Главные вкладки

    ответы для пробного ЕГЭ 11 класс
    материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

    Першина Галина Евгеньевна

    ответы к КИМам для разных вариантов

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл otv.1-3.docx28.66 КБ
    Файл otv.4-6.docx19.65 КБ
    Файл otv.7-9.docx19.51 КБ
    Файл otv.10-12.docx14.45 КБ
    Файл otv.13-15.docx14.53 КБ
    Файл otvet_1.docx426.07 КБ
    Файл otvet2.docx648.96 КБ
    Файл otvet3.docx548.51 КБ
    Файл otvet4.docx503.83 КБ
    Файл otvet5.docx495.82 КБ
    Файл otvet6.docx605.13 КБ
    Файл otvet7.docx496.29 КБ
    Файл otvet8.docx506.54 КБ
    Файл otvet9.docx510.66 КБ
    Файл otvet10.docx685.12 КБ
    Файл otvet11.docx607.08 КБ
    Файл otvet12.docx602.89 КБ
    Файл otvet13.docx502.04 КБ
    Файл otvet14.docx627.19 КБ
    Файл otvet15.docx466.69 КБ

    Предварительный просмотр:

    Ответы

    Вариант8083718

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    474

    2

    650000

    3

    4180

    4

    2

    5

    0,125

    6

    -11

    7

    3

    8

    -2

    9

    9,5

    10

    15

    11

    90

    12

    4,5

    13

    20

    14

    0

    15

    http://reshuege.ru/formula/fc/fc9babda961d3080cbfd7add5fcae226.pngб) http://reshuege.ru/formula/c7/c78ec8aff2c97c14d1e61fcfe4c45dc3.png

    16

    http://reshuege.ru/formula/a5/a5a7b8b85561af9f407cdd6a288885dc.png

    17

    3

    18

    37,5

    19

    20

    21

    Вариант6083789

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    11

    2

    3

    3

    6960

    4

    22

    5

    0,91

    6

    12

    7

    10

    8

    -0,5

    9

    138

    10

    14

    11

    8

    12

    20

    13

    3

    14

    4

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    Вариант8083730

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    4

    2

    39

    3

    18

    4

    9

    5

    0,25

    6

    -185

    7

    0,25

    8

    3

    9

    0,5

    10

    80,625

    11

    8,8

    12

    24

    13

    9

    14

    10

    15

    16

    17

    18

     

    19

    20

    21



    Предварительный просмотр:

    Вариант№   6083752

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    112

    2

    4

    3

    1092

    4

    8

    5

    0,36

    6

    -1

    7

    8

    8

    20

    9

    58

    10

    16

    11

    3

    12

    729

    13

    25

    14

    2

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    Вариант№  8083741

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    190

    2

    400000

    3

    34

    4

    8

    5

    0,4

    6

    226

    7

    22

    8

    -7

    9

    15

    10

    31

    11

    5000

    12

    60

    13

    530000

    14

    59

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    Вариант№    8083763

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    8

    2

    9

    3

    220

    4

    3

    5

    0,75

    6

    4

    7

    5

    8

    4

    9

    17

    10

    -0,5

    11

    279

    12

    48

    13

    36

    14

    36

    15

    16

    17

    18

     

    19

    20

    21

     

     



    Предварительный просмотр:

    Вариант№  8083785

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    75

    2

    5

    3

    10100

    4

    8

    5

    0,4

    6

    -3

    7

    160

    8

    24

    9

    76

    10

    -4

    11

    2

    12

    5

    13

    48

    14

    -15

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    Вариант№  8083774

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    45

    2

    3

    3

    1000

    4

    6

    5

    0,5

    6

    -36

    7

    30

    8

    5

    9

    64

    10

    31

    11

    279

    12

    28

    13

    250

    14

    5

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    Вариант№ 8083796  

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    393

    2

    29,6

    3

    0,78

    4

    24

    5

    0,25

    6

    0,3

    7

    4

    8

    5

    9

    30

    10

    243

    11

    30

    12

    121

    13

    19

    14

    -33

    15

    16

    17

    18

     

    19

    20

    21

     

     



    Предварительный просмотр:

    Вариант № 8083710

    Зад.

    Ответ

    1

    11

    2

    70000

    3

    198900

    4

    47

    5

    0,225

    6

    8

    7

    1

    8

    -1,5

    9

    3

    10

    8

    11

    -1

    12

    256

    13

    8

    14

    -3,25

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    Вариант № 8083711

    Зад.

    Ответ

    1

    320

    2

    44,3

    3

    10452

    4

    2

    5

    0,02

    6

    10

    7

    2

    8

    3

    9

    3

    10

    8

    11

    3,5

    12

    12

    13

    4

    14

    -1

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    Вариант№  8083712

    Зад.

    Ответ

    1

    318,6

    2

    6

    3

    1020

    4

    7,5

    5

    0,25

    6

    -3

    7

    96

    8

    6,75

    9

    64

    10

    -0,5

    11

    7

    12

    432

    13

    18

    14

    101

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21



    Предварительный просмотр:

    Вариант № 8083813

    Зад.

    Ответ

    1

    2

    8

    3

    22 440

    4

    68

    5

    0,25

    6

    -1,5

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    Вариант № 8083814

    Зад.

    Ответ

    1

    57

    2

    6

    3

    9855

    4

    8

    5

    0,5

    6

    4

    7

    0,6

    8

    59

    9

    9

    10

    0,84

    11

    30

    12

    4,5

    13

    52

    14

    -3

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    Вариант№ 8083815

    Зад.

    Ответ

    1

    5

    2

    -10

    3

    477

    4

    24

    5

    0,08

    6

    12

    7

    0,5

    8

    4

    9

    4

    10

    32

    11

    60

    12

    0,25

    13

    12

    14

    -4

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21



    Предварительный просмотр:

    Вариант8083718

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    474

    2

    650000

    3

    4180

    4

    2

    5

    0,125

    6

    -11

    7

    3

    8

    -2

    9

    9,5

    10

    15

    11

    90

    12

    4,5

    13

    20

    14

    0

    15

    http://reshuege.ru/formula/fc/fc9babda961d3080cbfd7add5fcae226.pngб) http://reshuege.ru/formula/c7/c78ec8aff2c97c14d1e61fcfe4c45dc3.png

    16

    http://reshuege.ru/formula/a5/a5a7b8b85561af9f407cdd6a288885dc.png

    17

    3

    18

    37,5

    19

    20

    21

    Задание 1

    На бензоколонке один литр бензина стоит 32 руб. 60 коп. Водитель залил в бак 30 литров бензина и купил бутылку воды за 48 рублей. Сколько рублей сдачи он получит с 1500 рублей?

    Решение.

    Стоимость бензина составила 32,6 · 30 = 978 руб, цена бензина и воды 978 + 48 = 1026 руб. Поэтому водитель получит 1500 − 1026 = 474 руб. сдачи.

    Ответ: 474.

    Задание 2

    На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, каково наименьшее суточное количество посетителей сайта РИА Новости в период с 16 по 21 ноября.

    http://reshuege.ru/pic?id=a3801



    Решение.

    Из диаграммы видно, что наименьшее суточное количество посетителей в период с 16 по 21 ноября составило 650 000 (см. рисунок). 

    Ответ: 650 000

    Задание 3

    Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

    Автомобиль

    Топливо

    Расход топлива (л на 100 км)

    Арендная плата (руб. за 1 сутки)

    А

    Дизельное

    7

    3700

    Б

    Бензин

    10

    3200

    В

    Газ

    14

    3200

    Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина — 22 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр.

    Решение.

    Рассмотрим все варианты. 

    На 500 км автомобилю A понадобится 7 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 5 = 35 л дизельного топлива. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3700 руб. и затрат на дизельное топливо 35 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 19 = 665 руб. Всего 4365 руб. 

    На 500 км автомобилюБ понадобится 10 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 5 = 50 л бензина. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3200 руб. и затрат на бензин 50 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 22 = 1100 руб. Всего 4300 руб.

    На 500 км автомобилюВ понадобится 14 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 5 = 70 л газа. Стоимость его аренды в сутки складывается из арендной платы 3200 руб. и затрат на газ 70 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 14 = 980 руб. Всего 4180 руб.

    Стоимость самого дешевого заказа составляет 4180 рублей

    Ответ: 4180.

    Задание 4

    http://reshuege.ru/get_file?id=254Площадь круга равна http://reshuege.ru/formula/8d/8dbfaaa967f7d28e0720d21ab34a4860.png. Найдите длину его окружности.

    Решение.

    Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется формулой S = πR2, длина окружности определяется формулой l = 2πR. Поэтому

     

    http://reshuege.ru/formula/c7/c7f2999ff9af62bdd4a446e6bd236044.png,http://reshuege.ru/formula/8e/8e1dbdf0584244c26821d9adfc725ecd.png, значит,

    http://reshuege.ru/formula/7b/7be9b233c04e8eb2389ec2cbac35bf57.png

    Ответ: 2

    Задание 5

    Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
    Решение

    Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125

    Ответ: 0,125.

    Задание 6

    Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/c4/c49a48d6e03c251a47a86def1b15b14d.png.



    Решение.

    Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем http://reshuege.ru/formula/59/5942c03f9a926ca3c832beb909f56e40.png, откуда http://reshuege.ru/formula/82/8236b399d616583c09fd9d24beaf93e7.png.


    ответ: -11

       

    Задание 7

    http://reshuege.ru/get_file?id=1372В треугольнике http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.pnghttp://reshuege.ru/formula/27/27823a11709eb24255609973a5aad098.png, угол http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.pngравен http://reshuege.ru/formula/ea/ea891026f238c4483986bf4efffa1ac9.png. Найдите высоту http://reshuege.ru/formula/e9/e99c19dec2b574bc5d4990504f6cf550.png.

    Решение.

    http://reshuege.ru/formula/cc/cc89bf6db09640b6d18d56ed1f9adf6c.png

    http://reshuege.ru/formula/e9/e98b49f15096f9913a6a85d85635c753.png.

    Ответ: 3.

    Задание 8

    На рисунке изображен график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.pngи отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=14151



    Решение.

    Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках −2 и 2. Угол наклона (и его тангенс) явно больше в точке −2.

    Ответ:−2.

    Задание 9

    http://reshuege.ru/get_file?id=916Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

    Решение.

    Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра http://reshuege.ru/formula/b3/b359fc0a448fa67e7fbaf10d5eaf6aa9.pngи четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

     

    http://reshuege.ru/formula/7d/7d20cd1f4e65f4d4cd8f7de49d8455ab.png.

    Ответ: 9,5.

    Задание 10

    Найдите значение выражения http://reshuege.ru/formula/cf/cf05f46ebedbcb708d070d8a90ca48ef.pngприhttp://reshuege.ru/formula/9d/9d34cdbb94fcc091b5b16cb7faeac526.png.

    Решение.

    Выполним преобразования:

    http://reshuege.ru/formula/36/367dad9d167c05d57cabe37f8359d0dd.png.

    Ответ: 15

    Задание 11

    Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой http://reshuege.ru/formula/6b/6b952c4f7e7a9f301aaea917923c7054.png, где http://reshuege.ru/formula/6d/6d5e2216a8f2b9870137239bc0471fb4.png мhttp://reshuege.ru/formula/81/81d2b6451712e3cca06a72d9bcb6b5f6.png, http://reshuege.ru/formula/3c/3c94d884933477acdc14fc70da4b987a.png– постоянные параметры, http://reshuege.ru/formula/df/df58e01656011f9fe7da7cf9efb1b468.png– смещение камня по горизонтали, http://reshuege.ru/formula/62/626b5cc33232b9f464dc81c438d01af6.png– высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

    Решение.

    Задача сводится к решению неравенства http://reshuege.ru/formula/6c/6c36989f0337131438be7961728864b5.png: при заданных значениях параметров a и b:

    http://reshuege.ru/formula/67/6750cf07abae28cd53215e41fc51c3fc.pngм.

    Камни будут перелетать крепостную стену на высоте не менее 1 метра, если камнеметательная машина будет находиться на расстоянии от 10 до 90 метров от этой стены. Наибольшее расстояние – 90 метров.

    Ответ: 90.

    Задание С1

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

    2

    Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или в пункте б)

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    2

    а) Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/2d/2df3132ccd4576052d4956600271e0ac.png

    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку http://reshuege.ru/formula/75/757b21e479a83ab5b8163c9ec01fcb85.png


    Решение.

    а) Так как http://reshuege.ru/formula/38/38e01293d0adcb29394afb080e8af0ca.pngи http://reshuege.ru/formula/69/69aec3fabb19c21615dcbc222c99a0b6.png, имеем:

    http://reshuege.ru/formula/53/53057d1ad00fcd0a10ec84a3570b2c1f.png.

    Корни уравнения: http://reshuege.ru/formula/f3/f30f14e01886f6d556628e5347424f3b.png

    http://reshuege.ru/get_file?id=6424б) Корни уравнения http://reshuege.ru/formula/1b/1b80e3aecb36493a115514677a0d5c61.pngизображаются точками http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.pngи http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png, а корни уравнения http://reshuege.ru/formula/cf/cfcfff5b0a97e428b521d3e84c119a76.png— точками http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.pngи http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png, промежуток http://reshuege.ru/formula/bc/bc45084d1a5b64df325425456c9d0586.pngизображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: http://reshuege.ru/formula/62/62739a0189baaa28c6ec6fe8685c5351.pnghttp://reshuege.ru/formula/12/12f75c8e5e12b13590b4aaa461c53aa9.pngи http://reshuege.ru/formula/b6/b64f0365d8e5551fd7ee9d1bfef13491.png

    Ответ:а) http://reshuege.ru/formula/fc/fc9babda961d3080cbfd7add5fcae226.png

    б) http://reshuege.ru/formula/c7/c78ec8aff2c97c14d1e61fcfe4c45dc3.png

    Задание С2

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен верный ответ

    2

    Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    2

    Дана правильная треугольная призмаhttp://reshuege.ru/formula/de/de580ca41fa62b94405df2b0c4119d74.pngвсе рёбра основания которой равны http://reshuege.ru/formula/75/75bd2fa6b54bb4891f4dcb9e65f360d5.pngСечение, проходящее через боковое ребро http://reshuege.ru/formula/49/49f3ee9283b111edad91e72f33f0c9b0.pngи середину http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.pngребра http://reshuege.ru/formula/9a/9ab4ec6ff7ecbc554de19477910b31ab.pngявляется квадратом. Найдите расстояние между прямыми http://reshuege.ru/formula/45/45c84d2253876c6a94448fa3f24dfd98.pngи http://reshuege.ru/formula/64/6436c05d3e7bd256956138ef7e49219e.png


    Решение.

    Пусть данное сечение призмы — квадратhttp://reshuege.ru/formula/b1/b1d003749c2e6ba0921553e42270e9b5.pngТогда диагонали перпендикулярны: http://reshuege.ru/formula/a7/a7d4c0bebb2a31c135fea5ead8f6fa37.pngа по теореме о трёх перпендикулярах http://reshuege.ru/formula/86/865ad3ce10c357069c7e86b8de216bee.pngСледовательно, http://reshuege.ru/formula/79/79bc789716a5245cccaed68ef3df38b2.pngОтсюда следует, что искомым расстоянием между прямыми http://reshuege.ru/formula/45/45c84d2253876c6a94448fa3f24dfd98.pngи http://reshuege.ru/formula/25/25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.pngявляется длина перпендикуляра http://reshuege.ru/formula/a3/a32bd750da6b621ef4f0eee3ff81be03.pngопущенного из точки http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.pngпересечения диагоналей квадрата http://reshuege.ru/formula/0d/0d847572dacacf77883c9bfb07cd0bea.pngна прямую http://reshuege.ru/formula/c8/c84b808338ccff3b25cfc78537893560.pngтак как http://reshuege.ru/formula/87/87ff473b7ef31e93c2048cccf0078fe4.pngи http://reshuege.ru/formula/a1/a1755a939d73dd395b484955ea379bda.png

    http://reshuege.ru/get_file?id=11476

    http://reshuege.ru/get_file?id=11477

    Сторона квадрата http://reshuege.ru/formula/0d/0d847572dacacf77883c9bfb07cd0bea.pngравна высоте треугольника http://reshuege.ru/formula/14/14b1ad51ec1c47b47bee445bd306a51b.pngто есть http://reshuege.ru/formula/b3/b3f14d341a40dbd4028066c3963c92e7.pngа его диагональhttp://reshuege.ru/formula/b8/b88ac05f50f7a217fba4914d400111ca.pngВ равнобедренном треугольнике http://reshuege.ru/formula/e4/e44e22f3b68353e90bc6ab8cf12c7778.pngоснование http://reshuege.ru/formula/9c/9cf67718d2fc734566dc34fcb7f52e7e.pngбоковая сторона http://reshuege.ru/formula/a2/a23f4c076bcd11b597c0f1226b492b92.pngОтсюда, используя подобие треугольников http://reshuege.ru/formula/a9/a932b670f46e44f6df7fe233482ce9f1.pngи http://reshuege.ru/formula/4e/4e4ec6ce7750fc06290621a2cc1e7ac3.pngнайдём

    http://reshuege.ru/formula/24/2410a4c243773795666fb4cfb57d889b.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/a5/a5a7b8b85561af9f407cdd6a288885dc.png

    Задание С3

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен верный ответ

    3

    Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конченым числом точек

    2

    Полученный ответ неверен, но решение содержит переход от исходного неравенства к верным рациональным неравенствам

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    3

    Решите неравенство http://reshuege.ru/formula/76/7638273b745c14ffec1468aea0ef52a0.png.


    Решение.

    Покажем, что наибольшее значение левой части неравенства равно 1. Действительно,

    http://reshuege.ru/formula/b1/b179089a9cfe589a8edee3b56709e83b.png

     

    в силу тождества http://reshuege.ru/formula/f2/f23fddd404b3162acb04d882f2a41caa.pngимеем:

    http://reshuege.ru/formula/fb/fb611dc364a7693c902c51253550ad5f.png.

    Поскольку левая часть не больше 1, а правая равна 1, неравенство выполнено тогда и только тогда, когда оба множителя равны 1, откуда

    http://reshuege.ru/formula/6a/6a01d9ee8cbd8ce3a36c8d529dae7e23.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/ca/ca0ae0d7ea467c7b95729bcc8d7aec96.png.

    Задание С4

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен верный ответ

    3

    Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины

    2

    Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    3

    Четырехугольник http://reshuege.ru/formula/6f/6fb585055d26d304979faf8440885033.pngописан около окружности и вписан в окружность. Прямые http://reshuege.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638f.pngи http://reshuege.ru/formula/e0/e0f3dba3248a6ccb26950955635d93e2.pngпересекаются в точкеhttp://reshuege.ru/formula/b6/b69137a4d7f1bc5b9fa27e655151af34.pngНайдите площадь треугольника http://reshuege.ru/formula/04/04c3689e4b4f647fa8fe36a20d722b3c.pngесли известно, что http://reshuege.ru/formula/b2/b296a0457d74cd25f9093d3088793259.pngи радиусы окружностей, вписанных в треугольники http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.pngи http://reshuege.ru/formula/82/822c97f79ff60e25fa38d3a0a39afea6.pngравны соответственно http://reshuege.ru/formula/4b/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.pngи http://reshuege.ru/formula/40/40ddba83c22acc2acaddff12c66d7adf.png
    Решение.

    Первый случай.

    Центры http://reshuege.ru/formula/31/31b6eb924de49df799c3016cfea5a36b.pngи http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.pngокружностей, вписанных в треугольники http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.pngи http://reshuege.ru/formula/82/822c97f79ff60e25fa38d3a0a39afea6.pngсоответственно, лежат на биссектрисе http://reshuege.ru/formula/b3/b3918665ee674080bf505e1b2d862187.pngугла http://reshuege.ru/formula/35/355d87bc49dabfd1461b2557626ff887.pngОкружность, вписанная в четырехугольник http://reshuege.ru/formula/14/14e0c763be700d27fb6ac865c3d0f838.pngявляется также окружностью, вписанной в треугольник http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.pngи вневписанной окружностью треугольника http://reshuege.ru/formula/43/433f7622605648c461361a08425506eb.png

    http://reshuege.ru/get_file?id=1620

    Четырехугольник http://reshuege.ru/formula/6f/6fb585055d26d304979faf8440885033.pngвписан в окружность, следовательноhttp://reshuege.ru/formula/07/074620eb552ff4507220c4d325cfafab.pngНо http://reshuege.ru/formula/a6/a67025ed5afdfda35e3382912995ff4f.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/e5/e5f2560727869200218ad601571d76f7.pngТак как треугольники http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.pngи http://reshuege.ru/formula/82/822c97f79ff60e25fa38d3a0a39afea6.pngимеют еще общий угол http://reshuege.ru/formula/04/04c3689e4b4f647fa8fe36a20d722b3c.pngони подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

    Далее имеем:

    1) http://reshuege.ru/formula/27/27d2e45f57fe28a55de36c472b813967.png

    2) http://reshuege.ru/formula/2b/2b23586b0d1100e5a836609f6adafb9f.pngгде http://reshuege.ru/formula/83/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png — полупериметр треугольника http://reshuege.ru/formula/ae/aeddae62f4cb5210fea17c4e9cbe2d05.pngравный длине отрезка http://reshuege.ru/formula/d2/d204d2a8a53318e333d85328c8db820c.pngкак сумма отрезков касательных проведенных из одной точки.

    3) из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/75/758ac4a4b30b1b148b859b647f317045.pngнаходим http://reshuege.ru/formula/49/49807d06c6169088c283419f284dce28.pngоткуда http://reshuege.ru/formula/56/56cb030dcc99e9b9c3a4aa4009711231.png

    Подставляя найденноеhttp://reshuege.ru/formula/2b/2b4fdaf933ec6d0d529d8b027fd5ad42.pngв формулу площади треугольника http://reshuege.ru/formula/04/04c3689e4b4f647fa8fe36a20d722b3c.pngокончательно получаем

     

    http://reshuege.ru/formula/84/846d5f484fe8e9349dfa3b927ec84331.png

    Второй случай.

    Отличается от первого расположением точки http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.pngлевее точек http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.pngиhttp://reshuege.ru/formula/57/57fbc7ee0cc06365d39eabde4079c0ef.pngВ этом случае http://reshuege.ru/formula/ac/ac233a88af3de2d649fff89c44960faa.pngи в рассуждении они и треугольники http://reshuege.ru/formula/82/822c97f79ff60e25fa38d3a0a39afea6.pngи http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.pngдолжны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png— меньший из двух треугольников, а радиус вписанной в него окружностиhttp://reshuege.ru/formula/55/5502ba4322d9a442426f01433bf092ff.pngЗначит

    http://reshuege.ru/formula/3a/3ac18ae9139517dfe67578d31f053224.pngгде http://reshuege.ru/formula/83/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png— полупериметр треугольника http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.pngравный отрезкуhttp://reshuege.ru/formula/a0/a08822eb7ab38a78369a5bae9875608d.pngПри этом, как и в первом случае, http://reshuege.ru/formula/b0/b096b581467ad1830017dfcaa45d26a9.pngТаким образом http://reshuege.ru/formula/6b/6b21462887a54f0774c7b1502ca495f3.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/14/14b71271743c8171dc959845f26f5185.pngили http://reshuege.ru/formula/6b/6b21462887a54f0774c7b1502ca495f3.png

     

    Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?


    Решение.

    Первый способ (близкий к арифметическому решению).

    Пусть первый брокер купил http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png акций, а второй — http://reshuege.ru/formula/41/415290769594460e2e485922904f345d.png акций. Тогда первый продал http://reshuege.ru/formula/36/36f1375e1c4922d5d9f85858b454e493.png акций, второй — http://reshuege.ru/formula/dd/ddbfc268d146a4a60b38c2e33176dff2.png акций.

    То, что сумма от продажи акций, полученных вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, означает: сумма, полученная вторым брокером, больше суммы, полученной первым, в 2,4 раза:

     

    http://reshuege.ru/formula/88/8893ba398576ab0acded3b8f17926203.png

     

    Так как цена одной акции у обоих брокеров одинакова, а полученные суммы прямо пропорциональны количеству акций, проданных каждым брокером, то

     

    http://reshuege.ru/formula/4e/4e307833dbd07ed4a7c2e4298792e133.png

     

     

    Если http://reshuege.ru/formula/8c/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png — коэффициент пропорциональности количества акций, купленных брокерами, то ими приобретено http://reshuege.ru/formula/8e/8ec8f1228ad5d984622937b5a6bda291.png акций на сумму 3640 р. Следовательно, на тот момент цена каждой акции составляла:

     

    http://reshuege.ru/formula/5d/5d914454c22f9973886b78b60b29bc80.png р.

     

    Первый брокер продал http://reshuege.ru/formula/32/3223efd13ed3c7d478671a03a597ccfb.png акций, второй http://reshuege.ru/formula/02/02f6a8d05b4bcf498c8ce04018034e28.png акций. Всего было продано http://reshuege.ru/formula/5a/5a7a8f7dd9de468067a591b6a044c0bb.png акций. К моменту продажи цена одной акции стала

     

    http://reshuege.ru/formula/4e/4e4c0cf8cce4315a0f75e3622cf7f0e3.png(р), т.е. на http://reshuege.ru/formula/26/260133b0324d5c85ed5066a4f8cef83b.png (р) выше.

     

     

    Значит, цена одной акции возросла на 37,5%

     

    http://reshuege.ru/formula/ee/ee6364a538ba5ab5ab4f7e595ba33ecd.png

     

    Второй способ (преобладает алгебраический подход).

    Пусть http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png р. — первоначальная цена одной акции, http://reshuege.ru/formula/41/415290769594460e2e485922904f345d.png — количество акций, купленных первым брокером, http://reshuege.ru/formula/fb/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png — количество акций, купленных вторым брокером. И пусть цена одной акции возросла на http://reshuege.ru/formula/e3/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png %. Тогда:http://reshuege.ru/formula/e7/e7f3d628ebf67960e06217970e57407f.png (1)

    Со временем цена одной акции выросла до http://reshuege.ru/formula/8c/8c3a94b93b1267043eec0104ced85bea.png рублей.

    Первый брокер продал акций на сумму http://reshuege.ru/formula/c7/c74138b48d4667ddcf856c8ddb8e91bc.png рублей, а второй брокер — на http://reshuege.ru/formula/85/85af64c99e09c28a33850ef39b879969.png рублей.

    Согласно условию задачи имеем: http://reshuege.ru/formula/df/df7f828e02af4e4797aca80359aba3b7.png т.е.

     

    http://reshuege.ru/formula/a4/a47bb9895db0336677150740a894c2d8.png (2)

     

    Так как сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, то

     

    http://reshuege.ru/formula/be/be4cf4dabf20d702bfb03619023e9923.png

     

    Подставив полученное значение http://reshuege.ru/formula/fb/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png в уравнение (1), будем иметь:

     

    http://reshuege.ru/formula/d9/d9ac8ab7b7ab0b083f429bb14a088869.png

     

    Подставим то же значение http://reshuege.ru/formula/fb/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png в уравнение (2):

     

    http://reshuege.ru/formula/66/667f811d3288c92b1afa719d96334a80.png

    А значение http://reshuege.ru/formula/3e/3e44107170a520582ade522fa73c1d15.png нами найдено выше.

    Следовательно, http://reshuege.ru/formula/fa/fa3d0728406b77b117e425950c10dbce.png

     



    Предварительный просмотр:

    Вариант № 6083789

    № п/п

    Правильный ответ

    1

    11

    2

    3

    3

    6960

    4

    22

    5

    0,91

    6

    12

    7

    10

    8

    -0,5

    9

    138

    10

    14

    11

    8

    12

    20

    13

    3

    14

    4

    15

    а) http://reshuege.ru/formula/85/8596b3c260ac8a01919e87c5dceae306.pngб) http://reshuege.ru/formula/33/33560595035f3c39ccdb733cf68baecd.png

    16

    http://reshuege.ru/formula/e3/e37f71c1e714893bdc5277bdc1f297ba.png

    17

    http://reshuege.ru/formula/27/27eb87ae3811c1a4cf8c736a1bce12a1.png

    18

    http://reshuege.ru/formula/8a/8a5c7a509d3e39bed6282d07e7da61f3.pngили    4.

    19

    5

    20

    http://reshuege.ru/formula/dd/dddd6fae9e269b6a061d914d2c6fc065.png

    21

    а) 130; б) да; в) 20.


    Решения

    Задание 1

    Для ремонта квартиры требуется 63 рулона обоев. Сколько пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 6 рулонов?

    Решение.

    Разделим 63 на 6, получим 10,5. Следовательно, понадобится 11 пачек клея.

    Приведем другое решение.

    Если одна пачка рассчитана на 6 рулонов, то 10 пачек хватит на 60 рулонов, и останется еще три рулона. Для них понадобится еще одна пачка клея. Всего понадобится 11 пачек клея.
     ответ: 11

      

    Задание 2

    На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, сколько раз количество посетителей сайта РИА Новости принимало наибольшее значение.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=95

    Решение.

    Из диаграммы видно, что посетителей сайта РИА Новости принимало наибольшее значение 3 раза (см. рисунок).

    Ответ: 3.

    Задание 3

    Клиент хочет арендовать автомобиль на 2 суток для поездки протяженностью 400 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость аренды.

    Автомобиль

    Топливо

    Расход топлива

    (л на 100 км)

    Арендная плата

    (руб. за 1 сутки)

    А

    Дизельное

    5

    3900

    Б

    Бензин

    11

    3100

    В

    Газ

    15

    3000

    Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина — 23 рубля за литр, газа — 16 рублей за литр. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?
    Решение.Рассмотрим все варианты

    На 400 км автомобилю A понадобится 5 · 4 = 20 л дизельного топлива. Стоимость его аренды за двое суток складывается из арендной платы 2 · 3900 = 7800 руб. и затрат на дизельное топливо 20 · 19 = 380 руб. Всего 8180 руб.

     

    На 400 км автомобилюБ понадобится 11 · 4 = 44 л бензина. Стоимость его аренды за двое суток складывается из арендной платы 2 · 3100 = 6200 руб. и затрат на бензин 44 23 = 1012 руб. Всего 7212 руб.

    На 400 км автомобилюВ понадобится 15 · 4 = 60 л газа. Стоимость его аренды за двое суток складывается из арендной платы 2 · 3000 = 6000 руб. и затрат на газ 60 · 16 = 960 руб. Всего 6960 руб.

    Стоимость самого дешевого заказа составляет 6960 рублей.

    Ответ: 6960.

    Задание 4

    http://reshuege.ru/get_file?id=294Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр.

    Решение.

    Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна S, периметр равен P, радиус окружности равен R. Тогда

    http://reshuege.ru/formula/84/844b156fc330c830d597e1a78c8fc7de.png.

    Поэтому P = 22.

    Ответ: 22.

    Задание 5

    Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

    Решение.

    Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.

    Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.

    Ответ: 0,91.

    Задание 6

    Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/5a/5a8b51246ce664d9c67dab205e8e2f33.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

    Решение.

    На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

     

    http://reshuege.ru/formula/64/644168c77000143d452be8fd35f5671b.png

    Итак, на ОДЗ уравнение имеет только один корень.

    Ответ: 12.


    Задание 7

    http://reshuege.ru/get_file?id=1288Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен http://reshuege.ru/formula/c2/c28755a72096c947b53c93bdb23d9d5c.png. Найдите высоту трапеции.

    Решение.

    http://reshuege.ru/formula/2f/2f7442c8a656745390ab7579bc242a5c.png.

    Ответ: 10.

    Задание 8

    http://reshuege.ru/get_file?id=13152На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    Решение.

    http://reshuege.ru/get_file?id=13253Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −1), B (−2; −4), C (4; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

    http://reshuege.ru/formula/0d/0d567746badff934de248c4321c2ef54.png.

    Ответ: −0,5.

    Задание 9

    http://reshuege.ru/get_file?id=15746Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 23. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

    Решение.

    Данные пирамиды имеют общую высоту, поэтому их объемы соотносятся как площади их оснований. Площадь правильного шестиугольника со стороной a равна http://reshuege.ru/formula/1a/1ae8f2239fd899c2e957ea18ed183433.pngПлощадь равнобедренного треугольника ACB с боковой стороной a и углом при вершине 120° равнаhttp://reshuege.ru/formula/78/7815b554afed3d765d81c445dc206c89.pngТаким образом, площадь шестиугольника больше площади треугольника в http://reshuege.ru/formula/bc/bc47b7debd65b6cd8533593c988eea44.pngраз, поэтому искомый объем равен 23 · 6 = 138.

    Ответ: 138.

    Задание 10

    Найдите значение выражения http://reshuege.ru/formula/74/747668992df4f6acedc5f922bab7b444.png.

    Решение.

    Выполним преобразования:

    http://reshuege.ru/formula/37/37b3bf7cc1b0bdab43e002aa798e7012.png.

    Ответ: 14.

    Задание 11

    Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой http://reshuege.ru/formula/fb/fb376e1b8242ec927a27c76597edc7aa.png кг и радиуса http://reshuege.ru/formula/5c/5c0480355b74064564cfdf705fc3110b.png см, и двух боковых с массами http://reshuege.ru/formula/cc/cc38b957c3e4725dadd33d5ea061ae51.png кг и с радиусами http://reshuege.ru/formula/1f/1ff08755ce810fd44626dfb826f3f4ff.png. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в http://reshuege.ru/formula/c0/c0c9a12c2cf56006456287707c582361.png, даeтся формулой http://reshuege.ru/formula/64/644e2e8c553bc10a47bc315d459424ae.png. При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения http://reshuege.ru/formula/bd/bda5a72579027db8c2da8fc5e0b97c48.png? Ответ выразите в сантиметрах.

    Решение.

    Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства http://reshuege.ru/formula/98/9851437b9d4dd9e115ea864d04885daf.pngпри заданных значениях параметров http://reshuege.ru/formula/6f/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png, http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.pngи http://reshuege.ru/formula/e1/e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png:

    http://reshuege.ru/formula/ee/ee544a0aa704c381dc826c331e8e5bfb.png

    Решая квадратное неравенство методом интервалов, получим http://reshuege.ru/formula/d7/d7e7026de0acd1a17e6a1aefa8e77a30.png. Наибольшее решение двойного неравенства — число 8.

    Ответ: 8.

    Задание 12

    http://reshuege.ru/get_file?id=13433В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро BC = 4, ребро http://reshuege.ru/formula/e5/e51d187c04a7cf02db25a8a59945d65e.pngреброBB1 = 4. Точка K — середина ребра CC1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки B1, A1 и K.

    Решение.

    http://reshuege.ru/get_file?id=13692Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник http://reshuege.ru/formula/2a/2ac3aabb9f4cb330db277aa17afd4e08.png — параллелограмм. Кроме того, ребро http://reshuege.ru/formula/44/444d2cec7d53d51b85b667fad901c271.pngперпендикулярно граням http://reshuege.ru/formula/07/07bb06cdeaa68a316f1bfcbf4a2dd4a0.pngи http://reshuege.ru/formula/28/2886e90db9f26353fac13845f29e5593.png, поэтому углы http://reshuege.ru/formula/c3/c379e4382f460c2a69558ea8c3ae6a43.pngи http://reshuege.ru/formula/e6/e62bb258ac12729a34ad68076c296450.png— прямые. Следовательно, сечение http://reshuege.ru/formula/12/12552270642be8b3d20d0d36718a1065.png — прямоугольник.

    Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/d0/d0332f88ed0d80a3f1d7fafb8ea8c352.pngпо теореме Пифагора найдем http://reshuege.ru/formula/39/39fb9d79169fffde5ada310905c5e8c1.png

    http://reshuege.ru/formula/46/46c613d356c2f253f356f9dab663f244.png

    Тогда площадь прямоугольника http://reshuege.ru/formula/5a/5a96857d3526532df22083b7d887722d.pngравна: http://reshuege.ru/formula/40/403671c469014bb134336b013b7af111.png

    Ответ:20.

    Задание 13

    Катер в 11:00 вышел из пунктаА в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 40 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 19:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 12 км/ч.
    Решение.

    Пусть http://reshuege.ru/formula/7b/7b774effe4a349c6dd82ad4f4f21d34c.pngкм/ч — скорость течения реки, тогда скорость баржи по течению равна http://reshuege.ru/formula/f6/f61a3830526588923e4944dc94e37a9a.pngкм/ч, а скорость баржи против течения равна http://reshuege.ru/formula/89/89283c4eafce379cd8a8750c5a31ca10.pngкм/ч. Баржа вернулась в пункт A через 8 часов, но пробыла в пункте Bhttp://reshuege.ru/formula/c8/c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.pngчас 40 минут, поэтому общее время движения баржи дается уравнением:

     

    http://reshuege.ru/formula/a4/a4cffc55aae5ef0cfbf76e01403ea87c.png

    http://reshuege.ru/formula/89/890cc0fb92ae5352fbce9cdb5f9ee374.png

    Ответ: 3.

    Задание 14

    Найдите наибольшее значение функции http://reshuege.ru/formula/52/528141bf690699a8a34aea9701298e8d.pngна отрезке http://reshuege.ru/formula/d1/d1006a46aa52d833dc8d5f9eb617ffdb.png.

    Решение.

    Найдем производную заданной функции:

    http://reshuege.ru/formula/4b/4bba75b55368cba3dd22d2bc9fa1401d.png

    http://reshuege.ru/formula/b9/b9d56f619b285e8c9750688119a5322d.png

    Найдем нули производной:

    http://reshuege.ru/formula/07/07ad2f014c33ed645b0118315b5d90d6.png

    Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

    http://reshuege.ru/get_file?id=5469

    В точке http://reshuege.ru/formula/e1/e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.pngзаданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

    http://reshuege.ru/formula/43/43d2143b74333d0c8b7ef83583cd6fd6.png.

    Ответ: 4.

    Задание С1

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Верно решено уравнение и произведен отбор корней

    2

    Верно решено уравнение, но не произведен или не обоснован отбор корней, принадлежащих данному отрезку, или верно указаны все корни, принадлежащие данному отрезку, но решение простейших тригонометрических уравнений не доведено до конца

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    2

    а) Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/2c/2c830900c8930be8ee7ebf788ffff39a.png

    б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/f2/f2bc7c658508373bfdb62f78fc6b7da1.png
    Решение.

    а) Преобразуем уравнение:

    http://reshuege.ru/formula/e4/e4179fed1d1de1a2b501cadff688687c.png

    Получаем: http://reshuege.ru/formula/ee/eec2ace9e241776c42cc3f866ed4e0d4.pngилиhttp://reshuege.ru/formula/b1/b1cce0179b26d1a6c4838ac88f9f41c6.pngОтсюда http://reshuege.ru/formula/31/312535b00dc476614649f5864e3d6094.pngили http://reshuege.ru/formula/b7/b7e064b5d3f2253d608429362a667881.png

    http://reshuege.ru/get_file?id=2708

    б) С помощью числовой окружности отберем корни на отрезкеhttp://reshuege.ru/formula/a3/a3233156bd1da29ee0fb45da181278ff.pngЭто числа http://reshuege.ru/formula/47/47b3f28e01a4033b5a256fde6ce360b0.png

    Ответ: а) http://reshuege.ru/formula/85/8596b3c260ac8a01919e87c5dceae306.png

    б) http://reshuege.ru/formula/33/33560595035f3c39ccdb733cf68baecd.png

    Задание С2

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен верный ответ

    2

    Решение содержит переход к планиметрической задаче, но: - получен неверный ответ или решение не закончено; - при правильном ответе решение недостаточно обосновано

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    2

    В прямоугольном параллелепипеде http://reshuege.ru/formula/1f/1f98fd4abe2a7ebc84481105039f3a71.pngизвестныhttp://reshuege.ru/formula/6f/6f95cf0ce440b27e76177a6d4a45e8b0.pngНайдите угол между прямой http://reshuege.ru/formula/ed/ed9190d5978d4f75439ace99383e2998.pngи плоскостью http://reshuege.ru/formula/df/df99440b36686ef984e3c9693eea7c31.png


    Решение.

    http://reshuege.ru/get_file?id=3477Плоскости http://reshuege.ru/formula/db/db62166b1760232bb02df1890b389b35.pngи http://reshuege.ru/formula/23/237aad47e54a653e0143b8229a9174ff.pngперпендикулярны. Перпендикуляр из точки http://reshuege.ru/formula/26/262e0afc75c8a9fc536a7dce57e6ebe1.pngк плоскости http://reshuege.ru/formula/db/db62166b1760232bb02df1890b389b35.pngлежит в плоскости http://reshuege.ru/formula/23/237aad47e54a653e0143b8229a9174ff.pngи пересекает прямуюhttp://reshuege.ru/formula/bb/bb0eae7613103277f5524aca43828b53.pngв точке http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png. Значит, искомый угол равен углу http://reshuege.ru/formula/49/4902fa8485444f59720474c2f5234f11.png. В прямоугольном треугольнике http://reshuege.ru/formula/49/4902fa8485444f59720474c2f5234f11.pngкатет http://reshuege.ru/formula/fd/fd38322b4fbbfca027fa5f413a3d7d8d.png, гипотенуза http://reshuege.ru/formula/df/df5c2020973010031b3c4171cc6cfaac.png. Поэтому

    http://reshuege.ru/formula/c6/c610cee650a10eeb36a50c5ee783e983.png.

    Тогда http://reshuege.ru/formula/1b/1b31f628d3cb7ee0807831469885314d.png.

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/e3/e37f71c1e714893bdc5277bdc1f297ba.png.

    Примечание.

    Возможны другие формы ответа: http://reshuege.ru/formula/94/9466162f2c1a5fbcca5c11dc02279aa0.png.

    Задание С3

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Получен верный обоснованный ответ

    3

    Оба неравенства решены верно, но ответ к системе отсутствует или неверный

    2

    Верно решено только одно из неравенств

    1

    Не решено верно ни одно из неравенств

    0

    Максимальный балл

    3

    Решите систему неравенств

    http://reshuege.ru/formula/55/5501bd70ce1f7bd2efc1614f2a781cbe.png
    Решение.

    Решим первое неравенство системы:

    http://reshuege.ru/formula/76/76315c51ab6f3e06ba0ea266cd5cb08f.png

    Решения: http://reshuege.ru/formula/56/566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.pngили http://reshuege.ru/formula/37/370382c9f99feac2946f6756c3fb2004.png

    Решим второе неравенство системы:

    http://reshuege.ru/formula/18/182a7fcf1e7bdfbac42f216dbac30120.png

    Сделаем заменуhttp://reshuege.ru/formula/5c/5cd664e67003e796cf961ac9769f15e1.pngТогда http://reshuege.ru/formula/dd/dd977fe1e194e2580e320cf80da99450.png

    Вернемся к исходной переменной:

     

    http://reshuege.ru/formula/71/7188171817621eabd6cfc1b99d855d36.png

    Вернемся к системе:

    http://reshuege.ru/formula/24/244551c8e4fa6faed7ec9b74345de2fa.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/27/27eb87ae3811c1a4cf8c736a1bce12a1.png

    Задание С4

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ

    3

    Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины

    2

    Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    3

    В треугольнике http://reshuege.ru/formula/0f/0f6b9f18d8516d15154acf70b54f0004.pngТочка D лежит на прямой BC причем http://reshuege.ru/formula/1b/1b804dbf981285f45399aecb34d860a1.png. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.


    Решение.

    Пусть http://reshuege.ru/formula/32/322e52e3ae96679a56ba973246cd1a73.png, http://reshuege.ru/formula/45/457ac206684322f19dd55a94a857b35f.png, http://reshuege.ru/formula/65/6527957470b96fac39119c39c0c96c23.png. Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников

    http://reshuege.ru/formula/d5/d54e6a9e36dabc066d8fa83fa99e045e.png

     

    Откуда получаем: http://reshuege.ru/formula/38/384ee51c68a907467553326456999a50.pngАналогично, http://reshuege.ru/formula/c9/c9c83823474d1a02393b84ea511d2952.png

    Тогда http://reshuege.ru/formula/e4/e41625895dd55062c4108faae6b24f14.png

    Возможны два случая:

    1. Точка http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.pngлежит на отрезкеhttp://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.pngТогда http://reshuege.ru/formula/18/1816b66fed31c9d4c5d1403c8ee131d7.pngзначит http://reshuege.ru/formula/75/75badc2e747ffb67487fc45a33859d56.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1570

    2. Точка D лежит вне отрезкаhttp://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.pngТогда http://reshuege.ru/formula/55/55695717a05f94d7669cfc2f05f7f085.pngзначит http://reshuege.ru/formula/25/257d2572507451c200edcbb355992d58.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1571

    Ответ:http://reshuege.ru/formula/8a/8a5c7a509d3e39bed6282d07e7da61f3.pngили 4.

    Задание С5

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен правильный ответ.

    3

    Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.

    2

    Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

    0

    Максимальный балл

    3

    Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 000 рублей?


    Решение.

    Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a Составим таблицу выплат.

     

    Год

    Долг банку (руб.)

    Остаток доли после выплаты (руб.)

    0

    1200000

    1

    1320000

    1000000

    2

    1100000

    780000

    3

    858000

    538000

    4

    591800

    271800

    5

    298980

    0

     

    Значит, Оля погасит кредит за 5 лет.

     

    Ответ: 5.

    Задание С6

    Критерии оценивания ответа на задание С5

    Баллы

    Обоснованно получен верный ответ.

    4

    С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек

    3

    С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a

    2

    Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    4

    Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение http://reshuege.ru/formula/29/2951be0fa47b897758f1655ad7a40edb.pngимеет единственный корень.

    Решение.

    Запишем уравнение в виде http://reshuege.ru/formula/18/18c99db7cba75a08725ae72fe3b0d62d.png. Рассмотрим две функции:http://reshuege.ru/formula/bf/bfc3531016cb08ecf8954cac7c8816e7.png и http://reshuege.ru/formula/4e/4e553a5ec97ebb748aaaf2ada3fb105e.pngГрафиком функции http://reshuege.ru/formula/a5/a59e906a149b57846480415083e73a5e.pngявляется полуокружность радиуса http://reshuege.ru/formula/ec/eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.pngс центром в точке http://reshuege.ru/formula/90/908e46d1ecd92d02f1c45696cf46237d.png, лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении а графиком функции http://reshuege.ru/formula/e8/e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.pngявляется прямая с угловым коэффициентом —а, проходящая через точку http://reshuege.ru/formula/c4/c4a92fb62c08ead21beef71826d7e169.png.

    http://reshuege.ru/get_file?id=11003

    Уравнение имеет единственный корень, если графики функций http://reshuege.ru/formula/8a/8a99d7eb3353257b649bcac332382831.pngи http://reshuege.ru/formula/3b/3ba2de39b36aae01b150fefb03f15e28.pngимеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

    Касательная МС, проведённая из точки М к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть приhttp://reshuege.ru/formula/24/24e8fea46a561bc10bb54aa33f9d7b9b.pngисходное уравнение имеет единственный корень. При http://reshuege.ru/formula/bf/bf95eb06954ab808cc1fe8fd021dfecc.pngпрямая не имеет общих точек с полуокружностью.

    Прямая MA, заданная уравнением http://reshuege.ru/formula/21/210893d10376c25a692d4b46c778f49c.png, проходит через точки http://reshuege.ru/formula/ed/edba5d31e37d73d12603fe8f5e07b9fb.pngиhttp://reshuege.ru/formula/22/2272ca0184f557cc84bfe47ee85effdb.pngследовательно, её угловой коэффициент http://reshuege.ru/formula/1c/1c322311198f83e06dcb2fb94513e8b0.png

    При http://reshuege.ru/formula/13/13f126065b32c23af21ee15f32e0a54f.pngпрямая, заданная уравнением http://reshuege.ru/formula/22/222b661ca774b3d5fb99c6e8ffe49e5f.pngимеет две общие точки с полуокружностью. Прямая MB, заданная уравнением http://reshuege.ru/formula/22/222b661ca774b3d5fb99c6e8ffe49e5f.pngпроходит через точки http://reshuege.ru/formula/ed/edba5d31e37d73d12603fe8f5e07b9fb.pngи http://reshuege.ru/formula/c3/c3b6b1b689401d764fefe2631c34d068.pngследовательно, её угловой коэффициентhttp://reshuege.ru/formula/a5/a5fc9e376a0b8f5683a920be21da150d.pngПри http://reshuege.ru/formula/4e/4e3a6894a795ad95bda0feea892fb19c.pngпрямая, заданная уравнением http://reshuege.ru/formula/eb/eb92ce2d89b5dd8daa728648fb3a3017.pngимеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что приhttp://reshuege.ru/formula/ea/ea0c3010621dd4e093f279c8adc77906.pngисходное уравнение имеет единственный корень. При http://reshuege.ru/formula/5f/5fbaed90aeda133d5ead57aed7e7a956.pngпрямая не имеет общих точек с полуокружностью.

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/dd/dddd6fae9e269b6a061d914d2c6fc065.png

    Задание С7

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты

    4

    Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

    3

    Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов

    2

    Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е; — оба набора задуманных чисел в п. в

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    4

    а) Чему равно число способов записать число 1292 в видеhttp://reshuege.ru/formula/d8/d8bb92aa3f1e586e6d84d6dd82ce9041.pngгде числа http://reshuege.ru/formula/d8/d8dd7d0f3eb7145ca41c711457b7eb8f.png — целые, http://reshuege.ru/formula/d5/d5c401971e456953708ba40162968574.png

     

    б) Существуют ли 10 различных чисел http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.pngтаких, что их можно представить в видеhttp://reshuege.ru/formula/86/866f36045463e3cf2044b598be9fec9c.pngгде числа http://reshuege.ru/formula/d8/d8dd7d0f3eb7145ca41c711457b7eb8f.png — целые, http://reshuege.ru/formula/ea/eadf7063d00863920bbe37e306151638.pngровно 130 способами?

     

    в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в видеhttp://reshuege.ru/formula/86/866f36045463e3cf2044b598be9fec9c.pngгде числа http://reshuege.ru/formula/d8/d8dd7d0f3eb7145ca41c711457b7eb8f.png — целые, http://reshuege.ru/formula/ea/eadf7063d00863920bbe37e306151638.pngровно 130 способами?


    Решение.

    Каждое число http://reshuege.ru/formula/d3/d35d32d393e457fcabb21da0d3a03899.pngоднозначно представляется в виде http://reshuege.ru/formula/49/497079c5dd936a9475fdac348a02b1dc.pngгде http://reshuege.ru/formula/04/042f91cc838f9a721c8d46ed49fac01c.pngиhttp://reshuege.ru/formula/9c/9cc7ed2e0664be9fb2b8895155d5f30c.pngЗначит, для каждого представления некоторого числа http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.pngв виде http://reshuege.ru/formula/ac/ac7767391ccff6dffd884b75ae584405.pngимеет место единственное представление http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.pngв виде http://reshuege.ru/formula/ce/ce12f26abf5a9602829b1e457a371e0f.pngгде http://reshuege.ru/formula/23/2309ce7f3ee052880e13bdc1433261af.pngи http://reshuege.ru/formula/44/44ff0fc831c264ccd1a2740937089c90.png — произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.pngв виде http://reshuege.ru/formula/ac/ac7767391ccff6dffd884b75ae584405.pngравно числу способов записать число http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.pngв виде http://reshuege.ru/formula/61/614e32be86e95f2cf56d1b6604476756.png

     

    а) Для представления числа 1292 в виде http://reshuege.ru/formula/ef/efea6499b89d6733f735d7b4d073b983.pngв качестве http://reshuege.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.pngможно взять любое целое число от 0 до 129. При этом http://reshuege.ru/formula/f4/f443eb70047ab001c2437bf95a17cc10.pngопределено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 130.

     

    б) Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1290 до 1299 представимо в требуемом виде ровно 130 способами.

     

    в) Рассмотрим представление некоторого числа http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.pngв видеhttp://reshuege.ru/formula/ce/ce12f26abf5a9602829b1e457a371e0f.pngгде http://reshuege.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.pngи http://reshuege.ru/formula/6f/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png — некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим http://reshuege.ru/formula/6f/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.pngв виде http://reshuege.ru/formula/ad/ad1fa82aaa46dbf59aed030bccc3b626.pngгде http://reshuege.ru/formula/2d/2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png — цифра единиц числа http://reshuege.ru/formula/86/86c561094c398ae32ba840528359ff2a.pngа http://reshuege.ru/formula/8c/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:

     

    http://reshuege.ru/formula/d9/d9f07f1ea4be61a5a9bd0c88db00ede8.png

     

    Найдём все числа http://reshuege.ru/formula/20/203b72e01aead089a31554ab7f19520e.pngпредставимые ровно 130 способами в виде http://reshuege.ru/formula/07/076c58823b5f679470ee2fb38bb5098e.pngгде http://reshuege.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png — некоторое целое число от 0 до 9999, а http://reshuege.ru/formula/8c/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png— некоторое целое число от 0 до 999.

     

    Пусть для некоторого числа http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.pngпредставления http://reshuege.ru/formula/0c/0c9ce20b3a4fe1394fbab0fe82e5458c.pngи http://reshuege.ru/formula/05/052a499ea44287500c60bf2ae3e3b82b.pngтаковы, что http://reshuege.ru/formula/6c/6c773b2b7798e5713845e475d0c4b4c7.png— наименьшее возможное http://reshuege.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png, а http://reshuege.ru/formula/e5/e501ae2ad90dc374410a774da21c5739.png — наибольшее возможноеhttp://reshuege.ru/formula/36/36cb6ed5283e452800c275dd6934aecc.pngТогда http://reshuege.ru/formula/73/736d273471d321333c10267de035b33f.pngили http://reshuege.ru/formula/e9/e944d1ffc4770c8f5bed20de9b6a1994.pngиначе бы было представление http://reshuege.ru/formula/ec/ecb8c69ba692fc75cd1f513c5ed9f676.pngАналогично, http://reshuege.ru/formula/48/4806a6a4cc564d256fd244d89b89bbc2.pngили http://reshuege.ru/formula/f6/f67652186155713ffade1f41e96f80d3.png

     

    Заметим, что для любого целого http://reshuege.ru/formula/9f/9f29abde1bb7db037da9d05ea02015db.pngтакого, что http://reshuege.ru/formula/31/318c6140db32066baec9eb4afeb7ba15.pngимеется представление http://reshuege.ru/formula/e4/e40d3e8d3e533ebbba761013662080ae.pngпоскольку http://reshuege.ru/formula/2e/2ef5daebedeb6c5f093eabcf3e0d2f1a.pngТаким образом, количество представлений равноhttp://reshuege.ru/formula/f4/f4891156c7372559b2f2f7b08507371a.pngЕсли http://reshuege.ru/formula/db/db82df0c02f6c73682183e72412d56c2.pngили http://reshuege.ru/formula/51/514c714b3ff62769667507cf291ffec1.pngто представлений больше. Значит, или http://reshuege.ru/formula/19/19a55e032b4f0341ba44bda6186c8d06.pngилиhttp://reshuege.ru/formula/57/575a78dc83e4c638150891c611979546.pngгде http://reshuege.ru/formula/2d/2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png — произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.

     

    Ответ: а) 130; б) да; в) 20.



    Предварительный просмотр:

    Вариант № 8083730

    № п/п

    Тип

    Правильный ответ

    1

    B1

    4

    2

    B2

    39

    3

    B3

    18

    4

    B4

    9

    5

    B5

    0,25

    6

    B6

    -185

    7

    B7

    0,25

    8

    B8

    3

    9

    B9

    0,5

    10

    B10

    80,625

    11

    B11

    8,8

    12

    B12

    24

    13

    B13

    9

    14

    B14

    10

    15

    C1

    16

    C2

    17

    C3

    18

    C4

    19

    C5

    20

    C6

    21

    C7


    Решения

     Задание 1  

    В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 300 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 6 недель?


    Решение.

    За 6 недель в офисе расходуется 300 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 6 = 1800 листов бумаги. Разделим 1800 на 500:

     

    http://reshuege.ru/formula/f1/f16a2c3f846d8e5cd243de726a140221.png.

    Значит, можно будет купить 4 пачки.

     

    Ответ: 4.

         Задание 2

    На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=60

     


    Решение.

    Из графика видно, что наименьшая цена за баррель нефти составляла 39 долларов США (см. рисунок).

     

    Ответ: 39.

         Задание 3

    Рейтинговое агентство определяет рейтинг соотношения «цена-качество» микроволновых печей. Рейтинг вычисляется на основе средней цены P и оценок функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель оценивается экспертами по 5-балльной шкале целыми числами от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

     

    R = 8(F + Q) + 4D − 0,01P.

     

    В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких моделей печей. Определите, какая модель имеет наивысший рейтинг. В ответе запишите значение этого рейтинга.

    http://reshuege.ru/get_file?id=13137

    Решение.

    Рассмотрим все варианты.

     

    Модель А: http://reshuege.ru/formula/5b/5bd6eba9d0ecb4fdbd30ef767a9aea1a.png

    Модель Б: http://reshuege.ru/formula/f6/f655cfa5e43cdd47c2f4011c28a1834e.png

    Модель В: http://reshuege.ru/formula/17/172c3e307a2de066405bce34b620a52e.png

    Модель Г: http://reshuege.ru/formula/de/de51bdc4a70778108d71e285487490ec.png

     

    Таким образом, наивысший рейтинг имеет модель Г. Он равен 18.

     

    Ответ: 18.


     Задание 4

    http://reshuege.ru/pic?id=p15949Найдите площадь прямоугольной трапеции, изображенной на рисунке.

    Решение.

    Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому

     

    http://reshuege.ru/formula/e6/e6bb319de78fb4855dc35ac6768472ef.png см2.

    Ответ: 9.

     Задание 5

    Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. 

    Решение.

    Жребий начать игру может выпасть каждому из четырех мальчиков. Вероятность того, что это будет именно Петя, равна одной четвертой.

    Ответ: 0,25.

         Задание 6

    Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/79/7933d9ab1d1a186b6c8aab0e72106525.png.



    Решение.

    Возведем в квадрат:

    http://reshuege.ru/formula/73/734b48e60a0946634efab0522eea29b8.png

    Ответ:  −185.


     Задание 7

    http://reshuege.ru/get_file?id=124В треугольнике ABC угол C равен 90°, http://reshuege.ru/formula/79/794a46dec4c9761519f9ca5433cc357a.png. Найдите http://reshuege.ru/formula/8a/8af051cbb8c3d53969e59e56700914c8.png.

     

    Решение.

    Имеем:

     http://reshuege.ru/formula/de/de2f443e0907b792b58456361a8a10eb.png

    Ответ: 0,25.

     Задание 8

    На рисунке изображен график функции http://reshuege.ru/formula/7c/7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png и отмечены точки −2, −1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
    Решение.b8_3_min.94.eps

    Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −2, 4, равна нулю в точке −1, положительна в точке 3. Тем самым значение производной наибольшее в точке 3.

     

    Ответ: 3.

     

    Примечание: По графику трудно определить точно, как ведет себя функция в точке х = −1. Если считать, что это точка максимума, то производная в ней равна нулю. Если же считать, что эта точка чуть левее точки максимума, то в ней функция возрастает, а производная "чуть-чуть" больше нуля. На ответ это не влияет, так как в точке х = 3, функция "растёт более круто", а значит производная в этой точке больше.


     Задание 9

    http://reshuege.ru/get_file?id=5382Найдите тангенс угла http://reshuege.ru/formula/0b/0b49863ffc103913368b53f81bb6846f.png многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

    Решение.

    Рассмотрим прямоугольный треугольник http://reshuege.ru/formula/e5/e5fe2d85137ce71dd94b8fadca1cf62c.png:

     

    http://reshuege.ru/formula/ae/ae51233ba63555710c8fcb40a4213f60.png

    Ответ: 0,5.

     Задание 10 Найдите значение выражения http://reshuege.ru/formula/be/beb20b22cfd4cf4f78329d5611a9e6a5.png.

    Решение.

    Выполним преобразования:

     

    http://reshuege.ru/formula/03/03b356cf540905d2d9683ecea725dba3.png.

    Ответ: 80,625.


     Задание 11

    К источнику с ЭДС http://reshuege.ru/formula/26/26278f46a55a60d73971190ad5eeb652.png В и внутренним сопротивлением http://reshuege.ru/formula/36/362f99633d8b0fb22150705af6f5bb00.png Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлениемR Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой http://reshuege.ru/formula/8e/8e2d5ae0a3f0429daea0fefd59099392.png. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 55 В? Ответ выразите в омах.

    Решение.

    Задача сводится к решению неравенства http://reshuege.ru/formula/5a/5aafd0fd76feffc1075941038027bd4e.png В при известных значениях внутреннего сопротивления http://reshuege.ru/formula/d5/d593d840fe599f079cf633d32730bfbd.png Ом, ЭДС http://reshuege.ru/formula/3d/3d8948c40a36329dd5944d230a459452.png В:

    http://reshuege.ru/formula/b6/b6c3708b6f4092cdd1b3d9b1648e916a.png Ом.

    Ответ: 8,8.


     Задание 12

    http://reshuege.ru/get_file?id=872Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на http://reshuege.ru/formula/52/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png

    Решение.

    Найдем образующую по теореме Пифагора: http://reshuege.ru/formula/62/628f678d06bc44b93b4fe4b822959ccd.png. Площадь полной поверхности конуса

     

    http://reshuege.ru/formula/9e/9e9ab35bf446df8f6568e43ef9d33d01.png.

    Ответ: 24.


     Задание 13

    Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

    Решение.

    Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим http://reshuege.ru/formula/ff/ffc5c3b582a965872d99195c815deb4b.png и http://reshuege.ru/formula/6d/6dbe39ccb422cd0da8226a6773c4f61d.png http://reshuege.ru/formula/f0/f028914f00d56b2bcaec216900dde137.png — скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут:

     

    http://reshuege.ru/formula/10/10b7a1ed2751545f6f524346662dbf6b.png.

    По условию задачи одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов, то есть http://reshuege.ru/formula/2c/2c17ad069ae072ced91abcfd7813f643.png. Таким образом,

     

    http://reshuege.ru/formula/5e/5e7d619f3df715e97a2c2a4877790de4.png.

    Тем самым, вторая труба за час наполняет 1/9 бассейна, значит, вторая труба наполняет этот бассейн за 9 часов.

    Ответ: 9.

    Приведем другое решение.

    Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов.


     Задание 14

    Найдите точку минимума функции http://reshuege.ru/formula/fb/fb50b5bd83bd673d1e756934334d8bc7.png.

    Решение.

    Найдем производную заданной функции:

     

    http://reshuege.ru/formula/42/427b9ccc42347c8e742dfd5022334d8b.png.

    Найдем нули производной:

     

    http://reshuege.ru/formula/98/98b96a40a0bc0a8901f0996fa826d5b5.png

     

    Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

    http://reshuege.ru/get_file?id=17808

    Искомая точка минимума http://reshuege.ru/formula/28/285a5d1baf1b7b84552a0ab4104041b8.png.

     

    Ответ: 10.

    Проверка части С

    Задание С1

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Уравнение решено верно

    2

    Корни числителя найдены верно, но само уравнение решено неверно

    1

    Все прочие случаи

    0

    Максимальный балл

    2

    Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/56/56ce581a700b5b4449274c4c46bb0bee.png


    Решение.

    http://reshuege.ru/formula/71/713d4332773581ca8b1487dbdc883a23.png

    Решим уравнение http://reshuege.ru/formula/d1/d1817c9906667d104b972b600db968c3.png

     

    http://reshuege.ru/formula/78/7815e42245699a311b123ff3c2a726e3.png

    откуда http://reshuege.ru/formula/11/11cc890aef7b3a53340303d48f176fb9.png

    Из найденных решений условию (*) удовлетворяют только http://reshuege.ru/formula/03/03289c0fba18dfaab3b366371dcca580.png и http://reshuege.ru/formula/60/60758f3b6c96fd30627ea6e2ceb9c9de.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/22/228d27a81415f6a84b3a46771ec0405d.png

    Задание С2

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    В результате использования верных утверждений и формул получен верный ответ. Обоснование не содержит неверных утверждений.

    2

    В результате использования верных утверждений и формул задача доведена до ответа, но получен неверный ответ в результате допущенной вычислительной ошибки или описки. Обоснование не содержит неверных утверждений* Все промежуточные вычисления и полученный ответ верны, но обоснование отсутствует или содержит неверные утверждения.

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

    0

    *Критерии распространяются и на случай использования координатного метода 

    Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP ― образующая этого конуса и AP = AC . Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.


    Решение.

    http://reshuege.ru/get_file?id=12650Пусть отрезок http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png ― хорда основания, параллельная http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.png Тогда треугольник http://reshuege.ru/formula/a7/a771a5a37055ebcd81f69ccb77ac9a9b.png является искомым сечением, так как плоскость http://reshuege.ru/formula/a7/a771a5a37055ebcd81f69ccb77ac9a9b.png содержит прямую http://reshuege.ru/formula/0f/0fd3f8dd5edc33b28db1162e15e8fcbc.png и прямую http://reshuege.ru/formula/26/26d73105582a0c4514f4ada595749f39.png параллельную http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.png Опустим перпендикуляр http://reshuege.ru/formula/d7/d71bdd22c8bb93b8d287dce6f46aed25.png на прямую http://reshuege.ru/formula/a2/a218b183751b614e66f14c82240dff3d.png Согласно теореме о трех перпендикулярах http://reshuege.ru/formula/e0/e0aa021e21dddbd6d8cecec71e9cf564.pngтакже является перпендикуляром к http://reshuege.ru/formula/26/26d73105582a0c4514f4ada595749f39.png значит, http://reshuege.ru/formula/a1/a102aa960a62f2fff204fb979eea3e7d.png Высота http://reshuege.ru/formula/7e/7e4137add2dfe45e078e7f076aec84df.png треугольника http://reshuege.ru/formula/d2/d21495bc3f90bf7eab0da17a57b35371.pngлежит в плоскости http://reshuege.ru/formula/8c/8cd1a8de085722093fc8b8260afa8048.png следовательно, http://reshuege.ru/formula/99/9966e35dd7904c06c37a2e211dad6bcc.png и http://reshuege.ru/formula/e4/e41163dbb1b9f0e1b3e4272096421a72.png значит, http://reshuege.ru/formula/12/12cb5ac45288df25d1cf774b0bb157e2.png

    Далее находим:

    1) из условия http://reshuege.ru/formula/34/3440e2cd57101bc65e0ace8056c6d9fd.png http://reshuege.ru/formula/80/8088021c4ccc9b8d2a85b4dc5436b10d.png

    2) из правильного треугольника http://reshuege.ru/formula/3b/3bb6e0ad320f88b018bd620492e476ef.png http://reshuege.ru/formula/06/0609b9803b42546dcdf314722e2edeed.png

    3) из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/a2/a23b12aceb195ade0ecea15b9be11914.png http://reshuege.ru/formula/32/32522275aeae36de3d3fe63bc583f440.png

    4) из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/41/410d224898f93a8119e6bf3478ebb5be.png

    а) http://reshuege.ru/formula/57/576411a46a2518cbf4f6f5d4f6db7568.png

    б) http://reshuege.ru/formula/a3/a3f903593321422a3eae229cf8f3f254.png

     

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/46/4651512a0c007abc63aa52e2a78e5863.png

       

    Задание С3

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен верный ответ

    3

    Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного только конченым числом точек

    2

    Полученный ответ неверен, но решение содержит переход от исходного неравенства к верным рациональным неравенствам

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    3

    Решите неравенство http://reshuege.ru/formula/fd/fd8bc04a5d9375a377490ba69153f573.png


    Решение.

    Запишем неравенство в виде:

     

    http://reshuege.ru/formula/b6/b6bb986ab0c548af05a7afd79c4869a0.png

     

    Сделаем замену http://reshuege.ru/formula/74/74d182447321b193577993c1cde591fa.png и приведем левую часть к общему знаменателю:

     

    http://reshuege.ru/formula/6e/6ec47e3f23145c93aeb7221081e4afd7.png

     

    Решением полученного неравенства является множество http://reshuege.ru/formula/bf/bfb8e4636350f730affef8527cc2e73a.png Возвращаясь к переменной х, находим множество решений исходного неравенства: http://reshuege.ru/formula/55/559dcc3d18c3c84ccf925e74c23bf66c.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/af/af8548110b720fe3e0d90ed114e84ce8.png

    Задание С4

    Критерии оценивания ответа на задание С4

    Баллы

    Обоснованно получен верный ответ

    3

    Рассмотрена хотя бы одна возможная геотметрическая конфигурация, для которой получено правильное значениеискомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок.

    2

    Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получен значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки

    1

    Решение не соответсвует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальное количество баллов

    3

    Четырехугольник http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png описан около окружности и вписан в окружность. Прямые http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png и http://reshuege.ru/formula/cf/cf75e54791dd1f49f918345fdfe2430b.png пересекаются в точке http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что http://reshuege.ru/formula/e4/e449821bb406662c23a9dc536e32c7d7.png и радиусы окружностей, вписанных в треугольники http://reshuege.ru/formula/e2/e2cc0cdaccb483cf829036ec7f5ec031.png и http://reshuege.ru/formula/48/48af4341f745163f945fa838eeabb062.png равны соответственно http://reshuege.ru/formula/4b/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png и http://reshuege.ru/formula/e1/e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png.


    Решение.

    Первый случай.

    Центры http://reshuege.ru/formula/31/31b6eb924de49df799c3016cfea5a36b.png и http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png окружностей, вписанных в треугольники http://reshuege.ru/formula/39/396262ee936f3d3e26ff0e60bea6cae0.png и http://reshuege.ru/formula/48/48af4341f745163f945fa838eeabb062.png соответственно, лежат на биссектрисе http://reshuege.ru/formula/eb/eb0459bfce4185888ecf61fb07987581.png угла http://reshuege.ru/formula/c7/c758cb1c0849d51800af6d1b13f5ecaf.png Окружность, вписанная в четырехугольник http://reshuege.ru/formula/62/62998849b60e107f9c015888d7338525.png является также окружностью, вписанной в треугольник http://reshuege.ru/formula/48/48af4341f745163f945fa838eeabb062.png и вневписанной окружностью треугольника http://reshuege.ru/formula/c3/c35d74f509577c810b253b17d41bc769.png Будем искать площадь четырехугольника http://reshuege.ru/formula/62/62998849b60e107f9c015888d7338525.png как разность площадей треугольников http://reshuege.ru/formula/48/48af4341f745163f945fa838eeabb062.png и http://reshuege.ru/formula/c3/c35d74f509577c810b253b17d41bc769.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1619

    Четырехугольник http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png вписан в окружность, следовательно, http://reshuege.ru/formula/5a/5a615926240c9fd7500045c961284eaa.png но http://reshuege.ru/formula/0d/0df34f34172425b47cf1ced92e5c309d.png откуда http://reshuege.ru/formula/e0/e0eef02edc51cc6a1070c1521a2df958.png Так как треугольники http://reshuege.ru/formula/e2/e2cc0cdaccb483cf829036ec7f5ec031.png и http://reshuege.ru/formula/48/48af4341f745163f945fa838eeabb062.png имеют еще общий угол http://reshuege.ru/formula/b4/b4421aacfa3a14221bae9a369c8886f0.png они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

    Далее имеем:

    1) http://reshuege.ru/formula/4b/4be5b7601dba2fd16e9d1a53b0f7fe78.png

    2) http://reshuege.ru/formula/01/015af2332b0ec2a08bed803ae95c50e1.png где http://reshuege.ru/formula/83/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png — полупериметр треугольника http://reshuege.ru/formula/53/534bee537f4100c506415e0609f68222.png равный по свойству вневписанной окружности длине отрезка http://reshuege.ru/formula/b0/b06aafd6df914ce73249cb1d11331846.png

    3) Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/d2/d2d9f9e506f3c027e3135c78a87ea8ee.png находим http://reshuege.ru/formula/24/240a9b4e3a77dc7f75d7f8b6157d2f9e.png откуда http://reshuege.ru/formula/e1/e15705175467d78bd97db99b294d34c7.png

    Подставляя найденное значение http://reshuege.ru/formula/6f/6f0bc0644971b0c08ec43e3e6227a166.png в формулу http://reshuege.ru/formula/de/de78d40f3b33f2ac2540273181370aff.png окончательно получаем

     

    http://reshuege.ru/formula/2d/2d67b3c0590a6d9a5499572398033cae.png

     

    Второй случай.

    Отличается от первого положением точки http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png левее точек http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png и http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png. В этом случае http://reshuege.ru/formula/09/099269f12ba4712aee8078427e86e572.png и в рассуждении они и треугольники http://reshuege.ru/formula/e2/e2cc0cdaccb483cf829036ec7f5ec031.png и http://reshuege.ru/formula/6f/6fb4f22992a0d164b77267fde5477248.png должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=10867

     

    http://reshuege.ru/formula/ae/ae06b78cc053aa51e770fe9a76050bae.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/01/01d5a7f4e5c1da02579f7b750633e940.png или http://reshuege.ru/formula/a2/a21e2c2508822b7c1db8c5da0d450a78.png

     Задание С5

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен правильный ответ.

    3

    Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.

    2

    Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

    0

    Максимальный балл

    3

    31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?


    Решение

    Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01k. После первой выплаты сумма долга составит: a1 = am − x. После второй выплаты сумма долга составит:

     

    http://reshuege.ru/formula/94/94993e5ce1da7d1c4d053347c1afb6ca.png

     

    После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

     

    http://reshuege.ru/formula/67/670e71d03962169a6c545ac4cb384633.png

     

    По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому http://reshuege.ru/formula/75/75b1ca32ea7b327d3b8a7a10a8ccedec.png откуда http://reshuege.ru/formula/70/70d05a523f0ac54e63be026b8ff28545.png При a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и

     

    http://reshuege.ru/formula/37/37cfa47be0270125e443e2d7b97e24de.png

     

    Ответ: 3 993 000 рублей.

     

    Приведём другое решение.

     

    Пусть http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png — один из трёх разовых платежей. Тогда сумма долга после оплаты в первом году составит: http://reshuege.ru/formula/be/be2bfcedad1df393cbc8891455a1f013.pngПосле внесения второго платежа сумма долга станет равной http://reshuege.ru/formula/8b/8bc88270e4ca983491b3a6f64a9c2565.png Сумма долга после третьего платежа: http://reshuege.ru/formula/0c/0cb4a4bf84e0229bb00e130aeacde70a.png Третьим платежом Сергей должен погасить долг, то есть долг станет равным нулю:

    http://reshuege.ru/formula/1c/1cb97c6621e9bec6a76e4b8c4aafabb5.png

     

    http://reshuege.ru/formula/78/7896e9bb5ecdd307753d6672154acc15.png

    Задание С6

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен правильный ответ.

    4

    Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки.

    3

    Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решений условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна.

    2

    Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом.

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

    0

    Максимальный балл

    4

    Найдите все значения a, при каждом из которых функция http://reshuege.ru/formula/4b/4b2e07042581074923073b0eac45fe76.png имеет более двух точек экстремума.


    Решение.

    Раскроем модуль:

    http://reshuege.ru/formula/e2/e2194f4eae562c0c1f0693874f3cc9da.png

     

    График функции при http://reshuege.ru/formula/fb/fb3074bc0c19891e66047764022a501d.png представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой http://reshuege.ru/formula/f3/f37e32882c606521f8d0dd99fbce38be.png При http://reshuege.ru/formula/6f/6fa9895a9b889d7897a2c06e808650da.png график представляет собой параболу с ветвями верх и вершиной с абсциссой http://reshuege.ru/formula/d9/d9d1e6c3a49998deef7ad36a6e1bb0d9.png Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях http://reshuege.ru/formula/35/357503986951b80e896b8616a418a4d6.png

    http://reshuege.ru/get_file?id=17430

     

    Из рисунка видно, что график имеет более двух точек экстремума при http://reshuege.ru/formula/83/83cf8bb1274ccad2fc8f71e0a912f714.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/5d/5df513192a34d1be47e9aaee4ec5f423.png

    Задание С7

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Верно выполнены все пункты: а), б), в) (оценка), в) (пример) 4

    4

    Верно выполнены три пункта из четырех: а), б), в) (оценка), в) (пример)

    3

    Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в) (оценка), в) (пример)

    2

    Верно выполнен один из пунктов: а), б), в) (оценка), в) (пример)

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    4

    Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записываю на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

     

    а) Может ли в результате получиться 0?

    б) Может ли в результате получиться 1?

    в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?


    Решение.

    а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.

     

    б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.

     

    в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4.

    Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2); (-2; 1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8).

     

    Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.



    Предварительный просмотр:

    8083741

    № п/п

    Номер

    Тип

    Правильный ответ

    1

    77365

    B1

    190

    2

    28745

    B2

    400000

    3

    500886

    B3

    34

    4

    27648

    B4

    8

    5

    505397

    B5

    0,4

    6

    39003

    B6

    226

    7

    27441

    B7

    22

    8

    27492

    B8

    -7

    9

    245350

    B9

    15

    10

    98467

    B10

    31

    11

    41841

    B11

    5000

    12

    274951

    B12

    60

    13

    99570

    B13

    530000

    14

    70887

    B14

    59

    15

    502094

    C1

    16

    500408

    C2

    17

    500113

    C3

    18

    500900

    C4

    19

    507212

    C5

    20

    507186

    C6

    21

    484653

    C7

    Решения

     Задание 1

    Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу? 

    Решение.

    Скидка на покупку составит 200 · 0,05 = 10 рублей. Значит, держатель дисконтной карты заплатит за книгу 200 − 10 = 190 рублей.

     

    Ответ: 190.

     Задание 2

    На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, каково наименьшее суточное количество посетителей сайта РИА Новости за указанный период.

    http://reshuege.ru/pic?id=a3755



    Решение.

    Из диаграммы видно, что наименьшее суточное количество посетителей сайта РИА Новости составило 400 000 человек (см. рисунок).

     

    Ответ: 400 000.


     Задание 3

    Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинги бытовых приборов http://reshuege.ru/formula/e1/e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png на основе средней цены http://reshuege.ru/formula/87/87fc582b5b6f286dea5c5eba273d4023.png а также оценок функциональности http://reshuege.ru/formula/80/800618943025315f869e4e1f09471012.png, качества http://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png и дизайна http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png. Каждый отдельный показатель оценивается экспертами по 5 − балльной шкале целыми числами от о до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле:http://reshuege.ru/formula/e7/e7cd4cd3c38592d19968923ed7c7908f.png

    В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических мясорубок. Определите, какая модель имеет наивысший рейтинг. В ответ запишите значение этого рейтинга.

     

    Модель мясорубки

    Средняя цена

    Функциональность

    Качество

    Дизайн

    А

    4800

    4

    1

    4

    Б

    3700

    2

    2

    2

    В

    3800

    4

    4

    2

    Г

    6000

    4

    1

    3

     



    Решение.

    Рассмотрим все варианты.

     

    Модель А: http://reshuege.ru/formula/5e/5ee75cb979aa70ab3cac920632c3ba64.png

    Модель Б: http://reshuege.ru/formula/4e/4e00ae9278587cb9ad5c53f2a884e050.png

    Модель В: http://reshuege.ru/formula/ae/aefe45d8761a0c38d6e142b0a1ffdccb.png

    Модель Г: http://reshuege.ru/formula/00/003de3e01ec9d82e05afcb1808ad0703.png

     

    Наивысший рейтинг имеет модель В, он равен 34.

     

     

    Ответ:34.

     Задание 4

    http://reshuege.ru/get_file?id=304Через точку А(6; 8) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью Oy.

    Решение.

    Ордината пересечения прямой с осью Oy совпадает с ординатой данной точки, то есть y = 8.

     

    Ответ: 8.

     Задание 5

    Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Какова вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России?

    Решение.

    В первом туре Платон Карпов может сыграть с 16 − 1 = 15 теннисистами, из которых 7 − 1 = 6 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо теннисистом из России, равна

     

    http://reshuege.ru/formula/34/34c4378f311ee0745684fd2bd7241722.png

    Ответ: 0,4.


     Задание 6

     Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/c6/c61ce40c0e41a7b25563fe68897e9d31.png.


    Решение.

    Возведем обе части уравнения в третью степень:

    http://reshuege.ru/formula/69/6931c43cce805887b1a73bdf39a9db53.png

    Ответ: 226.


     Задание 7

    http://reshuege.ru/get_file?id=1285Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен http://reshuege.ru/formula/df/df9979cc6d33c0b9d71a8a5f061de506.png. Найдите меньшее основание.

    Решение.

    http://reshuege.ru/formula/cd/cd9a5643994cb9bf72941140c1a298f6.png

    http://reshuege.ru/formula/26/261aa08ec15852d422eca5d141c8f1c3.png.

    Ответ: 22.


     Задание 8

    http://reshuege.ru/get_file?id=6109На рисунке изображен график производной функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png, определенной на интервале http://reshuege.ru/formula/cf/cfb4355bbe4889a6f5b30a3dd10a4b78.png. В какой точке отрезка http://reshuege.ru/formula/3c/3c22799ef93de97bf94c08123d1b62a3.png http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png принимает наименьшее значение?

     

    Решение.

    На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке http://reshuege.ru/formula/74/74687a12d3915d3c4d83f1af7b3683d5.png.

    Ответ: −7.


     Задание 9

    http://reshuege.ru/get_file?id=3408

    Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 5. Найдите объем цилиндра.

     
    Решение.

    Поскольку

    http://reshuege.ru/formula/78/78d71bc4af1382dc303e92826782678a.png

     

    а конус и цилиндр имеют общую высоту и основание, имеем:

     

    http://reshuege.ru/formula/4f/4ffebc38217e7d9a4e36af66fd2653a9.png.

     

    Ответ: 15.

     Задание 10

    Найдите значение выражения http://reshuege.ru/formula/94/94d9df525de1f5e65a515eff687b1374.png, если http://reshuege.ru/formula/8a/8a1cbca324925049848727fda37b2401.png.



    Решение.

    Выполним преобразования:

    http://reshuege.ru/formula/8a/8a6cdf91479fb07cdeb17c1fd9bb5603.png.

    Ответ: 31.


     Задание 11

    Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: http://reshuege.ru/formula/19/196eb149b45ea13e79f7e6c147f9e3ca.png, где http://reshuege.ru/formula/31/31e2a7327b45e9d56ec253c1799d99d2.png — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь http://reshuege.ru/formula/ac/ac30bf38cd081abc90f730617da2b57d.png мhttp://reshuege.ru/formula/02/02850d6a647bc6cdb7f44baeb1f90089.png, а излучаемая ею мощность P не менее http://reshuege.ru/formula/13/138f169c5eab68a36db6a816ed76a1ac.png Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

    Решение.

    Задача сводится к нахождению наименьшего решения неравенства  при известном значениях постоянной http://reshuege.ru/formula/65/65b5e72c60acb468381c96dc9701384e.png и заданной площади звезды http://reshuege.ru/formula/e8/e85595dd107792db255adc168147ad12.png :

     

    http://reshuege.ru/formula/66/66ce77d74913b4dcaa30fc79f5d193a4.png

     

     

     

    Ответ: 5000.

     Задание 12

    В правильной шестиугольной призме http://reshuege.ru/formula/16/16f1eaa73b0f18383d95a4fecd069bcc.png все ребра равны 34. Найдите угол http://reshuege.ru/formula/8f/8f69f364a491d1d283f58e36c2fa86da.png. Ответ дайте в градусах.

    Решение.

    http://reshuege.ru/get_file?id=5160Рассмотрим прямоугольный треугольник http://reshuege.ru/formula/79/7969beedae910a52dedf35e4743a3fa4.png:

     

    http://reshuege.ru/formula/72/7205bc885621b7c67c3d883e9e1e5547.png

    Осталось найти диагональ основания. В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны http://reshuege.ru/formula/c0/c032aade269575120eb65a71917ac277.png, тогда по теореме косинусов для треугольника http://reshuege.ru/formula/f5/f5a2e8cb3c793f98e6e5431e713384e1.png имеем:

    http://reshuege.ru/formula/ba/ba1332bcb49e5517fc640d76c8901a20.png

    При этом http://reshuege.ru/formula/fc/fc5cee541363d625239f2174fcc4c5e5.png Так как http://reshuege.ru/formula/28/289f0b293c2195a461dbcadcb6a3d7a6.png — острый, он равен http://reshuege.ru/formula/f3/f3ceca35ed390851b911b02ece0ca0fb.png

    Ответ: 60.


     Задание 13

    Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон – 42 000 рублей, Гоша – 12% уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

    Решение.

    Антон внес http://reshuege.ru/formula/b1/b1da7a93bc037c32b2520db965473a2f.png уставного капитала. Тогда Борис внес http://reshuege.ru/formula/be/be5098ef342762c1d215f26837678cb0.png уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается http://reshuege.ru/formula/0b/0b6e81d5fb1c514f9c445a66d05f00aa.png рублей.

     

    Ответ: 530000.


     Задание 14

    Найдите точку максимума функции http://reshuege.ru/formula/4c/4c844411937ec27a704915c0df3d8c51.png

    Решение.

    Найдем производную заданной функции:

     

    http://reshuege.ru/formula/a8/a821371c054689f9aa4b9081e5a877d8.png

     

    Найдем нули производной:

    http://reshuege.ru/formula/c0/c00aba7527ec1a3f2faf2d996cb92ff8.png

     

    Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=15751

    Искомая точка максимума http://reshuege.ru/formula/ae/ae5e1e19bb3e9ab4ec4e51e813c93bad.png.

     

    Ответ: 59.

    .

    Задание С1

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

    2

    Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или в пункте б)

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    2

    а) Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/27/27619f90b1995f39cfde3b9008197086.png

    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку http://reshuege.ru/formula/cc/ccd364fd00a3d6e8ec3fcc8d02d437d9.png


    Решение.

    а) Преобразуем исходное уравнение: http://reshuege.ru/formula/fe/fec554d6099d41d90d9e2cb57482c010.png

    Пусть http://reshuege.ru/formula/19/1908fbb189e2cd43ae9f6166353247ea.png тогда уравнение запишется в виде http://reshuege.ru/formula/a6/a6ac777d275d47eab0ccd329a23c5d61.png откуда http://reshuege.ru/formula/13/13682f524ee5322338fb0fc5e91af229.png или http://reshuege.ru/formula/ad/ad634ce6751703606a02cee6b17d1d09.png

    При http://reshuege.ru/formula/3f/3f3d5118e374c670258e6e2b2cfb1b0c.png получим: http://reshuege.ru/formula/e7/e7d0086026f364b5bbdae7b2d42ba310.png откуда http://reshuege.ru/formula/fb/fb6a4dda08f8b6b0154a6745f57cf404.png

    При http://reshuege.ru/formula/a0/a0df9f62489172b39d8762237728227e.png получим: http://reshuege.ru/formula/99/99bf6d33791b2355f75494e8cd742a1b.png откуда http://reshuege.ru/formula/00/002d69ac21e8995cd7c61d115dbe2a94.png

    б) Корень http://reshuege.ru/formula/d3/d37ffc54b67ce8de1f01efb1f2e33689.png не принадлежит промежутку http://reshuege.ru/formula/54/54526b9678304009f683870419fc4655.png Поскольку  и http://reshuege.ru/formula/bd/bdcb96f125ecc5a59f73907f60d4b2e6.png корень принадлежит промежутку http://reshuege.ru/formula/54/54526b9678304009f683870419fc4655.png

    Ответ: а) http://reshuege.ru/formula/ac/ac1a8cce80401ec7b5e5a209e7c40592.png б) http://reshuege.ru/formula/34/3474fc56bd96ec543f015a54d6ff58ac.png

    Задание С2

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен верный ответ

    2

    Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    2

    Точка http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png — середина ребра http://reshuege.ru/formula/1d/1d1a5eb698955091aadf0a6a26c747c0.png куба http://reshuege.ru/formula/a6/a646c7825be81ffe6a7b5e882e628956.png Найдите угол между прямыми http://reshuege.ru/formula/d3/d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png и http://reshuege.ru/formula/ab/abf6269a540e5bf9a86aa69fd667bc42.png


    Решение.

    http://reshuege.ru/get_file?id=5076Примем ребро куба за http://reshuege.ru/formula/9f/9fbcccf456ef61f9ea007c417297911d.png Тогда http://reshuege.ru/formula/fd/fdfbffd22e6e33bc8c107d9bbcd0921b.png Проведём через точку http://reshuege.ru/formula/26/262e0afc75c8a9fc536a7dce57e6ebe1.png прямую, параллельную http://reshuege.ru/formula/72/72435babaa7f214cd30fe0707e2abd66.png Она пересекает продолжение ребра http://reshuege.ru/formula/86/86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png в точке http://reshuege.ru/formula/04/0468cb8d268d098c239bc60f2a18e519.png причём http://reshuege.ru/formula/ea/ea304abf7308cf2a4712abde16c987f3.png Искомый угол равен углу http://reshuege.ru/formula/6b/6bd8eeb078c20dff53d6c0d811769af6.png (или смежному с ним).

    В прямоугольном треугольнике http://reshuege.ru/formula/b1/b195d665e3cd00c3e811544dbf24a29e.png с прямым углом http://reshuege.ru/formula/4f/4fa71d007c094ac3c858919aec515277.png

     

    http://reshuege.ru/formula/4d/4d647091604c0de492d755229b7bbccd.png

    В прямоугольном треугольнике http://reshuege.ru/formula/0c/0cffd3fdeae73b73a43a5db8550c6418.png с прямым углом http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png

     

    http://reshuege.ru/formula/20/202e762bcccaa0a9f6a03cad86194e51.png

    В треугольнике http://reshuege.ru/formula/91/917c0b7e8184cf7ec1ca978c7410b168.png по теореме косинусов

     

    http://reshuege.ru/formula/47/47064e7fb90d03eaf0c11101d72921b9.png

    откуда http://reshuege.ru/formula/f6/f6c64dc80e61d70150c622ebbc8a822d.png а тогда http://reshuege.ru/formula/6f/6fb2621f0d9c133677fc1566cd307ba3.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/21/21e562e32d8a16105275baf835b50441.png.

     

    Примечание.

    Ответ может быть представлен и в другом виде:

     

    http://reshuege.ru/formula/ac/ac3ca495cf5982dbab71808c466c5f76.png

     

    Задание С3

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен верный ответ

    3

    Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств

    2

    Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы неравенств

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    3

    Решите систему неравенств http://reshuege.ru/formula/23/235f737329783afda95b095429ee1e42.png


    Решение.

    Решим первое неравенство системы. Сделаем замену http://reshuege.ru/formula/3c/3c8dc7782c707b937af5efd30fc6010e.png, тогда:

     

    http://reshuege.ru/formula/fc/fc7136c4888b4279aef0267dab7bb695.png

     

    Вернемся к исходной переменной. Имеем:

     

    http://reshuege.ru/formula/86/862a17c27b482c03b55785aad1bd9e62.png

     

    Решим второе неравенство системы. Используя формулу http://reshuege.ru/formula/47/478bb4c372c64c35bac7adcc8953b7ce.png, получаем:

     

    http://reshuege.ru/formula/25/25497ab1fa5da3f47c0c33e2c645fdba.png

     

    http://reshuege.ru/formula/0d/0d5a80dc4081a2d17e7d1a39de07bc7a.png

     

     

    Тем самым, решениями исходной системы неравенств являются http://reshuege.ru/formula/97/97f1adc85bb621a87e7975b8101e809d.png

     

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/c7/c743caa15af2f71e06606b7a20a51620.png

    Задание С4

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен верный ответ

    3

    Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой вличины

    2

    Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

    0

    Максимальный балл

    3

    Дан прямоугольник http://reshuege.ru/formula/6f/6fb585055d26d304979faf8440885033.png со сторонами: http://reshuege.ru/formula/39/39d47890c3eab678cafe8fa501dede31.pnghttp://reshuege.ru/formula/c5/c54ba72f0db76fdb8e6b0e69710db854.png. Прямая, проходящая через вершину http://reshuege.ru/formula/fa/fab9008ec85fe816503590b7f640c41b.png касается окружности с центром http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png радиуса 4 и пересекается с прямой http://reshuege.ru/formula/aa/aa2b36dabd254260f584015a9e0c5c98.png в точке http://reshuege.ru/formula/12/12f31853fb6eae539a2a6883f2fca0ea.png Найдите http://reshuege.ru/formula/f0/f0e08eac4af63c16a004d13b5d8f2726.png


    Решение.

    http://reshuege.ru/get_file?id=6697Пусть точка http://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png лежит между http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png иhttp://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png (рис.1), http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png — точка касания прямой http://reshuege.ru/formula/51/51f581937765890f2a706c77ea8af3cc.png с данной окружностью. Обозначим http://reshuege.ru/formula/00/008720db35a4b911db50c809cc0dd58e.png

    Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/f8/f88ffebee9059bc894808be5d6fbc80e.png по теореме Пифагора находим

     

    http://reshuege.ru/formula/c7/c79a09953f52d01c33d4db3e7c9f81ae.png

    Прямоугольные треугольники http://reshuege.ru/formula/f8/f88ffebee9059bc894808be5d6fbc80e.png и http://reshuege.ru/formula/8d/8dde26c96d23303b76d872ced90d636b.png подобны, поэтому http://reshuege.ru/formula/e7/e7b006eede6845a594ea5c9eb863384f.png откуда

     

    http://reshuege.ru/formula/f1/f19a069dbc5585ce9a854aa781d03946.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=6698

    Если точка http://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png лежит на продолжении стороны http://reshuege.ru/formula/93/93437597656efdb384976096b6261386.png за точку http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png (рис.2), то, рассуждая аналогично, получим уравнение http://reshuege.ru/formula/3f/3f1988aa263a660bfe6b6d9268f950b2.png из которого http://reshuege.ru/formula/41/41b5c97026d8034e8a1b3bdedaa5a661.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/e4/e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png или http://reshuege.ru/formula/79/7959ae7594eb16abfc99654cce3befa3.png

    Задание С5

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получен правильный ответ.

    3

    Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.

    2

    Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

    0

    Максимальный балл

    3

    31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?


    Решение.

    Пусть сумма кредита равна http://reshuege.ru/formula/5f/5fd263a50d1b1ee405d7acfefeb7bb3c.png а годовые составляют http://reshuege.ru/formula/93/93c4df8d417df8bf3f9507e94a41f1f1.png Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент http://reshuege.ru/formula/b1/b12911fa768050dbcf27683cc8e6f1b4.png После первой выплаты сумма долга составит http://reshuege.ru/formula/4b/4b55ab04f6741f9b47aa1755d91fe340.png После второй выплаты сумма долга составит

     

    http://reshuege.ru/formula/35/3501f622701fdb12834bbb66ff472a9e.png

     

    После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

     

    http://reshuege.ru/formula/ad/ad789849c53e10a9129bed9030c35928.png

     

    После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна

     

    http://reshuege.ru/formula/7f/7ff1a39ff9e1574bdc24db8d4201f561.png

     

    По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому

     

    http://reshuege.ru/formula/13/1381d79d5baa0beba623ee2cd71acff9.png

     

    При http://reshuege.ru/formula/bc/bc33fa179f4739c6a8242ff232a7b922.png и  получаем: http://reshuege.ru/formula/c4/c4854136da61bc9daf10a10afb0dfea5.png и

     

    http://reshuege.ru/formula/4d/4d6d4ada37cd12812666804b6d1bd9f3.png

     

    Ответ: 2 296 350.



    Предварительный просмотр:

    Вариант № 6083752

    № п/п

    Номер

    Тип

    Правильный ответ

    1

    77347

    B1

    112

    2

    27520

    B2

    4

    3

    26678

    B3

    1092

    4

    21363

    B4

    8

    5

    285925

    B5

    0,36

    6

    12957

    B6

    -1

    7

    27412

    B7

    8

    8

    119976

    B8

    20

    9

    25589

    B9

    58

    10

    26901

    B10

    16

    11

    42869

    B11

    3

    12

    74847

    B12

    729

    13

    26594

    B13

    25

    14

    282859

    B14

    2

    15

    505236

    C1

    16

    484565

    C2

    17

    484594

    C3

    18

    500003

    C4

    19

    507212

    C5

    20

    500115

    C6

    21

    502119

    C7



    Решения

     Задание 1

    В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

     
    Решение.

    Учеников начальной школы 800 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 0,3 = 240, а учеников средней и старшей школы — 800 − 240 = 560. Значит, немецкий язык в школе изучают 560 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 0,2 = 112 учеников.

     

    Ответ: 112.


     Задание 2

    На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура была отрицательной.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=86

    Решение.

    Из диаграммы видно, что было 4 месяца с температурой ниже нуля (см. рисунок).

     

    Ответ: 4.


     Задание 3

    Семья из трех человек едет из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 рублей за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

    Решение.

    Стоимость поездки на поезде для троих человек будет составлять 660 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 3 = 1980 руб. Расход бензина на 700 км пути составит 7 раз по 8 литров т. е. 56 литров. Его стоимость 56 http://reshuege.ru/formula/57/571ca3d7c7a5d375a429ff5a90bc5099.png 19,5 = 1092 руб.

     

    Стоимость самой дешевой поездки составляет 1092 рубля.

     

    Ответ: 1092.


     Задание 4  

    http://reshuege.ru/get_file?id=15536Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты (1;7), (5;3), (5;5), (1;9).

    Решение.

    http://reshuege.ru/get_file?id=15537Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и двух равных прямоугольных треугольников. Поэтому

     

    http://reshuege.ru/formula/9c/9c387f0ab162717b45fea296a140944b.png см2

    Ответ: 8.


     Задание 5

    Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

    Решение.

    В первом туре Руслан Орлов может сыграть с 26 − 1 = 25 бадминтонистами, из которых 10 − 1 = 9 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна

     

    http://reshuege.ru/formula/c1/c14ab6dea53d98e0b376deebb3a5b098.png

    Ответ: 0,36.


     Задание 6

    Найдите корень уравнения: http://reshuege.ru/formula/4b/4b0a0dc6c25668f22a259e29a9d3f1dc.png В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

    Решение.

    Решим уравнение:

    http://reshuege.ru/formula/1b/1bdedb4365f4eaff8fef5c261a4e2656.png

     

    где http://reshuege.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png — целое число.

    Значениям http://reshuege.ru/formula/b2/b22e53f4844ad42cba603e3f5517437b.png соответствуют положительные корни.

    Если http://reshuege.ru/formula/c3/c303081f7a16f603112b0375bdc84883.png, то http://reshuege.ru/formula/a2/a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png и http://reshuege.ru/formula/56/566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png.

    Если http://reshuege.ru/formula/6d/6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png, то http://reshuege.ru/formula/36/363be1a1694c88fafb86bd7b8f3bfffc.png и http://reshuege.ru/formula/d3/d3289a96da4c1cf6ce57b2b76b80b965.png.

    Значениям http://reshuege.ru/formula/74/741c5a0f2be7b7163c858b61fcdc4003.png соответствуют меньшие значения корней.

     

    Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число http://reshuege.ru/formula/6b/6bb61e3b7bce0931da574d19d1d82c88.png.

     

    Ответ: −1.


     Задание 7

    http://reshuege.ru/get_file?id=7668

    В треугольнике http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png угол http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png равен 90°, косинус внешнего угла при вершине http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png равен –0,5,http://reshuege.ru/formula/d1/d102d3c792ca059c386f3ffce90a2167.png. Найдите http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png.

    Решение.

    так как

    http://reshuege.ru/formula/33/33148f049e8a3118685ab0d3fd4c1ea4.png

    Ответ: 8.


     Задание 8

    Материальная точка движется прямолинейно по закону http://reshuege.ru/formula/8a/8a3d1e6fc45547b963dac5041befa216.png (где x — расстояние от точки отсчета в метрах,t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

     



    Решение.

    Найдем закон изменения скорости:

     

    http://reshuege.ru/formula/86/86b72c44438f5a8c178afd8b70fde963.png м/с.

     

    Тогда находим:

    http://reshuege.ru/formula/17/17d5ff9f52624617549c58e0abab2eda.png м/с.

     

    Ответ: 20.


     Задание 9

    http://reshuege.ru/get_file?id=15573Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

    Решение.

    Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2, 3, 5 и площади двух прямоугольников со сторонами 1, 2:

     

    http://reshuege.ru/formula/50/50c6cc895e80842446cebfd77f62c4fb.png.

    Ответ: 58.


     Задание 10

    Найдите значение выражения http://reshuege.ru/formula/4a/4a722936238d21f8186315562119aa72.png при http://reshuege.ru/formula/44/440bcb2225cd249b09bb29454f83249d.png.

    Решение.

    Выполним преобразования:

    http://reshuege.ru/formula/d1/d1bd88878d2e3d5d19d20bbda6e1d746.png.

    Ответ: 16.


     Задание 11

    Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде http://reshuege.ru/formula/d8/d8bd50a24805cfa2446ea059d61bfaa4.png, где http://reshuege.ru/formula/83/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png (Па) — давление в газе, http://reshuege.ru/formula/52/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png — объeм газа в кубических метрах, http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png — положительная константа. При каком наименьшем значении константы http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png увеличение в 3 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 27 раз?

    Решение.

    Пусть http://reshuege.ru/formula/83/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png и http://reshuege.ru/formula/52/5206560a306a2e085a437fd258eb57ce.png – начальные, а http://reshuege.ru/formula/7b/7bd8e5afe00e8ae8ffbb7f75b4e72afd.png и http://reshuege.ru/formula/a4/a4a64df7c78f1ab724a7c0472699f047.png – конечные значения объема и давления газа, соответственно. Задача сводится к решению неравенства http://reshuege.ru/formula/ec/ec694f4c68c5e56be5300dec9b24d26a.png, причем http://reshuege.ru/formula/8d/8db040536de07cca4a21720280338af1.png:

     

    http://reshuege.ru/formula/8b/8bae69118be654d58f1944f347973a6b.png

     

    Значит, наименьшее значение константы http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png равно 3.

     

    Ответ: 3.

     Задание 12

    http://reshuege.ru/get_file?id=827Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 6, а боковые ребра равны http://reshuege.ru/formula/01/01bf3247ee6fb24b4f59974b822a32a1.png и наклонены к плоскости основания под углом 30http://reshuege.ru/formula/08/080e9604620a20dbce9c4f12a20b75a1.png.

    Решение.

    Объем призмы

     

    http://reshuege.ru/formula/f7/f76dfc2be208daf586254f7bad1fb191.png,

    где http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png — площадь основания, а http://reshuege.ru/formula/2d/2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png — длина ребра, составляющего с основанием угол http://reshuege.ru/formula/bc/bccfc7022dfb945174d9bcebad2297bb.png. Площадь правильного шестиугольника со стороной http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png равна

     

    http://reshuege.ru/formula/0f/0f831d62301c9a79cfa177a87c7d47d3.png

    Тогда для объема призмы имеем

     

    http://reshuege.ru/formula/d5/d5bd0fcfac52a48b6866bee28d1f9942.png.

    Ответ: 729.


     Задание 13

    На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

    Решение.

    Обозначим http://reshuege.ru/formula/7b/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png – число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает http://reshuege.ru/formula/3c/3c49542d877de0b38803264f46a066ab.png деталей, http://reshuege.ru/formula/c9/c9f2b49f42dbc410f73959629b867c19.png. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей, отсюда имеем:

     

    http://reshuege.ru/formula/5d/5d2d8a2968da09e22fbe42e93c3d0727.png

    http://reshuege.ru/formula/3a/3ab762d83dfa220d52818806c4dbd3ea.png

    http://reshuege.ru/formula/00/0080535bfcb538d827993e9347d46ffa.png.

    Таким образом, первый рабочий делает 25 деталей в час

    Ответ: 25.


     Задание 14

    Найдите точку максимума функции http://reshuege.ru/formula/08/08485cee66681ba0ec578ecacc39f861.png.

    Решение.

    Найдем производную заданной функции:

     

    http://reshuege.ru/formula/51/515bc34f76bba6517b7f57e4bb811128.pnghttp://reshuege.ru/formula/24/241647f72f396a03365be05a5ed9c0e6.png

    Найдем нули производной:

    http://reshuege.ru/formula/06/069e5e2218965b7ed7157376d136e2a6.png

    Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=3533

    Искомая точка максимума http://reshuege.ru/formula/56/566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png.

    Ответ: 2.

    Задание С1

    Критерии оценивания выполнения задания

    Баллы

    Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б)

    2

    Обоснованно получен верный ответ в п. а), или в п. б) ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — п. а) и п. б)

    1

    Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

    0

    Максимальный балл

    2

    а) Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/7b/7b1128a46758f717a46804ae4f367dc6.png

    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/f8/f8c59c246de91d142eff21e964dfe9c6.png


    Решение.

    а) Пусть http://reshuege.ru/formula/64/6413793cf4b57857a1b13ac5db758537.png тогда исходное уравнение запишется в виде

    http://reshuege.ru/formula/4a/4a2ef1d2fc326f64828504b151f93350.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=13231б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку http://reshuege.ru/formula/f8/f8c59c246de91d142eff21e964dfe9c6.png

    Получим числа: http://reshuege.ru/formula/e9/e93812ee0aefe098437ae0c5991ad02b.png

    Ответ: а)