Числовые неравенства и их свойства
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Конспект урока

Тема урока: Числовые неравенства и их свойства.

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение.

А. Дистервег

Цели:

Знать и правильно употреблять термины «больше» и «меньше», связанные с различными видами чисел и буквами;

Уметь применять свойства неравенств для оценки суммы и произведения двух чисел;

Научить учащихся применять понятия «меньше» и «больше» к доказательству неравенств;

Обобщить, углубить знания учащихся по изучаемой теме;

Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;

Вызывать у учащихся потребность в обосновании своих высказываний.

Ход урока

На доске специальный плакат с заданиями. Все задания,  написанные на листах и прикрепленные к листу ватмана с помощью скотча, закрыты большими бумажными фигурами. В неравенствах вместо обычных латинских букв для обозначения переменных использовались странные знаки. Странные знаки—это таинственные иероглифы—это французские цифры XII века. Их значение можно узнать, если найти единственное натуральное число, удовлетворяющее каждому из неравенств.

Учитель объявляет классу, что французские цифры сегодня показывают очередность выполнения заданий в классе.

Первый этап обозначается, естественно, цифрой 1

Но где, на какой фигуре спрятано это число?

Ответ учащихся, что цифра 1 входит в множество решений только одного двойного неравенства, а именно того, которое записано на квадрате. Учитель снимает с плаката модель квадрата, а под ним две надписи.

Общая задача этого этапа: «Проверка домашнего задания»

Девиз: Добивайся своего собственными силами.

Две ребят у доски выполняют домашнее задание.

№ 753.

а)  2.2 < √5 < 2.3

    2.4 < √6 < 2.5  

 4.6 < √5+√6 < 4.8

б)  2.4 < √6 < 2.5

    2.2 < √5 < 2.3  

 0.2 < √6-√5 < 0.2

№ 755

а) 5.4 < а < 5.5               10.8 < 2а < 11.0

    3.6 < в < 3.7                 7.2 < 2в < 7.4    

                                         18.0 < 2а+2в < 18.4

б) 5.4 < а < 5.5

    3.6 < в < 3.7

19.44 < ав < 20.35

Пока ребята выполняют домашние задания, учитель повторяет со всем классом свойства неравенств, задавая вопросы, требующие моментальных ответов.

Устная работа

1. Как правильно продолжить фразу: «Если а < в, то в…?» (в > а)
2. Кто сказал: «Когда я умру, Вселенная вздохнет с облегчением»? (Наполеон)
3. Как правильно продолжить фразу: «Если а < в и в < с, то а …?» (а < с)
4. Портос бежал за Арамисом, а Арамис—за Атосом. Арамис увидел прекрасную даму и сошел с дистанции. За кем стал бежать Портос? (за Атосом)
5. Если а < в и с—любое число, то что больше а+с или в+с? (а+с < в+с)
6. В какой стране создали первую в мире энциклопедию? (во Франции)
7. Если а < в и с—отрицательное число, то что больше ас или вс? (ас > вс)
8. Какой знак следует поставить между выражениями а+с и в+д, если а < в и с < д? (а+с < в+д)
9. Чему равны площадь и периметр прямоугольника со сторонами а и с? (ас, 2(а+с))
10. Если числа а, в, с, д положительные и а < д, с < д, то какой знак нужно поставить между произведениями ас и вд? (ас < вд)
11. Продолжите фразу: «Если а < в, то 1/а ….1/в (1/а > 1/в)
12. Как фехтовальщик д”Артаньян сильнее, чем де Жюссак, а Атос сильнее, чем Каюзак. Какая пара победит в схватке, если будут драться пара на пару: д’Артаньян и Атос против де Жюссака и Каюзака?

Быстрая проверка домашнего задания всем классом и переход ко второму этапу урока.

Но где находится цифра 2?

Учащиеся говорят, что число «прячется в треугольнике», поскольку число 2 удовлетворяет неравенствам 1 <ъ< 4,1 и -1 < ъ < 3.

Сняв с плаката треугольник видим задачу этого этапа «Решите неравенства».

Девиз: «Деньги, потраченные на образование, никогда не потрачены напрасно»

Задания написаны на карточках. Их изготовлено много, а у доски будут отвечать четыре человека—те, кто быстрее угадают номера первых карточек. Эти номера учитель подсказывает своим вопросом. Тот, кто быстрее на него ответит, - берет карточку угаданного номера, записывает ее задание на доске и приступает к решению. Если кто-то опережает общий темп, то может взять другую карточку и работать за партой.

Вопрос: «Какое натуральное число наименьшее? (ответ: 1)

Карточка №1

Докажите неравенство:

Доказательство:

Вопрос: «Какое целое число, больше 4, но меньше  10, кратно 3, но не 2? (ответ: 9)

Карточка №9

Дано: 5 < x < 8; 6 < y < 10

Оцените значения выражений:

а) 3х; б) -4у; в) х+у; г) х-у

 Решение.

а) 5 < x < 8  /*3/;   15 < 3x < 24

б) 6 < y < 10 /*4/;  24 < 4y < 40 /*-1/;  -24 < -4y < -40; -40 < -4y < -24

в) 5 < x < 8

   6 < y < 10

11 < x+y < 18

г)  6 < y < 10 /*-1/; -6 < -y < -10; -10 < -y < -6

                                                           5 < x < 8

                                                           -5 < x-y < 2

Вопрос: «Двое играли в шахматы 3 часа. Сколько часов играл каждый? (ответ: 3)

Карточка №3

Дано: 2 < а < 3; 9 < в < 15

Оцените значения выражений: а) АВ; б) а/в

Решение.

а) 2 < a < 3

    9 < в < 15

    18 < ав < 45

б) 9 < в < 15

1/9 > 1/в > 1/15

1/15 < 1/в < 1/9

     2 < а < 3

 2/15 < а/в < 1/3

Вопрос: «Сколько граммов в золотнике? (ответ: 4)

Карточка №4

Измерив длину а и ширину в комнаты, установили, что

7,5м  £ а £ 7,6м и 5,4м £ в £ 5,5м.

Подойдет ли это помещение для библиотеки, если для нее требуется комната площадью не менее 40 кв.м.?

Решение. 7,5м *5,4м  £ ав £ 7,6м* 5,5м, т.е.

                40,5 Кв.м.  £  ав  £ 41,8 кв.м.

Комната для библиотеки подойдет, так как ее площадь S, вычисляемая по формуле S =ав, превосходит 40 кв.м.

Индивидуальная работа для сильных учащихся:

№ 757—Машков В.,

№ 754—Васютин М.,

№ 760 (а) - Афанасьева Л.,

№ 760 (б) - Ботова Н.

Третий этап урока начинается с отгадывания того, на какой модели записано неравенство, во множество решений которого входит число 3. это ромб.

Задание: Решите устно следующую задачу.

Девиз: Ищите убедительные доводы.

Задача. Все коробки, какие есть на базе, имеют одинаковые площади оснований. Грузчики хотят поместить в один контейнер с той же площадью основания 20 коробок. Какой высоты должен быть контейнер, если высота коробок оцениваются неравенствами 29 см £ H £ 31 см?

Решение.     29*20 £ 20Н £ 31*20, т.е.      580 £ 20Н  £ 620

Что же практически означает последнее двойное неравенство?

Допустим, что плоские коробки имеют минимальную высоту 29 см. тогда все они поместятся в контейнере высотой 580 см.

Но если найдется хоть одна коробка большей высоты, то затея грузчиков провалится. В реальности очень часто бывает, что минимальный и максимальный размеры имеют далеко не все изделия, из размеры колеблятся в заданных допусках. А если мы хотим быть уверены, что 20 коробок действительно всегда поместятся в контейнер, то надо считать, будто все коробки имеют максимальную высоту, т.е. надо выбрать контейнер высотой 620 см. это и будет убедительным доводом в пользу затеи грузчиков

Четвертый этап. «скрывается» за моделью трапеции.

Задание. «Исправьте ошибку»

Девиз: «Все будет хорошо»

На доске в два столбика записаны восемь примеров. Два ученика у доски.

Запись на доске.

2 < 3                                                                   27 > 20

1/2 < 1/3                                                                1/27 < 1/20

8 < 10                                                                          5 > 9

84 > 104                                                                       56 > 96

Свои исправления учащиеся комментируют, ссылаясь на свойства неравенств (в первом столбике исправить вторую и четвертую строки, во втором—третью и четвертую)

Пятый этап урок связан с цифрой 5. она записана на прямоугольнике.

Задание. Выполнение теста

Девиз: «Верь в себя и говори себе, что ты лучший»

Табота с тестами (индивидуально)

1. Совместите начало записей свойств в столбце А с их завершением в столбце В.

430448952. Даны неравенства:

8 > -10; 2 > 9; 14 > 10; 1/14 > 1/10; -5 < -21; 0 > -1/4

Впишите каждое из них в одну из малых фигур в соответствии с тем, как эти малые фигуры объединены на рисунке.

3. Оцените площадь (S кв.см.) прямоугольника со сторонами а см и в см, если 3 см < а < 4 см, 7 см < в < 8 см (верный ответ из трех предложенных ниже, обведи кружочком):

а) 10 кв.см. < S < 12 кв.см

б) 21 кв.см. < S < 32 кв.см

в) 20 кв.см. < S < 24 кв.см

Проверочная работа вариант 1 и вариант 2.

Учащиеся сдают учителю тесты на проверку

Оценки после проверки тестов.

Итог урока:

Домашнее задание №№ 758, 759