Презентации 8 класс алгебра
8 класс
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Целые выражения Дробные выражения Рациональные выражения Допустимые значения выражения
Целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля .
В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными .
целое выражение дробное выражение рациональное выражение Рациональными выражениями называют выражения , составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.
Ц елые выражения имеют смысл при любых значениях переменных . Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла . не имеет смысла при n = 0 не имеет смысла при х = у
Чтобы найти значение рационального выражения, надо : п одставить числовое значение переменной в данное выражение ; 2) выполнить все действия .
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл , называют допустимыми значениями переменных . Множество всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или областью определения выражения. дробь Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью .
Задание : найдите значение дроби : а ) при x = 10; б ) при = – 1; в) при z = 5 . Решение: а) б) в )
Задание : найдите допустимые значения переменной в выражениях : а) ; б) . Решение: а) б)
Целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных , содержащие действия сложения, вычитания и умножения , а также деления на число, отличное от нуля . В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий . Повторим главное:
Чтобы найти значение рационального выражения, надо: подставить числовое значение переменной в данное выражение ; 2) выполнить все действия. Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных . Множество всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или областью определения выражения . Повторим главное:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Основное свойство дроби Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число , отличное от нуля, то значение дроби не изменится . Деление числителя и знаменателя на одно и то же число называется сокращением дроби. при и
Пусть . Тогда .
Основное свойство рациональной дроби: Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь . Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь . тождество
Т ождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых значениях переменных, называются тождественно равными . Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения. тождество
Основное свойство рациональной дроби позволяет сокращать дроби и приводить дробь к новому знаменателю . Задание: сократите дроби: а ) ; б) ; в) . Решение : а) б) в)
Задание: приведите дробь к указанному знаменателю: а) к знаменателю ; б) к знаменателю ; в) к знаменателю . Решение : Дополнительный множитель а) б) в)
Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь. Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь. Основное свойство рациональной дроби позволяет сокращать дроби и приводить дробь к новому знаменателю. Повторим главное:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Сложение и вычитание обыкновенных дробей Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же . Чтобы из одной дроби вычесть другую дробь с таким же знаменателем , нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же. при
Пусть . Тогда . при
Правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями , надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. , где многочлены. Причем – ненулевой многочлен. Пример 1:
Пример 2 :
Пример 3 :
Правило вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одина ко – выми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же. , где многочлены. Причем – ненулевой многочлен. Пример 4 :
Пример 5 :
Пример 6 :
Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями , надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинако – выми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же. Повторим главное:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями выполняется аналогично сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями , но предварительно нужно дроби привести к общему знаменателю .
Пусть . Причем .
Пример 1 : Пример 2 :
Алгоритм приведения рациональных дробей к общему знаменателю : 1. Разложить знаменатели каждой из дробей на множители. 2. Найти общий знаменатель дробей. 3. Для каждой из дробей найти дополнительный множитель. 4. Числитель дроби умножить на ее дополнительный множитель . 5. Записать каждую дробь с числителем и общим знаменателем.
Пример 3 : НОК (3; 6) = 6 Пример 4 :
Алгоритм сложения (вычитания) рациональных дробей с разными знаменателями : Для того чтобы сложить (вычесть) рациональные дроби с разными знаменателями, надо: 1. Найти общий знаменатель дробей . 2. Привести дроби к общему знаменателю. 3. Сложить (вычесть) дроби по правилу сложения (вычитания) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. 4. По возможности упростить полученную дробь.
Задание: преобразуйте выражение и представьте его в виде дроби а) , б) . Решение: а) б)
Повторим главное: Для того чтобы привести рациональные дроби к общему знаменателю , надо: 1. Разложить знаменатели каждой из дробей на множители. 2. Найти общий знаменатель дробей. 3. Для каждой из дробей найти дополнительный множитель. 4. Числитель дроби умножить на ее дополнительный множитель. 5. Записать каждую дробь с числителем и общим знаменателем .
Повторим главное: Для того чтобы сложить (вычесть) рациональные дроби с разными знаменателями , надо: 1. Найти общий знаменатель дробей . 2. Привести дроби к общему знаменателю. 3. Сложить (вычесть) дроби по правилу сложения (вычитания) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. 4. По возможности упростить полученную дробь.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Правило умножения обыкновенных дробей: Для того чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение записать в числителе новой дроби, второе – в знаменателе.
Пусть , причем . Докажем, что верно равенство , при . ,
Правило умножения рациональных дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби . , где причем . Пример 1 :
Пример 2 : Пример 3 :
Пример 4 :
Пусть есть . Докажем, что . – раз – раз – раз
Правило возведения рациональных дробей в степень: Чтобы возвести дробь в степень , надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе , а второй в знаменателе дроби. Пример 5:
Пример 7: Пример 6:
Повторим главное: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби . Чтобы возвести дробь в степень , надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе , а второй в знаменателе дроби.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Деление рациональных дробей сводится к делению обыкновенных дробей. Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными .
Докажем, что верно равенство . Пусть есть . Причем . Дробь обратна дроби .
Правило деления рациональных дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. , где причем . Пример 1 :
Пример 2 : Пример 3 :
Пример 4 :
Пример 5 :
Повторим главное: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Прежде чем выполнять деление рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители . Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате деления.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Рациональное выражение Числовое выражение
Преобразование рациональных в ыражений – это применение тождественных преобразований, с целью упростить запись выражения. Тождественные преобразования : – приведение подобных слагаемых; – раскрытие скобок; – разложение на множители; – приведение рациональных дробей к общему знаменателю.
Порядок выполнения действий в рациональных выражениях: 1 ) выполняют действия в скобках; 2) выполняют действия второй ступени (умножение, деление, возведение в степень) ; 3) действия первой ступени ( сложение, вычитание).
Формулы сокращенного умножения: Тождества:
Задание: преобразуйте выражение в рациональную дробь. 1) 2 ) Ответ: Решение :
Задание: упростите выражение. 1)
Задание: докажите тождество . Доказать тождество – это значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны . Способы доказательства : 1) Можно преобразовать левую часть и в итоге получить правую . 2) Можно преобразовать правую часть и в итоге получить левую . 3) Можно по отдельности преобразовать правую и левую части и в итоге получить и в первом , и во втором случае одно и то же выражение . 4) Можно составить разность левой и правой частей и в результате ее преобразований должны получить нуль .
Задание: докажите тождество . 1) 2 ) Ответ: тождество верно. Решение : 3)
Повторим главное: Преобразование рациональных выражений – это применение тождественных преобразований, с целью упростить запись выражения . Есть несколько способов доказательства тождеств: 1) Можно преобразовать левую часть и в итоге получить правую. 2) Можно преобразовать правую часть и в итоге получить левую. 3) Можно по отдельности преобразовать правую и левую части и в итоге получить и в первом и во втором случае одно и то же выражение . 4) Можно составить разность левой и правой частей и в результате ее преобразований должны получить нуль.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
200 км км / ч ч обратно пропорциональная зависимость
, где переменные и могут принимать как положительные , так и отрицательные значения, причем . Такие функции называют обратными пропорциональностями . Масса (кг) Цена рублей Длина см Ширина см
Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида , где – независимая переменная и – не равное нулю число. Число – называют коэффициентом обратной пропорциональности . Областью определения функции , заданной формулой , является множество действительных чисел, отличных от нуля , т.к. выражение имеет смысл при любых , кроме .
П остроим график функции . Случай, когда , т.е. . Функция примет вид . I III ветви
П остроим график функции . Случай, когда . Функция примет вид . II IV
Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой . Гипербола состоит из двух ветвей.
Задание: задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что ее график проходит через точку А (10; 0,5) . Постройте указанную гиперболу. Решение : 0,5 10
Задание: функция задана формулой . Заполните таблицу. Решение :
Повторим главное: Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида , где – независимая переменная и – не равное нулю число. Число – называют коэффициентом обратной пропорциональности . Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой . Гипербола состоит из двух ветвей. При ветви гиперболы лежат в I и III четвертях. При ветви гиперболы лежат во II и IV четвертях.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Множество натуральных чисел – Натуральные числа От первой буквы латинского слова naturalis – естественный, природный.
Множество целых чисел – . От первой буквы немецкого слова zahl – число . Натуральные числа противоположные числа (целые отрицательные) Целые числа
Множество рациональных чисел – От первой буквы французского слова quotient – отношение . Целые числа Все дробные числа Рациональные числа
Знак принадлежности «Число принадлежит множеству натуральных чисел» «Число принадлежит множеству целых чисел» «Число является рациональным числом» Число не принадлежит множеству: или .
Подмножество Пусть два множества А и В. И пусть каждый элемент множества В является элементом множества А. Тогда множество В является подмножеством множества А. – знак включения Множество А Множество В подмножество В А
Разность множеств Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Множество А Множество А Множество В Разностью множеств и является множество, состоящее из всех целых отрицательных чисел и нуля . противоположные числа (целые отрицательные) Натуральные числа Целые числа Разность множеств
Л юбое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби , где m – целое число, n – натуральное.
Сумма , разность и произведение рациональных чисел, тоже рациональные числа. Если делитель отличен от нуля , то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.
Бесконечная периодическая десятичная дробь период
Любое рациональное число можно записать не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде десятичной (конечной десятичной дроби ), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Замечание: Любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.
Повторим главное: Любое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби , где m – целое число, n – натуральное . Сумма , разность и произведение рациональных чисел, тоже рациональные числа . Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число. Любое рациональное число можно записать не только в виде обыкновенной дроби, но и в виде десятичной (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби . Любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число .
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
5 ед. отр .
О Е А В ОА 2 ед.отр . С ОА 2,3 ед.отр . 1. Либо на каком-то шаге не получится остатка и тогда результатом измере - ния длины отрезка будет натуральное число или десятичная дробь . 2. Либо остатки будут получаться в каждом шаге и тогда результатом изме - рения длины отрезка будет бесконечная десятичная дробь . ОА 2,34 ед.отр . ОА 2,345… ед.отр .
О Е А 1 1 C D F K С реди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2. – ч ё тное – чётное – чётное – чётное
Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа . Каждое такое число можно записать в виде отношения , где – целое число , а – натуральное. Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными . Примеры иррациональных чисел: Множество иррациональных чисел обозначают латинской заглавной буквой .
Множество действительных чисел – От первой буквы латинского слова realis – реальный, существующий в действительности . Рациональные числа Иррациональные числа Действительные числа
Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Пример 1 : сравнить числа Пример 2: сравнить числа
Действительные числа также можно складывать , вычитать , умножать и делить (при условии, что делитель не равен нулю). Пример 3 : найти приближенное значение выражения , где , округлив предварительно и до сотых. Решение:
Пример 4 : найти приближенное значение площади круга, радиус которого равен 5 м (число округлите до сотых). Решение: 5 Ответ: .
Повторим главное: Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными числами . Множество действительных чисел состоит из множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел. Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей , сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Действительные числа также можно складывать , вычитать , умножать и делить (при условии, что делитель не равен нулю). Действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задача. Мама выделила Маше для клумбы участок земли квадратной формы. Площадь этого участка . Определите длину стороны участка. Решение: Квадратные корни
Задача. Мама выделила Маше для клумбы участок земли квадратной формы. Площадь этого участка . Определите длину стороны участка. Решение: Ответ: Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен .
называют знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала (от латинского слова radix – корень). подкоренное выражение – «квадратный корень из а» Арифметическим квадратным корнем из числа называется неотрицательное число, квадрат которого равен .
Операцию нахождения арифметического квадратного корня из числа , называют извлечением корня . Пример: найдите значения корней. , т.к. . ; т.к. . , т.к. . , проверим . , т.к. . , т.к. . , т.к . .
Равенство верно, когда выполняются два условия: 1) ; 2) . При выражение не имеет смысла . При любом , при котором выражение имеет смысл, верно равенство .
З адание : найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен: 1; 4 ; 0,3 . Решение : Ответ: . Ответ: . Ответ: .
З адание : найдите значение выражений а ) , в ) , б ) , г ) . Решение : а) б) в) г)
Повторим главное: Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Операцию нахождения арифметического квадратного корня из числа, называют извлечением корня . Равенство верно, когда выполняются два условия: 1) и 2 ) При выражение не имеет смысла . Из определения арифметического квадратного корня следует, что при любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
1 случай : 2 случай : 3 случай : если если если , то не имеет корней . , , то имеет единственный корень . , то имеет два корня. , не имеет корней
, , . , , . не имеет корней.
; ; ; При любом уравнение имеет неотрицательный корень . Какое бы число мы бы ни взяли, всегда найдется неотрицательное число , квадрат которого равен . Выражение имеет смысл при любом .
З адание : найдите корни уравнений. а) ; б ) ; в ) ; г) ; д ) Решение : Ответ: и . Ответ: и . а) ; ; б) ; ; Ответ: не имеет корней . в)
З адание : найдите корни уравнений. а) ; б ) ; в ) ; г) ; д ) Решение : Ответ: и . ; ; г) д) Ответ: и .
Повторим главное: При решении уравнения возможны три случая, в зависимости от числа а: 1) если а < 0 , то уравнение не будет иметь корней . 2) если а = 0 , то уравнение имеет единственный корень , который равен 0. 3) если а > 0 , тогда уравнение имеет два корня .
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
, то Т.к. Итак, ; ; ; ; ; , то Т.к. Итак, ; ; , то Т.к.
, то Т.к. , , то Т.к. , , то Т.к. ,
Чтобы извлечь корень из некоторого числа, нужно: Нахождение значений квадратных корней с помощью калькулятора. 1) ввести это число в калькулятор; 2) нажать клавишу со знаком корня; 3) на экране высветится приближенное значение корня.
Задание. Сравните числа: а) и 2 ; б) и ; в ) и ; Решение : а) и 2 б) и в) и
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Парабола
, где Каждому значению длины стороны квадрата соответствует единственное значение его площади . Для каждого значения площади можно указать соответствующее ему единственное значение длины стороны .
, где , где
Построим график функции Е сли Если Если , то , то , то Если Если , то , то , при
Свойства функции : 1) Если , то и . Поэтому начало координат принадлежит графику функции. 2) Если , то и . График расположен в первой координатной четверти. 3) Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Т.е. график идет вверх .
, где
, где Докажем симметричность графиков функций: , где и . , где Верно и обратное: если некоторая точка принадлежит второму графику, то точка, у которой координатами являются те же числа, но взятые в другом порядке, принадлежит первому графику. К аждой точке М с координатами ( a ; b ) графика функции , где , соответствует точка N с координатами ( b ; a ) графика функции и наоборот.
Задание: с помощью графика функции найдите значение аргумента , которому соответствует значение функции: . Решение : Ответ: .
Задание: функция задана формулой . Определите значение функции при . Решение : , то , то , то , то Если Если Если Если
Задание: принадлежат ли графику функции точки , и . Решение: Точка принадлежит графику функции Точки и не принадлежат графику функции Т.к. при выражение не имеет смысла .
Повторим главное: График функции имеет вид: График функции обладает такими свойствами: Если , то и . Поэтому начало координат принадлежит графику функции. 2) Если , то и . График расположен в первой координатной четверти. 3) Большему значению аргумента соответствует большее значение функции . Т.е. график идет вверх.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Арифметическим квадратным корнем из числа называется неотрицательное число, квадрат которого равен . Решим примеры: Квадратный корень из произведения двух чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.
Теорема 1: Если и , то . Доказательство: 1) 2) Каждое из выражений и имеет смысл. и Чтобы извлечь квадратный корень из произведения неотрицательных чисел, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.
Если , то Вывод : корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Верно и обратное утверждение: произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел .
Задание. Вычислите значение выражения: Решение : а) б) в) г)
Решим примеры: Квадратный корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
Теорема 2: Если и , то . Доказательство: 1) 2) Каждое из выражений и имеет смысл. и Чтобы извлечь квадратный корень из дроби , можно извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.
Вывод: корень из дроби , числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя , деленному на корень из знаменателя . Верно и обратное утверждение: частное корней равно корню из частного этих чисел.
Задание. Вычислите значение выражения: Решение : а) б)
Повторим главное: Корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.