Квадратные уравнения

Опубликовано Горяева Светлана Викторовна вкл 07.11.2021 - 19:07

Автор:

Сасыкова Арина

Скачать:

Вложение	Размер
kvadratnye_uravneniya.docx	69.78 КБ

Предварительный просмотр:

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0, а x – неизвестное. Выражение {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ax2 + bx + c называют квадратным трёхчленом.

а называют первым или старшим коэффициентом, {\displaystyle b}b – вторым, средним или коэффициентом, {\displaystyle c}c – свободным членом.

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля:

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого нужен дискриминант.

D>0

D=0

D<0

Корни квадратного уравнения:

ax2+bx+c=0

Два различных корня

Один корень (два равных)

Нет корней

Пример 1: Решите квадратные уравнения.

x2 − 8x + 12 = 0;

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня.

5x2 + 3x + 7 = 0;

a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет.

x2 − 6x + 9 = 0.

a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один

Решение неполных квадратных уравнений

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член, либо сразу оба), равен нулю: ;

Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0.

Пример 2

x1=6 x2= -6 нет коней

Пусть с =0, тогда получаем ax2 + bx = 0.

Вынесем общий множитель за скобку:

иди

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

b = c = 0, уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x=0

приведенное квадратное уравнение. теорема Виета

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице:{\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a}},\quad q={\frac {c}{a}}.} или

Прямая теорема Виета и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле.

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел{\displaystyle x_{1},x_{2}}, будучи решением системы уравнений , являются корнями уравнения {\displaystyle x^{2}+px+q=0}:{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}}

Пример 3:

x1= - 9 x2=2

Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Формулы подходят для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0 , где

Пример 4:

Любой квадратный трехчлен можно разложить на множители по формуле: , где x1, x2 – его корни

Тогда

1. Найдите корни уравнения .