Главные вкладки

    Математическая логика

    Ковалева Анна Леонидовна

    Учебный материал по информатике на тему Математическая логика (предназначен для учеников 8 класса)

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл Презентация по теме Основы математической логики1.26 МБ
    PDF icon Пособие по теме Основы математической логики (практикум по решению задач на 6 уроков)744.41 КБ
    Файл Электронный учебник по теме Логика830.59 КБ
    Файл Тест по теме Логика (с открытием картинки)240.8 КБ
    Файл Тест по теме logika11.72 КБ
    Файл Игра Logic (логические вентили)372.99 КБ
    Office spreadsheet icon Кроссворд по теме Основы логики72.5 КБ
    Файл Контрольная работа за 2 четверть по теме Логика (16 вариантов)145.51 КБ
    Файл Лекции по теме Логика (7 глав)245.58 КБ
    Файл Презентация по теме Logika791.78 КБ
    Файл Презентация по теме Законы логики114.3 КБ
    Файл Презентация по теме Решение логических задач135.17 КБ
    Файл Кроссворд и Тест по теме Логика (2 варианта)31.19 КБ
    Файл Таблица истинности логических функций - раздаточный материал228.82 КБ
    PDF icon Журнал Информатика 2010 Логические основы компьютера2.87 МБ
    Файл Контрольная работа по теме Основы логики базовый уровень (4 варианта)76.98 КБ
    PDF icon Логические задачи407.01 КБ
    Office spreadsheet icon Построение таблиц истинности логических выражений (в Excel)35 КБ
    Файл Контрольная работа по логике для 10 класса (13 вариантов)119.19 КБ
    Файл Презентация 2 по теме Основы математической логики343.73 КБ
    Файл Презентация 3 по теме Основы математической логики2.26 МБ
    Файл Презентация 4 по теме Основы математической логики1.7 МБ
    Файл Презентация по теме Подготовка к к-р по теме Логика282.9 КБ

    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Подписи к слайдам:

    Слайд 1

    Основы математической логики © Ковалева А.Л. учитель математики и ИКТ ГБОУ СОШ №341 СПб

    Слайд 2

    Содержание Круги Эйлера Основы логики Булева Алгебра СДНФ Логические вентили Логические законы Логика есть анатомия мышления. Джон Локк Что такое логика, как не искусство доказывать? Жан Пиаже В логике нет ничего случайного. Людвиг Витгенштейн

    Слайд 3

    Основы логики… Процессор компьютера выполняет арифметические и логические операции над двоичными кодами. И поэтому, чтобы иметь представление об устройстве компьютера, необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения. Для понимания принципа работы таких элементов изучим основные начальные понятия алгебры логики.

    Слайд 4

    ЛОГИКА (от греч. « logos » - слово и смысл) – это наука о закономерностях, операциях, формах и способах мышления. Логика представляет собой науку о том, как правильно рассуждать, делать выводы, доказывать утверждения. Наука логика известна еще с глубокой древности. Ее родоначальником был древнегреческий философ Аристотель (384-322 гг. до н.э.). Он ввел основные формы абстрактного мышления или так называемой формальной логики. На нижней картинке – памятник Аристотелю (в городе Стагире)

    Слайд 5

    Со времен Аристотеля логика ушла не слишком далеко вперед. Даже немецкий философ Эммануил Кант (1724-1804) считал, что эта наука полностью завершила свое развитие. Однако немецкий философ, математик, физик, изобретатель, юрист, историк и лингвист Лейбниц (Готфрид Вильгельм, 1646-1716) предпринял попытку логических вычислений. Идеи Лейбница о математической логике не заинтересовали его современников. Потребовалось еще полтора столетия, пока в трудах английского математика Джорджа Буля (1815-1864) появился алфавит, орфография и грамматика для математической логики. Интересно, что Буль не имел математического образования. Алгебру логики так же называют алгеброй Буля или булевой алгеброй в честь этого ученого. Эммануил Кант Г.В.Лейбниц Джордж Буль

    Слайд 6

    Понятие – это форма мышления, отражающая наиболее существенные признаки предмета, отличающие его от других предметов. Понятие имеет 2 характеристики: содержание (существенные признаки) и объем (множество предметов, которым принадлежат эти признаки; их можно изображать с помощью кругов Эйлера). Высказывание (суждение, утверждение) – это форма мышления, выраженная с помощью понятий, посредством которой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними. Иначе говоря, высказывание – это повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, что оно истинно (обозначается цифрой 1) или ложно (обозначается цифрой 0). Высказывания бывают: простыми (оно состоит из одного высказывания и не содержит логической операции) и сложными (составными) (это высказывание, состоящее из простых высказываний, объединенных логическими операциями) Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний (ПОСЫЛОК) по определенным правилам получаются новые знания (высказывания) о предметах реального мира (ВЫВОДЫ). Умозаключения бывают: дедуктивные (от общего к частному), индуктивные (от частного к общему) , по аналогии. Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.

    Слайд 7

    ПРЕДИКАТЫ В математической логике рассматриваются такие понятия, как предикаты , т. е. функциональные зависимости от неопределённых понятий (терминов). В предикатах 1 порядка один из терминов является неопределённым понятием. Пример: « X – человек». В предикатах 2 порядка два термина не определены. Пример: « X жена Y ». В предикатах 3 порядка не определены три термина. Пример: « Z – сын X и Y » . Преобразуем в высказывания: «Сократ – человек»; «Ксантиппа – жена Сократа»; «Софрониск – сын Сократа и Ксантиппы».

    Слайд 8

    КВАНТОРЫ В математической логике наряду с логическими операциями используются и кванторы. Квантор (от лат. quantum — сколько) — это логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате ее применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа все , каждый , некоторый , любой , всякий , бесконечно много , существует , имеется , единственный , несколько , конечное число , а также все количественные числительные. В формализованных языках, составной частью которых является исчисление предикатов, для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным кванторов двух видов: квантора общности и квантора существования (их сокращенные обозначения представлены в схеме ниже). При построении отрицания к высказыванию, содержащему квантор, действует следующее правило: частица “не” добавляется к сказуемому, а квантор общности заменяется на квантор существования и наоборот. Рассмотрим пример. Отрицанием высказывания “Все юноши 11-х классов — отличники” является высказывание “Неверно, что все юноши 11-х классов — отличники” или “Некоторые юноши 11-х классов — не отличники”.

    Слайд 9

    Мини-практикум: Определите истинность высказываний: Сумма углов треугольника равна 180 градусов Основы формальной логики заложил Аристотель Каждый угол равностороннего треугольника равен 60 градусов Все стороны равнобедренного треугольника равны У ромба не все стороны равны Диагонали ромба взаимно перпендикулярны Все металлы электропроводны Приведите примеры 3 ложных высказываний из различных областей жизни Составьте из предложенных суждений умозаключение «Все металлы электропроводны», «Ртуть является металлом» «В прямоугольном треугольнике есть гипотенуза и катет», «Гипотенуза всегда больше катета» «Сократ – отец Софроникса», «Софроникс – сын Ксантиппы» 4) Определите вид умозаключения «Отдельные металлы – железо, медь, цинк, алюминий обладают свойством теплопроводности», следовательно можно сделать вывод, что «все металлы электропроводны» «Химический состав Солнца и Земли сходен по многим показателям, поэтому когда на Солнце обнаружили новый элемент гелий, то по аналогии заключили, что такой элемент есть и на Земле» 5) Определите истинность следующих умозаключений (ответьте, истинно или ложно умозаключение). «Все зебры полосаты», «Это животное полосато». Следовательно, «это животное – зебра» «Все хищники – животные». «Львы – хищники». Следовательно, «львы – животные» «Если у человека повышена температура, то он болен». «Этот человек болен». Следовательно, «у него повышена температура». истинное истинное истинное ложное ложное истинное истинное Роман «Война и мир» написал Сергей Есенин В феврале 30 дней Москва – столица Австралии Следовательно, ртуть электропроводна В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета Софроникс – сын Сократа и Ксантиппы это индуктивное умозаключение (от частного к общему) это умозаключение по аналогии это ложное умозаключение, т.к. есть животные полосатые, но не зебры (например, тигры) это истинное умозаключение это ложное умозаключение, т.к. человек может быть болен, но у него не повышена температура (например, сломана нога)

    Слайд 10

    Булева алгебра Инверсия Конъюнкция Дизъюнкция Исключающее или Импликация Эквивалентность Штрих Шеффера Стрелка Пирса

    Слайд 11

    ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ «НЕ» Название: логическое отрицание (инверсия) Обозначение в булевой алгебре: ¬А или Читается: частица НЕ Обозначение в языках программирования: not А (Паскаль, Бейсик) !А (Си) Логическое отрицание превращает истинное высказывание(1) в ложное (0), а ложное высказывание (0) в истинное (1) Таблица истинности логической операции инверсия (таблица истинности – это таблица, в которой слева перечисляются всевозможные значения исходного высказывания (0 или 1), а в правой части в последнем столбце записывают результат выполнения логической операции для каждого из этих вариантов)

    Слайд 12

    Электронная схема логического элемента (вентиля) инвертора (НЕ)

    Слайд 13

    ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ «И» Название: логическое умножение (конъюнкция) : Обозначение в булевой алгебре: А &B или A^B (схожесть с алгеброй – операция пересечения ) Читается: союзы И (А, НО) Обозначение в языках программирования: А and B (Паскаль, Бейсик) А && B (Си) Логическая конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны (1) и ложна, когда ложно (0) хотя бы одно высказывание Таблица истинности логической операции конъюнкция

    Слайд 14

    Электронная схема логического элемента (вентиля) конъюнктора (И)

    Слайд 15

    КОНЪЮНКЦИЯ В ФИЗИКЕ

    Слайд 16

    ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ «ИЛИ» Название: логическое сложение (дизъюнкция) : Обозначение в булевой алгебре: A˅B (схожесть с алгеброй – операция объединения ) Читается: союз ИЛИ Обозначение в языках программирования: А or B (Паскаль, Бейсик) А || B (Си) Логическая дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно высказывание истинно (1) и ложна, когда ложны (0) оба высказывания Таблица истинности логической операции дизъюнкция

    Слайд 17

    Электронная схема логического элемента (вентиля) дизъюнктора (ИЛИ)

    Слайд 18

    ДИЗЪЮНКЦИЯ В ФИЗИКЕ

    Слайд 19

    ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» Название: сложение по модулю 2 (разделительная дизъюнкция, строгая дизъюнкция) Обозначение в булевой алгебре: A B или А В Читается: оборот « или только A , или только B » Обозначение в языках программирования: А xor B (Паскаль) А ^ B (Си) Логическое сложение по модулю 2 истинно (1) тогда и только тогда, когда высказывания разные (не равны) и ложно (0), когда высказывания одинаковые Таблица истинности логической операции исключающее или

    Слайд 20

    Электронная схема сложения по модулю 2 (2 способа)

    Слайд 21

    ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ «ИМПЛИКАЦИЯ» Название: импликация (следование). Обозначение в булевой алгебре: A → B или А В Читается: если А, то В; из А следует В; для того, чтобы А, необходимо В; для того, чтобы В, достаточно А Логическая импликация ложна (0) тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (0), и истинна (1) в остальных случаях. Таблица истинности логической операции импликация

    Слайд 22

    Электронная схема импликации

    Слайд 23

    ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» Название: логическое равенство (равносильность, равнозначность). Обозначение в булевой алгебре: A B или А В или А B или А B Читается: А равносильно В; А тождественно равно В; для того, чтобы А, необходимо и достаточно В; А тогда и только тогда, когда B . Логическая эквивалентность истинна (1) тогда и только тогда, когда высказывания одинаковые, и ложна (0), когда высказывания разные (не равны). Эквивалентность – это отрицание сложения по модулю 2. Таблица истинности логической операции эквивалентность

    Слайд 24

    Электронная схема эквивалентности (2 способа)

    Слайд 25

    ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ «ШТРИХ ШЕФФЕРА» Название: И-НЕ ( штрих Шеффера ) Обозначение в булевой алгебре: A | B (англ. nand – not and – отрицание конъюнкции ) Штрих Шеффера ложен (0) тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и истинен (1) в остальных случаях. Таблица истинности логической операции Штрих Шеффера Генри Морис Шеффер

    Слайд 26

    Электронная схема штриха Шеффера (и-не)

    Слайд 27

    ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ «СТРЕЛКА ПИРСА» Название: ИЛИ-НЕ ( стрелка Пирса ) Обозначение в булевой алгебре: A  B или А  B (англ. nor – not or – отрицание дизъюнкции ) Стрелка Пирса истинна (1) тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и ложна (0) в остальных случаях. Таблица истинности логической операции стрелка Пирса Чарльз Сандерс Пирс

    Слайд 28

    Электронная схема стрелки Пирса (или-не)

    Слайд 29

    ПРИОРИТЕТ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ: 1) В СКОБКАХ 2) НЕ 3) И 4) ИЛИ, ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ 5) ИМПЛИКАЦИЯ 6) ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

    Слайд 30

    1) ¬ ¬ A = A Закон двойного отрицания или инволюции 2) A ˅ A = A A&A=A Законы идемпотентности 3) A ˅ 0 = A A ˅ 1 = 1 A & 0 = 0 A & 1 = A (Законы исключения констант) 4) A ˅ ( A & B ) = A A& (A ˅ B) = A (Законы поглощения) 5) A ˅ ¬ A = 1 (Закон исключения третьего) A & ¬A = 0 ( Закон непротиворечия ) 6) A & B = B & A (Законы коммутативности или A ˅ B = B ˅ A переместительные законы) 7) A & ( B & C ) = ( A & B ) & C = A & B & C (Законы ассоциативности или A ˅ (B ˅ C) = (A ˅ B) ˅ C = A ˅ B ˅ C сочетательные законы) 8) ¬ ( A ˅ B ) = ¬А & ¬В (Законы де Моргана – названы в честь шотландского ¬ (A & B) = ¬ А ˅ ¬ В математика и логика Моргана) 9) A & ( B ˅ C ) = ( A & B ) ˅ ( A & C ) (Законы дистрибутивности или A ˅ (B & C ) = (A ˅ B) & (A ˅ C) распределительные законы) 10) A → B = ¬A ˅ B (закон снятия импликации) 11) A B = (A → B) & (B → A) = (A & B) ˅ ( ¬A & ¬B) = (А ˅ ¬ В) & ( ¬A ˅ B) (закон снятия эквивалентности) 12) A B = (A & ¬B) ˅ ( ¬A & B) (закон снятия сложения по модулю 2) Огастес де Морган ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ:

    Слайд 31

    СДНФ Тождественно истинная формула (тавтология) – это формула, которая принимает значение истина при любых значениях входящих в нее переменных. Тождественно ложная формула – это формула, которая принимает значение ложь при любых значениях входящих в нее переменных. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это логическая формула, в которой используются только операции отрицания ( ¬ ), конъюнкции ( &), дизъюнкции ( ˅ ) при следующих условиях: отрицание применяется только к переменным; конъюнкцией соединены переменные или их отрицания, причем каждая переменная в таком конъюнктивном выражении фигурирует ровно один раз; дизъюнкции соединяют получившиеся конъюнктивные выражения. Упростить логическое выражение – значит привести его к СДНФ (это замена сложных высказываний на равносильные с применением законов алгебры логики). В силу договоренности о порядке выполнения операций в СДНФ скобки не требуются.

    Слайд 32

    КРУГИ ЭЙЛЕРА (диаграммы Эйлера-Венна) Леонард Эйлер Джон Венн Круг Эйлера – это геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами; используется для наглядного представления.

    Слайд 33

    Урок 1. Вычисление значений логических выражений. Построение таблиц истинности. №1. Определить значение логических выражений: 1) (1V 1) V (1V 0) 2) ((1V0) V1) V1 3) (0 &1)&1 4) ((1 V 0)&(1&1))&(0 V 1) №2. Заданы 2 высказывания А={2*2=4} B ={2*2=5}. Определить истинность следующих высказываний 1) ¬ А 2) ¬B 3) A&B 4) AVB 5) A→B 6) A B 7) B→A №3. Заданы 3 высказывания А={5>3} B ={2=3} C ={4<2}. Определить истинность следующего высказывания (A V B)&C→(A&C) V (B&C) №4. Определите истинность следующего высказывания ( A & B )V D (( A V C )&( A & B )), где А={принтер – устройство ввода информации}, B ={процессор – устройство обработки информации}, С={монитор – устройство хранения информации}, D ={клавиатура – устройство ввода информации} №5. Построить таблицу истинности следующих логических выражений: 1) AV(BV¬B) 2) AV(BV¬B)&AV(B→C) №6. Докажите с использованием таблицы истинности 1закон де Моргана. Практикум: Перепишем выражения с помощью соответствующих алгебраических знаков (1+1)+(1+0)=1+1=1 ((1+0)+1)+1=(1+1)+1=1+1=1 (0•1)•1=0•1= 0 ((1+0)•(1•1))•(0+1)=(1•1)•1=1•1= 1 истинное ложное ложное истинное ложное истинное ложное ложное истинное ложное ложное Перепишем выражение с помощью соответствующих алгебраических знаков (1+0)•0  (1 • 0)+(0 • 0) = 0 0 = 1 , истина ложное истинное ложное истинное Перепишем выражение с помощью соответствующих алгебраических знаков ( 0 • 1 ) +1 < -- > ((0+0 ) • (0 • 1)) = 1< -- > 0 = 0 , ложь При построении таблицы истинности стоит помнить важные замечания: количество строк полной таблицы истинности зависит от количества логических переменных и всегда вычисляется по формуле 2ⁿ, где n – количество переменных количество столбцов полной таблицы истинности равно количеству логических переменных + количество логических операций A B ¬ B B V ¬B A V (BV¬B) 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 A B C ¬ B B V ¬B B → C (BV¬B) & A A V (BV¬B)&A AV(BV¬B)&A V (B→C) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ¬ ( A ˅ B ) = ¬А & ¬В A B A ˅ B ¬ ( A ˅ B ) ¬А ¬В ¬А & ¬В 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 истинное

    Слайд 34

    Урок 2. Анализ таблиц истинности. №1. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F? 1) ( X  ¬Y ) → Z 2) ( X  Y ) → ¬Z 3) X  ( ¬Y → Z ) 4 ) X  Y  ¬Z №2. Найти соответствующую таблицу истинности для логического выражения (АVB)&¬ C 1) 2) 3) 4) №3. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F? 1) x1 → (x2  x3  x4  x5  x6  x7) 2) x2 → (x1  x3  x4  x5  x6  x7) 3) x3 → (x1  x2  x4  x5  x6  x7) 4) x4 → (x1  x2  x3  x5  x6  x7) X Y Z F 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 A B C F 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 A B C F 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 A B C F 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 A B C F 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 Практикум: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 F 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 X Y Z F 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 X Y Z F 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 X Y Z F 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 В задании представлены 4 варианта ответа. Мы запишем в конечный ответ тот, в который подходят все три строки нашей неполной таблицы истинности . Итак, устно подставляем и проверяем: Аналогично проверяя каждый вариант, убеждаемся, что подходит 3 вариант Ответ: 3 Проверьте самостоятельно, что подходит ответ 4 Проверьте самостоятельно, что подходит ответ 4

    Слайд 35

    Урок 2. Анализ таблиц истинности (продолжение). №4. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F? 1) x 1  ¬ x 2  x 3  ¬ x 4  x5  x6  ¬ x 7  ¬ x 8 2) x 1  x 2  x 3  ¬ x 4  ¬ x5  ¬ x6  ¬ x 7  ¬ x 8 3) ¬x1  x2  ¬x3  x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8 4) x1  ¬x2  ¬ x3  ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8 №5. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F (справа). Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение выражения x3  x4 не совпадает с F. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 7 x 8 F 1 1 0 1 1 1 1 1 1 x1 x2 x3 x4 x5 x 6 F 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 Практикум: Проверьте самостоятельно, что подходит ответ 4 x1 x2 x3 x4 x5 x 6 F 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 Сначала определим, в скольких строках х3/\х4 не совпадает с F (это видно из таблицы – в 3 строках - красным цветом) – это минимально возможное значение. Далее, всего строк в полной таблице истинности: 2 6 = 64 строки (т.к. в таблице дано 6 логических переменных). Известных строк в данной неполной таблице истинности 4 (т.к. в таблице всего 4 строки). Тогда неизвестных строк будет 64-4=60 (в них выражение х3/\х4 может совпадать с F , а может не совпадать – мы берем, что не совпадает). Значит максимально не совпадать будет в 60+3=63 стоках. Ответ: 63

    Слайд 36

    Практикум: Урок 2. Анализ таблиц истинности (продолжение). №6. Логическая функция F задаётся выражением ( a  ¬ c )  (¬ b  ¬ c ). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a , b , c . ? ? ? F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 Упростим заданное выражение, применяя логические законы: ( a  ¬ c )  (¬ b  ¬ c )= ¬ c ( a  ¬ b ) Полагаем=1 Значит ¬ c =1, a  ¬ b =1. Тогда c =0 (обязательно), a =1 или b =0 (получили 2 нуля и 1). Сначала в выделенных желтым цветом строках таблицы истинности (в них F равно 1) выбираем тот столбец, который всегда равен 0 (это и будет столбец с). Как видно из таблицы это первый столбец (т.е. первый столбец – это переменная с). Теперь в выделенных желтым цветом строках таблицы истинности выбираем ту строку, в которой есть 2 нуля и 1 (это 2 строка). В этой строке 1 стоит в третьем столбце. Значит третий столбец – это переменная а, т.к. a =1. И становится понятным, что оставшийся столбец (второй) соответствует переменной b . Таким образом получили ответ: cba . Второй способ решения этой задачи – это перебор всевозможных комбинаций переменных a,b,c и проверка всех строк таблицы истинности для каждой комбинации. Для трех переменных таких переборов будет 6: a,b,c; c,a,b; b,c,a; a,c,b; b,a,c; c,b,a. Данный способ является более громоздким. ? ? ? F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0

    Слайд 37

    Урок 3. Упрощение логических выражений. Решение логических задач с помощью упрощения логических выражений. №1. Упростите следующие логические выражения 1) ¬ x&¬(¬y V x) 2) (x y)&(x V y) 3) ¬B&(AV¬(A&B)) 4) (A&B)V(A&C)V(B&D)V(C&D) 5) (A→B) v (B→A) 6) ¬( X & Y v ¬( X & Y )) №2. 1) На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 30] и Q = [15, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула ( ( x  А ) → ( x  P ) ) \/ ( x  Q ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Ответы: 1) [10, 15] 2) [12, 30] 3) [20, 25] 4)[26, 28] 2) На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [10,20]. Выберите такой отрезок A, что формула ( x  P ) /\ ( x  Q ) /\ ( x  A ) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х. Ответы: 1) [0, 7 ] 2) [ 8 , 15 ] 3) [15, 2 0 ] 4)[ 7 , 20 ] 3) На числовой прямой даны три отрезка: P = [5,15], Q = [10,20] и S =[15,20]. Выберите такой интервал A, что формулы ( x  A ) → ( x  P ) и ( x  Q ) → ( x  S ) тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек). Ответы: 1) [3, 10] 2) [7, 12] 3) [12, 17] 4)[22, 25 ] Практикум: Упростим заданные выражения, применяя логические законы ¬ x&¬(¬y V x) = ¬ x&(y& ¬ x)= ¬ x&( ¬ x & y)=( ¬ x& ¬ x) & y= ¬ x & y (x y)&(x V y)=(x V ¬ y)&( ¬ x V y)&(x V y)=(x V ( ¬ y & y))&( ¬ x V y)=(x V 0)&( ¬ x V y)=x&( ¬ x V y)=(x& ¬ x)V(x & y)= =0V(x & y)=x & y Упростите следующие выражения самостоятельно и проверьте с ответами: 3) ¬ B 4) (BVC)&(AVD) 5) 1 6) 0

    Слайд 38

    Урок 3. Упрощение логических выражений. Решение логических задач с помощью упрощения логических выражений (продолжение). № 3 . Обозначьте буквами простые высказывания и воспользуйтесь алгеброй логики, чтобы ответить на вопрос логической задачи. Если Джон не встретил этой ночью Смита, то Смит был убийцей или Джон врет. Если Смит не был убийцей, то Джон не встретил Смита этой ночью и убийство произошло после полуночи. Если убийство произошло после полуночи, то Смит был убийцей или Джон лжет. Эксперты утверждают, что убийство произошло до полуночи. Можно ли утверждать, что Смит был убийцей? РЕШЕНИЕ: Обозначим высказывания: А = «Джон не встретил этой ночью Смита» В = «Смит был убийцей» С = «Джон врет» D = «Убийство произошло до полуночи» (это высказывание тождественно истинно по условию, т.е. D =1). Тогда из условия задачи получаем выражения и упрощаем их: А→ BVC =¬А VBVC ¬ B → A &0=¬ B →0 0→ BVC =1 Получаем: (¬ AVBVC )&(¬ B →0)&1=(¬ AVBVC )&( BV 0)&1=(¬ AVBVC )& B = B . Из чего следует, что В выполняется (т.е. Смит был убийцей). Ответ: да Практикум: №4. Для какого имени истинно высказывание: ¬ ( Первая буква согласная → Последняя буква гласная )  Вторая буква согласная ? Ответы: 1) ИРИНА 2) СТЕПАН 3) МА РИНА 4) ИВАН Значит первая буква должна быть согласной, последняя буква должна быть не гласной (т.е. согласной) и вторая буква должна быть согласной. Очевидно, что подходит ответ 2-Степан. Ответ: 2

    Слайд 39

    Урок 4. Решение логических задач с помощью таблицы истинности. №1. Один из пяти братьев Никита, Глеб, Игорь, Андрей или Дима испек маме пирог. Когда она спросила, кто сделал ей такой подарок, братья ответили следующее: Никита: «Пирог испек Глеб или Игорь» Глеб: «Это сделал не я и не Дима» Андрей: «Нет, один из них сказал правду, а другой обманул» Дима: «Нет, Андрей, ты не прав» Мама знает, что трое из сыновей всегда говорят правду. Кто испек пирог? РЕШЕНИЕ: Составим таблицу истинности для решения задачи: (т.к. трое сказали правду – ищем строки с тремя единицами) 1 2 3 4 НГИАД Г V И неГ & неД 1 2 (исключающее или) Не 3 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Так как в строке с тремя единицами исходные значения равны 00100 (1 столбик), значит пирог испек Игорь (цифра 1 – третья по счету, т.е.Игорь). ОТВЕТ: И Практикум:

    Слайд 40

    Урок 4. Решение логических задач с помощью таблицы истинности (продолжение). №2 . Девятерых школьников, оставшихся в классе на перемене, вызвали к директору. Один из них разбил окно в кабинете. На вопрос директора, кто это сделал, были получены следующие ответы: Володя: «Это сделал Саша» Аня «Володя лжет» Егор «Маша разбила» Саша «Аня говорит неправду» Рома «Разбила либо Маша, либо Нина» Маша «Это я разбила» Нина «Маша не разбивала» Коля «Ни Маша, ни Нина этого не делали» Олег «Нина не разбивала» Кто разбил окно, если известно, что из этих девяти высказываний истинны только три. Ответ дайте в виде первой буквы имени. Практикум: ВАЕСРМНКО С неС М С МVН М не М неМ & неН неН 100000000 0 1 0 0 0 0 1 1 1 010000000 0 1 0 0 0 0 1 1 1 001000000 0 1 0 0 0 0 1 1 1 000100000 1 0 0 1 0 0 1 1 1 000010000 0 1 0 0 0 0 1 1 1 000001000 0 1 1 0 1 1 0 0 1 000000100 0 1 0 0 1 0 1 0 0 000000010 0 1 0 0 0 0 1 1 1 000000001 0 1 0 0 0 0 1 1 1 Так как в строке с тремя единицами (выделена желтым цветом) исходные значения равны 000000100 (1 столбик), значит окно разбила Нина (цифра 1 – третья с конца, т.е. напротив буквы Н). ОТВЕТ: Н ВАЕСРМНКО С неС М С МVН М не М неМ & неН неН 100000000 0 1 0 0 0 0 1 1 1 010000000 0 1 0 0 0 0 1 1 1 001000000 0 1 0 0 0 0 1 1 1 000100000 1 0 0 1 0 0 1 1 1 000010000 0 1 0 0 0 0 1 1 1 000001000 0 1 1 0 1 1 0 0 1 000000100 0 1 0 0 1 0 1 0 0 000000010 0 1 0 0 0 0 1 1 1 000000001 0 1 0 0 0 0 1 1 1

    Слайд 41

    Итак, в данном видеоуроке мы: познакомились с понятием логики; с историей развития этой науки; имеем представление об ученых, которые внесли свой вклад в развитие математической логики; узнали основные формы мышления; понятия предикаты и кванторы; изучили основные понятия булевой алгебры; базовые логические операции; логические элементы компьютера (вентили) и их электронные схемы; изучили логические законы и познакомились с понятием СДНФ и круги Эйлера; научились вычислять значения логических выражений, строить таблицы истинности и их анализировать; упрощать логические выражения и решать логические задачи


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


    Предварительный просмотр:

    Контрольная работа по теме «Основы логики».   Вариант 1.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:   А={ (2х2=4 и 3х3=10) или (2х2=5 и 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:    (¬A & B) ν ( A & B )

    №3. Для какого числа Х истинно высказывание:     ( (X>2) ν ( X<2  ))→( X>4 )?

    1)1     2)2     3)3     4)4

    №4.Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению      ¬( ¬А & B ) ν ¬C.

    1) ¬A ν B ν ¬C       2) ¬A ν ¬B ν ¬C       3) A ν ¬B ν  ¬C        4) A ν B ν ¬C.

    №5. Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание:     (90

    №6.Укажите таблицу истинности, которая соответствует логической функции  F = A & ¬B

    1)

    2)

    3)

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    Какое выражение соответствует F?

    1) x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  x6  ¬x7

    2) ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  ¬x6  x7

    3) ¬x1  x2  ¬x3  x4  x5  x6  x7

    4) x1  ¬x2  x3  ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    3)  ¬x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    4)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    Укажите минимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x1 совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 10] и Q = [15, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула

    ( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [3, 11]        2) [6, 10]        3) [8, 16]        4)[17, 23]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».   Вариант 2.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:  А={ (2х2=4 или 3х3=10) или (2х2=5 и 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:    (A & B ) ν ( A & ¬B )

    №3. Для какого числа Х истинно высказывание:    ( (X>3 ) ν ( X<3  ))→( X<1 )?

    1)1     2)2     3)3     4)4

    №4. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению      ¬А ν ¬( B  ν C).

    1) ¬A ν B ν ¬C      2) ¬A ν ¬B ν ¬C      3) A ν ¬B ν  ¬C       4)¬ A ν (¬ B & ¬C).

    №5. Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание:   (50(X+1)·(X + 1))?

    №6. Укажите таблицу истинности, которая соответствует логической функции  F = ¬A & B

    1)

    2)

    3)

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    Какое выражение соответствует F?

    1) ¬x1  ¬x2  x3  x4  x5  x6  ¬x7

    2) x1  x2  x3  ¬x4  ¬x5  ¬x6  x7

    3) x1  x2  ¬x3  ¬x4  x5  x6  x7

    4) ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    3)  x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    4)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x3 не совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 30] и Q = [15, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула

    ( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [10, 15]        2) [12, 30]        3) [20, 25]        4)[26, 28]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».    Вариант 3.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:  А={ (2х2=4 и 3х3=10) или (2х2=5 или 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:    (A ν B ) &( ¬A ν  B )

    №3. Для какого числа Х истинно высказывание:    (X>4 ) ν (( X>1  )→( X>4 ))?

    1)1     2)2     3)3     4)4

    №4. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению    ¬( ¬А ν B ) ν ¬C.

    1) (A & ¬ B) ν ¬C     2) ¬A ν ¬B ν ¬C      3) A ν ¬B ν  ¬C      4)( A & B) ν ¬C.

    №5.Каково наибольшее целое положительное число Х,при котором истинно высказывание: ((X-1)X ·X)?

    №6.Укажите таблицу истинности, которая соответствует логической функции  F = A ν ¬B

    1)

    2)

    3)

    A

    B

    F

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    Какое выражение может соответствовать F?

    1) x1  x2  x3  ¬x4  ¬x5

    2) ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5

    3) x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5

    4) ¬x1  x2  x3  x4  ¬x5

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  x8

    3)  ¬x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    4)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x4 не совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 30]. Выберите такой отрезок A, что формула

    ( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [0, 15]        2) [3, 20]        3) [10, 25]        4)[25, 40]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».   Вариант 4.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:   А={ (2х2=4 и 3х3=10) или (2х2=5 или 3х3=11)}

    №2. Упростите логическое выражение:    (A ν B ) & ( A ν¬  B )

    №3.Для какого слова истинно высказывание:

    ¬(Первая буква слова согласная→(Вторая буква слова гласная  ν Последняя буква слова гласная))

    1)ГОРЕ    2)ПРИВЕТ      3)КРЕСЛО     4)ЗАКОН

    №4.Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению   ¬( А ν ¬ B  ν C).

    1) (A & ¬ B) ν ¬C     2) ¬A ν ¬B ν ¬C      3) A ν ¬B ν  ¬C       4)¬ A & B  & ¬C.

    №5. Каково наименьшее целое положительное число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    (4> - (4+X) · X))→(30>X ·X)?

    №6.Укажите таблицу истинности, которая соответствует логической функции  F = ¬A ν B

    1)

    2)

    3)

    A

    B

    F

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1) x1  (x2  x3  x4  x5  x6  x7)

    2) x2  (x1  x3  x4  x5  x6  x7)

    3) x3  (x1  x2  x4  x5  x6  x7)

    4) x4  (x1  x2  x3  x5  x6  x7)

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  x7  ¬x8

    2)  x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  x7  x8

    3)  ¬x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  x7  ¬x8

    4)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  x7  ¬x8

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x4 не совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 25] и Q = [0, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула         ( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q)   тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [10, 15]        2) [20, 35]        3) [5, 20]        4)[12, 40]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».   Вариант 5.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:    А={ (2х2=3 и 3х3=10) или (2х2=5 или 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:    A ν ¬A &  B

    №3. Для какого слова истинно высказывание:

    (Первая буква слова гласная  ν  Пятая буква слова согласная)→Вторая буква слова гласная.

    1)АРБУЗ    2)ОТВЕТ    3)КРЕСЛО     4)ПРИВАЛ

    №4. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению    А & ¬(¬ B  ν¬ C).

    1) (A & ¬ B) ν ¬C     2) ¬A ν ¬B ν ¬C      3) A & (B &C)       4)¬ A & B  & ¬C.

    №5. Каково наименьшее целое положительное число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    (4> - (4+X) · X))→(30>X ·X)?

    №6.Символом F  обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X,Y,Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:                      

    X

    Y

    Z

    F

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    Какое выражение соответствует F?      1)¬X ν Y ν ¬Z    2)X  & ¬Y & ¬Z      3)¬X  & Y & Z        4)X  ν ¬Y ν Z                    

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1) (x2  x3  x4  x5  x6  x7)x1

    2) (x1  x3  x4  x5  x6  x7)x2

    3) (x1  x2  x4  x5  x6  x7)x3

    4) (x1  x2  x3  x5  x6  x7)x4

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  ¬x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  x8

    3)  ¬x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    4) ¬x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    Укажите минимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x5 совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [12, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула       ( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [10, 15]        2) [20, 35]        3) [5, 20]        4)[12, 40]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».     Вариант 6.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:     А={ (2х2=3 и 3х3=10) и (2х2=5 или 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:     A ν A &  B

    №3. Для какого имени истинно высказывание:    ¬(Первая буква имени согласная →Третья  буква имени гласная)?

    1)ЮЛИЯ   2)ПЁТР    3)АЛЕКСЕЙ    4)КСЕНИЯ

    №4.Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению    ¬( А ν B) & ¬ C.

    1) (¬A & ¬ B) & ¬C    2) ¬A ν ¬B ν ¬C     3) A & (B ν C)      4)¬ A & B  & ¬C.

    №5. Каково наименьшее натуральное  число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    ¬(X · X<9)→ ¬ (X<(X +2))?

    №6.Символом F  обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X,Y,Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:                                      

    X

    Y

    Z

    F

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    Какое выражение соответствует F?

    1)¬X ν Y ν ¬Z       2)¬X  & Y & Z        3)X  &¬ Y &¬ Z        4)X  ν ¬Y ν Z                    

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)  x1  x5  x2  x4  x6  x3

    2)  x1  x3  x2  x5  x6  x4

    3)  x1  x4  x3  x5  x6  x2

    4)  x1  x2  x3  x4  x6  x5

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  ¬x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  x8

    3)  x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    4) ¬x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x6 не совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула         ( (x  P) → (x  Q) ) \/ (x  A) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [10, 15]        2) [20, 35]        3) [15, 22]        4)[12, 18]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».     Вариант 7.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:    А={ (2х2=3 или 3х3=10) или (2х2=5 или 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:     ¬(¬A ν ¬ B)

    №3. Для какого числа Х высказывание будет ложным:     ( (X>2 ) ν ( X>4) )→( X>3 )?

    1)1     2)2     3)3     4)4

    №4. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению      ¬(¬ А & B) & ¬ C.

    1) (¬A & ¬ B) & ¬C    2) (A ν ¬B) & ¬C     3) A & (B ν C)      4)¬ A & B  & ¬C.

    №5. Каково наименьшее натуральное  число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    ¬(X · X<9)→ ¬ (X<(X +2))?

    №6. Символом F  обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X,Y,Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:                                      

    X

    Y

    Z

    F

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)¬X ν Y ν ¬Z      2)X  & Y & ¬Z       3)¬X  &¬ Y & Z       4)X  ν ¬Y ν Z                    

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)  x1  x2  x3  x4  x5  x6

    2)  x1  x3  x4  x5  x6  x2

    3)  x1  x4  x2  x5  x6  x3

    4)  x1  x5  x2  x3  x6  x4

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7

    2)  ¬x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7

    3)  x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7

    4) x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x7 не совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула      ( (x  P) → (x  Q) ) \/ (x  A) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [8, 17]        2) [10, 12]        3) [15, 22]        4)[12, 18]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».      Вариант 8.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:     А={ (2х2=3 или 3х3=10) или (2х2=4 или 3х3=9)}

    №2.Упростите логическое выражение:      (A ν ¬ A) & B

    №3. Для какого числа Х высказывание будет истинным:       (X<5 ) & (( X>1) →( X>5) )?

    1)1     2)2     3)3     4)4

    №4. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению      ¬( А ν B) ν C.

    1) (¬A ν¬ B) & ¬C     2) ¬A & ¬ B ν C       3) A ν B & C      4)¬ A & B  & ¬C.

    №5. Каково наибольшее  целое положительное  число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    ((X +6) · X)+9>0)→(X · X >20))?

    №6. Символом F  обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X,Y,Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:                                      

    X

    Y

    Z

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    Какое выражение соответствует F?

    1)¬X ν ¬ Y  ν ¬Z    2)X  & ¬ Y & ¬Z        3)X  & Y & Z       4)X  ν Y ν Z                    

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  ¬x5  x6  ¬x7

    2)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  x6  ¬x7

    3)  x1  x2  ¬x3  x4  x5  x6  x7

    4)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  x6  ¬x7

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  x5  x6  x7

    2)  ¬x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7

    3)  x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  x7

    4) x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение выражения x3  x4 не совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x  P) → (x  Q) ) \/ ( (x  A) → (x  R) )  тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [10, 20]        2) [15, 25]        3) [20, 30]        4)[120, 130]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».     Вариант 9.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:     А={ (2х2=4 и 3х3=10) или (2х2=5 и 3х3=9)}

    №2.Упростите логическое выражение:     (A & B ) ν ( A & ¬B )

    №3. Для какого числа Х истинно высказывание:      (X>4 ) ν (( X>1  )→( X>4 ))?

    1)1     2)2     3)3     4)4

    №4.Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению      ¬( А ν ¬ B  ν C).

    1) (A & ¬ B) ν ¬C      2) ¬A ν ¬B ν ¬C       3) A ν ¬B ν  ¬C       4)¬ A & B  & ¬C.

    №5. Каково наименьшее натуральное  число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    ¬(X · X<9)→ ¬ (X<(X +2))?

    №6.Укажите таблицу истинности, которая соответствует логической функции  F = A ν ¬B

    1)

    2)

    3)

    A

    B

    F

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  x6  ¬x7

    2)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  ¬x5  x6  ¬x7

    3)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  ¬x6  x7

    4)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  x5  ¬x6  x7

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  ¬x1  ¬x2  x3   ¬x4  ¬x5  x6

    2)  x1  x2  x3   x4  ¬x5  ¬x6

    3)  x1  ¬x2  ¬x3   x4  ¬x5  ¬x6

    4) x1  x2  ¬x3   ¬x4  x5  ¬x6

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x2  x4 не совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны три отрезка: P = [0,20], Q = [5, 15] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула   ( (x  P) → (x  Q) ) \/ ( (x  A) → (x  R) ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [-15,-5]        2) [2, 7]        3) [10,17]        4)[15, 20]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».    Вариант 10.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:    А={ (2х2=4 или 3х3=10) или (2х2=5 и 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:      (¬A & B ) ν ( A & B )

    №3. Для какого слова истинно высказывание:

    ¬(Первая буква слова согласная→(Вторая буква слова гласная  ν Последняя буква слова гласная))

    1)ГОРЕ    2)ПРИВЕТ      3)КРЕСЛО     4)ЗАКОН

    №4. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению    А & ¬(¬ B  ν¬ C).

    1) (A & ¬ B) ν ¬C     2) ¬A ν ¬B ν ¬C     3) A & (B & C)      4)¬ A & B  & ¬C.

    №5. Каково наибольшее целое положительное число Х, при котором истинно высказывание:

    ((X-1)X ·X)?

    №6. Символом F  обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X,Y,Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:                                      

    X

    Y

    Z

    F

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)¬X ν Y ν ¬Z     2)X  & ¬Y & ¬Z       3)¬X  & Y & Z       4)X  ν ¬Y ν Z                    

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  ¬x6  x7

    2)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  x6  ¬x7

    3)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  x5  ¬x6  x7

    4)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  ¬x5  x6  ¬x7

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  ¬x1  ¬x2  x3   ¬x4  ¬x5  x6

    2)  x1  x2  x3   x4  ¬x5  ¬x6

    3)  x1  ¬x2  ¬x3   x4  ¬x5  ¬x6

    4) x1  x2  ¬x3   ¬x4  x5  x6

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x4  ¬x7 не совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны три отрезка: P = [15,30], Q = [0, 10] и R=[25,35]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x  P) → (x  Q) ) \/ ( (x  A) → (x  R) ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.            

    1) [10,17]        2) [15, 25]        3) [20,30]      4)[35, 40]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».    Вариант 11.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:     А={ (2х2=3 и 3х3=10) и (2х2=5 или 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:     A ν A &  B

    №3. Для какого числа Х высказывание будет истинным:     (X<5 ) & (( X>1) →( X>5) )?

    1)1     2)2     3)3     4)4

    №4. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению      ¬( ¬А & B ) ν ¬C.

    1) ¬A ν B ν ¬C       2) ¬A ν ¬B ν ¬C       3) A ν ¬B ν  ¬C        4) A ν B ν ¬C.

    №5. Каково наименьшее натуральное  число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    ¬(X · X<9)→ ¬ (X<(X +2))?

    №6.Укажите таблицу истинности, которая соответствует логической функции  F = A ν ¬B

    1)

    2)

    3)

    A

    B

    F

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)  x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  x6  ¬x7

    2)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  ¬x5  x6  x7

    3)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  ¬x6  x7

    4)  x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  x6  ¬x7

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  (x2  x3)   ¬x4  x5  x6   ¬x7

    2)  x1  (¬x2  x3)   ¬x4  ¬x5  x6   ¬x7

    3)  ¬x1  (x2  ¬x3)   x4  ¬x5  x6  x7

    4) x1  (x2  ¬x3)   ¬x4  x5  ¬x6   x7

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение ¬x5  x1 совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны три отрезка: P = [20,50], Q = [15, 20] и R=[40,80]. Выберите такой отрезок A, что формула   ( (x  P) → (x  Q) ) \/ ( (x  A) → (x  R) )   тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [10,25]        2) [20, 30]        3) [40,50]        4)[35, 45]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».   Вариант 12.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:   А={ (2х2=3 или 3х3=10) или (2х2=5 или 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:   ¬(¬A ν ¬ B)

    №3. Для какого слова истинно высказывание:

    (Первая буква слова гласная  ν  Пятая буква слова согласная)→Вторая буква слова гласная.

    1)АРБУЗ    2)ОТВЕТ    3)КРЕСЛО     4)ПРИВАЛ

    №4. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению     ¬А ν ¬( B  ν C).

    1) ¬A ν B ν ¬C     2) ¬A ν ¬B ν ¬C       3) A ν ¬B ν  ¬C       4)¬ A ν (¬ B & ¬C).

    №5. Каково наименьшее натуральное  число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    ¬(X · X<9)→ ¬ (X<(X +2))?

    №6. Символом F  обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X,Y,Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:                                      

    X

    Y

    Z

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    Какое выражение соответствует F?

    1)¬X ν ¬ Y  ν ¬Z     2)X  & ¬ Y & ¬Z      3)X  & Y & Z       4)X  ν Y ν Z                    

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)  x1  x2  ¬x3  ¬x4  x5  x6  ¬x7

    2)  x1  x2  ¬x3  ¬x4  x5  x6  ¬x7

    3)  ¬x1  ¬x2  x3  x4  ¬x5  ¬x6  x7

    4)  ¬x1  ¬x2  x3  x4  ¬x5  ¬x6  x7

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  (x2  x3)   ¬x4  x5  x6   ¬x7

    2)  x1  (¬x2  x3)   ¬x4  ¬x5  x6   ¬x7

    3)  ¬x1  (x2  ¬x3)   x4  ¬x5  x6  x7

    4) ¬x1  (x2  ¬x3)   x4  x5  x6   x7

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x6  ¬ x2 совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,50], Q = [15, 20] и R=[30,80]. Выберите такой отрезок A, что формула   ( (x  P) → (x  Q) ) \/ ( (x  A) → (x  R) )  тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.        1) [10,25]        2) [25, 50]        3) [40,60]        4)[50, 80]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».   Вариант 13.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:    А={ (2х2=3 или 3х3=10) или (2х2=4 или 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:    (A ν B ) & ( A ν¬  B )

    №3. Для какого числа Х истинно высказывание:     ( (X>2 ) ν ( X<2  ))→( X>4 )?

    1)1     2)2     3)3     4)4

    №4.Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению      ¬А ν ¬( B  ν C).

    1) ¬A ν B ν ¬C      2) ¬A ν ¬B ν ¬C       3) A ν ¬B ν  ¬C       4)¬ A ν (¬ B & ¬C).

    №5. Каково наименьшее натуральное  число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    ¬(X · X<9)→ ¬ (X<(X +2))?

    №6.Укажите таблицу истинности, которая соответствует логической функции  F = ¬A ν B

    1)

    2)

    3)

    A

    B

    F

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)  x1  x2  ¬x3  x4  x5  ¬x6  x7

    2)  x1  x2  ¬x3  x4  x5  ¬x6  x7

    3)  ¬x1  ¬x2  x3  ¬x4  ¬x5  x6  ¬x7

    4)  ¬x1  ¬x2  x3  ¬x4  ¬x5  x6  ¬x7

    №8. Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    3)  ¬x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    4)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение ¬x7  ¬ x5 не совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны три отрезка: P = [0,40], Q = [20, 45] и R=[10,50]. Выберите такой отрезок A, что формула   ( (x  P) → (x  Q) ) \/ ( (x  A) → (x  R) )  тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [5,20]        2) [10, 15]        3) [15,20]        4)[35,50]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».     Вариант 14.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:     А={ (2х2=3 и 3х3=10) и (2х2=5 или 3х3=9)}

    №2. Упростите логическое выражение:     (A ν ¬ A) & B

    №3. Для какого числа Х истинно высказывание:      ( (X>3 ) ν ( X<3  ))→( X<1 )?

    1)1     2)2     3)3     4)4

    №4.Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению      ¬( А ν B) ν C.

    1) (¬A ν¬ B) & ¬C     2) ¬A & ¬ B ν C      3) A ν B & C        4)¬ A & B  & ¬C.

    №5. Каково наибольшее  целое положительное  число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    ((X +6) · X)+9>0)→(X · X >20))?

    №6. Символом F  обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X,Y,Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:                                      

    X

    Y

    Z

    F

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)¬X ν Y ν ¬Z     2)X  & Y & ¬Z      3)¬X  &¬ Y & Z      4)X  ν ¬Y ν Z                    

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  ¬x6  x7

    2)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  ¬x6  x7

    3)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  x6  ¬x7

    4)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  x6  ¬x7

    №8. Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    3)  x1  ¬x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  x8

    4)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение х3  ¬ x5 не совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 9] и Q = [4, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула            ( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [0, 5]        2) [5, 10]        3) [10, 15]        4)[15, 20]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».    Вариант 15.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:   А={ (2х2=4 и 3х3=6) или (2х2=7 и 3х5=15)}

    №2. Упростите логическое выражение:    ¬ (¬B & ¬ A)

    №3. Для какого числа Х истинно высказывание:     ( (X>4) ν ( X<4  ))→( X>4 )?

    1)1     2)2     3)3     4)4

    №4.Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению      ¬( ¬А & ¬ B ) ν ¬C.

    1) ¬A ν B ν ¬C       2) ¬A ν ¬B ν ¬C       3) A ν ¬B ν  ¬C        4) A ν B ν ¬C.

    №5. Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание:     (70

    №6.Укажите таблицу истинности, которая соответствует логической функции  F = A & ¬B

    1)

    2)

    3)

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    x9

    x10

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    Какое выражение соответствует F?

    1)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  ¬x6  x7  x8  ¬x9  x10

    2)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  x6  ¬x7  ¬x8  x9  ¬x10

    3)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  ¬x6  x7  x8  ¬x9  x10

    4)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  x6  ¬x7  ¬x8  x9  ¬x10

    №8. Александра заполняла таблицу истинности для выражения F. Она успела заполнить лишь небольшой фрагмент таблицы:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  ¬x1  x2  x2  ¬x3   ¬x4  x2  ¬x5  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  (x1  ¬x2  ¬x3   x4)  (x5  x6  ¬x7  x8)

    3)  x1  ¬x8  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  x8

    4)  x1  ¬x4  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    Укажите минимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x2 ¬х7 совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [4, 16] и Q = [9, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула

    ( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [1, 11]        2) [3, 10]        3) [5, 15]        4)[15, 25]

    Контрольная работа по теме «Основы логики».   Вариант 16.

    №1. Определите, истинно или ложно составное высказывание:     А={ (2х2=4 или 3х3=10) и (2х2=7 или 3х3=9)}

    №2.Упростите логическое выражение:      (A & ¬ A) & B

    №3. Для какого числа Х высказывание будет истинным:       (X<5 ) & (( X>2) →( X>5) )?

    1)5     2)2     3)3     4)4

    №4. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению      ¬( А ν ¬ B) ν C.

    1) (¬A ν¬ B) & ¬C     2) ¬A & ¬ B ν C       3) A ν B & C      4)¬ A & B  ν C.

    №5. Каково наибольшее  целое положительное  число Х, при котором  высказывание будет ложным:

    ((X +6) · X)+9>0)→(X · X >50))?

    №6. Символом F  обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X,Y,Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:                                      

    X

    Y

    Z

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    Какое выражение соответствует F?

    1) X  & ¬ Y & ¬Z       2) X  & Y & Z      3) X  ν Y ν Z      4) ¬X ν ¬ Y  ν ¬Z        

    №7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    x9

    x10

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    Какое выражение соответствует F?

    1)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  ¬x6  x7  x8  ¬x9  x10

    2)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  x6  ¬x7  ¬x8  x9  ¬x10

    3)  x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  ¬x6  x7  x8  ¬x9  x10

    4)  ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  x6  ¬x7  ¬x8  x9  ¬x10

    №8. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    2)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    3)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    4) ¬x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №9. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    Укажите минимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x3 ¬х5 совпадает с F.

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 13] и Q = [7, 17]. Выберите такой отрезок A, что формула

    ( (x  А) → (x  P) ) \/ ¬(x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [5, 20]        2) [10, 25]        3) [15, 30]        4)[20, 35]



    Предварительный просмотр:

    Оглавление

    Изучение материала необходимо начинать с главы  6 (Основные понятия логики)

    Оглавление        1

    1. Элементы математической логики        2

    1.1. Что такое логика        2

    1.2. Основные логические связки (операции)        2

    1.3.Таблицы истинности логических операций        2

    1.3.1. Логическое отрицание        2

    1.3.2. Логическое умножение (конъюнкция)        2

    1.3.3. Логическое сложение (дизъюнкция)        2

    1.3.4. Отрицания математических неравенств        3

    1.3.5. Логический вывод (импликация)        3

    1.3.6. Основные логические соотношения (тождества)        3

    1.4. Законы логики. Упрощение логических выражений.        4

    1.5. Примеры и упражнения.        5

    1.5.1. Логические операции и таблицы истинности        5

    1.5.2. Законы логики. Высказывания        6

    2. От математической логики к построению логических схем        8

    2. 1. Преобразователь. Логический элемент.        8

    2.2.  Принцип построения  логических схем        9

    2.2.1. Элементы логики        9

    2.2.2. Правила при конструировании логической схемы        11

    3. Основные логические элементы, реализующие логические операции:        12

    3.1.  ИНВЕРТОР        12

    3.2 КОНЪЮНКТОР        12

    3.3.  ДИЗЪЮНКТОР        12

    3.4.        Логические элементы “И-НЕ”, “ИЛИ-НЕ”        12

    3.5. Функциональные схемы и структурные формулы логических устройств        13

    3.5.1. Задачи        13

    4. Типовые логические устройства ЭВМ        14

    4.1. Сумматоры        14

    4.2. Одноразрядный полусумматор:        14

    4.3. Одноразрядный сумматор на три входа        16

    4.4. Триггер        17

    4.4.1. RS-триггер.        17

    4.4.2. Т-триггер.        18

    4.5. Понятие о регистре        18

    5. Архитектура ЭВМ        18

    6. Логика и ее основные понятия        20

    6.1. Понятие о логике как о науке        20

    6.1.1. Понятие        20

    6.1.2. Суждение        20

    6.1.3. Умозаключение        20

    6.2. Формальная логика        21

    6.3. Этапы развития логики        21

    6.2. Математическая логика        21

    6.2.1. Основные понятия        21

    6.3. Алгебра логики        22

    6.3.1. Основные понятия        22

    6.3.2. Логические операции        22

    7. Роль математической логики в создании ЭВМ        23


     1. Элементы математической логики

    1.1. Что такое логика

    Логика — наука, изучающая технику суждений и рассуждений.

    Разделы логики: формальная; математическая; компьютерная; диалектическая.

    Формальная логика — дисциплина, изучающая особенности человеческих суждений и рассуждений.

    Математическая логика — дисциплина, изучающая технику математических теорий и доказательств.

    Диалектическая логика — логика, изучающая закономерности процессов, развивающихся в природе, обществе и сознании.

    Компьютерная логика — логика поведения компьютеров при решении ими некоторых задач.

    1.2. Основные логические связки (операции)

    и

    конъюнкция

    А и В

    или

    дизъюнкция

    А или В

    не

    отрицание

    не А

    1.3.Таблицы истинности логических операций

    1.3.1. Логическое отрицание

    связка НЕ

    А

    не А

    1

    да

    нет

    2

    нет

    да

    НЕ1: отрицание истинно, когда исходное суждение ложно.

    НЕ2: отрицание ложно, когда исходное суждение истинно.

    1.3.2. Логическое умножение (конъюнкция)

         связка И

    А

    В

    А и В

    (конъюнкция)         1

    да

    да

    да

    2

    да

    нет

    нет

    2

    нет

    да

    нет

    2

    нет

    нет

    нет

    И1: Конъюнкция А и В истинна, когда истинны оба суждения.

    И2: Конъюнкция А и В ложна, когда ложно суждение А или В.

    1.3.3. Логическое сложение (дизъюнкция)

    связка ИЛИ

    А

    В

    А или В

    (дизъюнкция)         1

    да

    да

    да

    1

    да

    нет

    да

    1

    нет

    да

    да

    2

    нет

    нет

    нет

    ИЛИ1: дизъюнкция А или В истинна, когда истинно хотя бы одно из суждений
                        А или В.

    ИЛИ2: дизъюнкция А или В ложна, когда ложны оба суждения А и В.

    1.3.4. Отрицания математических неравенств

    А ≡ В (  А тождественно В )

    А

    В

    не (х=0)

    (х≠0)

    не (х≠0)

    (х=0)

    не (х>0)

    (х≤0)

    не (х<0)

    (х≥0)

    не (х≥0)

    (х<0)

    не (х≤0)

    (х>0)

    Задача: Дать ответ: тождественны ли следующие формулы:
                               
                                             не (А и В) и не (А или В)

    А

    В

    не (А и В)

    А

    В

    не (А или В)

    да

    да

    нет

    =

    да

    да

    нет

    да

    нет

    да

    да

    нет

    нет

    нет

    да

    да

    нет

    да

    нет

    нет

    нет

    да

    =

    нет

    нет

    да

    Ответ: оба логических выражения не тождественны, т.к. нет полного равенства ситуаций результатов.

    1.3.5. Логический вывод (импликация)

    P → S

    Здесь Р называется посылкой, а S — следствием логического вывода.

    P

    S

    P → S

    2

    да

    да

    да

    1

    да

    нет

    нет

    2

    нет

    да

    да

    2

    нет

    нет

    да

    П1: Импликация P → S ложна, когда посылка Р истинна, а следствие S — ложно.

    П2: Импликация P → S истинна, когда истинно следствие,
                                                                        либо ложны и следствие и посылка

    1.3.6. Основные логические соотношения (тождества)

    А и В

    В и А

    А или В

    В или А

    не (не А)

    А

    не (А и В)

    (не А) или (не В)

    не ( А или В)

    (не А) и (не В)

    А B 

    (не А) или В

    1.4. Законы логики. Упрощение логических выражений.

    Если у двух логических функций совпадают таблицы истинности, т.е. на всех наборах значений входных переменных они принимают одинаковое значение, то их называют равносильными или эквивалентными. Это обозначается знаком =.

    A v B ∧  C  =  A  v ( B ∧C )

    Логические функции, истинные на всех наборах значений входных переменных, называются  тождественно-истинными.

    Логические функции, ложные на всех наборах значений входных переменных, называются тождественно-ложными.

    F = A ∧ 0  = 0 — тождественно-ложная функция

    F = A  v  1 = 1 — тождественно-истинная функция

    Учитывая определения логических функция, можно выделить ряд свойств, позволяющих упростить логическое выражение:

    Свойства логических операций:

    Конъюнкция

    Дизъюнкция

    Инверсия

    А  ∧•A = 0

    A  v •A = 1

      _

    •A = A

    А  ∧  A = A

    A  v  A  = A

    А  ∧  1 =  A

    A  v   1  = 1

    А  ∧  0 =  0

    A  v   0  = A

    Примеры (упростить выражения и отметить тожд.-лож. и тожд.-истинные ф-ции):

     B v A ∧ •A = B v 0  = B

    C  v ( B  v•B) = C  v 1 = 1

     

    - тождественно-истинная функция

    (A v •A) ∧ B ∧  C  = 1 ∧  B ∧  C  = B ∧  C

    B ∧ ( C  ∧ •C ) ∧ D = B  ∧  0  ∧ D  = 0

    - тождественно-ложная функция

    Четыре основных закона логики

    Логические выражения

    Алгебраические выражения

    (аналог)

    Переместительный закон

    A  v B = B v A

    a + b = b + a

    A ∧ B = B ∧ A

    a * b = b * a

    Сочетательный закон

    (A v B) v C = A v (B v C)

    (a + b) + c = a + (b + c)

    (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)

    (a * b) * c = a * (b * c)

    Распределительный закон

    (AvB) ∧ C=(A∧C) v (B∧C)

    (a+b)*c = (a*c) + (b*c)

    (A ∧ C)  ∧ (B v C)

    аналога нет

    Закон инверсии или формулы де Моргана

    A v B =  •A ∧•B

    аналога нет

    A  ∧ B = •A  v•B

    аналога нет

    Формулы склеивания

    (A ∧ B) v (A ∧•B) = A

    (A v B) ∧ (A  v•B) = A

    Формулы поглощения

    A v (•A ∧ B ) = A

    A ∧ (A v B ) = A

    A v (•A ∧ B ) = A v B

    A ∧ (•A v B ) = A ∧ B

    1.5. Примеры и упражнения.

    1.5.1. Логические операции и таблицы истинности

    Пример 1

    Заполните таблицу, соответствующую сложным высказываниям:    

                              А и В; А или В; не (А и В)

    Решение

    A

    B

     А и В 

    А или В

    не (А и В)

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    Задачи

    1. Выпишите все формулы (начиная с элементарных и затем переходя ко все более сложным), входящие в формулы: -          (А или В) и (С или D)

                              -          ( не (А или В)) и (не C или D))

    2. Для каждой из трех формул придумайте по два высказывания:

    - не В или С

    и С ) или ( не А )

    3. Рассмотрим систему водопровода, каждая из которых снабжена кранами А и В. Краны могут находиться в одном из двух состояний, открыт — 1, закрыт — 0. Опишите зависимость состояния этой системы от возможных состояний кранов:

    - параллельное соединение                        - последовательное соединение

                       А

                                                                                     А                        В

                     

                     

                       В

    4. Постройте таблицы истинности для высказываний:

    - не А и В

    - не А и не В

    - не (А и В)

    - (А и В) или С

    - (А или (В и С))

    - (А или В) и (А или С)

    - не и В и С)

    1.5.2. Законы логики. Высказывания

    Пример 1

    Докажите законы поглощения:

    1. и или В)) = А
    2. или (А и В)) = А

    Решение.

    А

    В

    А или В

    и (А или В))

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    А

    В

    А и В

    А или (А и В)

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    Результирующий столбец совпадает со значением А при всевозможных сочетаниях значений А, В.

    Пример 2

    Упростите выражение (А и В и С) или (А и В и ( не С))

    Решение

    и В и С) или (А и В и ( С )) =

                             = (А и В) и (С или (не С))  = А и В

    Проверка правильности выполняется составлением таблицы истинности. Совпадение значений в двух последних столбцах доказывает правильность проведенных преобразований

    А

    В

    С

    А и В и С

    А и В и (не С)

    (А и В и С) или

    (А и В и (не С)

    А и В

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    Упражнения

    1. В соответствии с законами логики определите значения высказываний:

    1. в соседней комнате сейчас находится какой-то человек или неверно, что в соседней комнате сейчас находится какой-то человек;
    2. неверно, что на столе лежит ручка или на столе лежит карандаш;
    3. завтра будет вьюга и будет дождь или завтра не будет вьюги и будет дождь;
    4.  не является истинным, что Юра этого не делал.

    2. Используя законы логики, упростите выражения:

    1.   (А или (В и А))
    2.  (С или и В) или (не А и В))
    3.   (не А) и (не (А или В))

    3. Каждую из приведенных формул упростите так, чтобы знак отрицания был отнесен только к простым высказываниям:

    1. не(не А или В)
    2. не ((А или В) и (не С)
    3. не (А и (не В) или (не С))

    4. Упростить приведенные формулы с помощью закона поглощения

    1.  (А и (А или В) и (А или С)
    2.  (А1 и А2) или (А1 и А2 и А3) или А1 или А2 или (А1 и А4В)

    5. Упростить выражения

    1.  (А или В и С) или (А или В и не С)
    2.  (А или В или С) и (А или не В или С)

    6. При составлении расписания уроков на понедельник учителя просили, чтобы их уроки в одном классе были: математик — первым и вторым, историк — первым или третьим, физик — вторым или третьим. Можно ли удовлетворить просьбы всех учителей?

    7. Применяя законы логики, упростите выражения:

    1.  не (А и не В) или не А и не (А или не (не А или В))
    2.  не (А и В) или не А и В и С) и (не А или не ((А и В) или не В))
    3.  (А и не В и С) или и не (В и С)) или (А и В и С) или (А и не В)


    2. От математической логики к построению логических схем

    2. 1. Преобразователь. Логический элемент.

    Всякое устройство ЭВМ, выполняющее некоторое действие над двоичными числами 0 и 1, можно рассматривать как функциональный преобразователь, на входы которого подаются исходные двоичные числа (значения аргументов функций), а на выходах мы получаем двоичные числа — значения функций, реализующих указанное действия для этих аргументов.

    Преобразователь, который получая сигналы об истинности отдельных высказываний, обрабатывает их и в результате выдает значение логического отрицания, логической суммы или логического произведения этих высказываний, называется логическим элементом.

    Цифровой сигнал

    — это сигнал, который может принимать только одно из двух установленных значений.

    Физическая природа сигнала может быть самой различной. Сигналами могут считаться, например, появление на выходе преобразователя напряжения, силы тока или давления воздуха определенной величины, включение лампы или звонка, нажатие кнопки, срабатывание электромагнитного реле и другие изменения в электрической цепи. При этом обязательно надо, чтобы имелось два существенно различных состояния некоторой физической величины, моделирующие истинность и ложность логических высказываний.

    В большинстве схем преобразователей с электрической природой сигнала принято, что появление на выходе электрической цепи напряжения в пределах от +2.4В до +5В соответствует появлению сигнала, равного 1 (высокий уровень цифрового сигнала), если же напряжение не превышает +0,5В, то сигнал принимают равным 0  (низкий уровень сигнала). Уровни между +0.5 и +2.4В считаются неопределенными.

    Простейшие преобразователи информации

    Использование контактных элементов для построения логических схем ЭВМ не оправдало себя ввиду их низкой надежности, больших габаритов, большого энергопотребления и низкого быстродействия. Появление электронных приборов (вакуумных и полупроводниковых) создало возможность построения логических элементов с быстродействием от 1 млн. переключений в секунду и выше. Логические элементы на полупроводниках работают в режиме ключа аналогично электромагнитному реле. Логические элементы на полупроводниках характеризуются не состоянием контактов, а наличием сигналов (импульсов)  на входе и выходе.

    Логические схемы на полупроводниках

    Логическая схема устройства строится на основе объединения электронных элементов (диод-транзистор) в одну интегральную схему. Эти элементы реализуют конкретные логические операции и носят название  ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ. На вход каждого элемента подаются сигналы, называемые входными. Если есть сигнал ⎯ значит 1, если нет сигнала — 0. Каждая логическая схема реализует определенную логическую функцию, и при подаче на ее вход строго определенной комбинации входных сигналов мы должны получить на выходе вполне определенный результат: 0 или 1.

    2.2.  Принцип построения  логических схем

    2.2.1. Элементы логики

    Использование 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и функцией в математической логике и цифрами в двоичной системе счисления. Это позволяет описывать работу логических схем ПК и проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики.

    Любое устройство ПК, выполняющее действия над двоичными числами, можно рассмотреть как некоторый функциональный преобразователь.

    X

    Y                                                                 F(X, Y, Z)

    Z

                                                                                                                                                   

    Причем числа на входе — значения входных логических переменных, а число на выходе — значение логической функции, которое получено в результате выполнения определенных операций. Таким образом, этот преобразователь реализует некоторую логическую функцию.

    Значение логической функции для разных сочетаний значений входных переменных — или, как это иначе называют, наборов входных переменных — обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности.

    Количество наборов входных переменных Q можно определить по формуле:

                             Q = 2n ,            где n — количество входных переменных.

    В алгебре высказываний, как в обычной алгебре, вводится ряд операций. Связки И, ИЛИ и НЕ заменяются логическими операциями: конъюнкцией (И), дизъюнкцией (ИЛИ) и инверсией (НЕ — логическое отрицание). Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любую логическую функцию.

    Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ

    1.  соответствует союзу И
    2.  обозначается знаками ^, &
    3.  иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ
    4.  конъюнкция двух логических переменных истинна  тогда и только тогда,     когда  оба высказывания истинны.

                                      Таблица истинности:

    связка И

    А

    В

    А & В

    (конъюнкция)

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    A & B & C = 1, только если  A = 1, B = 1, C = 1.

    Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ

    1.  соответствует союзу ИЛИ
    2.  обозначается знаком v 
    3.  иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ
    4.  дизъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда,     когда оба высказывания истинны.

                                      

                                       Таблица истинности:

    связка ИЛИ

    А

    В

    А v В

    (дизъюнкция)        

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A v B v C = 0 , только если A=0, B=0, C=0.  

    Логическая операция ИНВЕРСИЯ

    1.  соответствует частице НЕ
    2.  обозначается черточкой над именем переменной (•A ) или знаком ¬ (¬A)
    3.  иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ
    4.  инверсия логической истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот,     инверсия ложна, если переменная истинна.

                                                   Таблица истинности:

    связка НЕ

    А

    неА

    0

    1

    1

    0

    Приоритет логических операций:

    1

    ИНВЕРСИЯ (отрицание)

    как в алгебре

    унарный минус (-a)

    2

    КОНЪЮНКЦИЯ (умножение)

    выражение:

    b/c

    3

    ДИЗЪЮНКЦИЯ (сложение)

    -a + b / c - d

    +  ,  -

    По формуле логической функции можно легко рассчитать ее таблицу истинности. Необходимо только учитывать порядок выполнения логических операций (приоритет) и скобки. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок.

    Задача:          Определить таблицу истинности логической функции:

                                                                                       F (A, B, C)  =    A  (•C   B )

    Решение:

    1. определить количество строк в таблице по формуле:  Q = 23 = 8
    2. определить количество логических операций (3) и последовательность их выполнения
    3. определить количество столбцов в таблице: три переменные + три логические операции = 6

    A

    B

    C

    C

    •C  ∧ B

    A ∨ (•C ∧ B )

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1


    2.2.2. Правила при конструировании логической схемы

    Математическая логика с развитием ВТ оказалась в тесной взаимосвязи с вопросами конструирования и программирования ВТ. Алгебра логики нашла широкое применение первоначально при разработке релейно-контактных схем.

    Первым фундаментальным исследованием, обратившим внимание инженеров, занимавшихся проектированием ЭВМ, на возможность анализа электрических цепей с помощью булевой алгебры была опубликована в декабре 1938 года статья американца Клода Шеннона “Символический анализ релейно-контактных схем”. После этой статьи проектирование ЭВМ не обходилось без применения булевой алгебры. Роль ключа в схемах вначале играли электромеханические реле, затем использовались электронные лампы и транзисторы. Развитие технологии позволило объединять несколько логических элементов на одной интегральной схеме.

    Рассмотрим, как применяется алгебра высказываний при конструировании устройств.

    Задача.

    Пусть в некотором конкурсе решается вопрос о допуске того или иного участника к следующему туру тремя членами жюри: P, Q, R. Решение положительно тогда и только тогда, когда хотя бы двое членов жюри высказываются за допуск, причем среди них обязательно должен быть председатель жюри  Q.  
    Необходимо  разработать усторойство для голосования, в котором каждый член жюри нажимает на одну из двух кнопок: “За” или “Против”, а результат голосования всех трех членов жюри определяется по тому, загорится (решение принято)  или нет (решение не принято) сигнальная лампочка.

    Формально это можно выразить так: требуется составить функциональную схему устройства, которое на выходе выдавало бы 1, если участник допускается ка следующему туру, и 0, если не допускается.

    Решение.

    Работу жюри можно легко представить в виде таблицы истинности:

    P

    Q

    R

    F(P,Q,R)

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    Итак, чтобы сконструировать устройство, мы должны знать:

    1.  каким образом следует реализовать логические значения 0 и 1 в виде электрических сигналов на входе и выходе устройства
    1.  каким образом описать работу этого устройства: в виде формулы, схемы, таблицы истинности
    2.  существует ли алгоритм, позволяющий по известной таблице истинности
    3. построить схему устройства
    4.  из каких элементов должно состоять устройство.

    Постановка подобных вопросов и поиск ответов на них привели к построению простейших преобразователей информации, составляющих основу любой вычислительной машины.


    3. Основные логические элементы, реализующие логические операции:

    3.1.  ИНВЕРТОР

     — реализует операцию отрицания или инверсию.

                         X                                                        •X

    У инвертора один вход и один выход. Сигнал на выходе появляется тогда, когда на входе его нет,  наоборот.

    Физически это можно реализовать при помощи специальной магнитной защелки. Когда ток в цепи есть, защелка срабатывает и размыкает соединение. Когда тока в цепи нет, контакты примагничиваются и цепь становится замкнутой.

    3.2 КОНЪЮНКТОР

     — реализует операцию конъюнкции (логического умножения).

                    X1      

                    X2                           &

                    X3                                                               X1 ∧ X2 ∧   . . . ∧Xn

                   . . .

                    Xn   

    У конъюнктора один выход и не менее двух входов. Сигнал на выходе появляется тогда и только тогда, когда на все входы поданы сигналы.

    Известным примером последовательного соединения проводников является елочная гирлянда: она горит, когда все лампочки исправны. Если хотя бы одна лампочка перегорела, то гирлянда не работает.

    3.3.  ДИЗЪЮНКТОР

    • реализует операцию дизъюнкции (логического сложения).

                    X1      

                    X2                           1

                    X3                                                              X1 ∨  X2  ∨ . . . ∨ Xn

                   . . .

                    Xn   

    У дизъюнктора один выход и не менее двух входов. Сигнал на выходе не появляется тогда и только тогда, когда на все входы не поданы сигналы.

    Примером параллельного соединения проводников является многорожковая люстра: она не работает только в том случае, когда перегорели все лампочки сразу.

    1. Логические элементы “И-НЕ”, “ИЛИ-НЕ”

                И-НЕ                                                            ИЛИ-НЕ

    X                                                                        X

                  &                 X&Y                                            1                     X vY

    Y                                                                         Y

                                     

    Наряду с основными тремя схемами часто используются комбинированные логические элементы “И-НЕ” и “ИЛИ-НЕ”, реализующие соответственно отрицание конъюнкции и отрицание дизъюнкции.

    3.5. Функциональные схемы и структурные формулы логических устройств

    Выход одного логического элемента можно соединить с входом другого логического элемента и таким образом получить схемы-цепочки из отдельных логических элементов.

    Логическое устройство — цепочка из логических элементов, в которой выходы одних элементов являются входами других.

    Функциональная схема — схема  соединения логических элементов, реализующая логическую функцию.

    Формой описания функции, реализуемой логическим устройством, является структурная формула.

    3.5.1. Задачи

    Задача 1

    Определить структурную формулу по заданной функциональной схеме:

    X         1                             

                                                                        F(X,Y)

    Y

    Ответ: F(X,Y) =  XvY

    Задача 2

    Дана структурная формула: F(X,Y) =     X&Y . Определить функц. схему.

    Ответ:

         X         &

                                                                               F(X,Y) = X&Y

        Y

    Задача 3

    Дана структурная формула:      F(X,Y,Z)  =  (X и Y) или Z

    Ответ:

         X

                    &          X  и Y         1          F(X,Y,Z) = (X и Y) или Z

         Y

        Z

    4. Типовые логические устройства ЭВМ

    • сумматоры
    • полусумматоры
    • триггеры
    • счетчики
    • регистры
    • шифраторы
    • дешифраторы

    Интегральная  схема (микросхема) — микроминиатюрное электронное устройство, элементы которого (диод, транзистор) связаны (объединены)  конструктивно, технологически и электрически. По способу интеграции их различают: полупроводниковые (монолитные), многокристальные, пленочные и др.

    4.1. Сумматоры

    Сумматор является основным узлом арифметико-логического устройства ЭВМ и служит для суммирования чисел посредством поразрядного сложения.

    — выполняет сложение многозначных двоичных чисел.

    — представляет собой последовательное соединение одноразрядных двоичных сумматоров, каждый из которых осуществляет сложение в одном разряде. При этом если сумма двух цифр в данном разряде больше или равна основанию используемой системы счисления, то возникает перенос (Pj, j=1, ..., n-1 на схеме) старшего разряда в соседний сумматор.

    Xn  Yn                                        Xi   Yi                                      X2   Y2                X1  Y1

                                                                                                                                                           

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 PN-1                 PI                      PI-1                P                          P1                                                                                                                                                                        

    Sn                                                Si                                              S2                        S1

    Одноразрядный сумматор должен иметь два выхода: для суммы и для переносимого значения. У него может быть два  (на схеме крайний правый сумматор) или три ( для складываемых значений и значения переноса) входа.

    Одноразрядный двоичный сумматор на два входа и два выхода называется одноразрядным полусумматором.

    Одноразрядный двоичный сумматор на три входа и два выхода называется одноразрядным сумматором на три входа.

    4.2. Одноразрядный полусумматор:

                                                                X    Y

                                                  P

                                                                             

                                                                           S

    В двоичной системе счисления операция сложения двух двоичных чисел в одном разряде осуществляется по правилу:

    X

    Y

    P(перенос)

    S(сумма)

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    Из таблицы видно, что данная таблица будет иметь следующие структурные формулы:

    P(X,Y)= X&Y

                            S=(X & Y) & (X ∨ Y)

    и соответствующую функциональную схему

                              &           1                                                                                                           P                                                                                                                                                  4   

                                                                                        3

                                                                                                                         &                              S

                                                                                                                                                     5

                                                 2

    Y

    Проверим правильность построения схемы, описав работу полученного логического устройства  с помощью таблицы истинности:

    Входы

    Выходы

    X

    Y

    1

    2

    3

    4

    5

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

                   

    Из таблицы видно, что значения на выходах 4 и 5 соответствуют значениям переноса и суммы при сложении двоичных чисел.


    4.3. Одноразрядный сумматор на три входа

    Условное обозначение:                                 Таблица истинности:                                                

    X

    Y

    P

    Q

    S

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

                    X       Y      

                                         P          

             Q    

                             S

    Одноразрядный сумматор есть устройство с тремя входами X, Y, P и двумя выходами Q и S. Через входы X, Y он воспринимает двоичные цифры — слагаемые в данном разряде. Через вход P — двоичную цифру — перенос из младшего разряда. На выход S  сумматор выдает сумму в данном разряде, на выход Q — значение переноса в старший разряд.

    Q (X,Y,P) = •X & Y & P v X  &•Y & P v X & Y & •P v X & Y & P

    S(X,Y,P) = •X &•Y & P v•X & Y & •P v X &•Y &•P v X & Y & P

    Опуская правила приведения получаем следующие структурные формулы и функциональную схему одноразрядного сумматора на три входа:

    Q = X&Y v X&P v Y&P

    S = (•Q v X & Y & P ) & (X v Y v P) = •Q & (X v Y  v P) v X & Y & P

    Обратим внимание на то, что формулы симметричны относительно  X, Y, P. Это значит, что сумматор не отдает предпочтения никакому входу.


    4.4. Триггер

    Триггеры являются основными элементами цифровой техники, их используют в качестве запоминающих ячеек автоматических вычислительных устройств.

    Триггер имеет два устойчивых состояния, в каждом из которых он может находиться до тех пор, пока под действием внешнего сигнала не будет переведен в другое состояние.

    Триггер — устройство, которое может запоминать сигналы 0 и 1, демонстрировать их, а в случае необходимости и забывать.

    Механическим аналогом триггера является обычный выключатель или тумблер, который может находиться только в двух положениях — включенном и выключенном.

    Рассмотрим работу двух типов триггеров: RS-триггера и Т-триггера, имеющих широкое применение    

    4.4.1. RS-триггер.

    Условное обозначение:                                          Функциональная схема:

    Простейший триггер состоит из двух элементов «И-НЕ», входы и выходы которых соединены кольцом: выход первого соединен со входом второго и выход второго — со входом первого. При этом получается устройство с двумя устойчивыми состояниями. Один вход обозначается буквой S (от английского слова «set», означающего «установка»), а другой — буквой R (от английского слова «reset» — «переустановка» или «сброс»).

    Принцип работы RS-триггера иллюстрирует следующая таблица истинности:

    Режим работы

    Входы

    Выходы

    S

    R

    Q

    •Q

    Влияние на выход Q

    Запрещенное состояние

    0

    0

    1

    1

    Запрещено — не используется

    Установка

    0

    1

    1

    0

    Для установки Q в 1

    Сброс

    1

    0

    0

    1

    Для установки Q в 0

    Хранение

    1

    1

    Q

    •Q

    Зависит от предыдущего состояния

    При подаче на оба входа триггера логического нуля (S = R = 0) на обоих выходах должна установиться логическая единица. Это запрещенное состояние триггера; оно не используется.

    При S=0 и R=1 на выходе Q устанавливается логическая единица, в этом случае говорят, что триггер установлен в состояние 1.

    При S = 1 и R= 0 происходит сброс сигнала на выходе Q — на нем устанавливается логический ноль. Говорят, что триггер установлен в состояние 0.

    При S = R = 1 триггер находится в состоянии покоя — это режим хранения, т. е. на выходах Q и Q остаются прежние значения сигнала.

    4.4.2. Т-триггер.

    Условное обозначение:

    Т-триггер получил название от английского слова «tumble» — «опрокидываться» или «кувыркаться», от этого же слова происходит название «тумблер». Т-триггер называют также счетным триггером, так как он используется для счета импульсов.

    Триггер имеет один счетный вход обозначаемый буквой Т, и два выхода — прямой Q и инверсныйQ. Под действием сигналов, поступающих на счетный вход, триггер меняет свое состояние с нулевого на единичное и наоборот. Количество перебрасываний точно соответствует количеству поступивших сигналов.

    Если специальным образом последовательно соединить несколько Т-триггеров, то получится электронный счетчик.

    4.5. Понятие о регистре

    Триггер запоминает один разряд двоичного числа.

    Для запоминания и демонстрации n-разрядного двоичного числа необходимо  

    n-триггеров, совокупность которых называется n-разрядным регистром.

    Например, для запоминания одного байта потребуется 8 триггеров. Оперативная память ЭВМ часто конструируется в виде набора регистров. Как правило, один регистр образует одну ячейку памяти, каждая ячейка имеет свой номер.

    ЭВМ состоит из огромного числа отдельных логических элементов, образующих все ее устройства.

    5. Архитектура ЭВМ

    Развитие вычислительной техники идет как по линии совершенствования элементной базы, реализующей основные логические элементы, так и по линии совершенствования архитектуры ЭВМ.

    Термин «архитектура» возник в середине 60-х гг., когда на рынке вычислительной техники появилось семейство IBM 360, совершившее настоящий переворот в технологии создания ЭВМ.

    Под архитектурой ЭВМ понимается:

    общая конфигурация основных устройств;

    основные возможности и характеристики устройств;

    взаимосвязи устройств компьютера.

    По сути, архитектура ЭВМ — это описание структуры соединения и взаимодействия устройств друг с другом, взаимодействия программного обеспечения с устройствами. Следовательно, программное обеспечение также «привязывается» к конкретной архитектуре ЭВМ.

    Архитектура ЭВМ — общее описание структуры и функций ЭВМ на уровне, достаточном для понимания принципов работы системы команд ЭВМ, но скрывающем детали ее технического и физического устройства.

    Пользователь ЭВМ, как правило, не интересуется тем, на каких элементах выполнены электронные схемы ЭВМ, последовательное или параллельное арифметическое устройство в ней используется, аппаратно или программно реализуются команды. Важно другое: если две ЭВМ имеют одинаковую архитектуру, то программа, составленная для одной из них, может быть выполнена и на другой.

    Все устройства ЭВМ (процессор, оперативная память, контроллеры и т. д.) состоят из типовых логических устройств (сумматоров, триггеров, шифраторов и дешифраторов), работающих на основании аппарата математической логики. Чтобы они могли совместно работать, необходима их совместимость на уровне логических элементов. Если такая совместимость есть, то компьютер можно собрать из отдельных узлов, произведенных разными фирмами, специализирующимися на разработке и выпуске определенного вида устройств, что чаще всего и наблюдается на практике.

    Говорят, что устройства совместимы, если они поддерживают одну и ту же архитектуру.

    В машинах семейств IBM 360 и ЕС, как и в последующих персональных ЭВМ, был реализован принцип совмещения «снизу вверх». Программа, написанная для менее мощной машины, могла выполняться и на более мощной ЭВМ. Для вычислительных машин первых четырех поколений центральной частью архитектуры, тем каркасом, на котором держалось все «здание» машины, является процессор.

    Джон фон Нейман — творец этой архитектуры — исходил из того, что ЭВМ предназначены для автоматизации решения задач вычислительного характера, в которых основная масса операций связана со счетом.

    Архитектура первых двух поколений ЭВМ с последовательным выполнением команд в программе получила название «фон-неймановской архитектуры ЭВМ».

    В основу современных компьютеров положен принцип «открытой архитектуры», который позволяет каждому пользователю установить дополнительно сопроцессор, увеличить оперативную память, кэш-память, заменить основную плату и другое, т. е. создать компьютер необходимой конфигурации, сохранив корпус, монитор, все контроллеры и накопители.

    Современная микроэлектроника, ориентирующаяся на сверхбольшие интегральные схемы (СБИС), позволяющие строить на одном кристалле микропроцессоры и микроЭВМ, по новому поставила проблему архитектуры ЭВМ. Дело в том, что архитектура ЭВМ неразрывно связана и разрабатывается одновременно с технологией изготовления больших и сверхбольших интегральных схем. И делается это при помощи систем автоматизированного проектирования (САПР), которые позволяют найти оптимальную архитектуру ЭВМ с учетом всех особенностей ее реализации в одной или нескольких сверхбольших интегральных микросхемах.


    6. Логика и ее основные понятия

    6.1. Понятие о логике как о науке

    Слово логика означает как совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления, так и науку о правилах рассуждений. Логика, как наука о законах и формах мышления изучает абстрактное мышление как средство познания объектного мира.

    Основными формам абстрактного мышления являются:

    • Понятие
    • Суждения
    • Умозаключения

    6.1.1. Понятие

    • форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов: человек, автомобиль, ураганный ветер.

    Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе достаточны, чтобы с их помощью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и сделать обобщение, объединив однородные предметы во множество.

    • имеет две основные характеристики: содержание и объем.
    • Содержание понятия – совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии.
    • Объем понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия (количество элементов множества).

    6.1.2. Суждение

    • мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах. Суждения являются истинными или ложными повествовательными предложениями. Они могут быть простыми и сложными.
    • Содержание суждения – это то, о чем в нем идет речь, его смысл.
      Одно и то же суждение разными людьми может восприниматься как истинное или ложное в зависимости от из взглядов, жизненного опыта, особенностей национальной культуры, воспитания, образования и т.д.
    • Логическая форма суждения – это его строение, способ связи его составных частей. Форма суждения, в отличие от его содержания, объективна, т.е. не зависит от тех ли иных взглядов того или иного человека.

    Примеры суждений:

    1. Этот апельсин вкусный.
    2. Если прошел дождь, то на улице весна.
    3. На Луне живут лунатики, а на Марсе – марсиане.
    4. Весна наступила. Грачи прилетели.
    5. Весна наступила, и грачи прилетели.

    6.1.3. Умозаключение

    • Форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение (вывод умозаключения).  
    • Посылками умозаключения по правилам логики могут быть только истинные суждения.
      Еще  в древности было известно рассуждение, ставшее классическим образцом верного логического умозаключения:

    Все люди смертны.

    Сократ – человек.

    Сократ смертен.

    Чтобы достичь истины при помощи умозаключений, надо соблюдать законы логики.

    6.2. Формальная логика

    • наука о законах, правилах  и формах мышления, которые помогают анализировать правильность рассуждений, оценивать истинность полученных заключений. Логика изучает формы мышления с точки зрения их структуры, законы и правила получения выводного знания. Логика также изучает общие логические приемы, используемые человеком при познании действительности.
    • Связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком.

    6.3. Этапы развития логики

    1-ый этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 гг. до н. э.). Он пытался найти ответ на вопрос “как мы рассуждаем”, изучал правила мышления; впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика.

    У истоков современной логики стоит Готфрид Вильгельм Лейбниц (Германия, 1646 – 1716), выдвинувший идею представить логическое доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике. Он же обосновал необходимость создания универсального логического языка, который, в отличие от естественного языка, мог бы точно и однозначно выражать различные понятия и отношения. Лейбниц разработал своего рада алгебру человеческого мышления, позволяющую получать из уже известных истин новые истины путем точных вычислений, т.е. он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками и привел соответствующие правила.

    Эту идею окончательно развил англичанин Джордж Буль (1815-1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику. Недаром начальный раздел математической логики называют алгеброй логики или булевой алгеброй. В 1948 г. Д. Буль заложил основы алгебры логики (алгебры высказываний), поставив в соответствие истинному и ложному значениям числа 1 и 0.

    6.2. Математическая логика

    6.2.1. Основные понятия

    • Раздел общей логики. Простейшим разделом М.Л. является: исчисление высказываний, в котором рассматриваются сложные предложения, получающиеся из предложений, принимаемых за элементарные (простые) высказывания, путем присоединения к ним частицы

    - НЕ или

    • путем соединения их в пары с помощью союзов И , ИЛИ, Равнозначно и Если…то

    Подобно тому, как в математике рассматриваются числа, которые могут быть значениями величин (математических), так в математической логике рассматриваются два объекта ИСТИНА и ЛОЖЬ, которые могут быть значениями логических величин.

    Элементарное (простое) высказывание – всякое предложение, для которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности, рассматриваемое в целом (т.е. без учета его внутренней структуры и содержания).

    Элементарное высказывание признается таковым, только если оно обладает единственным логическим значением:  ИСТИНА или ЛОЖЬ.

    Сложное высказывание состоит из нескольких связанных логикой простых высказываний.
    В сложном высказывании применяются:

    • буквы, обозначающие элементарные высказывания
    • знаки логических связей
    • скобки, определяющие строение сложных высказываний

    Пример:        -10 < X < 10

                (x<10) И (x>-10)

                           A = x<10

          B = x >-10, где A и B – элементарные высказывания.

    6.3. Алгебра логики

    6.3.1. Основные понятия

    Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

    Обозначать высказывания будем прописными буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить, что «А – истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А =0» и говорить, что «А –  ложно».

    Примеры высказываний и предложений

    Не являющихся высказываниями:

    Являющихся высказываниями:

    Высказывание:

    1

    Солнце светит всем

    Истинное

    2

    Некоторые ученики любят физику

    Истинное

    3

    Посмотри в окно

    4

    X*X<0

    Ложное

    5

    Крокодилы летают очень низко

    5-ый пример показывает, что истинность или ложность высказывания не обязательно должна определяться здравым смыслом. Вопрос о том, что летают или не летают крокодилы, может волновать зоологов, но никак не логиков, т.к. им этот потрясающий факт безразличен. Логика как наука интересуется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний, которая не зависит от знаний, жизненного опыта человека и его субъективного отношения к тому, о чем говорится в высказывании, а устанавливается с помощью некоторых специально разработанных объективных методов.

    6.3.2. Логические операции

    В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (подобно тому как в алгебре чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над действительными числами). Логические операции в математической логике определяются таблицами истинности.

    Логическое отрицание (инверсия)

    Логическое отрицание образуется из высказывания с помощью добавления частицы НЕ к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что …».

    Обозначение инверсии:  НЕ А;  ¬А;  •А;   NOT А.

                                                            Таблица истинности:

    А

    •А

    0

    1

    1

    0

    Логическое умножение (конъюнкция)

    Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза И.

    Обозначение конъюнкции: A И B;  A  B;  A > B; A *B; A AND B.

    Таблица истинности:

    Смысл высказываний

    Значение высказывания:

    На автостоянке стоят Форд и Жигули

    A

    B

    A&B

    0

    0

    0

    Форд не стоит

    Жигули не стоят

    Ложь

    0

    1

    0

    Форд не стоит

    Жигули стоят

    Ложь

    1

    0

    0

    Форд  стоит

    Жигули не стоят

    Ложь

    1

    1

    1

    Форд стоит

    Жигули стоят

    Истина

    Логическое сложение (дизъюнкция)

    Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза ИЛИ.

    Обозначение конъюнкции: A ИЛИ B;  A ¬ B;  A ∨ B; A +B; A OR B.

    Таблица истинности:

    Смысл высказываний

    Значение высказывания:

    На автостоянке стоят Форд или Жигули

    A

    B

    AB

    0

    0

    0

    Форд не стоит

    Жигули не стоят

    Ложь

    0

    1

    0

    Форд не стоит

    Жигули стоят

    Истина

    1

    0

    0

    Форд  стоит

    Жигули не стоят

    Истина

    1

    1

    1

    Форд стоит

    Жигули стоят

    Истина

    7. Роль математической логики в создании ЭВМ

    Ценность теории определяется тем, насколько она применима на практике. Создание компьютеров стало возможным только тогда, когда нашли общую точку пересечения, совместились, наложились друг на друга различные теоретические  положения:

    1673 г. Годфрид Вильгельм Лейбниц выдвинул идею применения в логике математической символики, предложил использовать двоичную систему счисления для целей вычислительной математики.

    1848 г. Джордж Буль заложил основы алгебры логики (алгебры высказываний), поставив в соответствие истинному и ложному значениям числа 1 и 0.

    1890 г. Герман Холлерит создал счетно-аналитическую машину, в которой впервые для расчетов были использованы электричество и перфокарты.

    1938 г. Алан Мэтисон Тьюринг разработал теорию логических автоматов и доказал, что универсальная вычислительная машина теоретически возможна и ей по силам решение практически неограниченного числа различных задач.

    1945 г. Джон фон Нейман сформулировал основные принципы архитектуры ЭВМ, в которых обосновал использование двоичной системы счисления для представления информации в вычислительных машинах.

    Все началось с того, что ученые сначала предположили, что возможно построение электронных схем на базе математической логики, затем построили такие схемы. А теперь всевозможные электронные схемы лежат в основе вычислительных машин. Аппарат математической логики находит применение в вычислительной математике и в технике при конструировании сложных автоматических устройств. Алгебра высказываний применяется при синтезе релейно-контактных и электронных схем.

    Первым фундаментальным исследованием, обратившим внимание инженеров, занимавшихся проектированием ЭВМ, на возможность анализа электрических цепей с помощью булевой алгебры была опубликована в декабре 1938 года статья американца Клода Шеннона “Символический анализ релейно-контактных схем”. После этой статьи проектирование ЭВМ не обходилось без применения булевой алгебры. Роль ключа в схемах вначале играли электромеханические реле, затем использовались электронные лампы и транзисторы. Развитие технологии позволило объединять несколько логических элементов на одной интегральной схеме.

    Использование 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и функцией в математической логике и цифрами в двоичной системе счисления. Это позволяет описывать работу логических схем ПК и проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики.

    8. Двоичное кодирование и компьютер.

            В конце XX века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. Каким же образом осуществляется это хранение?

            Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Каждый такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа.

    Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом.  

                                            (n-1) –ый разряд                                                   0-ой разряд

                   

                                                   ячейка из n разрядов

           

            Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0.

            Если при записи чисел в ЭВМ мы хотим использовать обычную десятичную систему счисления, то мы должны уметь получать 10 устойчивых состояний для каждого разряда (как на счётах при помощи костяшек). Такие машины существуют. Однако конструкция элементов такой машины оказывается чрезвычайно сложной, что сказывается на надёжности и скорости работы ЭВМ. Наиболее надёжным и дешёвым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено – не намагничено, высокое напряжение – низкое напряжение и т. д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идёт именно в этом направлении.

            Следовательно, использование двоичной системы счисления в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин.


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Подписи к слайдам:

    Слайд 1

    «Основы логики и логические основы построения компьютера» Из опыта работы Ермаковой В. В., учителя информатики МБОУ СОШ № 19 города Белово Кемеровской области

    Слайд 2

    Процессор компьютера выполняет арифметические и логические операции над двоичными кодами. И поэтому чтобы иметь представление об устройстве компьютера, необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения. Для понимания принципа работы таких элементов изучим основные начальные понятия алгебры логики .

    Слайд 3

    Логика - это наука о формах и способах мышления. Термин «логика» происходит от древнегреческого logos , означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон» Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.

    Слайд 4

    Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Дальнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель , который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

    Слайд 5

    Алгебру логики так же называют алгеброй Буля, или булевой алгеброй, по имени английского математика Джорджа Буля, разработавшего в XIX веке ее основные положения.

    Слайд 6

    Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Понятие имеет две стороны: содержание и объём. Например, содержание понятия «персональный компьютер – это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя.» Объём понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров. Форма мышления

    Слайд 7

    Высказывание (суждение) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов, их свойствах и отношениях между ними . Высказывание могут принимать только два значения – Истина (обозначается 1 ) или Ложь (обозначается 0 ). Высказывания могут быть простыми и составными. Форма мышления

    Слайд 8

    Клубника растёт на деревьях. (ложь) или (0) Два умножить на два равно четырём. (истина) или (1) Все мальчики занимаются футболом. (ложь) или (0) Москва – столица России. (истина) или (1) Простые высказывания Форма мышления

    Слайд 9

    Простое высказывание состоит из одного высказывания и не содержит логической операции. Составное высказывание содержит высказывания, объединенные логическими операциями. Например, высказывание «Процессор является устройством обработки информации и принтер является устройством печати» является составным высказыванием, состоящим из двух простых, соединённых союзом «и».

    Слайд 10

    Сложные высказывания. В саду цветут астры и пионы. Катя любит писать сочинения или решать задачи. Земля движется по круговой или эллиптической орбите. Если на улице дождь, то асфальт мокрый. Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. Форма мышления

    Слайд 11

    Предикаты Высказывание состоит из понятий, и его можно сравнить с арифметическим выражением. В математической логике рассматриваются предикаты , т. е. функциональные зависимости от неопределённых понятий (терминов), которые можно сравнить с переменными в уравнении. В предикатах 1 порядка один из терминов является неопределённым понятием: « X – человек». В предикатах 2 порядка два термина неопределённы: « X любит Y ». В предикатах 3 порядка неопределённы три термина: « Z – сын X и Y » . Преобразуем в высказывания: «Сократ – человек»; «Ксантиппа любит Сократа»; «Софрониск – сын Сократа и Ксантиппы»

    Слайд 12

    Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний может быть получено новое высказывание. Форма мышления Например, если мы имеем высказывание «Все углы треугольника равны», то мы можем путём умозаключения доказать, что в этом случае справедливо высказывание «Это треугольник равносторонний».

    Слайд 13

    В качестве основных логических операций в составных высказываниях используются: НЕ ( логическое отрицание, инверсия ) ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция ) И (логическое умножение, конъюнкция ) Операция «ЕСЛИ - ТО» (логическое следование, импликация ) Операция «А тогда и только тогда, когда В» ( эквивалентность , равнозначность)

    Слайд 14

    Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности . Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Простые высказывания в алгебре логики обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C, D …

    Слайд 15

    Операция НЕ- логическое отрицание ( инверсия ) Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть простое и составное высказывание. Обозначение операции НЕ, Ā , not А, ¬ А. А Ā ложь истина истина ложь А Ā 0 1 1 0

    Слайд 16

    Логический элемент инверсия А Ā

    Слайд 17

    Операция ИЛИ – логическое сложение ( дизъюнкция нестрогая , объединение) Выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и составное высказывание. Обозначения операции: А или В, А or В, А V В. А В А V В 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

    Слайд 18

    Логический элемент дизъюнкция А В А V В 1

    Слайд 19

    Операция ИЛИ – логическое сложение ( дизъюнкция строгая ) Обозначения операции: А xor В, А  · В. А В А xor В 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

    Слайд 20

    Операция И – логическое умножение ( конъюнкция ) Выполняет функцию пересечение двух высказываний (аргументов), в качестве которого может быть и простое, и составное высказывание. Обозначения операции: А и В, А & В, А and В, А Λ В. А В А & В 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

    Слайд 21

    Логический элемент конъюнкция & А В А & В

    Слайд 22

    Операция «ЕСЛИ – ТО» - логическое следование ( импликация ) Связывает два простых высказывания, из которых первое является условием, а второе – следствием из этого условия. Обозначения операции: если А, то В; А влечет В; if A then B ; А -> В; А = > В А В Если А, то В 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

    Слайд 23

    Логический элемент импликация А Ā В А -> В 1

    Слайд 24

    Операция «А тогда и только тогда, когда В» ( эквивалентность , равнозначность) Обозначения операции: А ~ В, А <=> В, А Ξ В Результат операции эквивалентность истинен тогда и только тогда, когда А и В одновременно истины или ложны. А В А ~ В 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

    Слайд 25

    Логический элемент эквивалентность А < - > В А 1 & А В & А & В Ā& В Ā В В А < - > В А В В 1 1 А V В & ĀV В Ā А В

    Слайд 26

    Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения). Логическое выражение(формула) – содержит логические переменные, обозначающие высказывания, соединённые знаками логических операций.

    Слайд 27

    Приоритет логических высказываний действия в скобках инверсия конъюнкция дизъюнкция импликация эквивалентность Пример: U  (В ⇒ С) & D ⇔ Ū Порядок вычисления: 1) Ū 2) (В ⇒ С) 3) (В ⇒ С) & D 4) U  (В ⇒ С) & D 5) U  В ⇒ С & D ⇔ Ū

    Слайд 28

    Минипрактикум Даны простые высказывания : A = { Процессор – устройство для обработки информации } B={ Сканер – устройство вывода информации } C={ Монитор – устройство ввода информации } D={ Клавиатура – устройство вывода информации } Определите истинность логических выражений: (AVB) <=> (C&D); (A&B) -> (CVD); (AVB) -> (C&D); (A&B) <=> (CVD); (Ā -> B)&(CVD); (C <=> Ā)&B&D; (A&B)VC <=> (A&C)V(A&B); (AVB)VC -> (A&C&D)&(BVD) Проверка

    Слайд 29

    Правильные ответы (AVB) <=> (C&D) = 0 (A&B) -> (CVD) = 1 (AVB) -> (C&D) = 0 (A&B) <=> (CVD) = 1 (Ā -> B)&(CVD) = 0 (C <=> Ā)&B&D = 0 (A&B)VC <=> (A&C)V(A&B) = 1 (AVB)VC -> (A&C&D)&(BVD) = 0 A=1 B=0 C=0 D=0 Назад

    Слайд 30

    Ответ: Всегда ЛОЖНО Минипрактикум Какое значение будет на выходе F схемы? Какая формула отражает логическое преобразование, выполняемое схемой? A & Ā F 1 & X1 X2 X3 Y Ответ: ¬ ((X1 V X2) & X3)

    Слайд 31

    Практическая работа ПК Создание в электронных таблицах Microsoft Excel(OpenOffice.org Calc) таблиц истинности логических функций: Конъюнкции Дизъюнкции Инверсии Импликации Эквивалентности

    Слайд 32

    Составление таблиц истинности по логической формуле Количество строк - 2ⁿ, где n - это количество логических переменных Количество столбцов - количество логических переменных + количество логических операций. Пример: Ā& В Количество строк = 2 2 = 4 Количество столбцов = 2 + 2 = 4 А В Ā А & В 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0

    Слайд 33

    Основные законы булевой алгебры Закон Для дизъюнкции Для конъюнкции 1. Ассоциативность А V (В V С)=(А V В) V С= А V В V С А & (В & С)=(А & В) & С= А & В & С 2.Коммутативность А V В=В V А А & В=В & А 3.Дистрибутивность (распределение) А V (В & С)=(А V В) & (А V С) (А V В) & (В V С)=(А & С) V В (А V В) & С= ( А & С )V(B&C) А & В V С & В=В & (А V С) 4.Идемпотентность А V А=А А & А=А 5.Инволюция Ā =А

    Слайд 34

    Закон Для дизъюнкции Для конъюнкции 6.Действие с абсолютно-истинными высказываниями А V 1=1 А & 1=А 7.Действия с абсолютно-ложными высказываниями А V 0=А А & 0=0 8.Законы де Моргана А V В=А & В А & В=А V В 9.Закон исключенного третьего и закон непротиворечия А VĀ =1 А &Ā =0 10.Поглощения А V( А & В ) =А А & (А V В) = А 11.Поглощение отрицания А V(Ā& В ) =А V В А & ( ĀV В)=А & В Основные законы булевой алгебры

    Слайд 35

    Формула склеивания (А В) (А В)=А (А В) (А В)=А

    Слайд 36

    Формулы поглощения А (А В)= А А (А В)=А А ( Ā В)=А В А ( Ā В)=А В

    Слайд 37

    Тестовое задание Начать тест

    Слайд 38

    Вопросы и задания по теме «Основы логики» Зачёт по теме «Основы логики»

    Слайд 39

    Использованные источники Угринович, Н. Д. Информатика и ИКТ. Профильный уровень. Учебник 10-11 классов/Н. Д. Угинович. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008 . Макарова, Н. В. Информатика и ИКТ. Учебник 8-9 класс/Под ред. Проф. Н. В. Макаровой. – СПб.: Питер, 2007. http://ru.wikipedia.org/wiki/%C1%F3%EB%FC,_%C4%E6%EE%F0%E4%E6 http://ru.wikipedia.org/wiki/%C0%F0%E8%F1%F2%EE%F2%E5%EB%FC http://yandex.ru/yandsearch?text=%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0+%D0%B8+%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%B5%D1%80+%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8&lr=64


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Подписи к слайдам:

    Слайд 1

    Логические законы и правила преобразования логических выражений

    Слайд 2

    Основные законы формальной логики Закон тождества А = А Закон непротиворечия А & A=0 Закон исключения третьего А  А=1 Закон двойного отрицания  А=А В процессе рассуждения нельзя подменять одно понятие другим Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание Высказывание может быть либо истинным либо ложным, третьего не дано Если отрицать дважды некоторое суждение, то получается исходное суждение

    Слайд 3

    Свойства констант 0=1 1=0 А0=А А & 0= 0 А 1 = 1 А &1 =А

    Слайд 4

    Законы алгебры логики Идемпотентность АА=А А & А=А Коммутативность А  В=В  А А & В=В & А Ассоциативность А  (В  С)= (А  В)  С А & (В & С)= (А & В) & С

    Слайд 5

    Законы алгебры логики Дистрибутивность А  (В & С)= (А  В) &(A  С ) А & (В  С)= (А & В)  (A& С ) Поглощение А  (А & В)=А А & (А  В)=А Законы де Моргана (А В)=  А & В (А & В)=  А  В

    Слайд 6

    6 Огастес де МОРГАН Морган Огастес (Августус) де (27.6.1806-18.3. 1871) - шотландский математик и логик. Секретарь Королевcкого астрономического общества (1847г.), член Лондонского королевского общества. Первый президент Лондонского математического общества. Родился в Мадуре (Индия). Учился в Тринити-колледж (в Кембридже). Профессор математики в университетском колледже в Лондоне. Основные труды по алгебре, математическому анализу и математической логике. В теории рядов описал логарифмическую шкалу для критериев сходимости; занимался теорией расходящихся рядов. Один из основателей формальной алгебры. Продолжая работы Дж. Пикока, Морган в 1841-1847 гг. опубликовал ряд работ по основам алгебры. В трактате "Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных" (1847г.), Морган некоторыми своими положениями опередил Дж. Буля. Позднее Морган успешно изучал логику отношений - область, не охваченную исследованиями предшественников. Написал много исторических работ, в частности книгу "Бюджет парадоксов" (1872г.). Большой вклад внес также в дедуктивную логику вообще и математическую в частности. Лондонское математическое общество учредило медаль им. О. Моргана.

    Слайд 7

    Правила замены операций Импликации А  В =  А  B А  В =  B   A Эквивалентности А  В = (А &B)  (  A&  B) А  В = (А   B) & (  A  B) А  В = (А  B) & ( B  A)

    Слайд 8

    Упрощение сложных высказываний - это замена их на равносильные на основе законов алгебры высказываний с с целью получения высказываний более простой формы

    Слайд 9

    Основные приемы замены X=X  1  X=X  0  1=А  А 0=В   В Z=Z Z  Z C=C C  C Е=  Е По свойствам констант По закону исключения третьего По закону непротиворечия - По закону идемпотентности - По закону двойного отрицания

    Слайд 10

    Пример Упростить: А  В  А   В По закону дистрибутивности вынесем А за скобки А  В  А   В= А  1 = А А  (В   В)= Упростить: ( А  В ) & ( А   В ) Упростить:  (  X   Y )

    Слайд 11

    11 Задание 2. Упростите логическое выражение F = ( A v B )→ ( B v C ). Избавимся от импликации и отрицания. Воспользуемся ( ¬ ( A→B)=A& ¬ B ). Получится: ¬ (( AvB )→ ¬ ( BvC ))= ( AvB )& ¬ ( ¬ ( BvC )). Применим закон двойного отрицания, получим: ( A v В) & ¬ ( ¬ (В v С)) = ( A v В) & ( B v С). Применим правило дистрибутивности ( (A∙B) +(A∙C) = A∙(B+C) ). Получим: ( Av В)& ( B v С)= ( AvB )& Bv ( AvB )&C Применим закон коммутативности ( A&B=B&A ) и дистрибутивности (16). Получим : ( AvB )& Bv ( AvB )&C = A&BvB&BvA&CvB&C . Применим (А & A = A ) и получим: A&BvB&BvA&CvB&C = A&BvBvA&CvB&C Применим ( (A&B) v(A&C) = A&( BvC ) ), т.е. вынесем за скобки В. Получим: A&BvBvA&CvB&C = B& (Av1) vA&CvB&C . Применим ( А v 1 = 1 ). Получим: B& (Av1) vA&CvB&C = BvA&CvB&C . Переставим местами слагаемые, сгруппируем и вынесем В за скобки. Получим: BvA&CvB&C = B& (1vC) vA&C . Применим ( А v 1 = 1 ) и получим ответ: B&(1vC) vA&C = BvA&C .

    Слайд 12

    12 Закрепление изученного №1 . Упростите выражение: F = ¬ ( A & B ) v ¬ ( BvC ). F = (A→B) v (B→A). F = A&CvĀ&C. F =  Av  Bv  CvAvBvC №2 Упростите выражение: F = ¬( X & Yv ¬( X & Y )). F =  X&¬ (  YvX). F = (XvZ) & (Xv  Z) & (  YvZ).

    Слайд 13

    13 Ответы к № 2 : F = ¬(X&Yv ¬(X&Y)) = 0. F =  X &¬ (  YvX ) =  X & Y . F = (XvZ) & (Xv  Z) & (  YvZ) =X&(  YvZ). Ответы к № 1 : F = ¬ (A&B) v ¬ (BvC) =  Av  B. F= (A→B) v (B→A) = 1. F = A&CvĀ&C=C. F =  Av  Bv  CvAvBvC=1.

    Слайд 14

    14 Домашняя работа Упростите логические выражения: Х& X &1 F = не (Х и (не Х и не Y )) F= B&(AvA&B) 0& Xv 0 F = не Х или (не (Х и Y и не Y )) F= (AvC)&(AvC)&(BvC) 0 vX &1 F = не Х и (не(не Y или Х)) F=A&B v A&Bv A&BvB&C

    Слайд 15

    Если вы считаете, что хорошо поработали, справились с заданием и урок вам понравился, то нарисуйте улыбающийся смайлик Если вы довольны результатами вашей работы, но урок вам не понравился, то нарисуйте Если урок вам понравился, но вы не успели справиться со всеми заданиями, то нарисуйте Если урок вам не понравился и вы недовольны результатами своей работы на уроке, то нарисуйте : - )) : - ) : - I : - ( рефлексия


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Подписи к слайдам:

    Слайд 1

    РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

    Слайд 2

    ПРИМЕР №1. Пятеро одноклассников Аня, Саша, Лена, Вася, Миша стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе, географии. Известно, что 1) победитель олимпиады по информатике учит Аню и Сашу работе на компьютере 2) Лена и Вася тоже заинтересовались информатикой 3) Саша всегда побаивался физики 4) Лена, Саша и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием 5) Саша и Лена поздравили победителя олимпиады по математике 6) Аня сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу Физика Математика Информатика Литература География Аня Саша Лена Вася Миша

    Слайд 3

    ПРИМЕР №2 (с-р). Боря, Витя, Гриша и Егор встретились на Всероссийской олимпиаде по информатике. Ребята приехали из разных городов: Москвы, Омска, Санкт-Петербурга и Кирова. Известно, что Боря жил в одной комнате с мальчиком из Кирова и ни один из этих двух мальчиков никогда не был ни в Москве, ни в Санкт-Петербурге. Гриша играл в одной команде с мальчиком из Москвы, а вечерами к ним заходил приятель из Кирова. Егор и мальчик из Москвы увлекались игрой в шахматы. Кто из ребят откуда приехал? Москва Омск Санкт-Петербург Киров Боря Витя Гриша Егор

    Слайд 4

    ПРИМЕР №3. Четыре года подряд Коля, Сережа, Ваня и Петя ходили в походы в мае, июне, июле, августе. Каждый мальчик по одному разу был в походе в каждый из перечисленных месяцев, при этом не было такого года, чтобы в один и тот же месяц в поход пошли сразу несколько мальчиков. В первый год Ваня ходил в поход в июле, а во второй – в августе. Во второй год в мае в поход ходил Коля. На третий год в июне в поход ходил Петя, а на четвертый год в июле в поход ходил Сережа. В каком месяце ходил в поход Сережа в первый год? В ответе укажите название месяца маленькими буквами в именительном падеже. Коля Сережа Ваня Петя май +(2) июнь +(3) июль +(4) +(1) август +(2) Ответ:май

    Слайд 5

    Корнеев, Докшин, Мареев и Скобелев – жители нашего города. Их профессии – пекарь, врач, инженер и милиционер. О них известно следующее. 1. Корнеев и Докшин – соседи и всегда на работу ездят вместе. 2. Докшин старше Мареева. 3. Корнеев регулярно обыгрывает Скобелева в пинг-понг. 4. Пекарь на работу всегда ходит пешком. 5. Милиционер не живет рядом с врачом. 6. Инженер и милиционер встречались единственный раз, когда милиционер оштрафовал инженера за нарушение правил уличного движения. 7. Милиционер старше врача и инженера. ПРИМЕР №4 Так как пекарь всегда ходит на работу пешком, а Корнеев и Докшин ездят, можно заключить, что фамилия пекаря — не Корнеев и не Докшин. Теперь учтем, что милиционер единственный раз встречался с инженером и не является соседом врача. Отсюда следует, что пара соседей «Корнеев +Докшин» не может быть ни парой «милиционер+врач», ни парой «милиционер+инженер». Следовательно, Корнеев и Докшин — врач и инженер. Только пока неизвестно, кто из них врач, а кто инженер. Обратим теперь внимание на возрастные данные. С учетом уже сделанных нами выводов и последнего из условий задачи можно сказать, что милиционер старше Корнеева и Докшина. Известно также, что Докшин старше Мареева. Следовательно, Мареев — не милиционер. Значит, милиционер — Скобелев, а Мареев — пекарь. Теперь нетрудно сообразить, что партнер милиционера Скобелева по пинг-понгу врач, а не инженер, который единственный раз встречался с милиционером. Итак, Корнеев — врач, а, следовательно, Докшин — инженер.

    Слайд 6

    Воронов, Павлов, Левицкий и Сахаров – 4 талантливых молодых человека. Один из них – танцор, другой – художник, третий – певец, а четвертый – писатель. О них известно следующее. 1. Воронов и Левицкий сидели в зале консерватории в тот вечер, когда певец дебютировал в сольном концерте. 2. Павлов и писатель вместе позировали художнику. 3. Писатель написал биографическую повесть о Сахарове и собирается написать о Воронове. 4. Воронов никогда не слышал о Левицком. ПРИМЕР №5 танцор художник певец писатель Воронов Павлов Левицкий Сахаров Сопоставим 2 и 4: Павлов и Левицкий вместе позировали художнику, Воронов никогда не слышал о Левицком, значит Воронов не может быть художником, а значит он танцор

    Слайд 7

    В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас блондин, другой – брюнет, а третий – рыжий, и при этом ни у одного из нас цвет не соответствует фамилии», – заметил черноволосый. «Ты совершенно прав», – сказал Белов. Определите цвет волос художника. ПРИМЕР №6 Так как по условию цвет не соответствует фамилии, то Белов должен быть или рыжим, или черноволосым. Но по условию черноволосому ответил Белов, значит это 2 разных человека и Белов не черноволосый, а значит рыжий. Тогда Чернов не черноволосый и не рыжий, а значит блондин. Для Рыжова остался цвет брюнет. скульптор Белов скрипач Чернов художник Рыжов блондин брюнет рыжий ОТВЕТ: брюнет

    Слайд 8

    Три подруги были на выпускном балу в белом, красном и голубом платье. Их туфли были тех же трёх цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвета платьев и туфель у подруг. ПРИМЕР №7 ПЛАТЬЯ ТУФЛИ белый красный голубой белый красный голубой Валя Лида Тамара

    Слайд 9

    Кондратьев, Давыдов и Федоров живут на одной улице. Один из них – столяр, другой – маляр, третий – водопроводчик. Недавно маляр хотел попросить своего знакомого столяра сделать кое-что для своей квартиры, но ему сказали, что столяр работает в доме водопроводчика. Известно также, что Федоров никогда не слышал о Давыдове. Кто чем занимается? ПРИМЕР №8 столяр маляр водопроводчик Кондратьев Давыдов Федоров

    Слайд 10

    Три товарища – Владимир, Игорь и Сергей – окончили один и тот же педагогический институт и преподают математику, физику и литературу в школах Тулы, Рязани и Ярославля. Владимир работает не в Рязани, Игорь – не в Туле. Рязанец преподает не физику, Игорь – не математику, туляк преподает литературу. Какой предмет и в каком городе преподает каждый из них? ПРИМЕР №9 матем физика литер Владимир (не в Рязани) ? Игорь (не в Туле) Сергей ? Владимир преподаёт литературу в Туле, Игорь – физику в Ярославле, Сергей – математику в Рязани.



    Предварительный просмотр:

    Кроссворд по теме: «Логические законы и правила»

    По горизонтали:

    1. Наука, изучающая законы и формы мышления.

    3. Логическое равенство.

    7. Логическое сложение.

    9. Логическое следование.

    5. Константа, которая обозначается «1».

    6. Константа, которая обозначается «0».

    12. Простое высказывание, содержащее только одну простую мысль и обозначаемое A, B, C, D...

    13. Форма нахождения значения логического выражения.

    По вертикали:

    2. Повествовательное предложение, в котором что-то утверждается или отрицается.

    4. Простейшее устройство, на входы которых поступают начальные данные, а на выходе получается результат некоторой логической операции.

    8. Сложное высказывание, обозначаемое как F (А, В...).

    10. Логическое умножение.

    14. Логическое отрицание.

    11. Графическое изображение логического выражения.

     

    Тест по теме: «Основы логики»

    Вариант 1

    1. Наука, изучающая законы и формы мышления, называется:

    а) алгебра;

    б) геометрия;

    в) философия;

    г) логика.

    2. Повествовательное предложение. в котором что – то утверждается или отрицается называется:

    а) выражение;

    б) вопрос;

    в) высказывание;

    г) умозаключение.

    3. Константа, которая обозначается «1» в алгебре логики называется:

    а) ложь;

    б) истина;

    в) правда;

    г) неправда.

    4. Какое из следующих высказываний являются истинным?

    а) город Париж – столица Англии;

    б) 3 + 5 = 2 + 4

    в) II + VI = VIII

    г) томатный сок вреден.

    5. Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «и» называется:

    а) инверсия;

    б) конъюнкция;

    в) дизъюнкция;

    г) импликация.

    6. Чему равно значение логического выражения (1 v 1)&(1 v 0)?

    а) 1;

    б) 0;

    в) 10;

    г) 2.

    7. Какая из логических операций не является базовой?

    а) конъюнкция;

    б) дизъюнкция;

    в) инверсия;

    г) эквивалентность.

    8. Графическое изображение логического выражения называется:

    а) схема;

    б) рисунок;

    в) чертеж;

    г) график.

    9. Двоичное отрицание логической переменной равно:

    а) 0;

    б) 1;

    в) исходной переменной;

    г) обратной переменной.

    10. Устройство, выполняющее базовые логические операции, называется:

    а) реестр;

    б) ячейка;

    в) вентиль;

    г) триггер.

     

    Вариант 2

    1. Что такое логика?

    а) это наука о суждениях и рассуждениях;

    б) это наука, изучающая законы и методы накопления, обработки и сохранения информации с помощью ЭВМ;

    в) это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений;

    г) это наука, занимающая изучением логических основ работы компьютера.

    2. Логическая функция – это:

    а) простое высказывание;

    б) составное высказывание;

    в) вопросительное предложение;

    г) логическая операция.

    3. Как кодируется логическая переменная, принимающая значение «ЛОЖЬ»?

    а) 0;

    б) 1;

    в) 2;

    г) неправда.

    4. Какое из следующих высказываний является ложным?

    а) город Париж – столица Англии;

    б) 3 + 5 = 4 + 4;

    в) II + VI = VIII;

    г) томатный сок полезен.

    5. Чему равно значение логического выражения (1 v 1)&(0 v 0) =?

    а) 1;

    б) 0;

    в) 10;

    г) 2.

    6. Значение логического выражения ¬ (А v B) по закону Моргана равно:

    а) ¬ А&¬B;

    б) A&¬B;

    в) ¬A&B;

    г)¬A v¬B.

    7. Логической операцией не является:

    а) логическое деление;

    б) логическое сложение;

    в) логическое умножение;

    г) логическое отрицание.

    8. Объединение двух высказываний в одно с помощью оборота «если..., то...» называется:

    а) инверсия;

    б) конъюнкция;

    в) дизъюнкция;

    г) импликация.

    9. Таблица, содержащая все возможные значения логического выражения, называется:

    а) таблица ложности;

    б) таблица истинности;

    в) таблица значений;

    г) таблица ответов.

    10.Для сложения одноразрядных двоичных чисел используется:

    а) регистр;

    б) триггер;

    в) полусумматор;

    г) сумматор.

     



    Предварительный просмотр:


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


    Предварительный просмотр:

    Вариант №1.

    №1. Определить истинность составного высказывания:

    «(22=4 или 33=10) и (22=5 или 33=9)».

    1) ложно   2) истинно  

    №2. Какова таблица истинности логической функции  ?

    1)                              2)                               3)                            4)

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

                                             

    №3. Логическое выражение  равносильно:

    1) 0                    2) 1                  3) A                    4)

    №4. Упростите логическое выражение .

    1)                   2)                 3) B                   4) A

    №5. Упростите логическое выражение: .

    №6. Докажите, используя таблицу истинности: .

    №7. Решите логическое уравнение: .

    №8. Дана следующая таблица истинности:

    X

    Y

    Z

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    Какое выражение соответствует функции F?

            1)                 2)

            3)                 4)

    Вариант №2.

    №1. Определить истинность составного высказывания:

    «(22=4 и 33=10) или (22=5 и 33=9)».

    1) ложно   2) истинно  

    №2. Какова таблица истинности логической функции  ?

    1)                              2)                               3)                            4)

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

                                             

    №3. Логическое выражение  равносильно:

    1) 1                    2) 0                  3) A                    4)

    №4. Упростите логическое выражение .

    1)                   2)                 3) B                   4) A

    №5. Упростите логическое выражение: .

    №6. Докажите, используя таблицу истинности: .

    №7. Решите логическое уравнение: .

    №8. Дана следующая таблица истинности:

    X

    Y

    Z

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    Какое выражение соответствует функции F?

            1)                 2)

            3)                 4)

    Вариант №3.

    №1. Определить истинность составного высказывания:

    «(22=4 или 33=10) или (22=5 и 33=9)».

    1) ложно   2) истинно  

    №2. Какова таблица истинности логической функции  ?

    1)                              2)                               3)                            4)

    A

    B

    F

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

                                             

    №3. Логическое выражение  равносильно:

    1) 1                    2) 0                  3) A                    4)

    №4. Упростите логическое выражение .

    1)                   2)                 3) B                   4) A

    №5. Упростите логическое выражение: .

    №6. Докажите, используя таблицу истинности: .

    №7. Решите логическое уравнение: .

    №8. Дана следующая таблица истинности:

    X

    Y

    Z

    F

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    Какое выражение соответствует функции F?

            1)                 2)

            3)                 4)

    Вариант №4.

    №1. Определить истинность составного высказывания:

    «(22=4 и 33=10) или (22=5 или 33=9)».

    1) ложно   2) истинно  

    №2. Какова таблица истинности логической функции  ?

    1)                              2)                               3)                            4)

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    A

    B

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    A

    B

    F

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

                                             

    №3. Логическое выражение  равносильно:

    1) 1                    2) 0                  3) A                    4)

    №4. Упростите логическое выражение .

    1)                   2)                 3) B                   4) A

    №5. Упростите логическое выражение: .

    №6. Докажите, используя таблицу истинности: .

    №7. Решите логическое уравнение: .

    №8. Дана следующая таблица истинности:

    X

    Y

    Z

    F

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    Какое выражение соответствует функции F?

            1)                 2)

            3)                 4)


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


    Предварительный просмотр:

    X

    Y

    Z

    F

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    Вариант 1.

    №1. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?        1) X  Y  Z        2) ¬X  Y  ¬Z   3) X  Y  Z         4) X  Y  ¬Z

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    №2. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    Какое выражение соответствует F?

    1) x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5  x6  ¬x7

    2) ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  ¬x6  x7

    3) ¬x1  x2  ¬x3  x4  x5  x6  x7

    4) x1  ¬x2  x3  ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7

    №3. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    3)  ¬x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    4)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №4. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    Укажите минимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x1 совпадает с F.

    №5. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение выражения x3  x4 не совпадает с F.

    №6. Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 6 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы. Каково минимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A  B?

    №7. Логическая функция F задаётся выражением (a  ¬c)  (¬a  b  c). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c.

    ?

    ?

    ?

    F

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    В ответе напишите буквы a, b, c в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

    №8. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание

      ((X < 5)→(X < 3))  ((X < 2)→(X < 1))

            1)  1         2) 2        3) 3        4) 4

    №9. На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [12, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула

    ( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

       1) [3, 11]        2) [2, 21]        3) [10, 17]        4)[15, 20]

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [12, 22] и Q = [7,17]. Выберите такой отрезок A, что формула

     (x  P) /\ (x  Q)  /\ (x  A) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.    

    1) [0, 5]        2) [7, 12]        3) [10, 20]        4)[5, 22]

    X

    Y

    Z

    F

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    Вариант 2.

    №1. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?        1) X  Y  Z        2) ¬X  ¬Y  Z   3) X  Y  Z         4) X  Y  ¬Z

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    №2. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    Какое выражение соответствует F?

    1) ¬x1  ¬x2  x3  x4  x5  x6  ¬x7

    2) x1  x2  x3  ¬x4  ¬x5  ¬x6  x7

    3) x1  x2  ¬x3  ¬x4  x5  x6  x7

    4) ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7

    №3. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    3)  x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    4)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №4. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x3 не совпадает с F.

    №5. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    Укажите минимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x2  x4 не совпадает с F.

    №6. Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 7 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы. Каково максимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A  B?

    №7. Логическая функция F задаётся выражением (a  ¬c)  (¬a  b  c). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c.

    ?

    ?

    ?

    F

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    В ответе напишите буквы a, b, c в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

    №8. Для какого числа X истинно высказывание  ((X > 3)(X < 3)) →(X < 1)

            1) 1        2) 2        3) 3        4) 4

    №9. На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 10] и Q = [15, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула

    ( (x  А) → (x  P) ) \/ (x  Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

    1) [3, 11]        2) [6, 10]        3) [8, 16]        4)[17, 23]

    №10. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5,15]. Выберите такой отрезок A, что формула

    ( (x  Q) → (x  P) ) /\ (x  A) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

    1) [0, 6]        2) [5, 8]        3) [7, 15]        4)[12, 20]

    X

    Y

    Z

    F

    1

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    Вариант 3.

    №1. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?        1) ¬X  Y  Z        2) X  Y  ¬Z   3) ¬X  ¬Y  Z        4) X  ¬Y ¬ Z

    №2. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    F

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    Какое выражение может соответствовать F?

    1) x1  x2  x3  ¬x4  ¬x5

    2) ¬x1  x2  ¬x3  x4  ¬x5

    3) x1  ¬x2  x3  ¬x4  x5

    4) ¬x1  x2  x3  x4  ¬x5

    №3. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    x8

    F

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    Каким выражением может быть F?

    1)  x1  ¬x2  x3   ¬x4  x5  x6  ¬x7  ¬x8

    2)  x1  x2  x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  x8

    3)  ¬x1  x2  ¬x3   x4  x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    4)  x1  ¬x2  ¬x3   ¬x4  ¬x5  ¬x6  ¬x7  ¬x8

    №4. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x4 не совпадает с F.

    №5. Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:

    x1

    x2

    x3

    x4

    x5

    x6

    x7

    F

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    Укажите минимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x