Геометрические задания В6 ЕГЭ

2011год
*
Геометрические задания В6 ЕГЭ
Презентацию выполнил: ученик 11 класса Чемаров ГерманРуководитель: учитель математики Нина Витальевна Байгулова МАОУ СОШ №58п. Мулино, Нижегородская область
Цели проекта :
Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме «Треугольник».Развить умение применять полученные знания при решении задач.Подготовиться к ЕГЭ .
*
Задачи проекта :
Научиться решать планиметрические задачи . Приобрести умение пользоваться справочной и научной литературой.Научиться рассуждать научно и логически.
*
Содержание
ВведениеОсновная часть 1. Теоретический материал1.1 Историческая справка1.2 Старинные задачи1.3 Справочный материал по теме « Треугольники» 2. Задания В6 ЕГЭ2.1 Решение заданий В62.2 Решите сами 3. Практическое приложениеЗаключение Литература    
*
Введение
Вопросы инновационных технологий в строительстве, космонавтике, технике невозможны без умения производить необходимые чертежи и вычисления, которые требуют знания важных и интереснейших свойств треугольника.
*
Историческая справка
Геометрия зародилась в Древнем Египте 5-6 тысяч лет назад.Например, египетские пирамиды насчитывают около 4800 лет, а их строительство требовало достаточно точных геометрических расчетов.
*
Математики - учёные
*
Леонард Эйлер
К.Ф. Гаусс
Н.И.Лобачевский
Евклид
Пифагор
Старинные задачи
*
Задача (из древнеиндийского трактата ) Над озером тихим, С полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет боле цветка над водой Нашел же рыбак его ранней весной В двух футах от места, где рос, И так, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока?
РешениеТреугольник АВС – прямоугольный, АВ=АС + 0,5 .Тогда по теореме Пифагора АВ2=АС2+СВ2,(АС + 0,5)2=АС2 + 22,АС= 3,75 фута.
Ответ: 3,75 фута.
Теоретический материал
*
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Классификация по углам
*
Классификация по сторонам
*
Признаки равенства треугольников
*
Элементы треугольника
*
Свойства треугольника
∟А+∟В+∟С=180єаb, то ∟С>∟ВPQ ║ AB и PQ= ABЕсли Δ АВС прямоугольный, тосІ=√аІ+bІsinA= ; cosA= ; tgA=Если ∟А=30є, то а=Если∟А=45є, то а=bВысота СН=√АН∙НВКатет АС=√АВ∙АН; СВ=√АВ∙ВНМедиана СД=АВ/2Если Δ АВС равнобедренный, то ∟А=∟В
*

1. В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB = 10, AC = 8. Найдите cos B .
*
ЕГЭ Задание В6
1.Решение.
В прямоугольном Δ ABC по теореме Пифагора BC = .Следовательно, cos B = = = 0,6 .Ответ: 0,6
*
10
6
8
2. В треугольнике ABC угол C равен 90о, высота CH= 6, AC = 10. Найдите tg A.
ЕГЭ Задание В6
*
2.Решение.
В прямоугольном Δ ACH по теореме Пифагора AH = . Следовательно, tg A = = = 0,75. Ответ. 0,75
*

6
10
8
3. В ΔABC угол C равен 90о, CH – высота, BC = 6, cos A = 0,8. Найдите CH.
*
ЕГЭ Задание В6
3.Решение
Так как ВС=6, и cos А = = , следовательно АС=8, АВ=10. По свойству АС= , тогда 8= , значит АН=6,4. По теореме Пифагора СН= = = =4,8.
*
6
Ответ: 4,8
4. В Δ ABC AC = BC = 10, AB = 12. Найдите sin В.
ЕГЭ Задание В6
*
4.Решение.
Проведем высоту CH. Так как Δ АВС равнобедренный, то АН=ВН= АВ:2=6. В прямоугольном Δ ACH по теореме Пифагора находим CH = = 8 и, следовательно, sin В = = = 0,8 .Ответ: 0,8
*
10
5. В Δ ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A .
ЕГЭ Задание В6
*
5.Решение.
В прямоугольном Δ ABH по теореме Пифагора находим BH = =6 , следовательно cos B = = =0,6. Так как АС=ВС, то ΔABС- равнобедренный, угол А равен углу В и, следовательно, cos A =cos B = 0,6.Ответ: 0,6
*
8
10
6
6. В ΔABC AB = BC, высота CH = 6, AC= 10. Найдите тангенс угла ACB .
*
ЕГЭ Задание В6
6.Решение
По теореме Пифагора в прямоугольном ΔACH AH = = 8. Откуда tg A = = = 0,75 . Так как углы A и C ΔABC равны, то tgACB = tg A= 0,75 .Ответ: 0,75
*
10
6
7. В ΔABC угол C равен 90о, AB = 10, BC = 6. Найдите синус внешнего угла при вершине A.
ЕГЭ Задание В6
*
7.Решение
Так как ∟ДАВ= 180 є - ∟ВАС, то sin ДАВ= sin (180 є - ∟ВАС) = =sin ВАС= .Ответ: 0,6
*
10
6
Д
8. В ΔABC угол C = 90о, tg A = 0,75, AC = 8. Найдите AB.
ЕГЭ Задание В6
*
8.Решение
Так как tg A = , то 0,75 = .Имеем ВС=8∙ 0,75=6. По теореме Пифагора находим AB = = 10. Ответ: 10
*
8
6
10
9. В Δ ABC AC = BC = 10, sin В = 0,8. Найдите AB .
*
ЕГЭ Задание В6
9.Решение
Проведем высоту CH. Так как sinВ = . Имеем CH = ВC ∙ sinВ = 10∙0,8=8. По теореме Пифагора находим ВH = =6. Так как АВС равнобедренный, то АН=НВ и, следовательно, AB = 12
*
Ответ: 12
Δ
10
10
10. В ΔABC AC = BC, AB = 10, cos A = 0,6. Найдите высоту AH .
*
ЕГЭ Задание В6
10.Решение
*
В равнобедренном ΔABC угол A равен углу B, следовательно cosA=cosВ= , тогда BH = AB ∙ cos B = =10∙0,6=6. По теореме Пифагора находим AH= = =8.
Ответ: 8
10
6
11. В ΔABC AB = BC, высота CH равна 5, tg C = . Найдите AC .
*
ЕГЭ Задание В6
11.Решение
*
Ответ: 10
В равнобедренном ΔABC угол A равен углу C, значит tgС=tgА= = , тогда АН= = = 5 . По теореме Пифагора находим AC = = 10.
5
ЕГЭ Задание В6
*
12. Острые углы прямоугольного треугольника равны 51єи 39є.Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
12.Решение
*

В
С
Н
Д
А
По свойству ∟А=51°, а СН – высота, то ∟АСН=90°-51°=39°.Так как СД-биссектриса, то ∟АСД=∟ДСВ=∟АСВ:2=90°:2=45°.Следовательно ∟НСД=∟АСД-∟АСН=45°-39°=6°.Ответ:6.
ЕГЭ Задание В6
*
13. Острые углы прямоугольного треугольника равны 53єи 37є.Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
13. Решение
*

А
В
С
Н
Д
Так как ∟С=90°, то ∟АСН=90°-∟А=90°-53°=37°, ∟НСВ=90°-∟АСН=53°По свойству медианы прямоугольного треугольника СД=ДВ, следовательно, ∟ДСВ=∟ДВС=37°,отсюда ∟НСД=53°-37°=16°.Ответ:16.
Решите сами
*
1.В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=182, АС=70.Найдите tg А.
2.В треугольнике АВС угол С равен 90°,cosB=0,6, АВ=5. Найдите АС.
3.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна 10, а высота, проведённая к основанию, равна 8. Найдите косинус угла А.
4.В треугольнике АВС угол С равен 90°,tgA=0,4. Найдите tgВ.
5.В треугольнике АВС угол С равен 90°,sinA=0,48. Найдите cosВ.
Ответ:2,4
Ответ:4
Ответ:0,6
Ответ:9
Ответ:2,5
Практические задачи
*
Задача. Найти расстояние от пункта А до недоступной точки С. Для определения расстояния от пункта А до недоступной точки С отметили на местности точку В, находящуюся от пункта А на расстоянии 50 метров. Измерили угол А и угол В, оказалось, что угол А равен 57 градусов, угол В равен 38 градусов.
Решение. Рассмотрим треугольник АВС, откуда ∟С = 180 0- (∟А + ∟В) = 180 0- ( 570 +380)=850 . По теореме синусов = , тогда АС= = =
Ответ: 31(м).
31(м)
Решите сами
*
Задача 1.Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7м, составляет 4м. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом.
Задача 2.Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой, выбирают такую точку С , из которой можно пройти и к точке А, и к точке В и из которой видны обе эти точки. Провешивают расстояние АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют СD=АС и ЕС=СВ. Тогда отрезок ЕD равен искомому расстоянию. Объясните почему.
Задача 3.Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте равной 230 км, если расстояние между ними по прямой равно 2200 км? Радиус Земли равен 6370км.
Ответ:600 16!.
Ответ: могут.
Заключение
Исследование мною заданий В4 ЕГЭ показало, что свойства треугольников, тригонометрические формулы часто применяются при решении планиметрических задач и широко используются на практике.
*
Литература
Г.И. Глейзер ,« История математики в школе», Москва , « Просвещение» ,1982г.Г.П.Бевз, И.Г.Владимирова ,«Геометрия 7-11класс»,1994г.А.Д.Александров, «Геометрия 8-9», Москва, « Просвещение», 1991г.Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский «Геометрия в таблицах 7-11 классы» Москва. Издательский дом «Дрофа» ,1997г.В.А.Гусев, А.И.Медяник,«Дидактические материалы по геометрии».Б.Г.Зив, В.Н.Мейлер ,«Задачи по геометрии», Москва «Просвещение», 2000г.http://www.visma.ua/images/catalog/products/4691.jpghttp://fotki.yandex.ru/contest/38/users/harlanovevgeny/view/128496/?phttp://fotki.yandex.ru/contest/38/users/feniksa13/view/145952/?page=39
*
Спасибо за внимание
*
Ценные знания составляются не из того, о чём человек слышал, а из того, чем он умеет пользоваться. А.А Ляпунов