Введение

«Логика» от греческого слова logos –

,слово,  мысль,  разум, речь’.

В современном информационном обществе, где объем информации увеличивается с большим темпом, становится актуальной проблема формирования и развития логической, алгоритмической культуры каждого члена общества. Изучение  элементов математической логики и логических основ ЭВМ составляют основу такого формирования.

Математическая логика – наука, занимающаяся исследованием логических исчислений. Такой подход возник в связи с открытием известных логических парадоксов. Поэтому первоначально математическая логика развивалась как средство решения задач обоснования математики.

Математика является дедуктивной наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, т. е. выведение одних утверждений (суждений) из других по определенным правилам, причем исходные утверждения являются достоверными. Поэтому справедливыми признаются в математике только те утверждения, которые обоснованы с помощью дедуктивных рассуждений.

В общем, логика – это наука о формах и законах человеческого мышления. Мыслить логично – это значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий  в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки и применять правильное решение в различных жизненно важных ситуациях.

Логика является одной из древнейших наук. Основоположником формальной логики является древнегреческий философ и логик Аристотель (384-322 г. до н. э.), который впервые систематизировал формы и законы человеческого мышления, исследовал категории «понятие» и «суждение», подробно разработал теорию умозаключений      (т.е. теорию формального вывода) и доказательств, описал ряд логических операций и сформулировал основные законы формальной логики. Основными работами Аристотеля являются “Органон”, где включены категории “Об истолковании”; “Аналитики: первая и вторая работа”; ”О софистических опровержениях”; ”Топика” и др.

 Сам Аристотель свое логическое учение назвал “аналитикой”. Аналитика – это наука о средствах  установления объективной истинности; наука о доказательстве.

По мнению Аристотеля, основной принцип формальной логики заключается в следующем: «правильность рассуждения определяется только его логической формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него суждений». Иначе говоря, формальный характер логического вывода заключается в том, что в наших рассуждениях одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой, структурой, независимо от конкретного их содержания.

Например.

1. Если ABCD – квадрат, то ABCD – ромб; если ABCD – ромб, то ABCD – параллелограмм; следовательно, если ABCD – квадрат, то ABCD – параллелограмм.

2.   Если , то ; если , то ; следовательно, если , то .

3. Если число 5235460 делится на 10, то оно делится на 5, следовательно, если это число не делится на 5, то оно не делится на 10.

4. Если число e является рациональным, то оно является  алгебраическим; следовательно, если число e не является алгебраическим, то оно не является рациональным.

Если элементарные высказывания, участвующие в первых двух примерах, обозначить соответственно X, Y, Z,  а слова «если … то …» заменить ,  то получим символическую запись отражающую их форму

.

Аналогично, для примеров 3, 4 после обозначения составляющих высказываний символами X, Y, а их отрицания получим: .

Аристотель определил законы логики:

1. Закон непротиворечия - невозможно, чтобы противоречащие утверждения были истинными по отношению к одному и тому же объекту.

 2. Закон исключенного третьего – это закон традиционной и формальной логики, согласно которому из двух формально противоречащих друг другу утверждений одно обязательно должно быть истинным, а другое ложным.

3. Закон тождества – это традиционный и формальный логический закон, согласно которому утверждение (суждение или умозаключение), введенное однажды в рассуждение, должно оставаться неизменным, однозначно понимаемым на протяжении всего последующего рассуждения, каким бы продолжительным оно ни являлось.

4. Закон достаточного основания – всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована. В качестве доводов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы: истинные суждения, объективные факты, научно обоснованные законы, аксиомы, доказанные теоремы.  

5. Закон силлогизма. Если две импликации высказывательный формы истины, то истинной должна быть и третья импликация.

Логика Аристотеля дополнялась, изменялась и совершенствовалась в течение многих веков  со стороны зарубежных и отечественных ученых.

Идею о формализации логики в XVII веке предложил немецкий математик Г. Лейбниц (1646-1716). Он пытался построить универсальный язык, посредством которого каждому понятию и суждению можно было присвоить числовую характеристику и установить правила, которые позволили бы определить, «истинно данное суждение или ложно»? То есть хотел логику представить в виде исчисления. Однако он не смог реализовать свою идею.

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому учёному Дж. Булю (1815–1864). Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, что привело к возникновению «алгебры высказываний». Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее  значение, как и введение буквенных обозначений для алгебры. Именно благодаря введению символов в логику была заложена почва для создания новой науки – «математической логики».

Применение математики в логике позволило представить логические теории в удобной форме и применить вычислительный аппарат, что уточнило и расширило область логических исследований.

К концу XIX столетия актуальное значение для математики приобрели вопросы обоснования её основных понятий и идей. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики. В этом отношении показательны работы немецкого математика Г. Фреге (1848–1925) и итальянского математика Д. Пеано (1858–1932), которые применили математическую логику для обоснования арифметики и теории множеств. В своих трудах Фреге впервые систематизировал исчисление высказываний, т. е. аксиоматически построил логику высказываний. В работе «Основные законы  арифметики» он построил впервые в истории науки формально логико-математическую систему, содержащую значительную часть арифметики.

Особенности математического мышления объясняются особенностями математических абстракций и многообразием их взаимосвязей. Они отражаются в логической систематизации математики, в доказательстве математических теорем.

В связи с этим современную математическую логику определяют как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.

Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматического метода в построении  математических теорий.

В аксиоматическом построении математической теории предварительно выбирается некоторая система неопределяемых понятий и отношений между ними. Эти понятия и отношения называются основными. Далее без доказательства  принимаются основные положения рассматриваемой теории – аксиомы. Всё дальнейшее содержание теории выводится логически из аксиом. Впервые аксиоматическое построение математической теории было предпринято Евклидом в построении геометрии.

Изложение этой теории в «Началах» не безупречно. Евклид здесь пытается дать определение исходных понятий (точки, прямой, плоскости). В доказательстве теорем используются нигде явно не сформулированные положения, которые считаются очевидными. Таким образом, в этом построении отсутствует необходимая логическая строгость, хотя истинность всех положений теории не вызывает сомнений.            

Отметим, что такой подход к аксиоматическому построению теории оставался единственным до XIX века. Большую роль в изменении такого подхода сыграли работы Н. И. Лобачевского (1792–1856).

Лобачевский впервые высказал суждение о невозможности доказательства пятого постулата Евклида и подкрепил это убеждение созданием новой геометрии. Позже немецкий математик  Ф. Клейн (1849–1925) построил евклидовую модель геометрии Лобачевского и доказал, что V постулат не зависит от остальных аксиом, т.е. его нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Непротиворечивость аксиоматической теории является одним из основных требований, предъявляемых к системе аксиом данной теории. Она означает, что из данной системы аксиом нельзя логическим путём вывести два противоречивых друг другу утверждения.

Доказательство непротиворечивости аксиоматических теорий можно осуществить различными методами. Одним из них является метод моделирования или формализаций. Здесь в качестве основных понятий и отношений выбираются элементы некоторого множества и отношения между ними, а затем проверяется, будут ли выполняться для выбранных понятий и отношений аксиомы данной теории, то есть строится модель для данной теории.

Так, аналитическая геометрия является арифметической интерпретацией геометрии Евклида. Ясно, что метод моделирования сводит вопрос о непротиворечивости одной теории к непротиворечивости другой теории.

Большинство интерпретаций для математических теорий (и, в частности, для арифметики) строится на базе теории множеств.

Однако в конце XIX века в теории множеств были обнаружены противоречия (парадоксы теории множеств). Ярким примером такого парадокса является парадокс Б. Рассела. С открытием парадоксов появилась необходимость уточнения и особенного изучения логических средств, используемых в математических доказательствах, что привело к дальнейшему развитию математической логики и её применению к плохо формализуемым областям.  

В развитии математической логики и применении ее к теории математического доказательства и основаниям математики приняли участие выдающиеся математики и логики конца XIX и XX в., к  числу которых относятся Дж. Пеано, Б. Рассел, А. Уайтхед, А. М. Тьюринг, Я. Лукашевич, А. Тарский, Д. Гильберт, Г. Генцен, К. Гёдель, С. К. Клини, Э. Л. Пост, А. Чёрч, И. И. Жегалкин, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков, А. А. Марков, и др.

Математическая логика сформировалась как наука для удовлетворения потребностей логики в точном языке и формальном аппарате (первый этап), а дальнейшее ее развитие связано с потребностями математики в адекватной логике (второй этап). В результате математическая логика значительно расширила свой первоначальный предмет. Она широко применяется как внутри математики (исследование оснований математики), так и в других областях (анализ и синтез автоматических устройств, теоретическая информатика, информационные системы, система искусственного интеллекта и т. п.).

В настоящее время математическая логика все чаще стала использоваться непосредственно в информатике. Более того, одним из наиболее известных проектов создания компьютеров пятого поколения предполагается использование логических исчислений в качестве основной системы программирования. Действительно, источником создания языка логического программирования Пролога являются логика предикатов 1-го порядка, теория рекурсивных функций, методы логического вывода (конкретно метод резолюций), а также языки программирования Пленэр и Лисп.

Семестровый курс «Математическая логика», является непосредственным продолжением предмета дискретной математики, где излагаются следующие разделы:

• алгебра высказываний;

• исчисление высказываний;

• алгебра предикатов;

• исчисление предикатов.

Изучение курса «Математическая логика» студентами обучающихся по направлению педагогическое образование – профиль «Информатика», специальность «информатика», развивает и совершенствует их профессиональную подготовку.