Раздел № 4 Методическая разработка "Пропорции"

Понятие пропорции, свойства пропорций.

Понятие пропорции, основное свойство пропорции, свойства перестановок членов пропорции.

Отношением двух чисел называют их частное.
Отношение двух чисел показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.
Основное свойство отношения: Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Равенство двух отношений называют пропорцией.
         или  где .
Читают: "Отношение а к b равно отношению с к d" или "а относится к b как с относится к d".
                                        крайние члены

                                        

                                        средние члены
Основное свойство пропорции. Равенство , где , является верной пропорцией тогда и только тогда, когда произведение крайних членов a и d равно произведению средних членов b и c.
                                        
Нахождение неизвестных крайних и средних членов пропорции.
        1) Чтобы найти крайний член пропорции, надо произведение ее средних членов разделить на         второй крайний член:
                                        .
        2) Чтобы найти средний член пропорции, надо произведение ее крайних членов разделить на         второй средний член:
                                        .
Свойства пропорций.
        
1. в пропорции можно поменять местами ее крайние члены, то есть
        
2. в пропорции можно поменять местами ее средние члены
        
3. пропорция не нарушится, если в ней поменять местами одновременно и крайние, и средние члены: в этом случае получится пропорция, составленная из обратных отношений.
        

Решение задач с помощью пропорций.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) в такое же количество раз.

Примеры прямо пропорциональных величин:

1. , где S – расстояние (путь), V – скорость движения, t – время движения.
    путь и скорость при постоянном времени;
     путь и время при постоянной скорости.
2. , где S – стоимость покупки, с – цена товара, n – количество товара.
    стоимость и цена при постоянном количестве товара;
    стоимость и количество товара при постоянной цене.
3. , где А – объем работы, р – производительность, t – время.
    объем работы и производительность при постоянном времени;
    объем работы и время при постоянной производительности.
4. , где S – площадь прямоугольника, a – длина, b – ширина.
    площадь прямоугольника и его длина при постоянной ширине;
    площадь прямоугольника и его ширина при постоянной длине.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) в такое же количество раз.

Примеры обратно пропорциональных величин:

1. , где S – расстояние (путь), V – скорость движения, t – время движения.
     скорость и время при постоянном пути.
2. , где S – стоимость покупки, с – цена товара, n – количество товара.
    цена и количество товара при постоянной стоимость покупки.
3. , где А – объем работы, р – производительность, t – время.
    производительность и время при постоянном объеме работы.
4. , где S – площадь прямоугольника, a – длина, b – ширина.
    ширина и длина прямоугольника при постоянной площади прямоугольника.

Алгоритм решения задачи с помощью пропорции.

1. Внимательно прочитать условие и вопрос задачи.
2. Установить вид зависимости (прямая или обратная пропорциональность).
3. Проверить соответствие единиц измерения.
4. Обозначить неизвестную величину x.
5. Составить по условию задачи таблицу.
6. Обозначить стрелочками вид зависимости.
7. Записать пропорцию.
8. Решить полученное уравнение (если требуется, то выполнить дополнительные действия).
9. Проверить соответствие полученного ответа реальности.
10. Записать ответ на вопрос задачи.

    ---

Задача 1. Автомобиль на 56,8 км пути затратил 4,26 л бензина. Сколько литров бензина потребуется ему, чтобы проехать 160 км?

Решение:

Пусть х л – расход бензина на 160 км. Расход бензина (при постоянном расходе на 1 км) прямо пропорционален пройденному пути.

                                                56,8 км – 4,26 л

                                                 160 км – х л

.

Ответ: потребуется 12 л бензина.

Задача 2. Велосипедист ехал со скоростью 12,5 км/ч и на путь от одного поселка до другого затратил 0,7 ч. С какой скоростью он должен был ехать, чтобы преодолеть этот путь за 0,5 ч?

Решение:

Пусть х км/ч – искомая скорость велосипедиста. Скорость движения (при постоянном пути) обратно пропорциональна времени.

                                                12,5 км/ч – 0,7 ч

                                                     х км/ч – 0,5 ч

.

Ответ: велосипедист должен был ехать со скоростью 17,5 км/ч.

Задача 3. Сыр стоил 28 руб. Цена его снизилась на 15 %. Какой стала новая цена сыра?

Решение:

1) Пусть х руб. – сумма, на которую произошло снижение цены.

                                                28 руб. – 100 %

                                                  х руб. – 15 %

.

2) 28 – 4,2 = 23,8 (руб.)

Ответ: новая цена сыра 23,8 руб.

Понятие пропорции, свойства пропорций.

Понятие пропорции, основное свойство пропорции, свойства перестановок членов пропорции.

Отношением двух чисел называют их частное.
Отношение двух чисел показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.
Основное свойство отношения: Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Равенство двух отношений называют пропорцией.
         или  где .
Читают: "Отношение а к b равно отношению с к d" или "а относится к b как с относится к d".
                                        крайние члены

                                        

                                        средние члены
Основное свойство пропорции. Равенство , где , является верной пропорцией тогда и только тогда, когда произведение крайних членов a и d равно произведению средних членов b и c.
                                        
Нахождение неизвестных крайних и средних членов пропорции.
        1) Чтобы найти крайний член пропорции, надо произведение ее средних членов разделить на         второй крайний член:
                                        .
        2) Чтобы найти средний член пропорции, надо произведение ее крайних членов разделить на         второй средний член:
                                        .
Свойства пропорций.
        
1. в пропорции можно поменять местами ее крайние члены, то есть
        
2. в пропорции можно поменять местами ее средние члены
        
3. пропорция не нарушится, если в ней поменять местами одновременно и крайние, и средние члены: в этом случае получится пропорция, составленная из обратных отношений.
        

Решение задач с помощью пропорций.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) в такое же количество раз.

Примеры прямо пропорциональных величин:

1. , где S – расстояние (путь), V – скорость движения, t – время движения.
    путь и скорость при постоянном времени;
     путь и время при постоянной скорости.
2. , где S – стоимость покупки, с – цена товара, n – количество товара.
    стоимость и цена при постоянном количестве товара;
    стоимость и количество товара при постоянной цене.
3. , где А – объем работы, р – производительность, t – время.
    объем работы и производительность при постоянном времени;
    объем работы и время при постоянной производительности.
4. , где S – площадь прямоугольника, a – длина, b – ширина.
    площадь прямоугольника и его длина при постоянной ширине;
    площадь прямоугольника и его ширина при постоянной длине.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) в такое же количество раз.

Примеры обратно пропорциональных величин:

1. , где S – расстояние (путь), V – скорость движения, t – время движения.
     скорость и время при постоянном пути.
2. , где S – стоимость покупки, с – цена товара, n – количество товара.
    цена и количество товара при постоянной стоимость покупки.
3. , где А – объем работы, р – производительность, t – время.
    производительность и время при постоянном объеме работы.
4. , где S – площадь прямоугольника, a – длина, b – ширина.
    ширина и длина прямоугольника при постоянной площади прямоугольника.

Алгоритм решения задачи с помощью пропорции.

1. Внимательно прочитать условие и вопрос задачи.
2. Установить вид зависимости (прямая или обратная пропорциональность).
3. Проверить соответствие единиц измерения.
4. Обозначить неизвестную величину x.
5. Составить по условию задачи таблицу.
6. Обозначить стрелочками вид зависимости.
7. Записать пропорцию.
8. Решить полученное уравнение (если требуется, то выполнить дополнительные действия).
9. Проверить соответствие полученного ответа реальности.
10. Записать ответ на вопрос задачи.

    ---

Задача 1. Автомобиль на 56,8 км пути затратил 4,26 л бензина. Сколько литров бензина потребуется ему, чтобы проехать 160 км?

Решение:

Пусть х л – расход бензина на 160 км. Расход бензина (при постоянном расходе на 1 км) прямо пропорционален пройденному пути.

                                                56,8 км – 4,26 л

                                                 160 км – х л

.

Ответ: потребуется 12 л бензина.

Задача 2. Велосипедист ехал со скоростью 12,5 км/ч и на путь от одного поселка до другого затратил 0,7 ч. С какой скоростью он должен был ехать, чтобы преодолеть этот путь за 0,5 ч?

Решение:

Пусть х км/ч – искомая скорость велосипедиста. Скорость движения (при постоянном пути) обратно пропорциональна времени.

                                                12,5 км/ч – 0,7 ч

                                                     х км/ч – 0,5 ч

.

Ответ: велосипедист должен был ехать со скоростью 17,5 км/ч.

Задача 3. Сыр стоил 28 руб. Цена его снизилась на 15 %. Какой стала новая цена сыра?

Решение:

1) Пусть х руб. – сумма, на которую произошло снижение цены.

                                                28 руб. – 100 %

                                                  х руб. – 15 %

.

2) 28 – 4,2 = 23,8 (руб.)

Ответ: новая цена сыра 23,8 руб.