Главные вкладки

    Математическое моделирование как компетенция в контексте новых образовательных стандартов
    методическая разработка на тему

    Лабурина Ольга Юрьевна

    Выступление 28.08.2017г. – августовская методическая секция учителей математики г.о.Саранск «Ключевые компетенции учителя математики в соответствии с требованиями новых образовательных стандартов и реализации Концепции математического образования». Тема выступления «Математическое моделирование как компетенция в контексте новых образовательных стандартов»

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

    1

    Математическое моделирование

    как компетенция в контексте новых образовательных стандартов

    2

    В настоящее время, кроме учебников по математике и различной методической литературы по предмету, у учителя математики на «вооружении» должны быть как минимум три документа. Это федеральный государственный образовательный стандарт, профессиональный стандарт педагога и Концепция математического образования РФ.

    3

    В Концепции среди основных задач развития математического образования отмечается необходимость формирования у учащихся прикладных умений, в том числе – использование математического подхода в рассуждении, обосновании, аргументации, планировании, в пространственных построениях, численных оценках. Эти идеи заложены и в новых стандартах.

    Трудовые действия, предписанные профессиональным стандартом, представлены на слайде:

    – «формирование способности к постижению основ математических моделей реального объекта или процесса, готовности к применению моделирования для построения объектов и процессов, определения или предсказания их свойств»;

    – «формирование у обучающихся умения пользоваться заданной математической моделью, в частности, формулой, геометрической конфигурацией, алгоритмом, оценивать возможный результат моделирования (например – вычисления)».

    4

         При этом основная задача педагога-математика состоит в формировании у обучающихся модели соответствующей деятельности, в частности – умения и готовности решать средствами математики практические и прикладные задачи. Идея наполнения школьного курса задачами «реальной математики» не является новой.

    5

         Среди формируемых компетенций у обучающихся важное место занимает компетенция математического моделирования. Формирование данной компетенции у обучающихся неразрывно связано с ее развитием у учителя математики.

    Определение моделирования вы видите на слайде

         Процесс замещения реального объекта с помощью объекта-модели с целью изучения реального объекта или передачи информации о свойствах реального объекта называется моделированием. Замещаемый объект называется оригиналом, замещающий - моделью. При замене реального объекта математическим, говорят о математическом моделировании. 

         Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения и их системы, неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы, графы.

    Математическое моделирование находит применение при решении многих сюжетных задач.

    6

    Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс занимательных задач. Рассмотрим логические задачи на переливания. Они традиционно встречаются на олимпиадах по математике различного уровня.

    Самая древняя из задач на переливание – задача Пуассона.

            Она представлена на слайде.

    Один человек имеет в бочонке 12 пинт вина (пинта – старинная французская мера объема, 1 пинта ≈ 0,568 л) и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются два пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?

    Знаменитый французский математик, механик и физик Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) решил эту задачу в юности и впоследствии говорил, что именно она побудила его стать математиком. Типов задач на переливание достаточно много.  Мы рассмотрим только одну задачу на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов.

    7

    Как правило, задачу на переливание можно решить несколькими способами (методами). Способы разнообразны и каждый из них имеет свою область применения. Для решения задач на переливания чаще всего используются следующие способы решения:

    8

    Метод рассуждений;

    Способ рассуждений – самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

    9

    Метод таблиц;

    Метод таблиц – основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

    10

    Метод блок-схем;

    Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи.

    11

    Метод бильярда.

    Суть метода заключается в представлении последовательности переливаний аналогично движению бильярдного шарика  отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма, на котором нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников.    

             

    Нарисовав на клетчатой бумаге исходную конфигурацию, необходимо проследить возможные движения шарика в соответствии с законом "угол падения равен углу отражения" и попадание им в требуемые точки по условию задачи. Освоив ее, нетрудно получить решение задачи на переливания (пересыпания) для трех сосудов различного объема.

    Метод математических бильярдов как способ решения задач на переливания практически не используется учащимися: либо он им не знаком, либо не осознан.

    Хотя математиками доказано, что метод бильярда значительно упрощает и упорядочивает решение задач на переливания.

    12

    Рассмотрим следующую задачу:

    Как с помощью сосудов объемом 7 и 11 литров и бочкой с водой отмерить 2 литра воды. 

    В рассматриваемой задаче стороны стола должны иметь длины 7 и 11 единиц.

    По горизонтали отложено количество воды в 11-литровом сосуде в любой момент времени, а по вертикали – та же величина для 7-литрового сосуда. Как же пользоваться диаграммой?

    13

    Представьте себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке 0. Он будет перемещаться вдоль нижнего основания параллелограмма до тех пор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 11. Это означает, что 11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7-литровый пуст.

    Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 7 по вертикали. Это означает, что в 11-литровом сосуде осталось всего 4 литра воды, а 7 литров из него перелили в меньший сосуд. Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения до тех пор, пока он не попадет в точку 2 верхнего борта, вы получите ответ и узнаете, в какой последовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 2 литра воды. Все 18 переливаний изображены схематически на рис.

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    11 литров

    11

    4

    4

    0

    11

    8

    8

    1

    1

    0

    11

    5

    5

    0

    11

    9

    9

    2

    7 литров

    0

    7

    0

    4

    4

    7

    0

    7

    0

    1

    1

    7

    0

    5

    5

    7

    0

    7

    14

    Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в 7-литровый сосуд. На диаграмме это соответствует тому, что шар из точки 0 катится вверх вдоль левого борта до тех пор, пока не ударится в верхний борт. Нарисовав траекторию бильярдного шара, мы убедимся в том, что точка 2 достигается на этот раз за 14 отражений от борта. Полученное решение с 14 переливаниями уже является самым коротким.

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    11 литров

    0

    7

    7

    11

    0

    3

    3

    10

    10

    11

    0

    6

    6

    11

    7 литров

    7

    0

    7

    3

    3

    0

    7

    0

    7

    6

    6

    0

    6

    2

    В данной задаче рассмотрена математическая модель бильярда и связанные с этой моделью понятия периодичности тракторий. Данная модель неожиданно много имеет применений в теории чисел, механике, физике и арифметике. 

    Разумеется, что существует условие разрешимости задач

    Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т. е. взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда.

    Имея, например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, вы сумеете отмерить любое количество воды от 1 до 16 литров. Такая процедура невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель.

    Таким образом, данный подход позволяет быстро оценить, все ли объемы можно получить, т.е. во всех ли точках бильярдного стола мы сможем оказаться или же получение каких-то объемов невозможно. Этот метод дает единообразный и систематический подход к решению задач на переливания.

    Задача для аудитории

    Карлсону срочно нужно налить   6 л компота . Но он имеет лишь два сосуда:  5-литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?

    К сожалению, в учебниках математики не предусмотрена отдельная тема Математическое моделирование, за исключением, пожалуй, учебника по математике для 5 класса Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г., где во втором параграфе предлагается для изучения тема «Математические модели», поэтому далее весь материал опирается на понятия «математическая модель» и «моделирование».

    Выводы:

    1) при решении задач посредством моделирования школьники учатся абстрагированию, анализу, синтезу, сравнению, аналогии, обобщению, переводу жизненных проблемных ситуаций в абстрактные модели и наоборот. Использование моделирования как способа обучения поисковой деятельности, обобщенным подходам, приемам в решении задач способствует усилению творческой направленности процесса обучения, развитию умственных способностей учащихся, то есть моделирование является средством совершенствования процесса обучения математике, которое позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся и развивать их мышление;

    2) включение моделирования в содержание уроков математики необходимо для ознакомления учащихся с современной научной трактовкой понятий модели и моделирования, овладения моделированием как методом научного познания и решения сюжетных задач

    Таким образом, формирование основ математического моделирования, т. е. формирование мыслительной способности извлекать из модели те знания о реальности, которые связывают ее с прототипом можно считать одной из целей математического образования.

    ПРИЛОЖЕНИЕ

    Карлсону срочно нужно налить   6 л компота. Но он имеет лишь два сосуда:  5-литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?

    № хода

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    5 л

    7 л

    Карлсону срочно нужно налить   6 л компота. Но он имеет лишь два сосуда:  5-литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?

    № хода

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    5 л

    7 л


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Роль общеобразовательных дисциплин в контексте новых образовательных стандартов для системы НПО и СПО

    В условиях становления  современного  рынка труда,   предъявившего новые требования к уровню компетентности выпускников образовательных учреждений как никогда возрастает наша роль,...

    Преподавание математики в контексте новых образовательных стандартов

    Основные отличия ФГОС второго поколения от предыдущих документов, определяющих цели и содержание общего образования, связаны с заданием ориентиров развития системы образования и с описанием требований...

    Создание условий для реализации внеурочной деятельности учащихся в контексте новых образовательных стандартов

    Опыт МБОУ СОШ №7 по созданию условий для реализации внеурочной деятельности учащихся в контексте новых образовательных стандартов...

    Системный подход в формировании навыка чтения – важнейшего УУД.Школы России переходят на новые образовательные стандарты. Проблема чтения не могла не найти своё отражение и в этом нормативном документе. Федеральный государственный образовательный стандарт

    Школы России переходят на новые образовательные стандарты. Проблема чтения не могла не найти своё отражение и в этом нормативном документе. Федеральный государственный образовательный стандарт, в осно...

    «Формирование гражданской идентичности личности в контексте разработки новых образовательных стандартов общего образования второго поколения»

    «Формирование гражданской идентичности личности в контексте разработки  новых образовательных стандартов общего образования второго поколения»...

    Преподавание математики в пилотных школах в контексте новых образовательных стандартов

    Преподавание математики в пилотных школах в контексте новых образовательных стандартов...

    Подготовка выпускников к итоговой аттестации по русскому языку и литературе в контексте новых образовательных стандартов

    Обобщение опыта работы.  В условиях модернизации системы образования своей главной задача сельских школ -  предоставить каждому ученику возможность  реализовать интеллектуальные и ...