Алгебраическая техника
элективный курс по алгебре (10 класс) на тему

Авторская педагогическая разработка

 адаптационного типа

Программа элективного курса для 10, 11 классов

«Алгебраическая техника»

(10 кл. 0,5 ч в неделю, всего 17 часов

11 кл. 1 ч в неделю, всего 34 часа)

г. Шелехов’ 2012

Пояснительная записка

В связи с изменениями в обществе в последние годы резко повысилась роль образования в жизни каждого человека. В условиях стремительно возрастающего объема информации человеку необходимо не только владеть определенной суммой знаний, умений и навыков, но и уметь адаптироваться к новым условиям жизни: ориентироваться в различных ситуациях; аккумулировать, критически оценивать и находить пути решения возникающих проблем; ставить перед собой цели и достигать их; организовывать собственную деятельность; владеть средствами коммуникации; добывать информацию и пользоваться ею.

Алгебра является одним из опорных предметов школы, можно сказать, она обеспечивает изучение многих других дисциплин. В первую очередь, конечно, это относится к предметам естественно-научного цикла, в частности, к физике. Развитие логического мышления обучающихся при изучении алгебры способствует усвоению предметов гуманитарного цикла. Практические умения и навыки алгебраического характера необходимы для трудовой и профессиональной подготовки обучающихся.

Сам предмет алгебры преподается в школах с 7 класса по 11 класс, в нем ставятся задачи обучению конкретным умениям и навыкам по изучаемым темам. В многочисленных методических пособияхрассказывается как это делается, но мало в них уделяется внимания развитию ключевых компетенций. А для оптимального усвоения алгебры необходим алгоритмический аппарат ее изучения: это рациональность в выполняемых действиях; это рефлексия своего труда с оценкой своей деятельности в соответствии с позициями:

1. Что я делаю;
2. Зачем я делаю;
3. Как я делаю;
4. Что я получил.

Данные компетенции помогут развить уобучающихсяобщеучебные универсальные умения и навыки, которые помогут им в получении качественного среднего образования, а потом и высшего.

Цель курса: сформировать рациональные умения и навыки в изучении курса алгебры.

Задачи: 1) в 10 классе на простейших примерах разобрать приемы алгебраической техники; 2) в 11 классе отработать данные приемы в конкретных темах предмета.

Общая характеристика курса

Элективный курс будет распределен на 2 года: в 10 классе изучение приемов и их отработка на простейших примерах; в 11 классе применение навыков алгебраической техники к более сложным темам алгебры.

В 10 классе будут изучены следующие алгоритмические приемы:

Вычислительная техника.

Рациональные предметы счета помогут обучающимся упрощать и экономить время работы над задачей. Это признаки делимости, формулы сокращенного умножения, приемы использования распределительного, сочетательного и переместительного законов.

Модуль в многообразии его формул.

В работе с модулем используются более 8 приемов применения его свойств. Все эти приемы хороши, но только нужно уметь ориентироваться какой подход, где более оптимален.

Параметр в многообразии его применения.

Данная тема усваивается очень трудно, а потому потребуется отработка подходов к типажам таких задач с созданием алгоритмов их решения.

Нестандартные задачи с точечными приемами.

В ЕГЭ задачи типа С – это исследовательские задачи (особенно С5 и С6), а потому, чтобы овладеть техникой работы с такими задачами, надо дать учащимся нестандартные приемы работы.

Алгоритмизация оптимальных подходов.

На конкретных задачах попытаться обучить составлять алгоритмы решения ее и выбирать оптимальный подход.

«Изюминки» олимпиадности.

Олимпиадные задачи трудны тем, что это авторские задачи и приемы их решения тоже авторские, догадаться о которых трудно. Надо научиться выходить из любой нестандартной ситуации, т. е. приобрести навыки анализа и синтеза.

В 11 классе будет выполняться отработка полученных навыков в конкретных темах курса алгебры:

1. Тригонометрия;
2. Степени и корни;
3. Показательная и логарифмическая функции;
4. Трансцендентность.

Требования к результатам обучения и усвоению содержания курса

Усвоение данного курса даст возможность обучающимся оптимально организовывать свой учебный труд при изучении алгебры, т.е. умение быстрее и рациональнее выполнять алгебраические задачи, также умение проводить рефлексию выполненного.

Данный курс в учебном плане является курсом по выбору, а потому в 11 классе можно проводить контрольную работу с обучающимися посещающими курс и не посещающими. Оптимальность курса определится успешностью в этой работе тех учащихся, которые обучались на нем.

Тематическое планирование

0,5 ч в неделю 10 класс, итого 17 часов

1 ч в неделю 11 класс, итого 34 часа

10 класс

11 класс

Практическое содержание курса

Вычислительная техника

Применение распределительного, сочетательного и переместительного законов при вычислении:

Пример 1. Вычислить  

Решение:

=

Ответ: 1

Самостоятельно: 1)  Ответ: 1

                                 2)  Ответ: 1

Пример 2. Доказать, что число 31∙34∙37∙40+81 можно представить как произведение двух одинаковых натуральных чисел.

Решение:

Пусть 31=х, тогда

что и требовалось доказать. Можно и посчитать: (961+279+9)2=12492

В этом задании можно не вводить t, тогда решение будет таким:

Самостоятельно: 1) Доказать, что число 370∙371∙372∙373+1 можно представить как произведение двух одинаковых множителей.  Ответ:

2) Доказать, что число 107∙109∙111∙113+16 можно представить как произведение двух одинаковых натуральных чисел. Ответ:

Пример 3. . Найти значение выражения

Решение:

1 способ: т.к. , то х=2у

2 способ: т.к. , то . Разделим числитель и знаменатель на

Самостоятельно: 1) Пусть . Найти значение выражения

Ответ:

2) Пусть . Найти значение выражения  Ответ:

Пример 4. Вычислить

Решение:

Самостоятельно: 1) Вычислить     Ответ:

2) Вычислить      Ответ:

Применение формул сокращенного умножения

Перед изучением повторить все формулы сокращенного умножения, вывести

Пример 1. Вычислить

Решение:

Ответ: 0

Самостоятельно: 1)  Ответ: 0

2)   Ответ: 0

Пример 2. Вычислить

Решение:

Ответ: -5,7

Самостоятельно: 1)  Ответ: 15

2)  Ответ: -11

Пример 3. Вычислить

Решение:

Ответ: 6

Самостоятельно: 1)    Ответ: 9

2)   Ответ: 16

Пример 4. Вычислить

Решение:

Ответ: 1

Самостоятельно: 1)    Ответ: 1

2)   Ответ: 1

Модуль в многообразии его формул

В работе с модулем должно быть четко отработано определение модуля

 и его геометрический смысл: это расстояние от числа а до 0, а значит, сделан важный вывод  при всех а.

Преобразования с модулем имеют более 8 подходов, надо остановиться на универсальном, особых случаях и законах модуля. В первую очередь, необходимо умение строить графики, т.к. графические представления придадут наглядность вычислениям, помогут решить некоторые задачи (особенно, с параметрами), а в некоторых из них произвести проверку и научиться возможности избегать ошибок.

Пример 1. Построить график функции  и ответить на вопросы:

а) какова область значения функции;

б) найти наибольшее и наименьшее значения функции;

в) найти нули функции;

г) решить уравнения 1)

                                     2)

                                     3)

Решение:

Для построения используем контрольные точки, в которых модуль равен нулю.

1) х=-2 и х=1 контрольные точки раскрытия модуля.

2)                                  

3)

4)

Ответы на вопросы:

а) Е(у)=[-3;3] ; б) унаиб=3; унаим=-3 ; в) у=0 при

г) задание выполним, используя графическую иллюстрацию решения систем.

1)

2)

3)

Самостоятельно: Построить график функции , придумать вопросы и ответить на них.

Пример 2. Построить графики функций.

а)

б)

 т.е. при всех х значения

в)

если

если то

Симметрия относительно оси у

г)

в данном случае  берут те х, при которых выполняется это неравенство

        Можно рассуждать и так: если у>0 ; если

д)

в данной функции все х и все у имеют право быть из функции

              Самостоятельно: Построить графики функций:

Пример 3. Решить уравнение:

Решение:

Т.к. , а , то уравнение можно записать в виде

Ответ:

Самостоятельно: Решить уравнения: 1)  Ответ:

2)  Ответ: 4

Пример 4. Решить неравенство:

Решение:

Т.к. , то  или

Самостоятельно: Решить неравенства:

1)     Ответ:

2)     Ответ:

Пример 5. (для 11 класса) Использование некоторых свойств модулей:

1)  если  

2)  если  

3)  

4) ,где

5)

Параметр в многообразии его применения

При работе с параметром, надо уметь определять вид уравнения и алгоритмы его решения. Исходя из этого, отвечать на вопрос: «Через какое число «шагает» параметр?». Далее проводить исследования в данных точках и во всех промежутках, на которые они разбивают числовую прямую. Важно уметь правильно записать ответ.

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

Т.к. все х в 1 степени, уравнение линейное. В общем виде его решение таково:

ax=b

1) если a=b=0, то 0х=0  Ответ: (бесконечно много корней)

2) если a=0; b≠0, то 0х=b Ответ: корней нет

3) если а≠0; , то ах=b Ответ:  (один корень)

Приведем данное уравнение к виду ах=b

Исследуем коэффициенты

Значит параметр «шагает» через эти 2 числа.

Пусть а=2, тогда 0х=4, то корней нет

Пусть а=-2, тогда 0х=0,

При всех а≠±2,  единственный корень

Т.к. надо было решить уравнение, то ответ будет иметь запись: перебора всех а числовой оси и ответ на задание.

Ответ: 1) если а=-2, то

2) если а=2, то корней нет

3) если а≠±, то