х)=50×8; 50+х=400÷5; 50+х=80; х=30.

Ответ: надо добавить 30 грамм воды.

Задача 2: Пробежав дистанцию со скоростью 15 км/час, атлет затратил 96% времени по сравнению с прошлым рекордом. С какой скоростью установил он прошлый рекорд?

Решение: Чем больше скорость у атлета, тем меньше времени он затратит на одну и ту же дистанцию. Значит скорость и время обратно зависимые величины.

Составим и решим пропорцию.

 =;  х = ; х=14,4

Ответ: 14,4 км/ч скорость, с которой спортсмен установил прошлый рекорд.

Заключение.

Выбранная тема помогла мне обобщить полученные на уроках знания по теме «Проценты», четко выделить основные виды задач и способы их решения. Найденный в исследовательской и научной литературе материал по истории развития этого понятия укрепил меня во мнении, что это действительно практически значимая тема, ведь недаром процентами пользовались люди еще в Vвеке нашей эры. Эта тема востребована и в настоящее время. В жизненных ситуациях понятие процента встречается очень часто и помогает наглядно охарактеризовать изменение той или иной величины: с какой скидкой лучше купить товар; какая часть примесей содержится в продукте; сколько будет стоить билет школьника со скидкой от цены взрослого билета; в каком банке выгодней заключать договор.

Эту тему надо знать глубоко тем, кто собирается стать экономистом, фармацевтом, банкиром, социальным работником и др. Я еще не совсем решил, кем стану, но понимаю, что математику надо знать хорошо, т.к. она позволяет решать многие практические задачи. Задачи на проценты – один из таких видов. Я думаю, что каждый человек должен уметь выполнять какие – либо стандартные расчеты с процентами для прогнозирования или получения тех или иных результатов. Мои наблюдения при проведении опроса учащихся 9х классов и взрослых (родителей и родственников) показали, что самым распространённым является способ решения задач на проценты с помощью пропорции. Мне тоже этот способ кажется самым удобным. Кроме того, я заметил, что часто встречающиеся в жизненной ситуации задачи отражают связь между прямо пропорциональными величинами.

Работать по данной теме мне было интересно потому, что  я понимаю, что такое проценты и как решать задачи с ними. Это приносит удовольствие и дополнительные знания, нужные в жизни.

Список литературы.

1. Математика: 5кл./ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др – М.: Мнемозина, 2010 г.
2. Математика: 6 кл./ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др – М.: Мнемозина, 2011 г.
3. Математика: 6 кл./Э.Р.Нурк, А.Э.Тельгмаа –М.:Просвещение, 2000 г.
4. Математика: тема «Алгебра»: тестовые задания базового и высокого уровня сложности (АВС – Азбука ЕГЭ) / А.П. Власова, Н.И. Латанова и др – М.: АСТ: Астрель, 2011.
5. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математики. Все задания группы В / А.Л. Семенов, И.В. Ященко и др. – М.: Экзамен, 2012.
6. festival.1september.ru/articles/521494 «Развитие межпредметных компетенций по средством устных упражнений с использованием ИКТ на уроках математики».