Муниципальное Бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №2

Методическая разработка

практических занятий

по алгебре

для учащихся 9 класса

по теме:

 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

Разработал преподаватель: Тюхтюнова Е.В..

г.Белореченск

Пояснительная записка

Данная  разработка включает проведение закрепительных мероприятий по решению задач после введения нового материала и осуществления текущей проверки закрепления материала.

После решения задач на занятии учащиеся получают домашнюю работу.

Каждая домашняя работа разбирается на следующем занятии .

Данная разработка также включает проведение диктантов по теоретическому материалу и самостоятельных работ по практическому материалу.

В результате проведения занятий учащийся должен знать основы комбинаторики и теории вероятностей, основы теории случайных величин, основы вероятностного подхода к измерению информации.

Ученик должен уметь рассчитывать вероятности событий, применять вероятностный подход для измерения информации.

Данная разработка является дополнительным подспорьем для учителя на уроках алгебры по данной теме. Все задачи в данном пособии приведены с решениями.

Теоретический тест.

1) С помощью выражения         n!             вычисляют:

А) число сочетаний из n по k

Б) количество перестановок из n элементов

В) количество размещений без повторений

Г) количество размещений с повторениями

2) Количество перестановок с повторениями вычисляют, используя выражение:

А)          n!               Б)  n!       В) nk

                  k1!..... ks!

3) Если первый предмет можно выбрать а способами, а второй в способами, то пару этих предметов можно выбрать способами:

                        А) ав      Б) а+в

4) Что характеризует следующее правило:

пусть имеется n предметов, из которых выбирается к предметов, причём при очередном   выборе предмета предыдущий выбранный возвращается:

        а) размещение без повторений

        б) сочетание из n по k

        в) перестановки

        г) размещение с повторениями

Решение задач

№1    На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами турист может подняться устно    на гору и потом спуститься с неё. Подъём и спуск должны проходить по разным тропинкам:

        5*4=20

Туда            Обратно

№2    Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа:

        2233344455:

       Р10  (2,3,3,2) =      10!         = 25200

                          3! 3! 2! 2!  

№3     Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг

        Рn =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040

№4     В группе 12 человек. Надо разбить эту группу на 3 бригады:

        1бр.: 3 человека

        2бр.: 4 человека

        3бр.: 5 человек

Сколько способами это можно сделать?

  3           4         5        4            5           3          5           4         3

С12 *С 9 *С5 =С12 * С 8 * С 3 = С 12 *С 7 *С 3 = 27720

                 4                                    4                                  4

                         1                                     1                                  1

правило произведения исп-ем

№5     Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове ротор

        Р5 (2,2,1)=30

№6      Сколько трёхзначных чисел без повторяющихся цифр можно записать, используя цифры 1,2,3,4,5

             4       5!

А5 =   2!      =3*4*5=60

№7     Из цифр 1,2,3,4,5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр. Сколько чисел будет оканчиваться комбинацией 41?

        Решение: Чисел, оканчивающихся комбинацией 41, будет столько, сколько будет существовать способов расположения в ряд «остальных» цифр 2,3,5, т.е 3!=6

№8      Сколько пятизначных чисел без повторяющихся цифр можно записать, используя цифры 0,1,2,3,4.

                Р5-Р4 =5!-4!=1*2*3*4*5-1*2*3*4=120-24=96

№9      Из отряда солдат из 50 человек назначаются в караул 4 человека. Сколькими способами это можно сделать. Сколько среди них таких, что в число караульных попадёт рядовой Иванов? (по типу №7)

           4                            3

        С50 = 230300   С49 =18424

                        (Иванов уже на месте, значит из остальных 49 выбираем 3 человека)

Задание на дом

№1     У одного студента 5 книг, у другого 9. Все книги различны. Сколькими способами они могут произвести обмен:

        а) одной книги на одну

        б) две книги на две книги

        в) первый студент 2 книги, а второй 3

        поясните: то что студенты меняются книгами – это неважно. Важно то, что сколькими способами они могут выбрать определённое количество книг одновременно

        а) 5*9=45

              2        2

б) С5 * С9 = 360

                  2        3

в) С5 * С9 = 840

№2      Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове топор:

        Р5 (2,1,1,1) =       5!     =3*4*5 = 60

                        2!1!1!1!

№3      Из цифр 1,2,3,4,5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр. Сколько среди них будет начинаться с цифры 5

                4!=2*3*4=24

        (прежде проверить Д/З)

Самостоятельная работа

Вариант I.

На собрании членов кооператива присутствуют 20 человек. Сколькими способами из присутствующих можно выбрать:

А) правление кооператива в составе 5 человек

Б) 3х человек: председателя правления, его заместителя и бухгалтера.

                   5                           3

Ответ: а) С20 = 15504    б) А20 = 6840

Вариант II.

А) Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа: 22333788?

Ответ: Р8 (2,3,1,2) = 1680

Б) Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов:

               3

Ответ: С10 = 120

Вариант III.

А) сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: колокол

Ответ Р7 (2,2,3) = 210

Б) Сколькими различными способами можно выбрать из 15 человек: директора, секретаря и завхоза:

              3       15!     

Ответ: А15 = 12!       = 13*14*15 = 2730

Вариант IV.

А) Сколько различных перестановок букв можно сделать, в слове: замок.

Ответ: 5!=120

Б) Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр: 111222

Ответ: Р6 (3,3) =20

Случайные события. Понятие вероятности.

Опрос.

1. Какое событие называется случайным, достоверным, невозможны, массовым
2. Какие события называются равными
3. В называется следствием А, если …..
4. Какие события называются совместными и несовместными
5. Операции над событиями
6. Суть классического определения вероятности: формула и входящие в неё элементы.
7. Суть геометрического определения вероятности

Решение задачи

№1        Опыт состоит в одном подбрасывании трёх монет. Пусть Г1, Г2, Г3 – означают событие: выпадение герба соответственно на 1-ой, 2-ой, 3-й монете. Используя операции над событиями, выразить через эти события следующие: А- выпадение одного герба и двух цифр; В- выпадение не более одного герба; С – число выпадающих гербов < числа выпадающих цифр; Д – выпадение хотя бы двух гербов.

                                         _    _     _    _           _    _    _

        Решение: А= Г1*Г2*Г3 + Г1*Г2*Г3 + Г1*Г2*Г3

                                        _    _    _

      В =  А+ Г1*Г2*Г3

      С = В

                        _            _           _  

      Д = Г1*Г2*Г3 + Г1*Г2*Г3 + Г1*Г2*Г3+ Г1*Г2*Г3

№2         На удачу выбрана кость домино из полного набора. Какова вероятность того,  что чума очков на выбранной кости равна 5.

        n=28 – всего костей

        m(А) =3 , т.к.   1случ: 5 и 0, 2случ: 1 и 4, 3случ: 2и3

                     3

Р(А) =  28

№3        Наудачу выбрано натур. Число, не превосходящее 100. Какова вероятность тог, что выбранное число при делении на 8 даёт остаток 2

        n = 100

        m(А) = 12, т.к.   10,18,26,34,42,50,58,66,74,82,90,98

                      12

        Р(А) =  100  =0,12

№4        Из коробки, в которой 10 карандашей – 5 простых, 3 – зелёных, 2 – синих, наудачу извлекают 3 карандаша без возвращения. Найти вероятности следующих событий:

        А – все извлечённые карандаши разного цвета

        В – среди извлечённых карандашей нет синих

        С – среди извлечённых карандашей в точности два одинакового цвета.

                                    3

Решение    n = С10

        m (А) = 5*3*2 =30 (т.к. красный – 5 способами, зелёный – тремя, синий – двумя)

                     30         30*7!*3!

Р(А) = С3     =      10!             = 0,25

              10 3                                                                          3

m(В) =   С8   (т.к. из восьми не  синих карандашей 3 можно взять С8 способами)

               3

             С8                       8! 3! 7!                7

Р(В) =    3        =                                             =

                С10                         10! 3! 5!            15

                    2     1     2     1     2     1                  2     1

m(С) =  С5*С5+С3*С7+С2*С8  (т.к.  С5*С5  способами можно взять 2 красных и 1 не красный карандаши,

  2     1

С3*С7 способами – 2 зелёных и 1 не зелёный и

  2     1

С2*С8   способами – 2 синих и 1 не синий)

            79

Р(С) = 120

№5         Буквы слова «МАТЕМАТИКА», составленного из разрезной азбуки, перевёрнуты и тщательно перемешаны. Затем наудачу открыли по одной  4 карточки и расположили их в ряд. Какова вероятность получения слова «ТЕМА»?

                                4

Решение n = А10 =5040 (сколькими способами можем выбрать 4 разные буквы)

«Т» можно выбрать двумя способами

«Е» - одним, «М» - двумя, «А» - тремя

m(А) = 2*1*2*3 = 12

              12        1

Р(А) = 5040 = 420

№6        В квадрат с вершинами в точках О(0;0) К(0,1),  L(1;1), М(1,0) наудачу брошена точка Q(x;y). Найти вероятность того, что координаты этой точки уд-ют неравенству

                    1

        K     y> 2x              L

                Y=1/2x  (0;0)   (1;0.5)

        P(A)=SOKLN /Sквадр = 0,75/1 = 0,75

        SOKLN = SCKLN + SOSN = 0.5+0.25 = 0.75

N

M
                       1

Задание на дом

№1 Условие аналогично задаче №1 (аудит-ой). Выразить следующие события: Е- на первый герб, а на остальные цифры;

        F – на 1-ой цифра и хотя бы на одной из основных черт.

        H – ни одного герба не выпало

                        _    _   _

Ответ:  Е = Г1 Г2 Г3

               _                 _    _          _        _

F = Г1 Г2 Г3 + Г1 Г2 Г3+Г1 Г2 Г3

                 _   _    _

 H = Г1 Г2 Г3

№2         Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что это число окажется:  а) простым             б) кратным 5

                             (простых чисел           (делится на 5)

                                До 100-21)

Ответ: а) 21/90 = 7/30     б) 18/90 = 2/5

№3        В урне 10 шаров. Вероятность, что два шара извлечённых наудачу шара окажутся белыми равна 2/15. Сколько в урне белых шаров. ( количество белых шаров обозначать за х и решить уравнение)

        Решение.  Р(А) = Сх2 /С102                 Сх2 /С102 = 2/15

Х!/2!(х-2)!*8!/10!=2/15;   (х-1)*х/2*45=2/15

Х=4 или х=-3

Ответ: 4 белых шара

№4        Условие аналогично задаче №6 (аудиторной) только: y>2x

        Ответ: 0,25

Самостоятельная работа.

Вариант 1

А) В партии из 10 деталей 7 стандартных.  Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 6 деталей 4 стандартных.

Б)

        Y       D        Найти вероятность того, что точка (из D) попадёт в заштрихованную область d

        4             2     6

        Ответ: а) Р(А) = С7* С3/ С10 = 0,5

-1                                            1     х                                б) Р(А) = П/4 = 3/4

        -1

Вариант 2.

А) среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

Б)

        y

        -3        х

        Найти вероятность того, что точка (из D) попадёт в заштрихованную область d.

                                       3       2        5         195

        Ответ: а) Р(А) = С15*С10 / С25 = 506     = 0,385

        б) Р(А) = (П(1,5)2 ):2    = П*2,85/18 = 0,3925

        -3                                  9

Вариант 3

А) В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зелёных шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зелёный, 2 голубых и 3 красных шара?

Б)        y        D        Найти вероятность того, что точка (из D) попадёт в заштрихованную область d.

        2        

        1        1        2        х

                     3      2     1      6       24

Ответ: а) Р(А)= С15*С9*С6/ С30 = 145   =  0,17

        б) Р(А) = (П/4) /Sk6 = П/4*1/4=П/16=3/16

Вариант 4

А) в ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Наугад выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров 2 голубых

Б)

        Y        D        Найти вероятность того, что точка (изD) попадёт в заштрихованную область

3                                       2    4      6

                                     Ответ: а) Р(А)= С5*С10/С15 =2100/5005=0,4196

2        б) Р(А)= 4/15

1

        X

       0   1     2     3     4      5

Имеем пачку: 10 карандашей (7 красных) берём 3 карандаша. Сколькими способами можно выбрать 2 красных?

  2    1

С7 С3  , т.е. в числителе будет произведение сочетаний (двух, трёх).

Подсказка : (дать в зависимости от того, как ученики будут справляться с заданиями на занятии).

Вероятности сложных событий

Теоретический диктант.

1. Четвёртая аксиома вероятности формулируется следующим образом… (если А,В,С,…попарно не пересекаются, то Р(А+В+С+…)=Р(А)+Р(В)+Р(С)+…)
2. Вероятность невозможного события равна…(0)
3. Условной вероятностью событий В при условии, что событие А уже наступило наз. отношение…

Р(АВ)

Р(А)

4. Если событие А и В независимы, то вероятность произведения этих событий равна… (Р(А)*Р(В))
5. Формула полной вероятности имеет следующий вид… (Р(А)=Р(Н1)*Р(А/Н1)+…+Р(Нn)Р(А/Нn))
6. Формула Байеса имеет следующий вид… (Р(Нi/A)=Р(Нi)Р(А/ Нi)/Р(А))

Решение задач

№1        Подбрасывают два игральных кубика. Чему равна вероятность того, что сумма очков, выпавших на обоих кубиках,  не превзойдет 5.

Решение : ] n1 – очков выпало на первом кубике, n2 – на втором

Ώ=     (n1, n2)/ n1 , n2 =1,2,3,4,5,6

А=     (n1, n2)/ n1 , n2 =1,2,3,4; n1+n2<=5

Множество Ώ соединяет 36 элементов (их можно перебрать)

А – 10 элементов (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)

Р(А)=10/36=5/18,

№2        Спортсмен стреляет по мишени, разделённых на 3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй – 0,3. Какова вероятность попадания либо , в первой, либо во второй сектор.

Решение : А- попадание в первый                            несовместимы

                  В- попадание во второй

                Р(А+В)=Р(А) +Р(В) = 0,7

№3        Вероятность попадания в мишень д/первого спортсмена 0,85, а д/второго – 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадёт хотя бы один спортсмен.

Решение : А- попадание первого, В – попадание второго, С – попадание хотя бы одного

          _        _        

        С=А*В+В*А+А*В

        События в сумме несовместимы, а в произведениях несовместимые

        Р(С)=Р(А)*Р(В)+Р(В)*Р(А)+Р(А)*Р(В)=0,85*0,2+0,8*0,15+0,85*0,8=0,97

№4        В трёх студенческих группах по 20 человек. В первой группе 16 девушек, во второй и третьей соответственно 14 и 12. В каждой группе разыгрывается по одному билету в театр. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов не менее двух девушек:

Решение:  ] Ак (к=1,2,3) – в какой группе билет достался девушке. А – среди обладателей билетов не менее двух девушек.

                _           _           _        

А=А1А2А3+ А1А2А3+ А1А2А3+ А1А2А3 – независимы, а в случае событий несовместимы,

         Р(А)=Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)+ Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)+ Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)+ Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)=0,788

№5        В урне находится 8 красных и 6 голубых шариков. Из урны последовательно без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара голубые.

Решение:  ]А1,А2,А3(первый, второй, третий) шары голубые

А – все три шара голубые

 1-способ.     Р(А)= Р(А1А2А3) =

Т.к. А2 зависит от А1, А3 от А1,А2, то  = Р(А1)*Р(А2/А1)*Р(А3/А1А2) = 6/14*5/13*4/12=5/91

                 3     3

2 – способ      Р(А)=m/n = C6/C14  =…=5/91

Задание на дом

№1 Монета подброшена 3 раза. Какова вероятность того, что цифра выпадает ровно два раза?

Решение:    Ак – «выпадение цифры на к-том подбрасывании монеты»

А – выпадение двух цифр при трёх подбрасываниях, тогда

А= А1А2А3+ А1А2А3+ А1А2А3

События независимы и несовместны.

            Р(А)= ½*½*½+½*½*½+½*½*½=3/8

№2     В урне 6 голубых, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочерёдно извлекают шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится голубой шар (А), при втором красный (В), при третьем белый (С)

Решение:   Р(АВС)=Р(А)*Р(В/А)*Р(С/АВ)=6/15*5/14*4/13=4/91

№3        Имеются две урны с шарами трёх цветов. В первой: 2 голубых, 3 красных, 5 зелёных, а во второй: 4 голубых, 2 красных и 4 зелёных. Из каждой урны извлекают по одному шару и сравнивают их цвета. Найти вероятность того, что цвета вынутых шаров одинаковы (А).

Решение:

В1 голубой   Из          В2      Из

С1 красный    1-ой      С2     2-ой

Д1 зелёный     урны     Д2    урны
   1-урна                     2-урна

Р(А) = Р(В1В2+С1С2+Д1Д2)=0,2*0,4+0,3*0,2+0,5*0,4=0,34

События независимы

Решение задач

(прежде разобрать домашние задачи)

№7        На фабрике изготавливающей болты, первая машина производит 30%, вторая 25%, третья 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%,1%,3%.  Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефективным.

Решение:  А – случайно выбранный болт оказался дефектный

Н1,Н2,Н3 – болт произведён первой, второй и третьей машинами.

Р(Н1)=0,30, Р(Н2)=0,25, Р(Н3)=0,45, Р(А/Н1)=0,02, Р(А/Н2)=0,01, Р(А/Н3)=0,03

Р(А)=Р(Н1)* Р(А/Н1)+Р(Н2)* Р(А/Н2)+Р(Н3)* Р(А/Н3)=0,022

№8        В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и размерам шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик состава Н1). В двух других ящиках (состава Н2) – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике (состава Н3) – 2 голубых и 8 красных. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Извлечённый шар оказывается голубым. Какова вероятность того, что шар извлечён из первого состава.

Решение:    А – извлечён голубой шар.

        Р(Н1) = 2/5=0,4    Р9Н2)=2/5=0,4   Р(Н3)=1/5=0,2

Р(А/Н1)=12/20=6/10=0,6    Р(А/Н2)=16/20=0,8   Р(А/Н3)=0,2

Р(А)=0,4*0,6+0,4*0,8+0,2*0,2=0,6

Р(Н1/А)= Р(Н1)*Р(А/Н1)/Р(А) = 0,4*0,6/0,6=0,4

Задание на дом

№1        В группе 5 отличников, 10 хорошистов и 6 занимающихся слабо. На экзамене отличники могут получить только «5», хорошисты – «4», «5» (с равной вероятностью), троечники – «4» «3» «2». Найти вероятность того, что приглашённый на экзамен студент получит «4» или «5» (событие А)

Решение:      А1 - отличник

          А2 – хорошист

          А3 – двоечник

Р(Н1)=5/21, Р(Н2)=10/21, Р(Н3)=6/21=7/7, Р(А/Н1)=1, Р(А/Н2)=1, Р(А/Н3)=1/3

Р(А)=Р(Н1)* Р(А/Н1)+Р(Н2)* Р(А/Н2)+Р(Н3)* Р(А/Н3)=17/21=0,81

№2        В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные на двух автоматах: 40% - первым, остальные вторым.  Брак в продукции первого автомата – 3%, второго – 2%.  На удачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым автоматом.

Решение:  А- выбрано бракованное изделие

        Н1,Н2 – изделия изготовлены первым и вторым автоматом.

Р(Н1)= 0,4    Р(Н2)=0,6    Р(А/Н1)=0,03    Р(А/Н2)=0,02

Р(А)= 0,4*0,03+0,6*0,02=0,024,  Р(Н1/А)=0,5

Самостоятельная работа

Вариант 1.

На склад поступает продукция трёх фабрик,  причём продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46% и третьей 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий д/первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, д/третей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике.

Решение:   Р(Н1)=0,2   Р(Н2)=0,46   Р(Н3)=0,34

Р(А/Н1)=0,03    Р(А/Н2)=0,02    Р(А/Н3)=0,01

Р(А)=…=0,0186    Р(Н1/А)=0,322

Вариант 2.

Три стрелка попадают в цель соответственно с вероятностью: 0,85; 0,8;0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадёт в мишень.

Решение:   А- попадание в мишень первым стрелком. В- попадание вторым, С- попадание третьим. Д- попадание хотя бы одним.

        _       _   _     _ _             _        _        _

Д=АВС+ АВС + АВС + АВС + АВС + АВС + АВС

Все события в случае несовместности и А,В,С – независимы

                       _         _         _                 _  

Р(Д)=Р(А)*Д(В)*Р(С)+ Р(А)*Д(В)*Р(С)

Вариант 3

В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик состава Н1). В двух других ящиках (состава Н1). В Двух других ящиках (состава Н2) – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике (состава Н3) – 2 голубых и 8 красных шара. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлечённый шар окажется красным?

Решение:    А- извлечён красный шар.

Р(Н1) = 2/5=0,4    Р(Н2)=2/5=0,4   Р(Н3)=1/5=0,2

Р(А/Н1)=4/10=0,4,  Р(А/Н2)=2/10=0,2   Р(А/Н3)=0,8

Р(А)=…+0,4

Вариант 3

В каждом из трёх ящиков находится по 30 деталей. В первом 27, во втором 28, в третьем 25 стандартных деталей. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение:    А – вынута стандартная деталь из одного ящика, В – из второго, С- из третьего.

Р(АВС) = Р(А)*Р(В)*Р(С) = 9/10*14*15*5/6=0,7

А,В,С – независимы.