Школьная Конференция проектных и исследовательских работ учащихся

«Новое поколение»

Секция «Точных наук и новых технологий»

Исследовательская работа

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ КАК УНИВЕРСАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В НАШЕЙ ЖИЗНИ.

Арзуманян Марета Арташесовна,

Арзуманян Ангелина Арташесовна

обучающиеся  9В и 11А классов

МБОУ СОШ №14 п.Пятигорский

Предгорного муниципального округа

Ставропольского края

                                                                      Научные руководители:

                                                                         Вихлянцева Марина Петровна,                                        

                                                                               учитель математики,

                                                                               тьютор открытой студии «РОСТ»,

                                                                               Балацкая Татьяна Алексеевна,

                                                                               учитель химии,

                                                                               тьютор открытой студии «РОСТ»

п. Пятигорский – 2022 год

Оглавление

1. Введение…………………………………………………………….…..3
2. Глава 1. Арифметическая  и геометрическая прогрессии как как математические модели реальных ситуаций  ……..…………………4

1. История возникновения арифметической и геометрической прогрессий…………………………………………………….….5
2. Арифметическая и геометрическая прогрессии…………....….7

Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни………………………………………………………………….....9

1. Арифметические и геометрические прогрессии в повседневной жизни……………………………………………..9
2. Кефир : Мацони. Битва кисломолочки..………………………12

3. Заключение………………………………………………………….....14
4. Библиографический список..………………………………………....15
5. Приложение

Введение

Математическая модель - очень простое понятие. И очень важное. Именно математические модели связывают математику и реальную жизнь.

Говоря простым языком, математическая модель - это математическое описание любой ситуации. И всё. Модель может быть примитивной, может быть и суперсложной. Какая ситуация, такая и модель.

В любом деле, где нужно чего-нибудь посчитать да рассчитать - мы занимаемся математическим моделированием. Даже если и не подозреваем об этом.

Актуальность работы заключается в том, что математические модели всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, они являются ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Математика и математические модели встречаются и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные математические навыки нужны каждому человеку. Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью.

В курсе алгебры мы изучаем числовые последовательности. Изучили  арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии.

Найдя ответы на вопросы: имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика возникла  из практических нужд человека, что математические прогрессии являются универсальными моделями и связывают математику с реальной жизнью и  являются  частью общечеловеческой культуры.

Объектом исследования: геометрическая и арифметическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение математических прогрессий.

Гипотеза исследования: если математика возникла из практических нужд человека, то и математические прогрессии, как универсальные математические модели, имеют определенное практическое значение.

Цель исследования: установить картину возникновения понятия математической прогрессии и выявить примеры универсальной модели ее применения.

Задачи исследования:

1. Выяснить:

• когда и в связи, с какими потребностями человека появилось

понятие последовательности, в частности – математические прогрессии;

• какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и      

практических знаний по изучаемой проблеме;

• теоретические основы геометрической и арифметической.

прогрессий.

2. Установить:

• имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?
• являются ли данные математические прогрессии универсальными моделями?
• найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.           

 Методы исследования:

•  анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета;
• обобщение найденных фактов в учебниках по физике,  химии,  биологии, экологии, экономики, литературе  и в медицинских справочниках.

В данной работе, мы отразим применение математических прогрессий в повседневной жизни, и покажем, что математика является частью общечеловеческой культуры.

Глава 1. Теоретические основы арифметической  и геометрической прогрессий

1. История возникновения арифметической и геометрической прогрессий

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Так еще в III  в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ получения  n-го члена последовательности простых чисел. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».

Идея предела последовательности восходит к V-IV вв. до н. э. Прогрессии  - частные виды числовых последовательностей – встречаются в памятниках II тысячелетия до н.э. [1].

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.  Например, вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия: « 10 братьев,    мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько он выше?»

При решении вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни готовых формул, вынужден придержаться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля    мины на 10 и получая     мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть   мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет  мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т.е. разность прогрессии, равная    от  мины, или  мины. [1].

А вот, например, задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна   меры»  [1].

Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеются и в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих. Примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются и в индийских «сиддхантах».

        В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержатся выкладки о приплоде от скота и пчел за известный промежуток времени, о количестве зерна, собранного с определенного участка земли, и т.д.

        Таким образом, первые задачи дошедшие да нас на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как например, распределение продуктов, деление наследства, приплод скота, наблюдениями над явлениями природы и т.д.

        Однако, слово «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед»)  в первые встречается у римского автора Боэция (V-VI в.). Первоначально под прогрессией понимали  всякую  числовую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В конце средних веков и в начале нового времени это  термин перестает быть общеупотребительным. В XVII в., например, ДЖ. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Так, Ариабхатта (V в.) знал формулы общего члена, суммы арифметической прогрессии и др. Магавира (IX в.) пользуется формулой суммы квадратов натуральных чисел

и другими более сложными конечными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202 г.) Леонардо Пизанского (Фибоначчи). В «Науке о числах» (1484 г.) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII в.[1]

В настоящее время прогрессии рассматриваются, как частные случаи числовых последовательностей.

1. 2. Арифметическая и  геометрическая прогрессии

В толковом словаре понятия арифметической и геометрической прогрессии даются следующим образом:

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем прибавления  или вычитания некоего постоянного числа.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем умножения или деления на некое постоянное число [4].

В школьном курсе математики 9 и 11 классов, понятия геометрической и арифметической прогрессии дается следующим образом:

Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической. При этом число d называют разностью прогрессий.           

Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если , и убывающей, если .

Формула  n-члена арифметической прогрессии.   

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Верно и обратное: если последовательность  такова, что для любого  выполняется равенство

то  - арифметическая прогрессия.

Теорема: Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.      

Определение.  Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.                  

Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого  выполняется равенство                                                                                                                    

то  - геометрическая прогрессия.

Теорема:  Числовая последовательность является   геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

                                                   [2].    

Таким образом, в первой главе нами  было выяснено,  когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и   практических знаний по изучаемой проблеме; рассмотрены теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.

Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни

1. Арифметические и геометрические прогрессии в окружающей нас жизни

Первые задачи, дошедшие да нас на прогрессии, были  связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практикой. Так и в наше время формулы арифметической и геометрической прогрессии используются  при подсчёте данных в программировании, экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии, экономике, статистике, а также и в повседневной жизни. Рассмотрим примеры применения более подробно:

1. Химия: при повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химической реакций растёт по геометрической прогрессии. При повышении температуры от +20 до + 60 градусов, скорость реакции увеличивается в 150 раз;
2. Физика: нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на 2 части, получаются 2 нейтрона. Затем 2 нейтрона, ударяя по двум другим ядрам, раскалывают их ещё на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия;
3. Литература: даже в литературе мы встречаемся с математикой. Так, вспомним строки из «Евгения Онегина».

…Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить…

Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,

4, 6, 8… .  Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом  2 и разностью прогрессии 2.

«Мой  дЯдя  сАмых  чЕстных прАвил…» (А.С.Пушкин)

Прогрессия 2,  4,  6,  8…

«Так бей, не знай отдохновенья,
Пусть жила жизни глубока:
Алмаз горит издалека - 
Дроби, мой гневный ямб, каменья!» (И. Блок)

Прогрессия 2,4,6, 8, 10,12…

 Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов  образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…

«Я  пропАл ,  как  звЕрь  в  загОне…» (Б.Л.Пастернак)

Прогрессия 1,  3,  5,  7…

Листья падают в саду…
В этот старый сад, бывало,
Ранним утром я уйду
И блуждаю, где попало. (И.Бунин) [10].

4. Биология: в микробиологии также работают законы математики. Так, микроорганизмы размножаются делением пополам. При наличии благоприятных условий и через одинаковый промежуток времени их количество удваивается, например:   летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.  Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ:  b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

5. Экономика: прогрессия имеет очень широкое применение в экономике. С её помощью банки производят расчеты с вкладчиками, определяют, какие средства можно разместить в кредиты, решают, стоит ли вкладывать средства в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. Так, вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты – увеличение первоначального вклада в геометрической прогрессии.

Например, нужно рассчитать доход, который клиент получит после окончания срока хранения вклада в банке, зная сумму вклада, ставку по вкладу и срок хранения вклада. Так, клиент открыл в Сбербанке вклад (депозит) на сумму 3 млн. рублей сроком на 6 месяцев. Банк платит клиенту за пользование его средствами ставку в размере 6% годовых^[1].

Схема расчета такова: , тогда получаем (Приложение 1, Таблица 1).

Налицо геометрическая прогрессия: 103037.75 рублей, где 100 000 – первоначальная сумма депозита, а  1,005 – знаменатель прогрессии (Приложение 1, Диаграмма 1)  

6. Медицина: по такой же схеме идёт распространение инфекционной болезни  среди людей. Схематически это может выглядеть так: инфицированный человек (источник инфекции) передаёт возбудителя болезни другим людям, каждый вновь инфицированный вовлекает в эпидемический процесс n – ое число людей, т.е. возникает инфекция.

Или можно рассмотреть в качестве примера прием таблеток – 2 таблетки 3-4 раза в день, т.е. часы приема: 8 часов, 11 часов, 14 часов, 17 часов. На лицо арифметическая прогрессия: .

        Таким образом, нами были рассмотрены примеры применения математических прогрессий в нашей жизни и мы убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия являются ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

2.     Кефир : Мацони. Битва кисломолочки.

Кефир и Мацони – очень распространенные кисломолочные продукты. Готовятся они из коровьего молока по технологии закваски. Итоговая консистенция, вкусовые качества и физические свойства напитков различаются.

         Кефир – это вид кисломолочных продуктов, который готовится по технологии закваски с использованием специальных «грибков». Получить кефир удастся, если сбродить чистое коровье молоко с точки зрения его кисломолочных и спиртовых свойств. В итоге, получится белый по цвету, слегка кисловатый и уникальный по составу напиток. В любом кефире содержится целый перечень полезных для человека бактерий и грибков, которые появляются в нем в процессе брожения.

Мацони – это также вид кисломолочных напитков, но готовящийся по слегка иной технологии. Схема приготовления Мацони предполагает «закваску» молока, приводящую его в густое состояние. Происходит данный процесс за счет чистых молочнокислых бактерий. В среднем, Мацони получается слегка жирней кефира, а уровень жиров в ней равняется 3,2 процентам. Этот кисломолочный продукт более мягкий на вкус, также белый по цвету и более густой по консистенции.

Технология изготовления обоих кисломолочных продуктов основана на изменении температуры молока (арифметическая прогрессия). При создании определенных температурных условий запускается процесс размножении различных бактерий (геометрическая прогрессия).

Итоговый состав у Мацони немного отличается от имеющегося у кефира.

Мацони  и кефир — разные продукты.  В принципе, различия между кефиром и мацони прослеживаются и на самом деле имеются. Основные отличия между напитками заключаются в следующем: Кефир готовится за счет добавления в коровье молоко кефирных «грибков», а простокваша делает себя сама посредством естественных процессов скисания, которые появляются из-за чистых молочнокислых бактерий. Кисломолочные напитки отличаются с точки зрения физических и вкусовых свойств. Кефир более жидкий и кислый на вкус, мацони погуще и слегка мягче по вкусовым ощущениям. Состав у продуктов с точки зрения биологии различен. Набор бактерий и грибков, имеющихся в кефире, слегка отличается от имеющихся микроорганизмов в простокваше.

В результате мы имеем два различных продукта, две математические модели, которые описываются математическими одними и теми же математическими прогрессиями. Следовательно, математические прогрессии являются универсальными математическими моделями.

Заключение

Целью данного исследования было установить картину возникновения понятия математической прогрессии, выявить примеры их применения и доказать универсальность математической модели арифметической и геометрической прогрессий.

Мы в соответствии поставленным задачам выявили: когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности – математические прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и  практических знаний по изучаемой проблеме; теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.

Установили, какое прикладное значение имеют  арифметическая и геометрическая прогрессии, нашли и показали примеры применения прогрессий в нашей жизни. 

Доказали, что математические прогрессии являются универсальными математическими моделями.

         Резюмируя изложенное выше, мы пришли к выводу, что все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

В ходе исследования мы использовали следующие методы: анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета и обобщили найденные факты в учебниках по физике,  химии,  биологии, экологии, экономики, литературе,  медицинские справочники.

В данной работе, мы отразили применение математических прогрессий в повседневной жизни, и показали, что математика является частью общечеловеческой культуры.

Таким образом, мы подтвердили поставленную гипотезу о том, что   математика возникла из практических нужд человека, математические прогрессии, как универсальные математические модели, имеют определенное практическое значени

Библиографический список

1. Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.
2. Мордкович А.Г.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.
3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224с.
4. Современный толковый словарь русского языка / Гл. ред. С.А. Кузнецов. – СПб.: «Норинт», 2005. – 960 с.
5. Сонин
6. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.
7. http://festival.1september.ru/articles/568100/ - статья о прогрессиях
8.   http://www.a4format.ru/pdf_files_slovari/4b853e92.pdf  -   литературный словарь
9.  http://www.sunhome.ru/help/184  - Размеры стихосложения.

Приложение

Таблица 1.

        Диаграмма 1.