Решение тригонометрических уравнений
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Тема урока «Тригонометрические уравнения»  (2 часа)

       Тригонометрия  по традиции занимает большое место в материалах конкурсных экзаменов в вузы; чтобы научиться уверенно решать экзаменационные задачи по тригонометрии, нужна  тренировка. В школьном курсе подробно изучаются три основных метода  решения тригонометрических уравнений – метод введения нового неизвестного, что позволяет свести уравнение к квадратному; разложение на множители; метод введения вспомогательного аргумента.

       В своем уроке я рассмотрела решение тригонометрических уравнений, опираясь на методы их решения в наиболее доступной последовательности изложения материала.

Предварительная подготовка к уроку.   Учащиеся должны знать следующие темы:  «Основные тригонометрические тождества», «Формулы сложения и их свойства», «Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов»,  «Простейшие тригонометрические уравнения».

Цели урока. Образовательная: формирование умений применять полученные раннее знания; сопоставлять, анализировать, делать выводы; отработка умения решать уравнения.

Воспитательная: формирование интереса к познавательному процессу.

Развивающая: развитие наблюдательности, памяти, логического мышления.

Оборудование:  Таблицы «Формулы корней простейших тригонометрических уравнений», «Основные формулы тригонометрии»

Тип урока: урок совершенствования знаний. Объяснение нового материала построено на решении конкретных примеров.

                                                                     Ход урока.

1. Организационный момент. Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.
2. Изучение нового материала.

 Вы уже знакомы с формулами корней простейших тригонометрических уравнений

   К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задача 1. Решить уравнение

                   Заменим         на   получим  

                      это уравнение является квадратным относительно    .

                           Обозначим         получим  

                           Отсюда  

                           Таким образом,  решение исходного уравнения свелось к решению простейших      

                           уравнений    

                           Уравнение  

                          имеет корни    N.

       Ответ:          N.

2. Однородные уравнения.

Задача 2. Решить уравнение    

                   Заменим  

             Поделив уравнение на      получим    

Ответ:       

Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

Задача 3.  Решить уравнение  

                   Заменим  

      Ответ:

3. Вынесение общего множителя за скобки.

Задача 4.  Решить уравнение       

Ответ:                 

4. Преобразование суммы в произведение.

Используем формулы      

                                                .

Задача 5.  Решить уравнение         

                   Заменим разность синусов, на произведение, получим уравнение

Ответ:       

5. Преобразование произведения в сумму.

Используем формулы      

Задача 6.  Решить уравнение        

                     ,

                              Умножим обе части уравнения на 2  и учитывая, что          получим

                                      Заменим разность косинусов произведением.

                             Отсюда   или          

                            Так как первая серия решений включает в себя вторую серию решений при  , то в          

                             ответе   записываем только    (Для наглядности рассмотреть решение  

                             на единичной окружности)

 Ответ:

6. Введение вспомогательного угла.

Используем формулы      

Рассмотрим уравнение

Разделим обе части уравнения (*)        на      

                    .          

 Обозначим  .    

 Так как    то можно подобрать такой угол     α,  что

Тогда исходное уравнение примет  вид

Если подобрать такой угол ,   что  a =

в виде           

Задача 7.  Решить уравнение               

                    Разделим правую и левую часть на .  

                           Так как  ,  

Ответ:  

Замечание: Вспомогательный угол вводится, если слагаемое  есть

7. Решение уравнений с помощью формул приведения.

Задача 8. Решить уравнение  

                   Заменим     получим уравнение

Замечание: Из равенства синусов не следует равенство аргументов.

                  Разность синусов заменим произведением.

отсюда   

Это простейшие тригонометрические уравнения, которые имеют решения

Ответ:

8. Понижение степени.

Используем формулы  ;

                                            .

Задача 9. Решить уравнение  

                     =1,    умножим уравнение на 2

                  заменим сумму произведением и получим

Ответ:      

9. Введение новой  переменной.

Задача 10.     Решить уравнение     

Пусть ,     возведем правую левую часть равенства в квадрат,

тогда        

Получим уравнение  

.  

          Умножим уравнение  на   , введем вспомогательный угол

        Ответ:  

10. Универсальная подстановка.

Используем формулы

                                     ,                           ,               .

Замечание: При использовании универсальной подстановки может быть потеряна серия ответов    

Задача 11.  Решить уравнение  

                                                               пусть    тогда

    отсюда    y = 5.

Проведем обратную замену    

        Проверка, если        ,   то

                                             корнем данного уравнения.

    Ответ:  

Итог урока:  С какими способами решения уравнений сегодня познакомились?

Домашнее задание: Внимательно разобрать материал лекции.

                                        Решить уравнение: