теория вероятностей и математическая статистика (студентам КИТ)

Требования к написанию конспекта.

Конспект должен содержать исходные данные источника, конспект которого составлен.

В нём должны найти отражение основные положения текста.

Объём конспекта не должен превышать одну треть исходного текста.

Текст может быть, как научный, так и научно-популярный.

Сделайте в вашем конспекте широкие поля, чтобы в нём можно было записать незнакомые слова, возникающие в ходе чтения вопросы.

Соблюдайте основные правила конспектирования:

1. Внимательно прочитайте весь текст или его фрагмент – параграф, главу.

2. Выделите информативные центры прочитанного текста.

3. Продумайте главные положения, сформулируйте их своими словами и запишите.

4. Подтвердите отдельные положения цитатами или примерами из текста.

5. Используйте разные цвета маркеров, чтобы подчеркнуть главную мысль, выделить наиболее важные фрагменты текста.

Конспект – это сокращённая запись информации. В конспекте, как и в тезисах, должны быть отражены основные положения текста, которые при необходимости дополняются, аргументируются, иллюстрируются одним или двумя самыми яркими и, в то же время, краткими примерами.

Конспект может быть кратким или подробным. Он может содержать без изменения предложения конспектируемого текста или использовать другие, более сжатые формулировки.

Конспектирование является одним из наиболее эффективных способов сохранения основного содержания прочитанного текста, способствует формированию умений и навыков переработки любой информации. Конспект необходим, чтобы накопить информацию для написания более сложной работы (доклада, реферата, курсовой, дипломной работы).

Виды конспектов: плановый, тематический, текстуальный, свободный.

Плановый конспект составляется на основе плана статьи или плана книги. Каждому пункту плана соответствует определенная часть конспекта.

Тематический конспект составляется на основе ряда источников и представляет собой информацию по определенной проблеме.

Текстуальный конспект состоит в основном из цитат статьи или книги.

Свободный конспект включает в себя выписки, цитаты, тезисы.

Требования к созданию и оформлению презентации.

1. Содержание презентации должно быть четко структурировано: каждый новый слайд должен логически вытекать из предыдущего и одновременно подготавливать появление следующего. Лучший способ проверить, правильно ли построена презентация, — быстро прочитать только заголовки. Если после этого станет ясно, о чем презентация — значит, структура построена верно.

2. После того как содержание презентации собрано, с ним следует аккуратно поработать, сократив его насколько возможно. Оптимальным объемом презентации считается 24 традиционных слайда, если презентация умещается в 16 слайдов — еще лучше, ну а 12 и менее слайдов — это то, что редко встречается и крепко запоминается. В среднем, один слайд - это 1,5 минуты выступления.

3. При разработке формы презентации всегда следует думать о том, как зритель ее будет смотреть. В первую очередь нужно решить, где зрители будут смотреть вашу

презентацию: на бумаге, экране монитора или на большом экране с помощью проектора. Это следует учитывать при выборе размера и цвета шрифтов.

4. Все однотипные элементы должны всегда быть в одном месте: если зритель знает, где ждать заголовок, а где график, он лучше схватывает суть дела. Заголовок – всегда в одном месте экрана. График – всегда в одном месте экрана. И т.д. Однотипные подписи – одинакового цвета и размера. И т.д.

5. Не включать текст в слайды, кроме абсолютно необходимого. Читать страницу за страницей и запоминать текст совсем непросто. Количество текста на слайдах должно составить не более 35% от всего содержимого слайдов. Весь ненужный текст следует оставить для устного выступления .

6. Изображения и текст на слайдах не должны быть мелкими (даже если презентация готовится для экрана).

7. Если презентация будет цветной, то следует избегать ярких, так называемых чистых тонов — алого, ярко–синего, зеленого, фиолетового (они режут глаз). Такие краски следует зарезервировать для выделения действительно ключевых моментов, а для рядовых изображений использовать пастельные тона и контрастные сочетания цветов шрифта и фона.
8. Не использовать больше четырех цветов одновременно.

9. Не использовать анимацию наподобие вращающихся заголовков, переворачивающихся слайдов, любые звуки - все это лишь отвлекает слушателей и необоснованно растягивает время презентации.

Требования к выступлению

1. Презентация состоит из двух частей: демонстрация слайдов и сопровождение их текстом. Слайды — поддержка выступления, а не наоборот.
2. Если презентация сделана правильно и текст хорошо сбалансирован другими визуальными элементами, то все равно не следует вести свою аудиторию по презентации, как экскурсовод туристов: «посмотрите налево, посмотрите направо». Презентер должен вести аудиторию не от слайда к слайду, а от тезиса к аргументу, от аргумента к примеру, от вывода к выводу.
3. Нельзя говорить «перейдем на страницу 7», надо — «как именно мы решаем эту проблему, рассказывается на слайде 7».
4. Нельзя говорить «посмотрите на следующий слайд», надо «и что же из этого следует? А вот что!» - и показываем слайд.
5. Выступление должно быть подготовлено, прорепетировано и отхронометрировано (подогнано под временные рамки).

Позволяйте себе в тексте восклицательные знаки. Текст вовсе не должен быть сухим! Вы не диктор ТВ, вы живой человек, который свято верит в то, о чем он рассказывает.

Санкт-Петербургское  государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение «Колледж информационных технологий»

Конспект

Тема:

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика

Выполнил студент (Ф.И.О.) полностью

Курс_____Группа___

Преподаватель: Т.И. Клименко

Дата отправки на проверку «___»____2015 г.

     Оценка ______________________________

                                                                            Подпись преподавателя________________

Санкт-Петербург 2015 г.

Проверочная  работа «Расчет количества способов соединений»

Вариант 1.

1. Вычислить:                                                  

2. Решить уравнение:           

3. Сколько существует способов из цифр 2, 4, 9, 3, 1, 8, 5 составить 4- значных чисел (без    повторения цифр), меньших 5000?

4. В корзине лежат 6 белых и 9 черных шаров. Сколько существует способов извлечь 2 белых и 3 черных шара?

5. Есть 5 баскетбольных корзин и 3 мяча. Сколько существует способов попасть мячами в корзины?

Проверочная  работа «Расчет количества способов соединений»

Вариант 2.

1. Вычислить:                                        

2. Решить уравнение :

3. Посчитать количество перестановок  букв слова  АССАМБЛЕЯ

4. В корзине лежат 6 белых и 9 черных шаров. Сколько существует способов извлечь 3 шара одного цвета?

5. Сколько существует способов между десятью соревнующимися спортсменами распределить 1, 2, 3 места?

Проверочная  работа «Расчет количества способов соединений»

Вариант 3.

1. Вычислить:                                            

2. Решить уравнение:  

3. Сколько можно составить 4-значных чисел с неповторяющимися цифрами из цифр 9,8,0, 1,3, 5, 6 ?

4. В корзине лежат 6 белых и 9 черных шаров. Сколько существует способов извлечь 4 шара, 3 из которых черные?

5. На олимпиаду набирается сборная из трех разных команд – по 3 человека с каждой команды. Сколько получится составов из команд, состоящих из 6, 8 и 5 человек?

Проверочная  работа «Расчет количества способов соединений»

Вариант 4.

1. Вычислить:                                    

2. Решить уравнение:

3. Сколько можно составить 3-значных чисел (с повторяющимися цифрами) из цифр 2,3,0, 6,9,1,4.

4. В корзине лежат 6 белых и 9 черных шаров. Сколько существует способов извлечь 3 шара, 2 из которых одного цвета?

5. Три класса численностью в 20, 23 и 25 человек участвуют в конкурсе. Приз получат трое самых сообразительных учеников одного класса. Сколько есть возможностей получить приз?

Проверочная  работа «Расчет количества способов соединений»

Вариант 5.

1. Вычислить:                          

2. Решить уравнение:

3. Сколько есть возможностей составить четное 3-значное число (без повторения цифр) из цифр 1, 0, 6, 5, 3, 9, 8?
4. В корзине лежат 6 белых и 9 черных шаров. Сколько существует способов извлечь 3 белых и 4 черных шара?
5. Имеется 4 карточки с буквой «А», 3 карточки с буквой «М», 6 карточек с буквой «З» и 3 с буквой «Ь». Сколько есть возможностей составить слово «МАЗЬ» или «МАМА»  

Проверочная  работа «Расчет количества способов соединений»

Вариант 6

1. Вычислить:            

2. Решить уравнение:

3. Сколько есть возможностей составить четное 4-значное число (с повторяющимися цифрами) из цифр 1, 0, 6, 5, 3, 9, 8 ?

4. В корзине лежат 6 белых и 9 черных шаров. Сколько существует способов извлечь 5 шаров, 3 из которых белые?

5. Сколько существует способов из цифр числа 244252443 составить числа 443 или 22445?

Методические рекомендации к оформлению реферата.

Реферат (от лат. refero – докладываю, сообщаю) представляет собой особое сочинение, в котором кратко, с определениями и выводами излагаются основные положения темы или проблемы.

ФОРМЫ И ВИДЫ РЕФЕРАТОВ

Реферат-фрагмент первоисточника - реферат, составляемый в тех случаях, когда в документе-первоисточнике можно выделить часть, раздел или фрагмент, отражающие информационную сущность документа или соответствующие задаче реферирования.

Обзорный реферат - реферат, составленный на некоторое множество документов-первоисточников и являющийся сводной характеристикой определенного содержания документов.

При подготовке реферата необходимо учесть:

1. Тематика рефератов разрабатывается преподавателем дисциплины и предоставляется студентам заранее.
2. Реферат выполняется на листах формата А4 в компьютерном варианте. Поля: верхнее, нижнее – 2 см, правое – 3 см,  левое – 1,5 см, шрифт Times New Roman, размер шрифта – 14, интервал – 1,5, абзац – 1,25, выравнивание по ширине. Объем реферата 15-20листов. Графики, рисунки, таблицы обязательно подписываются (графики и рисунки снизу, таблицы сверху) и располагаются в приложениях в конце работы, в основном тексте на них делается ссылка.
3. Нумерация страниц обязательна. Номер страницы ставится в левом нижнем углу страницы. Титульный лист не нумеруется и оформляется в соответствии Приложением.
4. Готовая работа должна быть скреплена папкой скоросшивателем или с помощью дырокола. Работы в файлах, скрепленные канцелярскими скрепками приниматься не будут.
5. Рефераты сдаются преподавателю в указанный срок.
6. Реферат не будет зачтен в следующих случаях:

а) при существенных нарушениях правил оформления (отсутствует содержание или список литературы, нет сносок, номеров страниц и т.д.)
б) из-за серьезных недостатков в содержании работы (несоответствие структуры работы ее теме, неполное раскрытие темы, использование устаревшего фактического материала).

Возвращенный студенту реферат должен быть исправлен в соответствии с рекомендациями преподавателя.

При написании реферата необходимо следовать следующим правилам:

• Раскрытие темы реферата предполагает наличие нескольких источников (как минимум 4-5 публикаций, монографий, справочных изданий, учебных пособий) в качестве источника информации.
• Подготовка к написанию реферата предполагает внимательное изучение каждого из источников информации и отбор информации непосредственно касающейся избранной темы. На этом этапе работы важно выделить существенную информацию, найти смысловые абзацы и ключевые слова, определить связи между ними.
• Содержание реферата ограничивается 2-3 главами, которые подразделяются на параграфы (§§).
• Сведение отобранной информации непосредственно в текст реферата, должно быть выстроено в соответствии с определенной логикой. Реферат состоит из трех частей: введения, основной части, заключения;

а) во введении логичным будет обосновать выбор темы реферата.

• актуальность (почему выбрана данная тема, каким образом она связана с современностью?);
• цель (должна соответствовать теме реферата);
• задачи (способы достижения заданной цели), отображаются в названии параграфов работы;
• историография (обозначить использованные источники с краткой аннотаций – какой именно источник (монография, публикация и т.п.), основное содержание в целом (1 абз.), что конкретно содержит источник по данной теме (2-3 предложения).

б) в основной части дается характеристика и анализ темы реферата в целом, и далее – сжатое изложение выбранной информации в соответствии с поставленными задачами.В конце каждой главы должен делаться вывод (подвывод), который начинается словами: «Таким образом…», «Итак…», «Значит…», «В заключение главы отметим…», «Все сказанное позволяет сделать вывод…», «Подводя итог…» и т.д. Вывод содержит краткое заключение по §§ главы (объем 0,5 – 1 лист). В содержании не обозначается.

в) заключение содержит те подвыводы по главам, которые даны в работе (1-1,5 листа). Однако прямая их переписка нежелательна; выгодно смотрится заключение, основанное на сравнении. Например, сравнение типов свойств, определений, и др. Уместно высказать свою точку зрения на рассматриваемую проблему.

• Список использованной литературы. В списке указываются только те источники, на которые есть ссылка в основной части реферата. Ссылка в основном тексте оформляется двумя способами:

а) в квадратных скобках в самом тексте после фразы. [3, с. 52], где первая цифра № книги по списку использованной литературы, вторая цифра - № страницы с которой взята цитата.
б) в подстрочнике. Цитата выделяется кавычками, затем следует номер ссылки. Нумерация ссылок на каждой странице начинается заново. Например, «Цитата…»[1].

• Библиографическое описание книги в списке использованной литературы оформляется в соответствии с ГОСТ, (фамилия, инициалы автора, название работы, город издания, издательство, год издания, общее количество страниц).
• При использовании материалов из сети ИНТЕРНЕТ необходимо оформить ссылку на использованный сайт.

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 1.

№1. В урне находится 10 шаров, из них 6 белых и 4 черных шара. Вынули из урны 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые?  

№2. В секретном замке на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

№3. Батарея, состоящая из 10 орудий, ведет огонь по 15 кораблям неприятеля. Найти вероятность того, что все орудия стреляют: а) по одной цели; б) по разным целям

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 2.

№1. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

№2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

№3. В ящике 50 годных и 16 дефектных деталей. Сборщик наудачу достает 8 деталей. Найти вероятность того, что среди них: а) нет дефектных; б) 3 дефектных.

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 3

№1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».

№2. В почтовом отделении имеются открытки 6 видов. Какова вероятность того, что среди 4 проданных открыток все открытки различны?

№3. Выбирают наугад число от 1 до 100. Определить вероятность того, что в этом числе не окажется цифры 3

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 4

№1. По условию лотереи «Спортлото 5 из 36» участник, угадавший 4 цифры из 5,  получает второй приз. Найдите вероятность такого выигрыша.

№2. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

№3. В кармане 3 пятикопеечные монеты и 7 десятикопеечных монет. Наугад берется одна за другой две монеты. Вторая оказалась десятикопеечной. Определить вероятность того, что и первая десятикопеечная

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 5

№1. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

№2. Собрание, состоящее из 30 человек, среди которых 8 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдет одна женщина.

№3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков не превосходит семи; б) на обеих костях выпадет одинаковое число очков; в) произведение выпавших очков делится на 4; г) хотя бы на одной кости выпадет 6.

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 6

№1. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется 3 сбербанка в черте города?

№2.  8 шахматистов, среди которых 3 гроссмейстера, путем жеребьевки делятся на две подгруппы по 4 человека. Какова вероятность того, что два гроссмейстера попадут в одну подгруппу?

№3. В группе 10 юношей и 10 девушек. Для дежурства на вечере путем жеребьевки выделяют 5 человек. Какова вероятность того, что в число дежурных войдут: а) 5 юношей; б) 2 юноши и 3 девушки.

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 7

 №1.  Для постановки танца хореограф выбирает 8 человек. Определить вероятность того, что из выбранных можно составить 4 пары, если в танцевальной студии занимается 12 девочек и 8 мальчиков.

№2.  Найти вероятность того, что 30 студентов одной группы родились: а) в один день года; б) в разные месяцы года; в) в сентябре; г) в разные дни сентября.

№3. Железнодорожный состав из 9 вагонов и вагона–ресторана формируется произвольным образом. Какова вероятность того, что вагон №7 и вагон–ресторан расположены рядом

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 8

№1. В ящике 20 деталей, 4 из них — нестандартные. Какова вероятность того, что среди 6 наугад взятых деталей нестандартных не окажется?

№2. Лотерея выпущена на общую сумму 1000000 рулей. Цена одного билета 50 рублей. Ценные выигрыши падают на каждый десятый билет. Определить вероятность выигрыша при покупке: а) одного билета; б) двух билетов.

№3. Найти вероятность того, что участник лотереи «Спортлото — 6 из 49», купивший один билет, угадает правильно: а) 2 номера; б) 6 номеров.

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 9

№1.  Некто написал на листке четырехзначное число и предложил отгадать его. Какова вероятность угадывания числа с первой попытки?

№2. Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма выпавших очков не превосходит 5; б) произведение выпавших очков не превосходит 5

№3. На карточке спортлото написаны числа от 1 до 49. Какова вероятность того, что наугад зачеркнутое число на этой карточке кратно 6?

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 10

№1. На пяти карточках написано по одной цифре 1,2,3,4,5. Наугад выбирают две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше чем на первой?

№2. Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма выпавших очков делится на 5; б) произведение выпавших очков делится на 5.

№3. В ящике находятся 20 лампочек, среди которых 3 перегоревшие лампочки. Найти вероятность того, что 10 лампочек, взятых наудачу, будут гореть.

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 1.

№1. В урне находится 10 шаров, из них 6 белых и 4 черных шара. Вынули из урны 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые?  

№2. В секретном замке на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

№3. Батарея, состоящая из 10 орудий, ведет огонь по 15 кораблям неприятеля. Найти вероятность того, что все орудия стреляют: а) по одной цели; б) по разным целям

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 2.

№1. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

№2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

№3. В ящике 50 годных и 16 дефектных деталей. Сборщик наудачу достает 8 деталей. Найти вероятность того, что среди них: а) нет дефектных; б) 3 дефектных.

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 3

№1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».

№2. В почтовом отделении имеются открытки 6 видов. Какова вероятность того, что среди 4 проданных открыток все открытки различны?

№3. Выбирают наугад число от 1 до 100. Определить вероятность того, что в этом числе не окажется цифры 3

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 4

№1. По условию лотереи «Спортлото 5 из 36» участник, угадавший 4 цифры из 5,  получает второй приз. Найдите вероятность такого выигрыша.

№2. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

№3. В кармане 3 пятикопеечные монеты и 7 десятикопеечных монет. Наугад берется одна за другой две монеты. Вторая оказалась десятикопеечной. Определить вероятность того, что и первая десятикопеечная

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 5

№1. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

№2. Собрание, состоящее из 30 человек, среди которых 8 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдет одна женщина.

№3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков не превосходит семи; б) на обеих костях выпадет одинаковое число очков; в) произведение выпавших очков делится на 4; г) хотя бы на одной кости выпадет 6.

Практическая работа № 2 «Классическая формула вероятности»         Вариант 6

№1. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется 3 сбербанка в черте города?

№2.  8 шахматистов, среди которых 3 гроссмейстера, путем жеребьевки делятся на две подгруппы по 4 человека. Какова вероятность того, что два гроссмейстера попадут в одну подгруппу?

№3. В группе 10 юношей и 10 девушек. Для дежурства на вечере путем жеребьевки выделяют 5 человек. Какова вероятность того, что в число дежурных войдут: а) 5 юношей; б) 2 юноши и 3 девушки.

15-16 Формула полной вероятности

Цели: изучить понятие и формулы полной вероятности и вероятности гипотез- формулы Байеса; формирование навыков решения задач.

Тип урока: комбинированный урок

Содержание учебного материала: независимые гипотезы; формула полной вероятности; формулы Байеса.

Повторить

1. Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, … ( что событие А уже наступило).
2. Вероятность попадания в цель первым и вторым стрелком соответственно равна 0,7 и 0,6. Вероятность попадания в цель обеими стрелками одновременно равна… (0,42)
3. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в …(появлении хотя бы одного из событий А или В).
4. Сумма вероятностей противоположных событий равна…( 1)
5. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна…
6. Появление хотя бы одного из событий означает появление …(одного или более одного события).
7. Два события называют несовместными, если… (в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно).
8. Производится 5 раз некоторый опыт, в каждом из которых может произойти событие А. Событие С={событие А произойдет хотя бы 2 раза } противоположно событию …
9. Каждая из 4 ракет направляется в свою цель. Событие А = противоположно событию  …

Одним из следствий совместного применения теорем сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса.

Повторить. Что значит события образуют полную группу?

1. Формула полной вероятности

Пусть в условиях эксперимента событие А появляется совместно с одним из группы несовместных событий (гипотез), образующих полную группу, известны или можно установить априорные (до опытные) вероятности каждой из гипотез и условные вероятности  события  А при условии, что осуществилась та или иная гипотеза. Тогда вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий  В1, В2, В3,…,Вn , образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий В1, В2, В3,…,Вn на соответствующую условную вероятность события А :

Сколько бы не было вероятностей:

А зависимое событие , которое может произойти лишь в результате осуществления одной из несовместных гипотез , которые образуют полную группу.

Задача 1

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?

Решение: рассмотрим событие  – из наугад выбранной урны будет извлечён чёрный шар.  Данное событие может произойти в результате осуществления одной из следующих гипотез:
 – будет выбрана 1-ая урна;
 – будет выбрана 2-ая урна;
 – будет выбрана 3-я урна.

Так как урна выбирается наугад, то выбор любой из трёх урн равновозможен, следовательно:

Обратите внимание, что перечисленные гипотезы образуют полную группу событий, то есть по условию чёрный шар может появиться только из этих урн. Проведём простую промежуточную проверку:

В первой урне 4 белых + 7 черных = 11 шаров, по классическому определению:
 – вероятность извлечения чёрного шара при условии, что будет выбрана 1-ая урна.

Во второй урне только белые шары, поэтому в случае её выбора появления чёрного шара становится невозможным: .

И, наконец, в третьей урне одни чёрные шары, а значит, соответствующая условная вероятность извлечения чёрного шара составит  (событие достоверно).

По формуле полной вероятности:

 – вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен чёрный шар.

Ответ: 

Разобранный пример снова наводит на мысль о том, как важно ВНИКАТЬ В УСЛОВИЕ. Возьмём те же задачи с урнами и шарами – при их внешней схожести способы решения могут быть совершенно разными: где-то требуется применить только классическое определение вероятности, где-то события независимы, где-то зависимы, а где-то речь о гипотезах. При этом не существует чёткого формального критерия для выбора пути решения – над ним почти всегда нужно думать. Как повысить свою квалификацию? Решаем, решаем и ещё раз решаем!

Задача 2

В тире имеются 5 различных по точности боя винтовок. Вероятности попадания в мишень для данного стрелка соответственно равны  и 0,4. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки?

В большинстве тематических задач гипотезы, конечно же, не равновероятны:

Задача 3

В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение: в этой задаче количество винтовок точно такое же, как и в предыдущей, но вот гипотезы всего две:
 – стрелок выберет винтовку с оптическим прицелом;
 – стрелок выберет винтовку без оптического прицела.
По классическому определению вероятности: .
Контроль: 

Рассмотрим событие:  – стрелок поразит мишень из наугад взятой винтовки.
По условию: .

По формуле полной вероятности:

Ответ: 0,85

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Двигатель работает в трёх режимах: нормальном, форсированном и на холостом ходу. В режиме холостого хода вероятность его выхода из строя равна 0,05, при нормальном режиме работы – 0,1, а при форсированном – 0,7. 70% времени двигатель работает в нормальном режиме, а 20% – в форсированном. Какова вероятность выхода из строя двигателя во время работы?

На всякий случай напомню – чтобы получить значения вероятностей проценты нужно разделить на 100. Будьте очень внимательны!

Задача 5.   В магазине три холодильника в которых заканчивается мороженое. В первом 4 белых  и 6 шоколадных, во втором - 2 белых и 8 шоколадных, в третьем - 3 белых и 7 шоколадных. Наугад выбирают холодильник и вынимают из него мороженое. Определить вероятность того, что оно белое. 

Задача 6. Заданы условия первой задачи. Нужно установить вероятность того, что мороженое извлекли из второго холодильника.

2. Формулы Байеса

Следствием формулы полной вероятности является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез, приняты до опыта (априорные) по результатам уже проведенного опыта, т.е. найти условные вероятности.

Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий, В1, В2, В3,…,Вn , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса, формуле вероятности гипотез:  

Задача 6. Заданы условия первой задачи. Нужно установить вероятность того, что мороженое извлекли из второго холодильника.

Задача 7. Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу проезжающих там же легковых машин как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна ОД; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. На заправку подъехала машина. Найдите вероятность того, что подъехавшая машина грузовая.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что проезжающая машина остановилась на заправку, а гипотезы Н1 и H2 соответственно означают, что проезжающая машина грузовая или легковая. Нам нужно найти вероятность Р(Н1/А). Из условия следует, что Р(Н1) = 0,6, Р(Н2) = 0,4, Р(А/Н1) = 0,1 и Р(А/Н2) = 0,2. Сначала по формуле полной вероятности находим Р(А) = 0,6 * 0,1 + 0,4 * 0,2 = 0,14. Далее применяем формулу Байеса:
Р(Н1/А)= (Р(А/Н1)*Р(Н1))/Р(А)= (0,1*0,6)/0,14 = 6/14= 3/7 ≈ 0,4286.

Примерная схема, по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события.

• Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
• Найти основной вопрос задачи вроде "вычислить вероятность того, что ..." и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
• Событие записано. Теперь надо понять, к какой "схеме" теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения. Ответьте на тестовые вопросы типа:

• происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
• если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
• событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).
• Чем больше опыт решения задач, тем легче будет определить, какие формулы подходят.

• Выбрана формула (или несколько) для решения. Записываем все данные задачи и подставляем в данную формулу.
• Вероятность найдена.

Задача 8. На склад поступают телефоны трех заводов, причем доля телефонов первого завода составляет 25%, второго - 60%, третьего - 15%. Известно также, что средний процент бракованных телефонов для первой фабрики составляет 2%, второй - 4%, третьей - 1%. Найти вероятность того, что:  а) наугад взятый телефон окажется с браком; б) телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный;  в) на каком заводе скорее был изготовлен телефон, если он сделан качественно ?

Практическая работа № 3 «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности»

1. Выяснить последовательность событий, что произошло вначале, что потом
2. Определить тип задачи в зависимости от того, какое событие уже произошло
3. Сформулировать план решения

№1. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (считать, что мужчин и женщин одинаковое число).

№2. Почта отправляет 30% всех почтовых посылок поездом, 40% посылок перевозит на корабле и 30% на самолете. Причем вероятность того, что посылка будет доставлена в срок, составляет 0,6, 0,3 и 0,8 соответственно. Найти вероятности того, что ваша посылка была отправлена поездом, учитывая, что она пришла с опозданием.

№3.  Из центра города в аэропорт отправляются два автобуса. Вероятность своевременного прибытия для каждого из них равна 0,95. Найти вероятность того, что по крайней мере один автобус прибудет вовремя

№4. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перезагрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перезагрузки в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перезагрузки – 0,4. Вычислите надежность прибора за время полета.

№5. В торговом центре два одинаковых кофейных автомата. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах – 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Вероятность суммы событий                Устно

1. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:

D — обнаружено ровно два объекта;

Е — обнаружено ровно три объекта;

F — обнаружены все четыре объекта.

Указать, в чем состоит событие: D + Е + F

2. В урне a – белых,  b – черных,   c – красных шаров. Вероятность какого события определяется формулой         

Письменно         3. Автомобилист проезжает два поста дорожно-патрульной службы. Вероятность того, что его остановят на первом посту, равна 0,4, на втором – 0,1. Найти вероятность того, что автомобилиста остановят хотя бы на одном посту.

4. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе – 0,9, в третье – 0,8. Найти вероятность того, что, хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Вероятность произведения событий         Устно

1. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:

А — обнаружен ровно один из четырех объектов;

В — обнаружен хотя бы один объект

В чем состоит событие АВ?                 

2.Два стрелка стреляют по мишени одним выстрелом. Событие А –первый стрелок попал в цель. Событие В – второй стрелок попал в цель. Событие С= означает

Письменно         3. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задает студенту последовательно три вопроса. Рассматривается событие А – студент ответит на первый и третий вопрос и не ответит на второй вопрос. Найти вероятность события

4. На стендах находятся 18 компьютеров, из которых 4 имеют скрытые дефекты. Покупатель отбирает друг за другом наугад 3 компьютера. Найти вероятности следующих событий: первые два компьютера хорошие, третий – дефектный.

Формула полной вероятности                Устно

1. События, исчерпывающие все возможные предположения относительно исходов первого этапа опыта, называют …

2. Свойство вероятностей гипотез

3. На склад поступают телефоны трех заводов, причем доля телефонов первого завода составляет 25%, второго - 60%, третьего - 15%. Известно также, что средний процент бракованных телефонов для первой фабрики составляет 2%, второй - 4%, третьей - 1%. Найти вероятность того, что наудачу выбранный телефон бракованный.

Письменно         4. В офисе: 4 ноутбука изготовлены компанией A, 6- компанией B, 8 -компанией  C и 2 - компанией D . Гарантии, что ноутбуки этих компаний будут работать в течение гарантийного срока без ремонта составляют 70%, 80%, 85%, и 55% для каждой из них. Найти вероятность того, что выбранный ноутбук будет работать без ремонта в течение гарантийного срока.

5. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае — в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта для этой фирмы?

Формулы Байеса                Устно

1. Практическое значение формул Байеса состоит в том, что они позволяют по результатам уже проведенного опыта

Письменно         2. Каждому из 3 первоклассников - Пете, Коле и Мише - предложили одинаковое количество загадок. Петя отгадывает в среднем 3 загадки из 4. Коля 5 из 6. Миша 9 из 10. Наугад выбранный школьник не отгадал загадку. Какова вероятность того, что это был Коля?

3. На каждые 100 электрических ламп завода «А» в среднем приходится 83 стандартных, завода «В» - 63 стандартных. В магазин поступает 70% лампочек с завода «А» и 30% - с завода «В». Купленная лампочка оказалась стандартной. Найти вероятность того, что лампочка изготовлена на заводе «А».

4. В студенческой группе 70% - юноши. 20% юношей и 60% девушек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Найти вероятность того, что он принадлежал юноше

5. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что положительный прогноз сбудется? 

           Практическое занятие № 4   

«Решение задач на вычисление вероятностей в схеме Бернулли»

1. Формула Бернулли.

Решение задач

1.1 Игральный кубик бросается три раза. Найти вероятность того, что шестерка выпадет: а) 2 раза; б) ни разу; в) 3 раза; г) не менее двух раз; д) не более двух раз; е) хотя бы один раз.

1.2 Случайно встреченный прохожий с вероятностью  может оказаться брюнетом, с вероятностью  – блондином, с вероятностью  – шатеном и с вероятностью  – рыжим. Какова вероятность того, что среди трех случайно встреченных прохожих окажется: 1) не менее двух брюнетов; 2) один блондин и два шатена; 3) хотя бы один рыжий.

2. Вычисление вероятности событий с большим числом испытаний

Решение задач

2.1 Среднее число заказов такси в одну минуту равно 3. Найти вероятность того, что за две минуты поступит: 1) 4 заказа; 2) менее 4 заказов; 3) не менее 4 заказов.

2.2 Завод отправил потребителю 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0, 002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:

1. три изделия; 2) менее трех изделий; 3) более трех изделий; 4) хотя бы одно изделие.

3. Найти вероятность того, что в результате 405 бросаний игральной кости ровно 30 раз выпадет 6 очков.

4. Партия изделий содержит 20% бракованных. Найдите вероятность того, что среди 400 проверенных изделий попадется не менее 50 и не более 90 бракованных.

Контрольная работа № 1 «Вероятность событий»

Вариант 1.

№1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей: а) у двух размеры диаметра не соответствуют заданному допуску; б) хотя бы у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску

№2. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

№3. Задача. Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.

№4. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 70 до 100 деталей.

Контрольная работа № 1 «Вероятность событий»

Вариант 2.

№1. Предприятие имеет проблемы с поставками сырья. Вероятность того, что в каждом отдельном месяце предприятие будет полностью обеспечено сырьем, равна 0,9. Какова вероятность того, что за полугодовой период предприятие будет полностью обеспечено сырьем:  

а) ровно в трех месяцах?

б) не менее чем в двух месяцах?

№2. В работе телефонной станции происходят в среднем 3 сбоя в час. Определить вероятность пяти сбоев за 2 часа.

№3. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найдите вероятность того, что в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет 15 ошибок.

№4.  В честь национального праздника состоялся массовый забег на дистанцию 10 км. В забеге приняли участие 250 человек. Обычно в забегах такого типа из каждых десяти участников 8 доходят до финиша. Какова вероятность того, что до финиша дойдут от 180 до 220 человек?

Контрольная работа № 1 «Вероятность событий»

Вариант 3.

№1. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

№2. В работе телефонной станции происходят в среднем 3 сбоя в час. Определить вероятность хотя бы одного сбоя за 1 час.

№3. В честь национального праздника состоялся массовый забег на дистанцию 10 км. В забеге приняли участие 250 человек. Обычно в забегах такого типа из каждых десяти участников 8 доходят до финиша. Какова вероятность того, что до финиша дойдут 200 человек?

№4. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найдите вероятность того, что в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет менее 20 ошибок.

Контрольная работа № 1 «Вероятность событий»

Вариант  4.

№1. Владелец универсама считает, что в среднем каждый пятый посетитель его магазина совершает покупку. Допуская, что предположение владельца верно, определить вероятность того, что

а) двое из восьми посетителей универсама совершают покупки;

б) хотя бы один из пяти посетителей универсама  совершит покупку.

№2. Среди шариковых авторучек в среднем при упаковке, отгрузке и доставке в магазин повреждаются 0,02%. Найти вероятность того, что среди 5000 авторучек окажутся поврежденными не более 3 ручек.

№3. Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,8. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 400 изделий 315 будут первого сорта.

  №4.  Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдёт не менее 700.

Контрольная работа № 1 «Вероятность событий»

Вариант  5.

№1. Отдел контроля качества фирмы, производящей стереофонические системы, взял на проверку 4 системы. Вероятность обнаружения дефекта в каждой из них составляет 0,02. Какова вероятность, что

а) во всех системах будут обнаружены дефекты;

б) хотя бы в одной системе будут обнаружены дефекты?

№2. При работе ЭВМ число сбоев подчиняется закону Пуассона. Среднее число сбоев в неделю равно 3. Найти вероятность того, что в течение данной недели будет только один сбой.

№3. Вероятность опечатки на странице рукописи равна 0,3. В рукописи 210 страниц машинописного текста. Найти вероятность того, что в рукописи 50 страниц с опечатками.

№4. Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,8. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 400 изделий первого сорта будут от 300 до 340 изделий.

Закон больших чисел

В практической деятельности особое значение имеют такие события, осуществление которых можно предсказать, поскольку их вероятность близка к нулю или единице. Поэтому одной из главных задач ТВ является установление закономерностей, при которых вероятность их осуществления близка к нулю или единице.

Математические законы ТВ получены в результате обобщения закономерностей массовых явлений природы и общества. Под массовостью понимается значительное число повторяющихся испытаний в одинаковых или сходных условиях.

Практика изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, даже проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то же время средние результаты для достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят от результатов отдельных наблюдений.

Теоретическим обоснованием этого замечательного свойства случайных явлений является закон больших чисел. Названием "закон больших чисел" объединена группа теорем, устанавливающих устойчивость средних результатов большого количества случайных явлений и объясняющих причину этой устойчивости.

Простейшая форма закона больших чисел, и исторически первая теорема этого раздела - теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Теорема Пуассона утверждает, что частота события в серии независимых испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и перестает быть случайной.

Предельные теоремы теории вероятностей, теоремы Муавра-Лапласа объясняют природу устойчивости частоты появлений события. Природа эта состоит в том, что предельным распределением числа появлений события при неограниченном возрастании числа испытаний (если вероятность события во всех испытаниях одинакова) является нормальное распределение.

Центральная предельная теорема объясняет широкое распространение нормального закона распределения. Теорема утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом.

Теорема, приведенная ниже под названием "Закон больших чисел" утверждает, что при определенных, достаточно общих, условиях, с увеличением числа случайных величин их среднее арифметическое стремится к среднему арифметическому математических ожиданий и перестает быть случайным.

В основе качественных и количественных утверждений закона больших чисел лежит неравенство Чебышева. Оно определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания больше некоторого заданного числа. Замечательно, что неравенство Чебышева дает оценку вероятности события для случайной величины, распределение которой неизвестно, известны лишь ее математическое ожидание и дисперсия.

Благодаря закону больших чисел появляется возможность делать научные прогнозы случайных явлений с достаточно высокой точностью, а также оценивать точность этих прогнозов. Различные формы закона простых чисел имеют большое практическое применение, так как составляют теоретическую базу математической статистики.

Тест «Законы распределения непрерывных случайных величин»

Вариант 1

1. Вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число кратно десяти равна

а) 0,5                        б) 0,4                в) 0,3                        г) 0,1

2. Каждая из 4 ракет направляется в свою цель. Вероятность поражения каждой цели 0,6. Вероятность того, что только две ракеты поразят цель, равна

а) 0,5632                        б) 0,3645                в) 0,4562         г) 0,3456

3.  Возможные значения случайной величины таковы: x1=2, x2=5, x3=8. Известны вероятности первых двух возможных значений: p1=0,4; p2=0,15. Найти вероятность x3.

а)p3=0,5;                б)p3=1;                        в)p3=0,45;                г)p3=0,4.

4. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, заданной законом распределения  равны

а) МХ=0,25, DX=0,22        б) МХ=0,35, DX=0,32        в) МХ=1,3, DX=0,45        г) МХ=0,24, DX=0,22

5. Даны числовые характеристики двух случайных величин X и Y: MX=3, MY=7, DX=1, DY=2. Найти M(3X+2Y), D(4X-Y).

а)M(3X+2Y)=23; D(4X-Y)=2;                б)M(3X+2Y)=21; D(4X-Y)=14;

в)M(3X+2Y)=25; D(4X-Y)=18;                г)M(3X+2Y)=23; D(4X-Y)=18.

6. Дан закон распределения дискретной случайной величины

P(X<3) равна

а) P(X<3)=0,6                б) P(X<3)=0,4                в) P(X<3)=0,2                г) P(X<3)=0

7. Дана  плотность  вероятности  непрерывной  случайной  величины:

f(x)=.

Тогда  А  равно: а) A=1          б) A=2                        в)  A=                г) A=

8. Плотность  вероятности  нормально  распределенной  случайной  величины,  если  MX=3,  DX=4,  имеет  вид:

а) f(x)=                  б) f(x)=          

в) f(x)=              г)   f(x)=

9. Дана  плотность  вероятности  нормально  распределенной  случайной  величины  f(x)=.  Математическое  ожидание  и  дисперсия  равны:

а) MX=2;  DX=3                б) MX=2;  DX=9      в) MX=1;  DX=18                г) MX=3;  DX=3

10. Случайная величина распределена по нормальному закону: MX=1,  DX=0,01.Вероятность  P(1/2

а) 1                        б) 0,8                в) 0,5                        г) 0,7

11. Случайная  величина  X  распределена  нормально  и  имеет  плотность  вероятности  f(x)=.  Дисперсия  случайной  величины  Y=2X  равна:

а) 6                        б) 36                        в) 18                        г) 16

12. Случайная  величина  X  распределена  нормально  и  имеет  плотность  вероятности  f(x)=.  Математическое  ожидание  случайной  величины  Y=2X-3  равно:

а) 5                        б) 7                в) 29                        г) 10

13. Случайная  величина  X  имеет  нормальное  распределение MX==30,  DX=100. Вероятность  P(20

а) 0,1359                б)  0,4215                в) 0,8185                г) 0,8541

14. Случайная  величина  X  имеет  показательное  распределение  f(x)=5e-5x  при  x≥0,  f(x)=0  при x<0.  P(0,4

а) 0,13                б) 0,21                        в) 0,75                        г) 0,31        

15. Случайная  величина  X  имеет  показательное  распределение  f(x)=.  Математическое  ожидание  и  среднее  квадратичное  отклонение  MX,  σx  равно:

а) MX=100;  σx=10                           б) MX=0,01;  σx=100        

в) MX=100;  σx=100                               г) MX=0,1;  σx=0,1

Тест «Законы распределения непрерывных случайных величин»                Вариант 2

1. Возможные значения случайной величины таковы: x1=1, x2=3, x3=5. Известны вероятности первых двух возможных значений: p1=0,35;  p2=0,15. Найти вероятность x3.

а) p3=0,5;                б) p3=1;                        в) p3=0,45;                г) p3=0,4.

2. Две грани симметричного кубика окрашены в синий цвет, три – в зеленый и одна в красный. Кубик подбрасывают один раз. Вероятность того, что верхняя грань окажется зеленой, равна

а) 0,5                        б) 0,4                        в) 0,3                        г) 0,1

3.  Каждая из 4 ракет направляется в свою цель. Вероятность поражения каждой цели 0,6. Вероятность того, что только три ракеты поразят цель, равна

а) 0,5632                        б) 0,3645                в) 0,4562                г) 0,3456

4. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, заданной законом распределения

 равны

а) МХ=1,11, DX=0,1179                                  б) МХ=1,35, DX=0,3215  

в) МХ=1,15, DX=0,1278                                г) МХ=1,24, DX=0,2247

5. Дан закон распределения дискретной случайной величины

Найти p4 и P(X<7)

а) p4=0,5; P(X<7)=0,4        б) p4=0,4; P(X<7)=0,3

в) p4=0,3; P(X<7)=0,6        г) p4=0,4; P(X<7)=0,6

6. Даны числовые характеристики двух случайных величин X и Y: MX=2, MY=5, DX=2, DY=1. Найти M(3X+2Y), D(4X-Y).

а) M(3X+2Y)=13; D(4X-Y)=31;                б) M(3X+2Y)=21; D(4X-Y)=14;

в) M(3X+2Y)=16; D(4X-Y)=33;                г) M(3X+2Y)=23; D(4X-Y)=18.

7. Дана  плотность  вероятности  случайной  величины  X:

f(x)=.

Величина  А  равна:

а) A=1                б) A=1/2                в) A=2                        г) A=3/2

8.  Плотность  вероятности  нормально  распределенной  случайной  величины,  если  MX=2,  DX=,  имеет  вид:

а) f(x)=                 б) f(x)= 

в) f(x)=                г) f(x)=

9. Дана  плотность  вероятности  нормально  распределенной  случайной  величины  f(x)=.  Математическое  ожидание  и  дисперсия  равны:

а) MX=2;  DX=2                б) MX=4;  DX=8        в) MX=3;  DX=6        г) MX=4;  DX=4

10. Случайная величина распределена по нормальному закону, MX=30,          DX=100. Вероятность  P(40

а) 0,1481                        б) 0,136                        в) 0,5                        г) 0,1385

11. Случайная  величина  X  распределена  нормально  и  имеет  плотность  вероятности  f(x)=.  Математическое  ожидание  случайной  величины  Y=4X-2  равно:

а) 2                        б) 14                        в) 10                        г) 30

12. Случайная  величина  подчинена  нормальному  закону  с  плотностью  вероятности  f(x)=.  Дисперсия  случайной  величины  Y=3X  равна:

а) 6                        б) 12                        в) 9                        г) 15

13. Случайная  величина  X  имеет  нормальное  распределение,  MX=2,  DX=9.  Вероятность  P(|X–MX|<2)  равна:

а) 0,5148                б) 0,4972                в) 0,523                г) 0,4161

14. Плотность  вероятности  случайной  величины  X,  распределенной  по  показательному  закону  с  параметром  λ,  имеет  вид:

а) f(x)=λ·eλx                        б)  f(x)=

в) f(x)=                г) f(x)=

15. Случайная  величина  X  имеет  показательное  распределение  f(x)=.  Математическое  ожидание  X  равно:

а) MX=4                б) MX=0,5                в) MX=0,25                г) MX=-0,25

Задание для студентов групп 51 и 243

1. Прочитать материал по теме «Закон больших чисел»
2. Выполнить задания итогового теста: 1 вариант соответствует нечетным номерам в списке, 2 вариант – четным.

35-36  Характеристики НСВ.

 Практическая работа № 6 «Непрерывные случайные величины» 

           Цель работы: Изучить суть и основные понятия темы, научиться использовать основные формулы на практике.

Содержание учебного материала: Математическое ожидание, дисперсия, СКО. Их сущность, свойства, формулы для вычисления. Решение задач на НСВ.

1. Актуализация опорных знаний

1. Непрерывной случайной величиной НСВ называется такая величина, возможные значения которой…(непрерывно заполняют некоторый промежуток)

2. Число всех возможных значений НСВ… (бесконечно)
3. Функцией распределения НСВ называют F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что СВХ…(примет значение меньшее х)
4. F(x)называют также…(интегральной функцией распределения)
5. Функцией плотности распределения вероятностей называют …(первую производную от функции F(x))
6. f(x) также называют …(дифференциальной функцией)
7. Вероятность того, что НСВХ примет значения, принадлежащие интервалу (a;b)вычисляют по формуле…()
8. Функцию распределения F(x) можно найти по формуле…( F(x)=)
9. Свойства плотности распределения…(Если все возможные значения случайной величины Х лежат внутри интервала .
10. Перечислить основные  числовые характеристики случайной величины… (мода, медиана, математическое ожидание, дисперсия)
11. Повторить свойства числовых характеристик

2. Числовые характеристики НСВ

Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. На практике функцию распределения не всегда можно установить; иногда такого исчерпывающего знания и не требуется. Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы.
1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).
2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(х)).

Модой НСВ Х называется такое ее значение, при котором плотность вероятности максимальная. СВ может иметь несколько мод.

С геометрической точки зрения  мода – значение аргумента х, при котором график функции плотности распределения принимает максимальное значение.

Нахождение моды – известная задача дифференциального исчисления поиска экстремума на множестве. Если функция f(x) дифференцируема на интервале, то ищут точки экстремума, экстремумы функции, из них выбирают наибольшее и сравнивают со значениями функции f(x) на границах интервала.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Определение. Медианой Mе случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.
Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)
Из определения медианы следует, что Р(Х<Ме) = 0,5, т.е. F (Ме) = 0,5. Геометрически медиану можно истолковывать как абсциссу, в которой ордината φ(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. В случае симметричного распределения медиана совпадает с модой и математическим ожиданием.

Повторить формулы для вычисления: математического ожидания НСВ, дисперсии, СКО.

3. Решение задач

№1. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией:

при x0,

при 05,

при x>5.

Определить: а) вероятность попадания случайной величины в интервал (2;3);

б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X;

в) функции распределения изобразить графически.

Решение. По четвертому свойству интегральной функции:

Найдем функцию плотности вероятности (дифференциальную функцию):

при x0,

при 05,

при x>5.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (2, 3) также можно найти, зная функцию плотности вероятности:

Найдем числовые характеристики непрерывной случайной величины X. Следует обратить внимание, что случайная величина задана на интервале (0;5).

Построим график функций F(x) и f(x).

№2. Задана функция распределения НСВХ. Требуется:

1. Найти плотность распределения вероятностей f(x)
2. Определить коэффициент А
3. Схематично построить графики F(x) и f(x)
4. Найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X)
5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α;β)

№3. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения

Требуется определить:

1. Коэффициент А
2. Функцию распределения F(x)
3. Схематично построить графики F(x) и f(x)
4. Найти математическое ожидание М(Х) ,  дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (8;11)

Решение. Коэффициент А можно определить из условия

А=,

4. Самостоятельно

Задание: выберите правильный ответ.

1. Непрерывная случайная величина X задана своей функцией распределения                          Найти

а)        0.5;        б)        1;        в)        0;        г)        0.75;        д) нет правильного ответа

2. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения

Найти М(Х).

а)                 б)                 в)                 г)                 д) нет правильного ответа

Решение.

№3. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения

Найти: М(Х) и D(X).

а) М(Х)= и D(X)=0,0375                б) М(Х)= и D(X)=0,0375

в) М(Х)= и D(X)= - 0,0375                г) М(Х)= и D(X)= - 0,0375

Решение.

Домашнее задание.

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей и f(x).

Требуется определить:

1. Коэффициент А
2. Функцию распределения F(x)
3. Схематично построить графики F(x) и f(x)
4. Найти математическое ожидание М(Х) ,  дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α;β)

45-46  Выборки, их виды

Содержание учебного материала: Выборки, способы отбора, построение по данной выборке ее статистического и интервального рядов. Полигон и гистограмма.

1. Математическая статистика – раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для научных и практических целей. Математическая статистика тесно связана с теорией вероятности и опирается на ее выводы.
2. Задачи и методы математической статистики

В процессе рассмотрения любой научной проблемы исследователь ставит перед собой и решает следующие задачи: 1) описание явления; 2) анализ и прогноз; 3) выработка оптимального решения.

Методы МС применяют в тех случаях, когда изучают распределение массовых явлений, т.е. большой совокупности предметов или явлений, распределенных по определенному признаку.

Пусть подлежит изучению совокупность однородных объектов, объединенных общим признаком или свойством качественного или количественного характера. Отдельные элементы такой совокупности называются  ее членами. Число членов совокупности составляет ее объем.

Изучение всей совокупности чаще всего невозможно или нецелесообразно из-за значительных материальных затрат, порчи или уничтожения объекта исследования. Так, невозможно получить объективную и полную информацию о доходе населения всего региона, т.е. каждого его обитателя. В связи с порчей объекта исследования невозможно получить достоверную информацию о качестве, например, партии лекарственных средств или продуктов питания.

Основная задача математической статистики заключается в исследовании всей совокупности по выборочным данным в зависимости от поставленной цели, т.е. изучение вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях неопределенности.

3.  Виды выборки

Пример 1. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности N=2000, а объем выборки n=100.

Выборку можно осуществлять двумя способами. Если после исследования объект из выборки не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной, если объект возвращается в генеральную совокупность, то такая выборка называется повторной. На практике чаще используют бесповторную выборку.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности

различают два способа отбора: без расчленения генеральной совокупности на части и с расчленением. К первому относятся простые случайные отборы (либо повторный, либо бесповторный), тогда объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности; такой отбор можно производить с использованием таблицы случайных чисел.

Второй способ отбора включает в себя следующие разновидности, соответствующие способам расчленения генеральной совокупности. Отбор, при котором объекты отбираются из каждой «типической» части генеральной совокупности, называется типическим. Например, отбор деталей из продукции каждого станка, а не из общего количества является типическим. Если генеральную совокупность делят на число групп, равное объему выборки, с последующим отбором из каждой группы по одному объекту, то такой отбор  называется механическим. Серийным называется  отбор, при котором объекты отбираются не по одному, а сериями; этот способ используется, когда исследуемый признак имеет незначительные колебания в различных сериях.

На практике часто употребляется комбинирование указанных выше способов отбора. Например, генеральную совокупность разбивают на серии одинакового объема. Затем случайным образом отбирают несколько серий и в завершение случайным извлечением отдельных объектов составляют выборку. Конкретная комбинация способов отбора объектов из генеральной совокупности определяется требованием репрезентативности выборки.

Пример 2. Десять абитуриентов проходят тестирование по математике. Каждый из них может набрать от 0 до 5 баллов включительно. Пусть  –количество баллов, набранных

k- м (k=1, 2, …, 10) абитуриентом.

Тогда значения 0, 1, 2, 3, 4, 5 – все возможные количества баллов, набранных одним абитуриентом, - образуют генеральную совокупность.

Выборка        - результат тестирования 10 абитуриентов.

Реализациями выборки могут быть следующие наборы чисел:    или

  и т. д.

Так как зачастую невозможно описать все N элементов исследуемого объекта, с помощью выборки опишем n элементов, на основании чего получим набор исследуемых значений ,где

 . Итогом такого исследования может быть вывод о распределении признака во всем объекте исследования, которое обычно неизвестно.

4. Статистическое распределение выборки

Изменение признака статистической совокупности, изучаемого выборочным методом, называется вариацией, а наблюдаемые значения признака  – вариантой. Абсолютной частотой (частотой) варианты  называется число членов совокупности (генеральной или выборки), имеющих значение  .

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n, в которой значение  некоторого исследуемого признака X наблюдалось  раз, значение   —   раз, ..., значение   —  раз. Значения   называются вариантами, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке (ранжированная), - вариационным рядом. Числа   называются частотами, а их отношения к объему выборки  == — относительными частотами.

Размахом варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому принадлежат все варианты выборки: R=-

Медианой  называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Если число вариант нечетно, т.е. k=2l+1, то   =; если же число вариант четно (k=2l), то =.

Перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных частот) называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом.

 называется статистическим распределением выборки. Здесь имеется аналогия с законом распределения случайной величины: в теории вероятностей — это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — это соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (относительными частотами). Нетрудно видеть, что сумма относительных частот равна единице: сумма =1.

Пример 3. Выборка задана в виде распределения частот:

             4         7        8        12        17

          2        4        5        6        3

Найти распределение относительных частот и основные характеристики вариационного ряда.

Решение.  Найдем объем выборки: n=2+4+5+6+3=20. Относительные частоты соответственно равны =2/20=0,1; =4/20=0,2; =5/20=0,25; =6/20=0,3; =3/20=0,15. Контроль: 0,1+0,2+0,25+0,3+0,15=1

Искомое распределение относительных частот имеет вид

          4         7        8        12        17
         0,1        0,2    0,25        0,3        0,15.

Мода этого вариационного ряда равна 12. Число вариант в данном случае нечетно: k=22+1, поэтому медиана =  =8. Размах варьирования, согласно формуле

 R= 17-4=13.

Перечень вариантов и соответствующих им частот (или относительных частот) называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом.

Записывается статистическое распределение в виде таблицы. Первая строка содержит варианты, а вторая их частоты (или относительные частоты)

Пример 4. Десять абитуриентов проходят тестирование по математике. Каждый из них может набрать от 0 до 5 баллов включительно. Пусть  - количество баллов. Набранных k-м (k=1,2,…,10) абитуриентом.

Тогда значения 0,1,2,3,4,5 – все возможные количества баллов, набранных одним абитуриентом, - образуют генеральную совокупность.

Выборка  - результат тестирования 10 абитуриентов.

Реализациями выборки могут быть следующие наборы чисел: {5, 3, 0, 1, 4, 2, 5, 4, 1, 5}или {4, 4, 5, 3, 3, 1, 5, 5, 2, 5} и т.д.

 В результате тестирования группа абитуриентов набрала баллы: 5, 3, 0, 1, 4, 2, 5, 4, 1, 5.  Записать полученную выборку в виде: а) вариационного ряда; б) статистического ряда.

Решение. а) проранжировав статистические данные (т.е. исходный ряд), получим вариационный ряд: (0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5)

б) подсчитав частоту и относительную частоту вариантов

 , получим статистическое распределение выборки (дискретный статистический ряд)

n=10

или

5. Интервальный статистический ряд

В случае когда число значений признака (СВХ) велико или признак является непрерывным, составляют интервальный статистический ряд. В первую строку таблицы статистического распределения вписывают частичные промежутки

, , которые берут обычно одинаковыми по длине:

Для определения величины интервала ( можно использовать формулу Стерджеса:

, где  - разность между наибольшим и наименьшим значениями признака, m=1+ – число интервалов (.

За начало первого интервала рекомендуется брать величину  

Каждый интервал должен содержать не менее пяти вариант. В противном случае соседние интервалы принято объединять.

Во второй  строчке статистического ряда вписывают количество наблюдений
, попавших в каждый интервал.

Пример 5. Измерили рост (с точностью до см) 30 наудачу отобранных студентов. Результаты измерений таковы:

178, 160, 154, 183, 155, 153, 167, 186, 163, 155.

157, 175, 170, 166, 159, 173, 182, 167, 171, 169,

179, 165, 156, 179, 158, 171, 175, 173, 164, 172.

Построить интервальный статистический ряд.

Решение. Х- рост студента – НСВ.

 по формуле Стерджеса, при , находим длину частичного интервала

Примем  Тогда =153-6/2=150. Исходные данные разбиваем на 6 (1+ интервалов:[150, 156), [156, 162), [162, 168), [168, 174), [174,180), [180,186).

Подсчитав число студентов (, попавших в каждый из полученных промежутков, получим интервальный статистический ряд:

6. Эмпирическая функция распределения

Пусть  - число наблюдений, при которых значение признака X меньше x. При объеме выборки, равном n, относительная частота события X равна .

Определение. Функция F*(x)=/n, определяющая для каждого значения x  относительную частоту события  X, называется эмпирической функцией распределения, или функцией распределения выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения  F*(x) функция распределения F(x) генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения. Различие между ними состоит в том, что функция F(x) определяет вероятность события X, а F*(x) – относительную частоту этого события. Из теоретических результатов общей теории вероятностей (закон больших чисел) следует, что при больших n вероятность отличия этих функций друг от друга близка к единице:

.

Нетрудно видеть, что F*(x) обладает всеми свойствами F(x), что вытекает из ее определения:

1. Значения F*(x) принадлежат отрезку ;
2. F*(x) является неубывающей функцией;
3. Если  - наименьшая варианта, то F*(x)=0 при  ; если  - максимальная варианта, то F*(x)=1 при

Сама же функция F*(x) служит для оценки теоретической функции распределения F(x) генеральной совокупности.

Пример 6. Построить эмпирическую функцию по заданному распределению выборки:

          2        4         6        

                10        15        25

 Решение. Находим объем выборки: n=10+15+25=50. Наименьшая варианта равна 2, поэтому         F*(x)=0 при . Значение X (или ) наблюдалось 10 раз, а значит F*(x)=10/50=0,2 при 2 X. Значения X ( а именно  и ) наблюдались 10+15=25 раз, значит при 4 X функция F*(x)=25/50=0,5. Поскольку x=6 – максимальная варианта, то F*(x)=1 при . Напишем формулу искомой эмпирической функции:

F*(x)=

График этой функции

Пример 7. Построить эмпирическую функцию распределения, используя условие и результат примера 4

7. Полигон и гистограмма

Каждую пару значений  из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точно также можно рассматривать и пары значений  относительного распределения выборки. Ломаная, отрезки которой соединяют точки , называются полигоном частот. Ломаная, соединяющая на координатной плоскости точки , называется полигоном относительных частот.

Построить полигон относительных частот для распределения, приведенного в примере 4.

Для случая непрерывного признака X удобно разбить интервал () его наблюдаемых значений на несколько частичных интервалов длиной h каждый и найти для каждого из этих интервалов сумму частот , попавших в него. Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников  с основаниями длиной h  и высотами   h (плотность частоты), называется гистограммой частот. Геометрический смысл гистограммы: нетрудно видеть, что площадь ее равна сумме всех частот или объему выборки.

Аналогичным образом определяется и гистограмма относительных частот; в этом случае высоты прямоугольников, составляющих ступенчатую фигуру, определяются отношениями сумм относительных частот, попадающих в интервал () к длине интервала h, т.е. величинами   h. Нетрудно видеть, что площадь гистограммы относительных частот равна 1 (сумме относительных частот выборки).

Пример 8 используя условие и результаты примера 5 построить гистограмму относительных частот (частостей)

Решение. Длина интервала равна .

 Высоты прямоугольников:  

Выборочные характеристики

Цели: Изучить понятия:  эмпирическая функция распределения, полигон и гистограмма. Изучить числовые характеристики выборки:  выборочная средняя, выборочная дисперсия и научиться их вычислять.

Повторить

1. Вариационный ряд.
2. Варианта.
3. Статистический ряд распределения.
4. Мода, медиана, размах вариации.

Пример 1(5 в предыдущем конспекте). Измерили рост (с точностью до см) 30 наудачу отобранных студентов. Результаты измерений таковы:

178, 160, 154, 183, 155, 153, 167, 186, 163, 155.

157, 175, 170, 166, 159, 173, 182, 167, 171, 169,

179, 165, 156, 179, 158, 171, 175, 173, 164, 172.

Построить интервальный статистический ряд.

Решение. Х- рост студента – НСВ.

 по формуле Стерджеса, при , находим длину частичного интервала

Примем  Тогда =153-6/2=150. Исходные данные разбиваем на 6 (1+ интервалов:[150, 156), [156, 162), [162, 168), [168, 174), [174,180), [180,186).

Подсчитав число студентов (, попавших в каждый из полученных промежутков, получим интервальный статистический ряд:

1. Эмпирическая функция распределения

Пусть  - число наблюдений, при которых значение признака X меньше x. При объеме выборки, равном n, относительная частота события X равна .

Определение. Функция F*(x)=/n, определяющая для каждого значения x  относительную частоту события  X, называется эмпирической функцией распределения, или функцией распределения выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения  F*(x) функция распределения F(x) генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения. Различие между ними состоит в том, что функция F(x) определяет вероятность события X, а F*(x) – относительную частоту этого события. Из теоретических результатов общей теории вероятностей (закон больших чисел) следует, что при больших n вероятность отличия этих функций друг от друга близка к единице:

.

Нетрудно видеть, что F*(x) обладает всеми свойствами F(x), что вытекает из ее определения:

1. Значения F*(x) принадлежат отрезку ;
2. F*(x) является неубывающей функцией;
3. Если  - наименьшая варианта, то F*(x)=0 при  ; если  - максимальная варианта, то F*(x)=1 при

Сама же функция F*(x) служит для оценки теоретической функции распределения F(x) генеральной совокупности.

Пример 2 (6). Построить эмпирическую функцию по заданному распределению выборки:

          2        4         6        

                10        15        25

 Решение. Находим объем выборки: n=10+15+25=50. Наименьшая варианта равна 2, поэтому         F*(x)=0 при . Значение X (или ) наблюдалось 10 раз, а значит F*(x)=10/50=0,2 при 2 X. Значения X ( а именно  и ) наблюдались 10+15=25 раз, значит при 4 X функция F*(x)=25/50=0,5. Поскольку x=6 – максимальная варианта, то F*(x)=1 при . Напишем формулу искомой эмпирической функции:

F*(x)=

График этой функции

Пример 3 (7). Построить эмпирическую функцию распределения, используя условие и результат примера 4

2. Полигон и гистограмма

Каждую пару значений  из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точно также можно рассматривать и пары значений  относительного распределения выборки. Ломаная, отрезки которой соединяют точки , называются полигоном частот. Ломаная, соединяющая на координатной плоскости точки , называется полигоном относительных частот.

Построить полигон относительных частот для распределения, приведенного в примере 4.

Для случая непрерывного признака X удобно разбить интервал () его наблюдаемых значений на несколько частичных интервалов длиной h каждый и найти для каждого из этих интервалов сумму частот , попавших в него. Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников  с основаниями длиной h  и высотами   h (плотность частоты), называется гистограммой частот. Геометрический смысл гистограммы: нетрудно видеть, что площадь ее равна сумме всех частот или объему выборки.

Аналогичным образом определяется и гистограмма относительных частот; в этом случае высоты прямоугольников, составляющих ступенчатую фигуру, определяются отношениями сумм относительных частот, попадающих в интервал () к длине интервала h, т.е. величинами   h. Нетрудно видеть, что площадь гистограммы относительных частот равна 1 (сумме относительных частот выборки).

Пример 8 используя условие и результаты примера 5 построить гистограмму относительных частот (частостей)

Решение. Длина интервала равна .

 Высоты прямоугольников:  

3. Числовые характеристики статистического распределения.

Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, аналогичных тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин.

Генеральным средним  называется среднее арифметическое значений исследуемого признака Х генеральной совокупности (соответствует математическому ожиданию)  =

Генеральной дисперсией DГ  называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения  : Dг

Генеральным среднеквадратическим отклонением (стандартом) называется корень квадратный из генеральной дисперсии:

Выборочным средним   называется среднее арифметическое всех значений выборки: =

Выборочное среднее можно записать и так:    =.  Для обозначения выборочного среднего используют следующие символы: , М*(Х), mx*

В случае интервального статистического ряда в качестве   берут середины
его интервалов, а  - соответствующие им частоты.

   Выборочной дисперсией Dв называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной  средней  ,

Т.е. Dвили,  что то же самое, Dв

Dв  может быть подсчитана также по формуле: Dвт.е.

Dв=, здесь

Выборочное среднее квадратическое отклонение  выборки определяется формулой

Особенность выборочного среднего квадратического отклонения состоит в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и  изучаемый признак.

При решении практических задач используется и величина  
, т.е. , которая называется исправленной выборочной дисперсией.

Величина  S=  называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением.
Для  непрерывно распределенного признака формулы для выборочных средних будут такими же, но за значения ,…,  надо брать не концы промежутков
[x0, x1, [x1, x2,  а их середины Коэффициентом вариации V  называется отношение выборочного среднеквадратического отклонения к выборочному среднему:

В качестве описательных характеристик вариационного ряда (или полученного из него статистического распределения выборки) используется медиана, мода, размах вариации.

Закрепление.

1. Эмпирическая функция распределения. Ее отличие от теоретической функции распределения вероятностей.
2. Полигон и гистограмма

Решить задачи

№1 Изучается случайная величина Х – число выпавших очков при бросании игральной кости. Кость подбросили 60 раз. Получены следующие результаты:

3, 2, 5, 6, 6, 1, 4, 6, 4, 6, 3, 6, 4, 2, 1, 5, 3, 1, 6, 4,

5, 4, 2, 2, 4, 2, 6, 3, 1, 5, 6, 1, 6, 6, 4, 2, 5, 4, 3, 6,

4,1, 5, 6, 3, 2, 4, 4, 5, 2, 5, 6, 2, 3, 5, 4, 1, 2, 5, 3.

1. Что в данном опыте – наблюдении представляет генеральную совокупность?
2. Перечислите элементы этой совокупности.
3. Что представляет собой выборка?
4. Приведите 1 реализацию выборки.
5. Оформить ее в виде: а) вариационного ряда; б) статистического ряда.
6. Найдите эмпирическую функцию распределения выборки.
7. Постройте полигон частот.
8. Найдите: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) исправленную выборочную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение; г) размах вариации, моду и медиану.

№2. На телефонной станции производились наблюдения за числом неправильных соединений в минуту. Результаты наблюдений в течение часа представлены в виде статистического распределения.

Найти основные числовые характеристики

Практическая работа № 9« Выборки, способы отбора»

           Цель работы:

           -Изучить основные определения (выборка, отбор, генеральная совокупность)

           -Научиться использовать основные понятия на практике.

           Теоретический материал: способы отбора, выборочная средняя, дисперсия, доверительный интервал.

1. Пусть дана генеральная совокупность из  40 элементов. Взяв выборку из 10 элементов одним из способов (случайный отбор), рассчитать генеральную среднюю, выборочную среднюю, генеральную дисперсию и среднеквадратическое отклонение. По данным рассчитать вероятность попадания в доверительный интервал при= 0,2.

2. Пусть дана генеральная совокупность из  40 элементов. Взяв выборку из 10 элементов одним из способов (механический  отбор – каждые 7 элементов), рассчитать генеральную среднюю, выборочную среднюю, генеральную дисперсию и среднеквадратическое отклонение. По данным рассчитать вероятность попадания в доверительный интервал при= 0,5.

3. Пусть дана генеральная совокупность из  40 элементов. Взяв выборку из 10 элементов одним из способов (типический отбор – последняя цифра делится на 3), рассчитать генеральную среднюю, выборочную среднюю, генеральную дисперсию и среднеквадратическое отклонение. По данным рассчитать вероятность попадания в доверительный интервал при= 0,3.

4. Пусть дана генеральная совокупность из  40 элементов. Взяв выборку из 10 элементов одним из способов (типический отбор – сумма всех цифр четная), рассчитать генеральную среднюю, выборочную среднюю, генеральную дисперсию и среднеквадратическое отклонение. По данным рассчитать вероятность попадания в доверительный интервал при= 0,7.

5. Пусть дана генеральная совокупность из  40 элементов. Взяв выборку из 10 элементов одним из способов (механический отбор – каждый 3 элемент), рассчитать генеральную среднюю, выборочную среднюю, генеральную дисперсию и среднеквадратическое отклонение. По данным рассчитать вероятность попадания в доверительный интервал при= 0,5.

35-36  Характеристики НСВ.

 Практическая работа № 6 «Непрерывные случайные величины» 

           Цель работы: Изучить суть и основные понятия темы, научиться использовать основные формулы на практике.

Содержание учебного материала: Математическое ожидание, дисперсия, СКО. Их сущность, свойства, формулы для вычисления. Решение задач на НСВ.

1. Актуализация опорных знаний

1. Непрерывной случайной величиной НСВ называется такая величина, возможные значения которой…(непрерывно заполняют некоторый промежуток)

2. Число всех возможных значений НСВ… (бесконечно)
3. Функцией распределения НСВ называют F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что СВХ…(примет значение меньшее х)
4. F(x)называют также…(интегральной функцией распределения)
5. Функцией плотности распределения вероятностей называют …(первую производную от функции F(x))
6. f(x) также называют …(дифференциальной функцией)
7. Вероятность того, что НСВХ примет значения, принадлежащие интервалу (a;b)вычисляют по формуле…()
8. Функцию распределения F(x) можно найти по формуле…( F(x)=)
9. Свойства плотности распределения…(Если все возможные значения случайной величины Х лежат внутри интервала .
10. Перечислить основные  числовые характеристики случайной величины… (мода, медиана, математическое ожидание, дисперсия)
11. Повторить свойства числовых характеристик

2. Числовые характеристики НСВ

Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. На практике функцию распределения не всегда можно установить; иногда такого исчерпывающего знания и не требуется. Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы.
1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).
2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(х)).

Модой НСВ Х называется такое ее значение, при котором плотность вероятности максимальная. СВ может иметь несколько мод.

С геометрической точки зрения  мода – значение аргумента х, при котором график функции плотности распределения принимает максимальное значение.

Нахождение моды – известная задача дифференциального исчисления поиска экстремума на множестве. Если функция f(x) дифференцируема на интервале, то ищут точки экстремума, экстремумы функции, из них выбирают наибольшее и сравнивают со значениями функции f(x) на границах интервала.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Определение. Медианой Mе случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.
Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)
Из определения медианы следует, что Р(Х<Ме) = 0,5, т.е. F (Ме) = 0,5. Геометрически медиану можно истолковывать как абсциссу, в которой ордината φ(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения. В случае симметричного распределения медиана совпадает с модой и математическим ожиданием.

Повторить формулы для вычисления: математического ожидания НСВ, дисперсии, СКО.

3. Решение задач

№1. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией:

при x0,

при 05,

при x>5.

Определить: а) вероятность попадания случайной величины в интервал (2;3);

б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X;

в) функции распределения изобразить графически.

Решение. По четвертому свойству интегральной функции:

Найдем функцию плотности вероятности (дифференциальную функцию):

при x0,

при 05,

при x>5.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (2, 3) также можно найти, зная функцию плотности вероятности:

Найдем числовые характеристики непрерывной случайной величины X. Следует обратить внимание, что случайная величина задана на интервале (0;5).

Построим график функций F(x) и f(x).

№2. Задана функция распределения НСВХ. Требуется:

1. Найти плотность распределения вероятностей f(x)
2. Определить коэффициент А
3. Схематично построить графики F(x) и f(x)
4. Найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X)
5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α;β)

№3. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения

Требуется определить:

1. Коэффициент А
2. Функцию распределения F(x)
3. Схематично построить графики F(x) и f(x)
4. Найти математическое ожидание М(Х) ,  дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (8;11)

Решение. Коэффициент А можно определить из условия

А=,

4. Самостоятельно

Задание: выберите правильный ответ.

1. Непрерывная случайная величина X задана своей функцией распределения                          Найти

а)        0.5;        б)        1;        в)        0;        г)        0.75;        д) нет правильного ответа

2. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения

Найти М(Х).

а)                 б)                 в)                 г)                 д) нет правильного ответа

Решение.

№3. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения

Найти: М(Х) и D(X).

а) М(Х)= и D(X)=0,0375                б) М(Х)= и D(X)=0,0375

в) М(Х)= и D(X)= - 0,0375                г) М(Х)= и D(X)= - 0,0375

Решение.

Домашнее задание.

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей и f(x).

Требуется определить:

1. Коэффициент А
2. Функцию распределения F(x)
3. Схематично построить графики F(x) и f(x)
4. Найти математическое ожидание М(Х) ,  дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α;β)

Практическая работа №7 «Характеристики НСВ»

Вариант  1.

1. Дана функция распределения случайной величины  .  Построить график F(x), найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (2;3).  Найти функцию плотности р(х) и построить ее график.
2. Дана функция плотности

 . Найти F(x), вычислить вероятность того, что  СВ попадет в интервал  (1;2) . Построить график F(x) и р(х).

3. По данной функции плотности найти параметр а.

Практическая работа №7 «Характеристики НСВ»

Вариант  2.

1. Дана функция распределения случайной величины  

 Построить график F(x), найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (-0,5 ; -0,2).  Найти функцию плотности р(х) и построить ее график.

2. Дана функция плотности

 Найти F(x), вычислить вероятность того, что  СВ попадет в интервал  (;0) . Построить график F(x) и р(х).

3. По данной функции плотности найти параметр а.

Практическая работа №7 «Характеристики НСВ»

Вариант 3.

1. Дана функция распределения случайной величины  

Построить график F(x), найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (1,75 ; 1,9).  Найти функцию плотности р(х) и построить ее график.

2. Дана функция плотности

       Найти F(x), вычислить вероятность того, что  СВ попадет в интервал  (6,2 ; 7) . Построить график F(x) и р(х).

3. По данной функции плотности найти параметр а.

Практическая работа №7 «Характеристики НСВ»

Вариант 4.

1. Дана функция распределения случайной величины  

Построить график F(x), найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (2 ; 2,5).  Найти функцию плотности р(х) и построить ее график.

2. Дана функция плотности

 Найти F(x), вычислить вероятность того, что  СВ попадет в интервал  (0;) . Построить график F(x) и р(х).

3. По данной функции плотности найти параметр а.

Практическая работа №7 «Характеристики НСВ»

Вариант 5.

1. Дана функция распределения случайной величины  .  Построить график F(x), найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (0,5 ; 3,5).  Найти функцию плотности р(х) и построить ее график.
2. Дана функция плотности

       Найти F(x), вычислить вероятность того, что  СВ попадет в интервал  (6,5 ; 7,5) . Построить график F(x) и р(х).

3. По данной функции плотности найти параметр а.

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей и f(x).

Требуется определить:

1. Коэффициент А
2. Функцию распределения F(x)
3. Схематично построить графики F(x) и f(x)
4. Найти математическое ожидание М(Х) ,  дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α;β)

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей и f(x).

Требуется определить:

1. Коэффициент А
2. Функцию распределения F(x)
3. Схематично построить графики F(x) и f(x)
4. Найти математическое ожидание М(Х) ,  дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α;β)

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей и f(x).

Требуется определить:

6. Коэффициент А
7. Функцию распределения F(x)
8. Схематично построить графики F(x) и f(x)
9. Найти математическое ожидание М(Х) ,  дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
10. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α;β)

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей и f(x). Требуется определить:

1. Коэффициент А
2. Функцию распределения F(x)
3. Схематично построить графики F(x) и f(x)
4. Найти математическое ожидание М(Х) ,  дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α;β)

Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей и f(x).

Требуется определить:

1. Коэффициент А
2. Функцию распределения F(x)
3. Схематично построить графики F(x) и f(x)
4. Найти математическое ожидание М(Х) ,  дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х)
5. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α;β)

Практическая работа № 8 «Виды непрерывных случайных величин»

           Повторить:

1. Показательное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
2. Равномерное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
3. Нормальное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
4. Свойства математического ожидания и дисперсии.
5. Формула отклонения нормально распределенной СВ от ее математического ожидания.

Допуск к выполнению работы: записать все указанные формулы.

Вариант 1

1. Найти функцию распределения  и плотность вероятности показательно распределенной величины, если ее дисперсия равна 0,64. Найти вероятность попадания в интервал (2,4).
2. Пусть случайная величина распределена нормально и вероятность попадания в интервал (3,8), симметричный относительно математического ожидания, равна 0,89. Найти дисперсию и вероятность попадания в интервал (3,7)
3. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [1,2 ; 4,6]. Написать выражение для функции распределения и плотности вероятности, вычислить математическое ожидание, дисперсию, СКО и вероятность попадания в интервал (2,3)

Практическая работа № 8 «Виды непрерывных случайных величин»

           Повторить:

1. Показательное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
2. Равномерное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
3. Нормальное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
4. Свойства математического ожидания и дисперсии.
5. Формула отклонения нормально распределенной СВ от ее математического ожидания.

Допуск к выполнению работы: записать все указанные формулы.

Вариант 2

1. Найти функцию распределения  и плотность вероятности показательно распределенной величины, если ее математическое ожидание равно 3. Найти вероятность попадания в интервал (3,6).
2. Пусть случайная величина распределена нормально и вероятность попадания в интервал (2,10), симметричный относительно математического ожидания, равна 0,94. Найти дисперсию и вероятность попадания в интервал (4,7)
3. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [2 ; 5,3]. Написать выражение для функции распределения и плотности вероятности, вычислить математическое ожидание, дисперсию, СКО и вероятность попадания в интервал (3,5)

Практическая работа № 8 «Виды непрерывных случайных величин»

           Повторить:

1. Показательное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
2. Равномерное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
3. Нормальное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
4. Свойства математического ожидания и дисперсии.
5. Формула отклонения нормально распределенной СВ от ее математического ожидания.

Допуск к выполнению работы: записать все указанные формулы.

Вариант 3

1. Найти функцию распределения  и плотность вероятности показательно распределенной величины, если ее математическое ожидание равно 0,25. Найти вероятность попадания в интервал (1,3).
2. Пусть случайная величина распределена нормально и вероятность попадания в интервал (3,7), симметричный относительно математического ожидания, равна 0,85. Найти дисперсию и вероятность попадания в интервал (2,5)
3. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0,3 ; 4,4]. Написать выражение для функции распределения и плотности вероятности, вычислить математическое ожидание, дисперсию, СКО и вероятность попадания в интервал (1,3)

Практическая работа № 8 «Виды непрерывных случайных величин»

           Повторить:

1. Показательное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
2. Равномерное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
3. Нормальное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.
4. Свойства математического ожидания и дисперсии.
5. Формула отклонения нормально распределенной СВ от ее математического ожидания.

Допуск к выполнению работы: записать все указанные формулы.

Вариант 4

1. Найти функцию распределения  и плотность вероятности показательно распределенной величины, если ее дисперсия равна 9. Найти вероятность попадания в интервал (2,6).
2. Пусть случайная величина распределена нормально и вероятность попадания в интервал (1,6), симметричный относительно математического ожидания, равна 0,95. Найти дисперсию и вероятность попадания в интервал (2,5)
3. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [1 ; 6,4]. Написать выражение для функции распределения и плотности вероятности, вычислить математическое ожидание, дисперсию, СКО и вероятность попадания в интервал

 (3 ; 5,5)

Практическая работа № 8 «Виды непрерывных случайных величин»

           Повторить:

1. Показательное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.

2) Равномерное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.

3) Нормальное распределение: функция и плотность распределения, числовые характеристики, вероятность попадания в заданный промежуток.

4) Свойства математического ожидания и дисперсии.

5) Формула отклонения нормально распределенной СВ от ее математического ожидания.

Допуск к выполнению работы: записать все указанные формулы.

Вариант 5

1. Найти функцию распределения  и плотность вероятности показательно распределенной величины, если ее дисперсия равна 0,25. Найти вероятность попадания в интервал (2,5).
2. Пусть случайная величина распределена нормально и вероятность попадания в интервал (1,9), симметричный относительно математического ожидания, равна 0,88. Найти дисперсию и вероятность попадания в интервал (2,7)
3. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [2,8 ; 6,2]. Написать выражение для функции распределения и плотности вероятности, вычислить математическое ожидание, дисперсию, СКО и вероятность попадания в интервал

 (3 ; 4,5)

51-52   Практическая работа № 10 «Характеристики выборок»

           Цель работы:

           -Изучить основные определения (выборка, отбор, генеральная совокупность, оценка)

           -Научиться использовать основные понятия на практике.

           Теоретический материал: способы отбора, выборочная средняя, дисперсия, доверительный интервал, виды оценок, основные формулы.

1. Дана  выборка  объемом  40.  Задание 1. Построить интервальный ряд распределения, вычислив и впоследствии скорректировав число интервалов, размах выборки, длину интервалов и начальный элемент.  Построить гистограмму распределения, вычислить моду и медиану.  

Задание 2. Взяв за xi  середину каждого интервала, рассчитать выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное СКО,  исправленную дисперсию, исправленное СКО и найти доверительные интервалы для  генеральной средней,  генеральной дисперсии, генерального СКО при надежности 0,95.

6,75; 6,77; 6,77; 6,73; 6,76; 6,74; 6,70; 6,75; 6,71; 6,72;        

  6,77; 6,79; 6,71; 6,78; 6,73; 6,70; 6,73; 6,77; 6,75; 6,74;

6,71; 6,70; 6,78; 6,76; 6,81; 6,69; 6,80; 6,80;  6,77; 6,68;        

 6,74; 6,70; 6,70; 6,74; 6,77; 6,83; 6,76; 6,76; 6,82; 6,77;

2. Дана  выборка  объемом  40.  Задание 1. Построить интервальный ряд распределения, вычислив и впоследствии скорректировав число интервалов, размах выборки, длину интервалов и начальный элемент.  Построить гистограмму распределения, вычислить моду и медиану.  Задание 2. Взяв за xi  середину каждого интервала, рассчитать выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное СКО,  исправленную дисперсию, исправленное СКО и найти доверительные интервалы для  генеральной средней,  генеральной дисперсии, генерального СКО при надежности 0,99.      

          6,71; 6,74; 6,77; 6,75; 6,74; 6,75; 6,77; 6,72; 6,74; 6,80;    

 6,75; 6,80; 6,72; 6,78; 6,70; 6,75; 6,78; 6,78; 6,76; 6,77;

          6,74; 6,74; 6,77; 6,73; 6,74; 6,77; 6.74; 6,75; 6,74; 6,76;    

 6,76; 6,74; 6,74; 6,74; 6,74; 6,76; 6,74; 6,72; 6,80; 6,76;

3. Дана  выборка  объемом  40.  Задание 1. Построить интервальный ряд распределения, вычислив и впоследствии скорректировав число интервалов, размах выборки, длину интервалов и начальный элемент.  Построить гистограмму распределения, вычислить моду и медиану.  Задание 2. Взяв за xi  середину каждого интервала, рассчитать выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное СКО,  исправленную дисперсию, исправленное СКО и найти доверительные интервалы для  генеральной средней,  генеральной дисперсии, генерального СКО при надежности 0,99.      

          6,78; 6,73; 6,70; 6,76; 6,76; 6,77; 6,75; 6,78; 6,72; 6,76;      

6,78; 6,68; 6,75; 6,73; 6,82; 6,73; 6,80; 6,81; 6,71; 6,82;

          6,77; 6,80; 6,80; 6,70; 6,70; 6,82; 6,72; 6,69; 6,73; 6,76      

  6,74; 6,77; 6,72; 6,76; 6,78; 6,78; 6,73; 6,76; 6,80; 6,76;

4. Дана  выборка  объемом  40. Задание 1. Построить интервальный ряд распределения, вычислив и впоследствии скорректировав число интервалов, размах выборки, длину интервалов и начальный элемент.  Построить гистограмму распределения, вычислить моду и медиану.  Задание 2. Взяв за xi  середину каждого интервала, рассчитать выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное СКО,  исправленную дисперсию, исправленное СКО и найти доверительные интервалы для  генеральной средней,  генеральной дисперсии, генерального СКО при надежности 0,999.      

         6,72; 6,76; 6,76; 6,70; 6,73; 6,75; 6,77; 6,77; 6,70; 6,81;   6,74; 6,73; 6,77; 6,74; 6,78; 6,69; 6,74; 6,71; 6,76; 6,76;

6,77; 6,70; 6,81; 6,74; 6,74; 6,77; 6,75; 6,80; 6,74; 6,76;    6,77; 6,77; 6,81; 6,75; 6,78; 6,73; 6,76; 6,76; 6,76; 6,77;

5. Дана  выборка  объемом  40.  Задание 1. Построить интервальный ряд распределения, вычислив и впоследствии скорректировав число интервалов, размах выборки, длину интервалов и начальный элемент.  Построить гистограмму распределения, вычислить моду и медиану.  Задание 2. Взяв за xi  середину каждого интервала, рассчитать выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное СКО,  исправленную дисперсию, исправленное СКО и найти доверительные интервалы для  генеральной средней,  генеральной дисперсии, генерального СКО при надежности 0,95.      

        6,76; 6,80; 6,77; 6,74; 6,77; 6,72; 6,75; 6,76; 6,77; 6,81;    6,76; 6,76; 6,76; 6,80; 6,74; 6,80; 6,74; 6,73; 6,75; 6,77;

        6,74; 6,76; 6,77; 6,77; 6,75; 6,76; 6,74; 6,82; 6,76; 6,73;     6,74; 6,75; 6,76; 6,72; 6,78; 6,72; 6,76; 6,77; 6,75; 6,78.

6. Дана  выборка  объемом  40.  Задание 1. Построить интервальный ряд распределения, вычислив и впоследствии скорректировав число интервалов, размах выборки, длину интервалов и начальный элемент.  Построить гистограмму распределения, вычислить моду и медиану.  Задание 2. Взяв за xi  середину каждого интервала, рассчитать выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное СКО,  исправленную дисперсию, исправленное СКО и найти доверительные интервалы для  генеральной средней,  генеральной дисперсии, генерального СКО при надежности 0,9.      

     6,74; 6,74; 6,77; 6,73; 6,74; 6,77; 6.74; 6,75; 6,74; 6,76;     6,74; 6,70; 6,70; 6,74; 6,77; 6,83; 6,76; 6,76; 6,82; 6,77;

              6,76; 6,76; 6,76; 6,80; 6,74; 6,80; 6,74; 6,73; 6,75; 6,77;     6,74; 6,74; 6,77; 6,73; 6,74; 6,77; 6.74; 6,75; 6,74; 6,76;    

55-56  Практическая работа №11 «Расчет точечных и интервальных оценок характеристик выборки»

Цель работы: По данной выборке научиться определять числовые характеристики выборки и оценивать неизвестные параметры генеральной совокупности, оценивать с данной доверительной вероятностью математическое ожидание генеральной совокупности.

Задания

Точечные и интервальные оценки неизвестных параметров распределения

1. По данной выборке определить:

а) объём выборки;

б) выборочное среднее;

в) выборочную дисперсию;

г) выборочное среднее квадратичное отклонение;

д) исправленную выборочную дисперсию;

е) исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение.  

2.  Оценить значение М(х), Д(х), (х) генеральной совокупности.
3. Оценить с данной доверительной вероятностью математическое ожидание  генеральной совокупности.

Контрольные вопросы

1. Как вычисляется среднее выборочное?
2. Как вычисляется выборочная дисперсия?
3. Как вычисляется среднее квадратичное отклонение?
4. Как вычисляется исправленная выборочная дисперсия?
5. Чем точечная оценка неизвестного параметра распределения отличается от интервальной?
6. Как вычисляется интервал для оценки математического ожидания генеральной совокупности?
7. Как обозначается коэффициент Стьюдента?.
8. От чего зависит величина коэффициента Стьюдента?.

Практическая работа №5

Решить задачи. Для следующих задач: а) составьте закон распределения ДСВ Х; б) найдите все числовые характеристики этой ДСВ.

№1. Вероятность попадания стрелком в мишень равна . Стрелок сделал четыре выстрела. Случайная величина Х – число попаданий.

№2. В магазин вошли четыре покупателя. Вероятность сделать покупку для каждого из вошедших в магазин равна 0,3. Случайная величина Х- число покупок.

№3. В мастерской ремонтируют пять машин. Вероятность того, что любая из машин отремонтирована, равна 0,2. Случайная величина Х – число отремонтированных машин.

№4. Для участия в олимпиаде по программированию в колледже были отобраны три юноши и три девушки. Три победителя будут участвовать в зональной олимпиаде. Пусть Х – число девушек среди финалистов.

№5. Кандидат на выборах в губернаторы считает, что 20% избирателей этого региона поддерживают его избирательную платформу. Для участия в теледебатах были приглашены четыре избирателя из общего числа избирателей этой губернии. Случайная величина Х – число избирателей, поддерживающих данного кандидата.

№6. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Случайная величина Х – число отказавших элементов в одном опыте.

Характеристики графа. Практическая работа № 14 «Графы»

Тест  

1. Выберите верные утверждения?

 1)  Петлей называется ребро, начинающееся  и заканчивающееся в разных вершинах

 2)  Граф называется взвешенным или нагруженным, если каждой вершине  поставлено в соответствие некоторое число

 3) Кратными ребрами называется ребра смежные с одной и той же вершиной.

 4)  Вершина называется изолированной, если ее степень равна 1

2. Если любые две графа вершины соединены единственным     ребром, то граф называется …

 1) связным

 2) полным

 3) Эйлеровым

 4) Гамильтоновым

3. Если степень вершины графа равна 0, то вершина называется …

 1) изолированной

 2)  висячей

 3)  вырожденной

 4) степень вершины не может равняться 0

4. Ребро графа называется инцидентным вершине, если оно …?

 1) начинается и заканчивается в этой вершине

 2) не соединяет эту вершину с какой-либо другой вершиной графа   

 3)  соединяет эту вершину с какой-либо другой вершиной графа 

 4) имеет длину 1

5.Какой из графов не является эйлеровым?

 1) 

 2) .

 3)  

 4) 

Решение задач

Задача 1. Докажите, что в полном графе с n вершинами  рёбер.

Задача 2.  Из пункта А в пункт В выехали пять машин одной марки разного цвета: белая, чёрная, красная, синяя, зелёная. Чёрная едет впереди синей, зелёная – впереди белой, но позади синей, красная впереди чёрной. Какая машина едет первой и какая последней?

Задача 3. Для неориентированного графа, изображённого на рисунке, постройте матрицу смежности и матрицу инцидентности.

Задача 4.

Дано множество  На этом множестве задано отношение f:  Постройте орграф данного отношения.

Задача 5.  Дана матрица

Постройте орграф, для которого данная матрица является матрицей смежности. Найдите матрицу инцидентности орграфа.

Задания для самостоятельной работы

1. Алгебра событий

1.1. Что означает операция А+В?

а) событие А влечет за собой событие В;

б) произошло хотя бы одно из двух событий А или В;

в) совместно осуществились события А и В.

1.2. Выберите неверное утверждение:

а) Событие, противоположное достоверному, является невозможным;

б) Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице;

 в) Если два события единственно возможны и несовместны, то они называются противоположными;

г) Вероятность появления одного из противоположных событий всегда больше вероятности другого.

1.3. Эксперимент состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной игральной кости. События А={выпало число очков больше трех}; В ={выпало четное число очков}. Тогда множество, соответствующее событию А+В, есть:

 а) А+В = {6}; б) А+В = {4; 6}; в) А+В = {2; 4; 5; 6}; г) А+В = {3; 4; 5; 6}.

1.4. Эксперимент состоит в подбрасывании один раз правильной шестигранной игральной кости. При каких событиях А, В верно: А влечет за собой В?

 а) А = {выпало нечетное число очков}, B ={выпало число 3};

б) А = {выпало число 2}, B = {выпало четное число очков};

в) А = {выпало число 6}, B = {выпало число очков, меньше 6}.

1.5. Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С) сорта.

Что представляет собой событие:?

а) {деталь первого или третьего сорта};

б) {деталь второго сорта};

в) {деталь первого и третьего сорта}.

1.6. Какое из перечисленных выражений означает появление всех трех событий  А, В, С одновременно:

а) А+В+С                б)                 в) +                г)

1.7. Какое из перечисленных выражений означает появление ровно одного из трех событий А, В, С:

а) А+В+С                б)                 в) +                г)

1.8. Какое из перечисленных выражений означает появление ровно двух из трех событий А, В, С:

а)         б)         в)         г)

1.8   Производится опыт – бросание игральной кости. Пусть события А – выпадение четверки, В – выпадение четного числа очков, С – выпадение нечетного числа очков, D – выпадение числа очков, меньше трех.  Выберите среди них пару совместных событий и пару равновозможных событий.

1)   А и В,  А и D       2) А и В, В и С         3) А и С, В и С               4) А и D, В и D

1.9. Монету бросили два раза. Образуют ли полную группу событий события:

w1 – герб не выпал ни разу

w2 – герб выпал 1 раз

w3  - герб выпал два раза.

а) образуют      

б) не образуют, так как есть попарно совместные события

в) не образуют, так как события не единственно возможны

г)  не образуют, так как  может наступить не только одно из этих событий.

1.10. Потребитель может увидеть рекламу определенного товара по телевидению (событие А), на рекламном стенде (событие В) и прочесть в газете (событие С). Событие (А+В) означает:

а) Потребитель увидел ровно два вида рекламы

б) Потребитель увидел рекламу по телевидению и на рекламном съезде

в) потребитель не прочитал рекламу в газете, но увидел хотя бы одну из двух других

г) Потребитель увидел рекламу по телевидению и на рекламном съезде, но не читал ее в газете.

2. Вычисление вероятностей событий

 2.1. Игральный кубик подбрасывается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет число очков больше трех, равно:

 а) 1/3;                 б) 1/2;                         в) 2/3.

2.2. В урне 5 белых, 3 черных, 4 красных шаров. Вероятность того, что из урны вынут белый или черный шар равна

 а) 1/4;                 б) 15/8;                 в) 2/3.

2.3. В группе 7 юношей и 5 девушек. На конференцию выбирают трех студентов случайным образом (без возвращения). Определить вероятность того, что на конференцию поедут двое юношей и одна девушка.

 а) 11/28;                 б) 21/44;                 в) 21/110.

2.4. В урне 6 белых и 4 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Вероятность того, что оба шара черные, равна

а) 2/5;                         б) 2/15;                 в) 1/4

2.5. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель для первого и второго стрелков равна 0,6 и 0,9 соответственно. Тогда вероятность того, что цель будет поражена, равна:

а) 0,54;                 б) 0,96;                 в) 0,996.

2.6. Сколько различных двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, если все цифры в числе разные?

а) 25;                         б) 60;                         в) 20.

 2.7. Игральную кость бросают 5 раз. Вероятность того, что ровно 3 раза появится нечетная грань, равна:

а) 1/32;                 б) 1/16;                 в) 5/16.

8. Вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число кратно десяти равна

а) 0,5                        б) 0,4                в) 0,3                        г) 0,1

9. Каждая из 4 ракет направляется в свою цель. Вероятность поражения каждой цели 0,6. Вероятность того, что только две ракеты поразят цель, равна

а) 0,5632                        б) 0,3645                в) 0,4562         г) 0,3456

2.10. Две грани симметричного кубика окрашены в синий цвет, три – в зеленый и одна в красный. Кубик подбрасывают один раз. Вероятность того, что верхняя грань окажется зеленой, равна

а) 0,5                        б) 0,4                        в) 0,3                        г) 0,1

3. Комбинаторика

3.1 Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «ЧИСЛО»

3.2 Сколькими способами можно выбрать три различных краски из имеющихся пяти?

3.3 Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 5 различных цветов?

 3.4 Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 5 различных цветов и одна из полос должна быть белой? 3.5 На первом этаже одиннадцатиэтажного дома в лифт вошли 3 человека. Сколькими способами пассажиры лифта могут распределиться по этажам этого дома?

3.6. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

3.7. Сколькими способами можно выбрать три книги из пяти различных?

а) 15                        б) 10                        в) 60                        г) 125

3.9. Из трех игроков, заявленных на теннисный матч, надо выбрать двух для выступления в парном разряде (порядок игроков не существенен). Сколькими способами это можно сделать?

а) 8                        б) 3                        в) 2                        г) 6

3.10. Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 5 городов.

а) 625                        б) 720                        в) 120                        г) 3125

4. Полная вероятность. Формула Байеса

4.1 В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 6 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался черным. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из второй урны, равна:

а)                         б)                 в)                  г)                

4.2. В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 5 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет белым, равна:

а) 0,47;                 б) 0,55;                 в) 0,35;                 г) 0,50.

4.3 Банк выдает 44 % всех кредитов юридическим лицам, а 56 % – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,2; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность того, что очередной кредит будет погашен в срок, равна:

а) 0,856;                 б) 0,144;                 в) 0,85;                 г) 0,866.

4.4 Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна:

а) 0,57;                б) 0,43;                 в) 0,55;                 г) 0,53.

4.5 Имеется три партии деталей, произведенных разными станками, по 100 деталей в каждой партии. В первой партии — 90 стандартных деталей, во второй — 80, в третьей — 70. Наудачу извлеченная деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что она — из первой партии?

а) 0,8                б)                 в)                г) 0,7                        д) 0,9

4.6 Имеется три партии деталей, произведенных разными станками, по 100 деталей в каждой партии. В первой партии — 90 стандартных деталей, во второй — 80, в третьей — 70. Наудачу извлечена одна деталь. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?

а) 0,8                б) 0,2                в) 0,3                г) 0,1                

4.7 Имеется 5 винтовок, 2 из них — с оптическим прицелом. Вероятность поразить мишень из винтовки с оптическим прицелом составляет 0,9, из винтовки без оптического прицела — 0,7. В результате выстрела мишень была поражена. Какова вероятность, что выстрел произведен из винтовки без оптического прицела?

а)                         б)                 в)                  г)                д)

4.8 В цехе работает 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятность того, что качество детали, изготовленной на этих станках окажется отличным, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Вероятность выпуска отличных деталей в целом по цеху равна:      а)0,47                        б)0,5                        в)0,17                        г)0,27

5. Случайные величины и их распределения

5.1. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х

Чему равно значение вероятности p5?

а) 0,1;                         б) 0;                 в) 0,09.

5.2. Закон распределения СВ Х задан в виде таблицы

Чему равно математическое ожидание СВ Х?

а) 2,9;                         б) 3,5;                         в) 4.

5.3. ДСВ Х имеет закон распределения вероятностей

Чему равно значение математического ожидания М(Х)?

а) 2,1;                         б) 3,6;                        в) 5,1.

5.4.  Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее математическое ожидание равно:

1. 4,6;                 2) 5,0;                 3) 3,0;                         4) 4,9.

5. 5 Возможные значения случайной величины таковы: x1=2, x2=5, x3=8. Известны вероятности первых двух возможных значений: p1=0,4; p2=0,15. Найти вероятность x3.

а) p3=0,5;                б) p3=1;                в) p3=0,45;                г) p3=0,4.

5.6 ДСВ Х имеет закон распределения вероятностей

Чему равно значение дисперсии D(Х)?

а) 15,2;                 б) 10,24;                 в) 4,96.

5.7 Дан закон распределения дискретной случайной величины:

X        1        2        3

P        0,4        0,1        0,5.

Математическое ожидание

а) M(X)=2,4;                б) M(X)=2,1;                в) M(X)=1,8;                г) M(X)=2,3.

5.8 Дан закон распределения дискретной случайной величины:

Х            2            4            6

P        0,3            0,1               p3.

p3 и MX равны

а) p3=0,6; M(X) = 7,6;                        б) p3=0,7; M(X) = 2,7;        

в) p3=0,6; M(X) = 4,6;                        г) p3=0,8; M(X) = 4.

5.9 Даны числовые характеристики двух случайных величин X и Y: MX=3, MY=7, DX=1, DY=2. Найти M(3X+2Y), D(4X-Y).

а) M(3X+2Y) =23; D(4X-Y) =2;                б) M(3X+2Y) =21; D(4X-Y) =14;

в) M(3X+2Y) =25; D(4X-Y) =18;                г) M(3X+2Y) =23; D(4X-Y) =18.

5.10 Закон распределения СВ Х задан в виде таблицы

Чему равна дисперсия СВ Х?

а) 2,8;                 б) 1,96;                         в) 1,51.        

5.11  Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид:

5. 12 Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

1. 0,8;         2) 0,3;                         3) 0,7;                         4) 0,4.

5.13  Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: